一、偏导数的定义及其计算法如在处偏导数的概念可以推广到二元以上函数解证原结论成立．解不存在．证有关偏导数的几点说明：１、２、求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；解例5解按定义可知：３、偏导数存在与连续的关系一元函数中在某点可导连续，多元函数中在某点偏导数存在连续，？但函数在该点处并不连续.偏导数存在连续.4、偏导数的几何意义如图几何意义:二、高阶偏导数纯偏导混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.解观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导函数图象间的关系：偏导函数图形原函数图形偏导函数图形二阶混合偏导函数图形解混合偏导数都相等吗？问题：例8解按定义可知：具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？问题：解证毕．三、小结偏导数的定义（偏增量比的极限）偏导数的计算、偏导数的几何意义纯偏导高阶偏导数混合偏导（相等的条件）思考题思考题解答不能.例如,练习题练习题答案定义设函数在点的某一邻域内有定义，当固定在而在处有增量时，相应地函数有增量
，
如果存在，则称此极限为函数在点处对的偏导数，记为
同理可定义函数在点处对的偏导数，为
记为，，或.
，，或.
如果函数在区域内任一点处对的偏导数都存在，那么这个偏导数就是、的函数，它就称为函数对自变量的偏导数，
记作，，或.
同理可以定义函数对自变量的偏导数，记作，，或.
例1求在点处的偏导数．
例2设，
求证.
例3设，求，.
例4已知理想气体的状态方程（为常数），求证：.
偏导数是一个整体记号，不能拆分;
例如,函数,
依定义知在处，.
偏导数就是曲面被平面所截得的曲线在点处的切线对轴的斜率.
偏导数就是曲面被平面所截得的曲线在点处的切线对轴的斜率.
函数的二阶偏导数为
例6设，
求、、、及.
例7设，求二阶偏导数.
定理如果函数的两个二阶混合偏导数及在区域D内连续，那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等．
例9验证函数满足拉普拉斯方程
若函数在点连续，能否断定在点的偏导数必定存在？
但不存在.
在处连续,
填空题:
设,则________;_________.
设_______;________.
设则__________;__________;
____________.
设则________;_______;
____________.
5、设,则__________.
求下列函数的偏导数:
1、；
2、.
曲线,在点(2,4,5)处的切线与正向轴所成的倾角是多少?
设,求
五、设,求和.
验证:
1、,满足；
2、满足
.
七、设
求.
一、1、；
2、,；
3、,；
4、；
5、.
二、1、
;
2、,
.
三、.
四、
.
五、.
七、,
.
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