平面向量兼两性形来数往总相宜
台州一中蒋茵
教学目标：
知识与技能：熟练解决一类平面向量数量积问题,巩固数形结合、化归与转化、函数等基本思想.体会数形结合思想为核心思想方法。
过程与方法：在解决问题的过程中，引导学生总结归纳解决平面向量数量积问题的三种基本方法，完善学生对向量两面性的理解，培养学生的数形结合意识，化归与转化等意识，通过变式教学培养学生思维的深刻性和创新性。
情感态度价值观目标：感受数学活动过程的探索性与创造性，提高学生学习数学的兴趣.
教学重点与难点
重点解决一类平面向量数量积高考问题。
难点理解向量集数与形于一身，向量运算既是数的运算，也是图形的运算，体会数形结合思想。
三、教学过程
1.1剖析题根，揭示本质
例1已知,是平面单位向量,且．若平面向量满足,则．（201年高考）
的起点为坐标原点,所在的直线为轴建立坐标系,则,,设,则,,从而,于是.
师：很好！请问你怎么想到用坐标法解决问题的？
生1：向量可以用坐标表示,而且此题涉及向量的数量积和模,可以通过代数运算来解决.
师：向量的代数运算除了坐标法,还有其它方法吗？
生2：基底法.设,则,,所以,所以.
师：很棒！那么你觉得坐标法与基底法有联系吗？
生2：有,它们都属于代数法,坐标法选取了轴,轴正方向上的单位向量作为基底,所以它是一种特殊的基底法.
师：非常好！能否再从其它角度解决本题？
生3：几何法.如图1,因为,所以向量在方向的投影和向量在方向的投影均为1,过点作的垂线,过点作的垂线,与相交于点,则,所以与的夹角均为,于是.
师：非常精彩！你又是怎么想到几何法的？
生3：因为平面向量有几何表示,向量的数量积也有几何意义.
师：那你有没有想过用代数法呢？
生3：想过.
师：生1,你有没有想过几何法呢？
生1：没有.
师：想过也好,没想过也好,通过大家的相互补充,我们认识到解决平面向量的基本方法有哪些？
生：（齐声回答）1）.坐标法；2）.基底法；3）.利用几何意义求解.
师：这些方法也是基于对向量的理解,因为向量集数与形于一身,所以向量既有代数法,也有几何法；后面我们还会学到向量可以作为一种工具,把数的问题转化为形的问题,把形的问题转化为数的问题.今天我们这节课的主题为：平面向量兼两性，形来数往总相宜.
1.2合作编题，渗透思想
师：下面我们改变题目条件,进行编题.（教师示范,出示编题1）
编题1：去掉,求的最小值？
生4：同生1得：,,故当时,.
生5：同生3得：,点在直线上运动,故当时,.
师：很好！生4和生5分别用2种方法解决了问题,你可以编出类似的变式问题吗？
（学生分组思考与讨论,给出下列编题.）
生6（组1）：我们考虑的问题是：
编题2：改为,求的取值范围？
解：同生3得,点在的角平分线上运动,所以的取值范围为
生7（组2）：我们这样思考：
编题3：去掉,求的取值范围？
利用几何画板,如图2,拖动点,令,
点在直线上运动,因此的取值范围为.
生8（组3）：我们的题目是：
编题4：改为,求与夹角的余弦值？
同生3得,,,故.
师：3个小组的代表改变题目条件及结论给出了3个精彩的编题,并用几何法较好地解决了问题.而且我们发现,在改变符号语言描述的条件时,对应的图形也相应发生了改变,你还能编出其他问题吗?
生9：（组4）可以，改变图形.如图3,我们把向量的终点在直线上运动改为在直线上运动.
师：那你能否用数学符号语言来描述？
生9：思考片刻得到编题5：
编题5：已知,是平面单位向量,且．
若平面向量满足,求的最小值？
解：由图3得：当时,.
师：这位同学由“形”编出的题非常漂亮！能否再由“数”解题？
生9：因为,所以当时,.
生10（组5）：我们也可以把向量的起点放在点,终点在直线上运动，得到如下新问题：
编题6：已知,是平面单位向量,且．若平面向量满足,求的最小值？由图4知：当时,.
师：点除了在直线上运动,还可以在哪里运动？其它组能否继续编出新问题？
生11（组6）在为直径的圆上运动，但我不知如何用数学符号语言要描述？
师：没关系,我们可以留作课后思考.你继续思考如何描述题目,再让其他组员来解答.
师：如果再想下去,能否让点在平面上任意动,此时又该求什么？
（学生编题出现困难，教师出示高考题让学生思考.）
师：我们来看看高考命题者是怎样编题的.
设计意图：倡导“自主、合作、探究”的学习方式,通过教师示范编题和引导学生自主编题让学生体会到由“形”编题,由“数”解题,由此把众多的知识串联起来,形成有机联系的整体的过程.强调知识之间的联系性,突出知识背后的数学思想,培养学生思维的深刻性和创新性.同时为顺利过渡到如下的高考题作好铺垫.
1.3综合应用，深化理解
例2设,为单位向量,非零向量.若的夹角为,则的最大值等于.（2013年高考）
生12：因为（不全为0）,所以.当时,.当时,,当时,的最大值.
生13：由图6得,,所以取不到最大值.
师：你确定取不到最大值吗？
（师生共同分析,发现点不局限在内部,还可以
在外部,从而当时,的最大值.）
师:同学们,刚才我们用代数法和几何法解决了例2,
你认为高考题命题教师是怎么编出例2的?由“数”编得,
还是由“形”编得?
生14:由“形”编得,再将图形语言转化为符号语言,于是解决此问题
就能数形结合了.
师:非常精彩!同学都会分析揣摩出命题者的思维和意图,那么解题就显得那
样的轻而易举了.
图1
图2
图3
图5
图4
图6
|
|
