专题17导数问题中构造函数的思路在导数的应用中，有一类典型的题型，就是构造函数进行解答，构造函数既是解题的关键，也是解题的难点。有的学生在解
题过程中虽然知道需要构造函数，但不知道如何构造，即“有解题的指导思想，无解题的措施手段”。对此，我们总结了四句口诀，为学生的学习给
出技术性的指导。1.利用导数造函数，积商特征看正负口诀的含义就是利用导数构造数造函数时，首先是牢记两个函数和的积、商的导数公式的
特点，的导数公式中是“+”号，的导数公式中是“-”号。构造函数时应该根据题目已知条件中的正、负号，构造形如或者形如的函数。例1．是
定义在R上的偶函数，当时，，且，求不等式的解集.设是定义在R上的偶函数，当时，，且，求不等式的解.2.函数导数有特征,牢记模型觅思
路口诀的含义就是利用导数构造数造函数时，不仅要牢记两个函数和的积、商的导数公式的特点，还需要牢记常用函数的导数的特征.如：，，，
，.以上函数与的积、商的导数的也有显著特点，通常可以作为几种固定的模型来构造函数。常用的模型如下：；；；；；；；.例3．为R上
奇函数，时，有，求在上有多少个零点？例4．定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立，则（）A．B．C．D．练习
：1.已知函数对任意的满足(其中是函数的导函数)，则下列不等式成立的是()A.B.C.D.2.设f(x)是R上
的可导函数，且f(x)+xf''(x)>0，则不等式的解集为3.证明f(x)≥g(x),构造h(x)=f(x)-g(x),h(x
)min≥0例5.已知函数.（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）设，证明：对任意，。专题17导数问题中构造函数的思路歌在导数的应用中，有
一类典型的题型，就是构造函数进行解答，构造函数既是解题的关键，也是解题的难点。有的学生在解题过程中虽然知道需要构造函数，但不知道如
何构造，即“有解题的指导思想，无解题的措施手段”。对此，我们总结了四句口诀，为学生的学习给出技术性的指导。1.利用导数造函数，积
商特征看正负口诀的含义就是利用导数构造数造函数时，首先是牢记两个函数和的积、商的导数公式的特点，的导数公式中是“+”号，的导数公式
中是“-”号。构造函数时应该根据题目已知条件中的正、负号，构造形如或者形如的函数。例1．是定义在R上的偶函数，当时，，且，求不等式
的解集.设是定义在R上的偶函数，当时，，且，求不等式的解.2.函数导数有特征,牢记模型觅思路口诀的含义就是利用导数构造数造函数时
，不仅要牢记两个函数和的积、商的导数公式的特点，还需要牢记常用函数的导数的特征.如：，，，，.以上函数与的积、商的导数的也有显著特
点，通常可以作为几种固定的模型来构造函数。常用的模型如下：；；；；；；；.例3．为R上奇函数，时，有，求在上有多少个零点？解：
已知条件化为，根据不等式左边的“+”号，可知：此题只能构造形如的函数，仔细观察不等式左边的结构，易知：.可得，令，则.根据前面的模
型特征，可知：.则在递增，又，所以，在上无零点.于是在上无零点，从而在R上有1个零点.例4．定义在上的函数，是它的导函数，且恒有
成立，则（）A．B．C．D．解：已知条件化为：当时，，根据前面的模型可知：令，可知在上递增.由，可知，则A错误．
由，可知，则B错误．由，可知，则C错误．由，可知，则D错误．综上，正确答案选D.练习：1.已知函数对任意的满足(其中是函数的导函数
)，则下列不等式成立的是(C)A.B.C.D.2.设f(x)是R上的可导函数，且f(x)+xf''(x)>0，则
不等式的解集为[1，2）3.（辽宁卷文21）已知函数.（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）设，证明：对任意，。解：(Ⅰ)f(x)的定
义域为(0,+)，.当a≥0时，＞0，故f(x)在(0,+)单调增加；当a≤－1时，＜0,故f(x)在(0,+)单调减少；当－1
＜a＜0时，令＝0,解得x=.当x∈(0,)时,＞0；x∈(，+)时，＜0,故f(x)在（0,）单调增加，在（，+）单调减
少.(Ⅱ)不妨假设x1≥x2.由于a≤－2,故f(x)在（0，+）单调减少.所以等价于≥4x1－4x2,即f(x2)+4x
2≥f(x1)+4x1.令g(x)=f(x)+4x,则+4＝.于是≤＝≤0.从而g(x)在（0，+）单调减少，故g(x1)≤g
(x2)，即f(x1)+4x1≤f(x2)+4x2，故对任意x1,x2∈(0,+)，.专题17：导数问题中构造函数的思路1
.利用导数造函数，积商特征看正负例1．是定义在R上的偶函数，当时，，且，求不等式的解集.例2.设是定义在R上的偶函数，当时，，
且，求不等式的解.例3．定义在R上的函数的导函数为，已知，求不等式的解（其中为自然对数的底数）.2.函数导数有特征,牢记模型觅思路
常用函数的导数的特征.如：，，，，.常用的模型如下：；；；；；；；；.例4．为R上奇函数，时，有，求在上有多少个零点？例5.满足
，，则时，（）A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值又有极小值D．
既无极大值又无极小值例6．设函数是函数（）的导函数，，且，则的解集为（）A．B．C．D．例7．函数在R上可导，导
函数为，满足，且，则下列判断一定正确的是（）A．B．C．D．例8．定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立，则（
）A．B．C．D．专题17导数问题中构造函数的思路歌利用导数造函数，积商特征看正负；函数导数有特征，牢记模型觅思路
。在导数的应用中，有一类典型的题型，就是构造函数进行解答，构造函数既是解题的关键，也是解题的难点。有的学生在解题过程中虽然知道需要
构造函数，但不知道如何构造，即“有解题的指导思想，无解题的措施手段”。对此，我们总结了四句口诀，为学生的学习给出技术性的指导。1.
利用导数造函数，积商特征看正负口诀的含义就是利用导数构造数造函数时，首先是牢记两个函数和的积、商的导数公式的特点，的导数公式中是
“+”号，的导数公式中是“-”号。构造函数时应该根据题目已知条件中的正、负号，构造形如或者形如的函数。例1．是定义在R上的偶函数，
当时，，且，求不等式的解集.解：根据已知条件中的“+”号，可知：此题只能构造形如的函数，仔细观察已知条件中的次数，易知：.于是构造
函数，可知，当时，.所以，在递减.又，是定义在R上的偶函数，则在R上的奇函数.易知：在递减，且.由，可知：当时，，可得：；当时，，
可得：.综上，不等式的解集为.例2.设是定义在R上的偶函数，当时，，且，求不等式的解.解：根据已知条件中的“—”号，可知：此题只
能构造形如的函数，仔细观察已知条件中的次数，易知：.于是构造函数，可知，当时，.所以，在递增.又，是定义在R上的偶函数，则在R上的
奇函数.易知：在递增，且.当时，由同解于，则；当时，由同解于，则.综上，不等式的解集为.例3．定义在R上的函数的导函数为，已知，求
不等式的解（其中为自然对数的底数）.解：已知条件化为，根据不等式中的“+”号，可知：此题只能构造形如的函数，仔细观察已知条件中的次
数，易知：.令，则，则在R上递减，且.令，则.①当时，可得，则.所以，可得，即.②当时，可得，则.所以，可得，即.综上，或.2.函
数导数有特征,牢记模型觅思路口诀的含义就是利用导数构造数造函数时，不仅要牢记两个函数和的积、商的导数公式的特点，还需要牢记常用函
数的导数的特征.如：，，，，.以上函数与的积、商的导数的也有显著特点，通常可以作为几种固定的模型来构造函数。常用的模型如下：；；；
；；；；；.例4．为R上奇函数，时，有，求在上有多少个零点？解：已知条件化为，根据不等式左边的“+”号，可知：此题只能构造形如的函
数，仔细观察不等式左边的结构，易知：.可得，令，则.根据前面的模型特征，可知：.则在递增，又，所以，在上无零点.于是在上无零点，从
而在R上有1个零点.例5.满足，，则时，（）A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大
值又有极小值D．既无极大值又无极小值解：已知条件，根据等式左边的“+”号，可知：此题只能构造形如的函数，仔细观察等
式左边的结构，易知：，..则.令，.-+.所以，当时，，则在递增，可知：在上既无极大值又无极小值.例6．设函数是函数（）的导函数，
，且，则的解集为（）A．B．C．D．解：已知条件化为，令，则.根据等式左边的“—”号，可知：此题只能构造形如的函
数，仔细观察等式左边的结构，易知：.此时，可知.即，，又，则.由，可得.例7．函数在R上可导，导函数为，满足，且，则下列判断一定正
确的是（）A．B．C．D．解：已知条件化为：当时，，根据等式左边的“—”号，可知：此题只能构造形如的函数，仔细观察
等式左边的结构，易知：.可知：当时，.所以，在上递增.由，可知.即，，可知关于对称.由，可知，无法判定A正确还是错误.由，可知，可知B错误.由，可知，可知C错误.由，可知，可知D错误.综上，正确答案选C.例8．定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立，则（）A．B．C．D．解：已知条件化为：当时，，根据前面的模型可知：令，可知在上递增.由，可知，则A错误．由，可知，则B错误．由，可知，则C错误．由，可知，则D错误．综上，正确答案选D.1 |
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