----卡西尼卵形线的几何画板作法
1.问题的提出
一次在《圆锥曲线》的高三复习课上，小结了与到两定点距离有关的点的轨迹问题：
①动点到两定点距离和为定值，即的轨迹是椭圆；
②动点到两定点距离差的绝对值为定值，即的轨迹是双曲线；
③动点到两定点距离商为定值，即的轨迹是圆。
课堂上很快就有学生提出：到两定点距离积为定值的点的轨迹是什么呢？课前我对这个问题没有思考过，再加上高三复习课时间紧迫，就以“这个问题在中学阶段不作要求”敷衍过去，哪知课后两个学生追着我问：这个轨迹到底是什么？这下我只有“被迫”去研究一下了。
2.问题学习研究过程
我先在网上查阅了相关资料，了解到到两点距离积为定值的点的轨迹是卡西尼卵形线，如图，可以分成几类图形，其中一个特殊情形（图3）是伯努利双纽线（微分几何一个重要研究图形），就把这些告诉学生，同样会带来很多的“为什么”，那么怎样将这些图形动态直观的展示给学生呢？我想到了几何画板。
（1）（2）（3）（4）
问题：动点到两定点的距离积为定值，即，，试讨论点的轨迹。
作图思路：
①首先作可变线段用来控制两焦点的距离（如图通过拖动来改变的距离，下同）；
②作可变线段用来控制的值
③作可变线段用，以为圆心为半径作圆，计算并记为，以为圆心为半径作圆，设圆，圆的交点为P，显然
④选中点构造轨迹曲线。
这样通过拖动点，可直观地看到点在轨迹曲线上运动，而拖动或则可以看到曲线形状的改变：
做出以上动态图形，应该可以给学生以交待了，但上述图中依然有“为什么”，如上图右图中的两圆是相离的没有交点，哪里来的交点的轨迹呢？实际上两圆是“虚交”的（可简单理解为两圆方程联立方程组的解是虚数），而这对学生来说又是不可想象的，还应再作进一步的思考。
上述作图过程是在无坐标系的情况下完成，也就是作图过程没有考虑卡西尼卵形线的代数形式，直觉上此问题涉及诸多的长度问题，应该可以在极坐标下作出其动态图形，恰如圆锥曲线在极坐标下的统一方程：是如此的和谐美妙，于是：
先以所在直线为x轴，的中垂线为轴建立直角坐标系，设，再以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，，则有，进而
卡西尼卵形线的直角坐标方程为：
此方程的对应曲线无法在几何画板中直接作出，（几何画板只能直接作出方程形如或的曲线），化为极坐标方程：
即
所以极坐标方程为：
在极坐标系下依然无法直接作对应的曲线（几何画板在极坐标系下只能直接作出方程形如或的曲线），研究方程发现可以用来表示：
，
如果限定则：
这样就可以作出对应曲线了：
①作可变线段，通过点控制值；
②作可变线段，通过点控制值；
③作方程对应的曲线，如上图。
问题依然存在，由于限定了，所以只能作出在直角坐标下第一象限的曲线，考虑到方程的用换方程不变、用换方程不变的特点，知道曲线既关于x轴对称，又关于y轴对称，因此根据对称性即可作出该曲线在第二、三、四象限的图形：
通过改变的值可以得到卡西尼卵形线的各种情形：
乔凡尼卡西尼一位不愿接受哥白尼理论的著名天文学家轨道曲线上所有点到两定点（焦点）的距离之积为常数卡西尼卵形线
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