第2课时函数的最大(小)值基础过关练题组一求函数的最大(小)值1.函数f(x)在[-2,2]上的图象如图所示,则此函数的最小值,最大值分
别是()A.f(-2),0B.0,2C.f(-2),2D.f(2),22.函数f(x)=在区间(-∞,-1]上()A.有
最大值,无最小值B.有最小值,无最大值C.既有最大值,也有最小值D.既无最大值,也无最小值3.函数y=x2-2x+3(-1≤x≤2
)的值域是()A.RB.[3,6]C.[2,6]D.[2,+∞)4.函数y=的最大值是()A.3B.4C.5D.65.某商
场经营一批进价为每件30元的商品,在市场试销中发现,该商品销售单价x(不低于进价,单位:元)与日销售量y(单位:件)之间有如下关系
:x4550y2712(1)确定x与y的一个一次函数关系式y=f(x)(注明函数的定义域);(2)若日销售利润为P元,根据(1)中
的关系式写出P关于x的函数关系式,并指出当销售单价为多少元时,能获得最大的日销售利润.6.已知不等式x2-5ax+b>0的解集为{
x|x>4或x<1}.(1)求实数a,b的值;(2)若0的综合运用7.若函数y=ax+1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2,则实数a的值是()A.2B.-2C.2或-2
D.08.若函数f(x)=在区间[2,4]上的最小值为5,则k的值为()A.10B.10或20C.20D.无法确定9.在如图所
示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x为m.?10.已知函数f(x)=-(a>0,x>0)
.(1)用定义证明f(x)在(0,+∞)上是增函数;(2)若f(x)在区间上的最大值为5,求实数a的值.题组三函数的最大(小)值
在方程与不等式中的应用11.若?x∈,都有不等式-x+a+1≥0成立,则a的最小值为()A.0B.-2C.-D.-12.已知函
数f(x)=-x2+4x+m,若?x∈[0,1],f(x)=0,则m的取值范围是()A.[-4,+∞)B.[-3,+∞)C.[
-3,0]D.[-4,0]13.已知函数f(x)=ax2-4ax+b(a>0)在区间[0,1]上有最大值1和最小值-2.(1)求a
,b的值;(2)若在区间[-1,1]上,不等式f(x)>-x+m恒成立,求实数m的取值范围.14.已知函数f(x)=,x∈[3,5
].(1)判断函数f(x)的单调性,并证明;(2)若不等式f(x)>a在[3,5]上恒成立,求实数a的取值范围;(3)若不等式f(
x)>a在[3,5]上有解,求实数a的取值范围.15.已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a.(1)若a=2,求函数f(x)在区
间[0,3]上的最小值;(2)若函数f(x)在区间[0,1]上有最大值3,求实数a的值.能力提升练题组一求函数的最大(小)值1.
(2019山西长治二中高一上第一次月考,)函数f(x)=在区间[-5,-3]上的最小值为()A.B.1C.D.22
.(2019湖南衡阳一中高一上第一次检测,)已知f(x)=min{x2-2x,6-x,x},则f(x)的值域是()A.(-∞,
3)B.(-∞,3]C.[0,3]D.[3,+∞)3.(2020河北承德一中高一上月考,)函数f(x)=2x-的最小值为()
A.-B.-2C.-D.-4.(多选)()已知函数f(x)=x2-2x+2,关于f(x)的最大(小)值有如下结论,其中正确的是(
)A.f(x)在区间[-1,0]上的最小值为1B.f(x)在区间[-1,2]上既有最小值,又有最大值C.f(x)在区间[2,3]
上有最小值2,最大值5D.当01时,f(x)在区间[0,a]上的最
小值为15.(2020江西临川一中高一上月考,)已知函数f(x)=x2+2ax-1,x∈[-1,1].(1)若a=,求函数f(x)
的最值;(2)若a∈R,记函数f(x)的最小值为g(a),求g(a)关于a的函数解析式.题组二函数最大(小)值的综合运用6.(2
020河南洛阳一中高一上月考,)若函数y=f(x)=x2-3x-4的定义域为[0,m],值域为,则m的取值范围是()A.(0,
4]B.C.D.7.(2020安徽芜湖一中月考,)若关于x的不等式|x-4|+|x+3|A.(7,+∞)B.[7,+∞)C.(1,+∞)D.(1,7)8.(2019广东中山一中高一上第一次检测,)已知函数f(x)=x2
-2x,g(x)=ax+2(a>0),若对任意x1∈[-1,2],总存在x2∈[-1,2],使得f(x1)=g(x2),则实数a的
取值范围是()A.B.C.(0,3]D.[3,+∞)9.(多选)()已知函数f(x)=-2x+1(x∈[-2,2]),g(x
)=x2-2x(x∈[0,3]),则下列结论正确的是()A.?x∈[-2,2],f(x)>a恒成立,则实数a的取值范围是(-
∞,-3)B.?x∈[-2,2],f(x)>a,则实数a的取值范围是(-∞,-3)C.?x∈[0,3],g(x)=a,则实数a的
取值范围是[-1,3]D.?x∈[-2,2],?t∈[0,3],f(x)=g(t)10.(2020广东江门二中高一上月考,)已知函
数g(x)=ax2-2ax+1+b(a>0)在区间[2,3]上有最小值1和最大值4,设f(x)=.(1)求a,b的值;(2)若不等
式f(x)-kx-4≤0在x∈[-1,0)时恒成立,求实数k的取值范围.答案全解全析基础过关练1.C由题图可知,此函数的最小值是
f(-2),最大值是2.2.B函数f(x)=在区间(-∞,-1]上是减函数,故该函数有最小值f(-1)=-1,无最大值.3.C
函数y=x2-2x+3=(x-1)2+2(-1≤x≤2),其图象开口向上,且对称轴方程为x=1,故当x=1时,函数取得最小值2,当
x=-1时,函数取得最大值6.故值域为[2,6].4.C当x<1时,函数y=x+3单调递增,有y<4,无最大值;当x≥1时,函数
y=-x+6单调递减,在x=1处取得最大值5.所以该函数的最大值为5.5.解析(1)因为f(x)是一次函数,所以设f(x)=ax
+b(a≠0),由题中表格可得解得所以y=f(x)=-3x+162.又y≥0,所以30≤x≤54,故所求函数关系式为y=-3x+1
62,x∈[30,54].(2)由题意得,P=(x-30)y=(x-30)(162-3x)=-3x2+252x-4860=-3(
x-42)2+432,x∈[30,54].所以当x=42时,Pmax=432,即当销售单价为42元时,能获得最大的日销售利润.6.
解析(1)依题意可得方程x2-5ax+b=0的根为4或1,∴由根与系数的关系得即(2)由(1)知f(x)=+,∵0<1-x<1,>0,>0,∴+=[x+(1-x)]=++5≥2+5=9,当且仅当=,即x=时等号成立,∴f(x)的最小值为9.7.
C由题意知a≠0,当a>0时,函数y=ax+1在[1,2]上单调递增,有(2a+1)-(a+1)=2,解得a=2;当a<0时,函
数y=ax+1在[1,2]上单调递减,有(a+1)-(2a+1)=2,解得a=-2.综上知,a=±2.8.C当k=0时,不符合题
意;当k>0时,f(x)=在[2,4]上是减函数,∴f(x)min=f(4)==5,∴k=20,符合题意;当k<0时,f(x)=在
[2,4]上是增函数,f(x)min=f(2)==5,∴k=10,又∵k<0,∴k=10舍去.综上知,k=20.9.答案20解析
设矩形花园的边长x的邻边长为y,则=,即y=40-x,由此可知,矩形花园的面积S=x·(40-x)=-x2+40x=-(x-20
)2+400,所以当x=20m时,面积最大.10.解析(1)证明:任取x1,x2∈(0,+∞),且x1(x2)=--=,∵00,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)x)在(0,+∞)上是增函数.(2)由题意及(1)知f(x)=-在区间上是增函数,∴f(x)max=f(4)=5,∴f(4)=-=
5,解得a=.11.D设f(x)=-x+a+1,由不等式-x+a+1≥0对一切x∈都成立,可得f(x)min≥0.因为f(x)在
上是减函数,所以当x∈时,f(x)min=a+,所以a+≥0,即a≥-,所以amin=-,故选D.12.C∵函数f(x)=-x
2+4x+m的图象开口向下,对称轴方程为x=2,∴函数f(x)在区间[0,1]上单调递增,∴f(x)max=f(1)=3+m,f
(x)min=f(0)=m,即函数f(x)的值域为[m,m+3].由方程f(x)=0有解,知0∈[m,m+3],因此m≤0,且m+
3≥0,解得-3≤m≤0,故选C.13.解析(1)∵f(x)=ax2-4ax+b(a>0),∴函数f(x)的图象开口向上,且图象
的对称轴方程为x=2,∴f(x)在[0,1]上是减函数,∴f(x)max=f(0)=b=1,f(x)min=f(1)=b-3a=-
2,∴a=b=1.(2)由f(x)>-x+m,可得x2-4x+1>-x+m即x2-3x+1-m>0,要使此不等式在[-1,1]上恒
成立,只需使函数g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上的最小值大于0即可.∵g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上单调
递减,∴g(x)min=g(1)=-m-1,由-m-1>0,得m<-1.因此满足条件的实数m的取值范围是(-∞,-1).14.解析
(1)f(x)在[3,5]上为增函数.证明:任取x1,x2∈[3,5],且x10,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)3,5]上为增函数.(2)由不等式f(x)>a在[3,5]上恒成立,知f(x)min>a.由(1)知f(x)在[3,5]上为增函数
,∴f(x)min=f(3)=,∴>a,即a<,故实数a的取值范围是.(3)由不等式f(x)>a在[3,5]上有解,知f(x)ma
x>a.由(1)知f(x)在[3,5]上为增函数,∴f(x)max=f(5)=,∴>a,即a<,故实数a的取值范围是.15.解析
(1)若a=2,则f(x)=-x2+4x-1=-(x-2)2+3,该函数的图象开口向下,图象的对称轴为直线x=2,∴函数f(x)在
区间[0,2]上单调递增,在区间[2,3]上单调递减,又f(0)=-1,f(3)=2,∴f(x)min=f(0)=-1.(2)易
知函数图象的对称轴为直线x=a,①当a≤0时,函数f(x)在区间[0,1]上单调递减,则f(x)max=f(0)=1-a=3,解得
a=-2;②当0a+1=3,解得a=2或a=-1,均不符合题意;③当a≥1时,函数f(x)在区间[0,1]上单调递增,则f(x)max=f(1)=
-1+2a+1-a=3,解得a=3.综上所述,a=-2或a=3.能力提升练1.C由f(x)===1-,知f(x)在(-∞,-2)
上是增函数,所以f(x)在[-5,-3]上单调递增,所以f(x)min=f(-5)=,故选C.2.B在同一平面直角坐标系中作出函
数y=x2-2x,y=6-x,y=x的图象,由f(x)=min{x2-2x,6-x,x}知,对任意x∈R,f(x)取三个函数值中
最小的,因此f(x)的图象如图所示(实线部分),所以可得f(x)的值域为(-∞,3].3.A设t=(t≥0),则x=t2-1(t
≥0),所以g(t)=2(t2-1)-t=2t2-t-2(t≥0).易知函数g(t)=2t2-t-2在上单调递减,在上单调递增,∴
f(x)min=g(t)min=g=-,故选A.4.BCD函数f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1的图象开口向上,对称轴为
直线x=1.在选项A中,因为f(x)在区间[-1,0]上单调递减,所以f(x)在区间[-1,0]上的最小值为f(0)=2,A错误;
在选项B中,因为f(x)在区间[-1,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增,所以f(x)在区间[-1,2]上的最小值为f(1)=
1,又因为f(-1)=5,f(2)=2,f(-1)>f(2),所以f(x)在区间[-1,2]上的最大值为f(-1)=5,B正确
;在选项C中,因为f(x)在区间[2,3]上单调递增,所以f(x)在区间[2,3]上的最小值为f(2)=2,最大值为f(3)=5,
C正确;在选项D中,当01时,因为f(x)
在区间[0,1]上单调递减,在[1,a]上单调递增,所以f(x)在区间[0,a]上的最小值为f(1)=1,D正确.故选BCD.5.
解析(1)当a=时,f(x)=x2+x-1,x∈[-1,1],其图象开口向上,且对称轴方程为x=-,∴函数y=f(x)在上单调递
减,在上单调递增,∴f(x)的最小值为f=-,f(-1)=-1,f(1)=1,∴f(x)的最大值为f(1)=1,最小值为f=-
.(2)函数f(x)=x2+2ax-1的图象开口向上,且对称轴方程为x=-a,当-a≤-1,即a≥1时,y=f(x)在[-1,1]
上单调递增,∴f(x)min=f(-1)=-2a=g(a);当-1<-a<1,即-1递减,在[-a,1]上单调递增,∴f(x)min=f(-a)=-a2-1=g(a);当-a≥1,即a≤-1时,y=f(x)在[-1
,1]上单调递减,∴f(x)min=f(1)=2a=g(a).综上可得,g(a)=6.C∵y=f(x)=x2-3x-4=-,∴f
=-,且f(0)=f(3)=-4,由已知及二次函数的图象可知,m的值最小为,最大为3,即m的取值范围是,故选C.7.A设f(x)
=|x-4|+|x+3|,则f(x)=作出函数f(x)的图象如图所示.由图象知f(x)min=7,又f(x)x)min7,故选A.8.D∵f(x)=x2-2x=(x-1)2-1,x∈[-1,2],∴f(x)min=f(1)=
-1,f(x)max=f(-1)=3,∴f(x)在[-1,2]上的值域为[-1,3]=A.又∵g(x)=ax+2(a>0)在[-
1,2]上单调递增,∴g(x)在[-1,2]上的值域为[-a+2,2a+2]=B.依题意得A?B,∴即解得a≥3,故选D.9.AC
在A中,因为f(x)=-2x+1(x∈[-2,2])是减函数,所以当x=2时,函数取得最小值,最小值为-3,因此a<-3,A正确
;在B中,因为f(x)=-2x+1(x∈[-2,2])是减函数,所以当x=-2时,函数取得最大值,最大值为5,因此a<5,B错误;
在C中,g(x)=x2-2x=(x-1)2-1(x∈[0,3]),∴当x=1时,函数取得最小值,最小值为-1,当x=3时,函数取得
最大值,最大值为3,故函数的值域为[-1,3],由g(x)=a有解,知a∈[-1,3],C正确;在D中,?x∈[-2,2],?t∈[0,3],f(x)=g(t)等价于f(x)的值域是g(t)的值域的子集,而f(x)的值域是[-3,5],g(t)的值域是[-1,3],D错误.故选AC.10.解析(1)函数g(x)=ax2-2ax+1+b=a(x-1)2-a+1+b,其中a>0,则其图象开口向上,对称轴方程为x=1,∴该函数在区间[2,3]上单调递增,∴g(x)min=g(2)=1+b=1,解得b=0,g(x)max=g(3)=3a+1+b=4,解得a=1.(2)f(x)==x+-2,不等式f(x)-kx-4≤0等价于x+-2-kx-4≤0,即kx≥x+-6,∴要满足不等式f(x)-kx-4≤0在x∈[-1,0)时恒成立,只需满足k≤-+1在x∈[-1,0)时恒成立即可.设h(x)=-+1=-8,∵x∈[-1,0),∴∈(-∞,-1],∴当=-1时,h(x)min=16-8=8,∴k≤8. |
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