《九章算术》五爵之衰分及反衰法上传书斋名：潇湘馆112XiāoXiāngGuǎn112何世强HoSaiKeung提要：本文
主要介绍《九章算术》之“衰分”法。其法即现代数学之比例，本文并附上《九章》数例以作说明。本文重点为“五爵”之“衰分”及“反衰”法
。关键词：衰分禀税刘徽副并今有术第1节“衰分”简介笔者已有文谈及《九章算术》﹝以下简称为《九章》﹞之“衰分”，本文再
作补充。《九章算术?卷三?衰分》﹝括号内文字乃晋?刘徽注文，下同﹞曰：衰分以御贵贱禀税。术曰：各置列衰〔列衰，相与率也。重迭则可约
〕。副并为法，以所分乘未并者，各自为实。实如法而一。“衰分”是一种向富有和贫贱之人计算税率之法。“衰”其实是现代之比例数，所以“
衰分”是将一数、一物或一定量之金钱按比例而分予二人或以上之人。若有二人或以上之人有相同之“衰”者，计算可简化。“重迭则可约”指比例
数如果为分数，经通分母后，各分子有相同因子者是为“重迭”，可约去。《九章》成书于汉，汉时未有最小公倍数之概念，故当时之通分母法乃将
所有分母相乘而得，因此分子与分子间难免有相同因子，相同因子可约。所以“重迭”可指通分母后各“衰分”分子之公因子。例如甲、乙及丙三数
之比为a：b：c，是为“列衰”﹝将比例数列出﹞；甲之率为a，乙之率为b，丙之率为c，是为“相与率”。又设一数、一物、一定量
之金钱为S，是为“所分”﹝之数﹞，“所分”S是一主要之数，较为次要之数是为“副”。此处之列衰a、b、c，是为“副”。“副并”
即将所有“衰分”之数相加，即a+b+c，相加后之和是为“法”。“法”相当于分母或除数。以所分乘未并者，“所分”即S，“未
并者”即列衰，即S乘以列衰，即Sa、Sb、Sc，“实”相当于分子或被除数。各自为实，即分别为分子。即甲得，乙得，丙得。注
意先乘后除，即先求分子再作除数。以上即“实如法而一”，即除数，除数即“归一法”。上法可扩展至多个比例数。注释又曰：〔法集而衰别。数
本一也。今以所分乘上别，以下集除之，一乘一除，适足相消，故所分犹存，且各应率而别也。〕“别”指“衰别”，即“衰分”各数，此等数是为
“上”，即为“主数”，有“主”才有“副”，有“上”才有“下”。故“别”又称为“上别”。各“衰分”之数之和是为“集”，“集”亦为“法
”﹝“法”之定义见前﹞，故“集”又称为“法集”，又称为“下集”。若依以上之举例，“所分乘上别”即Sa、Sb、Sc，“下集”即上文
之a+b+c，“以下集除之”，即、及。“所分犹存”指算出甲后，犹存乙与丙。甲、乙、丙三数不同是为“应率而别”。
“一乘一除，适足相消”指++=S。注释又曰：〔于今有术，列衰各为所求率，副并为所有率，所分为所有数。又以经分言之，假
令甲家三人，乙家二人，丙家一人，并六人，共分十二，为人得二也。欲复作逐家者，则当列置人数，以一人所得乘之。今此术先乘而后除也。〕“
今有术”指“现代算法”，此“现代”非指本世纪之“现代”，乃指晋时之算法。刘徽举出一例如下：今有数12，有甲、乙及丙三家，其人数比
为3：2：1，今依各家之人数比而分12之数，问：各得几何？今设甲家有三人，乙家有二人，丙家有一人，总数为六人，共分十二之数，
每人得=2。于是甲家得2×3=6，乙家得2×2=4，丙家得2×1=2，其法为先除后乘，即甲家得
×a、乙家得×b及丙家得×c﹝仍用以上之符号﹞。“此术”﹝即《九章》之术，即汉代之术﹞却先乘而后除，即甲家得
S×a÷(a+b+c)，乙家得S×b÷(a+b+c)，丙家得S×c÷(a+
b+c)。以上算法从左至右。其实先除后乘与先乘而后除之答案相同，不必视作两种不同之计算方法。无论如何，不妨注意：今有术﹝晋术
﹞：先除后乘。《九章》术﹝汉术﹞：先乘后除。《九章》曰：不满法者，以法命之。意指如分子数少于分母，则视之如分母之数，此分数即1。
第2节《九章算术》之“衰分”例题【第一题】今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿。欲以爵次分之，问：各得几何？
答曰：大夫得一鹿三分鹿之二；不更得一鹿三分鹿之一；簪褭得一鹿；上造得三分鹿之二；公士得三分鹿之一。解：笔者称题目五人为“五爵”，非
《礼记》与《周礼》中之五等爵制：公、侯、伯、子、男。题意指大夫、不更、簪褭、上造、公士五人，共猎得五鹿，今依其爵位数而分5鹿，
问各人之所得。“簪褭”之“褭”，可作“袅”或“袅”。术曰：列置爵数，各自为衰。先列出下表：爵秦汉爵数衰大夫55不更44簪褭33上造
22公士11和﹝副并﹞15上表之爵数即衰分之数。注释曰：〔爵数者，谓大夫五，不更四，簪褭三，上造二，公士一也。《墨子?号令篇》以爵
级为赐，然则战国之初有此名也。〕曹魏?刘劭〈爵制〉谈及以上之五爵曰：一爵曰公士者，步卒之有爵为公士者。二爵曰上造。造，成也。古者
成士升于司徒曰造士，虽依此名，皆步卒也。三爵曰簪褭，御驷马者。要褭，古之名马也。驾驷马者其形似簪，故曰“簪褭”也。四爵曰不更。不更
者，为车右，不复与凡更卒同也。五爵曰大夫。大夫者，在车左者也。步兵之有爵者是为公士，是为一爵，最低级之爵位。公士之上是为上造，是为
二爵，皆管理步兵之官也。“簪褭”，驾驭驷马马车之官也，是为三爵。“褭”，指“要褭”，古之名马也。四爵为不更，不更者，坐于车右之官；
五爵为大夫，大夫者，坐于车左之官也。左之位高于右之位也。又《墨子?卷十五?号令篇》曰：其疾斗却敌于术，敌下终不能复上，疾斗者队二人
，赐上奉。而胜围，城周里以上，封城将三十里地为关内侯，辅将如令赐上卿，丞及吏比于丞者，赐爵五大夫，官吏、豪杰与计坚守者，十人及城上
吏比五官者，皆赐公乘。男子有守者，爵人二级，女子赐钱五千，男女老小先分守者，人赐钱千，复之三岁，无有所与，不租税。此所以劝吏民坚守
胜围也。以上引文指出守城退敌之军民均可获得赏赐。冲破敌人围城，令敌人后退城邑一里以上者，封守城将领为关内侯，又赏赐土地三十里；辅将
﹝副将﹞则按规定赐予上卿之职，丞、吏以及原官职相当于丞之人则赐予五大夫之官爵，其他官吏、豪杰参与坚守城邑者，士人和城上原官职相当于
五官者，均赐予公乘﹝八级之爵位﹞。参与守城之男子亦赐给爵位，每人升二级，女子则赏钱五千，其余男女老少参与防守者，如不获赐予官爵则每
人赏钱一千，免除三年赋税。此举目的皆以鼓励官吏与百姓坚守城池也。《九章》曰：副并为法，以五鹿乘未并者各自为实，实如法得一。依前述之
法算之如下：大夫得鹿5×===1头；不更得鹿5×===1头；簪褭得鹿5×===
1头；上造得鹿5×==头；公士得鹿5×==头。注曰：〔今有术，列衰各为所求率，副并为所有率，今有鹿
数为所有数，而今有之，即得。〕大夫得鹿×5=×5==1﹝头﹞；不更得鹿×4=×4=
=1﹝头﹞；簪褭得鹿×3=×3==1﹝头﹞；上造得鹿×2=×2=﹝头﹞；公
士得鹿×1=×1=﹝头﹞。“今有术算法”其实与上相同。答曰：大夫得一鹿三分鹿之二﹝1﹞；不更得一鹿三分鹿之一
﹝1﹞；簪褭得一鹿﹝1﹞；上造得三分鹿之二﹝﹞；公士得三分鹿之一﹝﹞。【第二题】今有大夫、不更、簪褭、上造、公士凡五人，共出百钱。
欲令高爵出少，以次渐多，问：各几何？答曰：大夫出八钱一百三十七分钱之一百四；不更出一十钱一百三十七分钱之一百三十；簪褭出一十四钱一
百三十七分钱之八十二；上造出二十一钱一百三十七分钱之一百二十三；公士出四十三钱一百三十七分钱之一百九。术曰：置爵数，各自为衰，而
反衰之。副并为法。以百钱乘未并者，各自为实。实如法得一。解：本题之“五爵”可参阅上题。本题乃《九章》之“反衰”，“反衰”乃“衰”之
倒数，可使高爵者出少钱，低爵者出多钱。先列出下表：爵秦汉爵数反衰化为整数×60大夫51/512不更41/415簪褭31/320
上造21/230公士1160和﹝副并﹞137五人之比为：：：：1，而5、4、3、2、1之最小公倍数为60，各数乘以60
即得12：15：20：30：60。计算时用反衰之整数。副并为137﹝见上表﹞。依前述之法算之如下：大夫出100×=
=8﹝钱﹞；不更得出100×==10﹝钱﹞；簪褭出100×==14﹝钱﹞；上造出100×=
=21﹝钱﹞；公士出100×==43﹝钱﹞。注释如下：〔以爵次言之，大夫五、不更四。欲令高爵得多者，当使大夫一
人受五分，不更一人受四分。人数为母，分数为子。母同则子齐，齐即衰也。故上衰分宜以五、四为列焉。今此令高爵出少，则当大夫五人共出一
人分，不更四人共出一人分，故谓之“反衰”。人数不同，则分数不齐，当令母互乘子。…亦可先同其母，各以分母约，其子为反衰。副并为法。
以所分乘未并者，各自为实。实如法而一。〕其意指：大夫五人共出一人分，一大夫出人分，不更四人共出一人分，一不更出人分，簪褭三
人共出一人分，一簪褭出人分，上造二人共出一人分，一上造出人分，公士一人出一人分，一公士出1人分。“先同其母”即通分母，
古时无最小公倍数之概念，因此通分母之法是将所有分母相乘，是为通分母，通分母后，求各分数之分子便须“母互乘子”。以此法所得之通分母往
往较大，分子与分子间往往存在公因子，故可约简﹝见下文﹞。得新分子后，便以新分子为“反衰”﹝见上页之表﹞。以下为“母互乘子”之法：
==；=；=；==；1==。从以上之分子24、30、40、60、120可知，其公因
子为2，是为“重迭”，可约去。约简后即得12：15：20：30：60，可依此五数为列衰。以上即“亦可先同其母，各以分母约，其子
为反衰。”以上之算法见前文。【第三题】今有禀粟，大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，一十五斗。今有大夫一人后来，亦当禀五斗。仓无
粟，欲以衰出之，问：各几何？答曰：大夫出一斗四分斗之一；不更出一斗；簪袅出四分斗之三；上造出四分斗之二；公士出四分斗之一。解：“禀
”，予也、供也、给也。“禀粟”，《说文》曰：赐谷也。朝廷赐谷，大夫得五斗，不更得四斗，簪褭得三斗，上造得二斗，公士得一斗，凡五人，
共得一十五斗。其后有另一大夫后至，此人亦应得五斗，但仓已无粟，前五人从其所得粟数依比例出粟给予后至大夫。当然后至大夫亦须出粟给予自
己，方算公平，求各人所出之粟数。术曰：各置所禀粟斛斗数、爵次均之，以为列衰。副并而加后来大夫亦五斗，得二十，以为法。以五斗乘未并者
，各自为实。实如法得一。先列五人先得禀粟如下表：爵秦汉爵数禀粟﹝斗﹞大夫55不更44簪褭33上造22公士11和﹝副并﹞15后至大夫
亦应得禀粟如下表：爵秦汉爵数禀粟﹝斗﹞大夫55不更44簪褭33上造22公士11后至大夫55和﹝副并﹞20六人依比例出粟5斗交予
后至大夫。各人依前述之法算之如下：大夫禀粟5×===1﹝斗﹞；不更禀粟5×===1﹝斗﹞；簪褭
禀粟5×==﹝斗﹞；上造禀粟5×==﹝斗﹞﹝为配合原文答案未约简﹞；公士禀粟5×==﹝斗
﹞；后至大夫禀粟5×===1﹝斗﹞。下表之余数是为各人实收之粟数：爵秦汉爵数禀粟﹝斗﹞出粟﹝斗﹞余数﹝斗﹞大夫
5513不更4413簪褭332上造22公士11后至大夫5513和﹝副并﹞20515李淳风之算法说明如下：禀前五人十五斗
者，大夫得五斗，不更得四斗，簪袅得三斗，上造得二斗，公士得一斗。欲令五人各依所得粟多少减与后来大夫，即与前来大夫同。据前来大夫已
得五斗，故言“亦”也。各以所得斗数为衰，并得十五，而加后来大夫亦五斗，凡二十，为法也。是为六人共出五斗，后来大夫亦俱损折。注意六人
共出五斗，包括后来大夫，两大夫实收3，不更实收3，簪褭实收2，上造实收1，公士实收。“后来大夫亦俱损折”指后来大夫须为自己付出
1，故曰“俱损折”。注曰：今有术，副并为所有率，未并者各为所求率，五斗为所有数，而今有之，即得。“今有术”算法与上其实相同，只是
乘除次序不同，列式如下：大夫禀粟×5=×5==1﹝斗﹞；不更禀粟×4=×4==1﹝斗﹞
；簪褭禀粟×3=×3=﹝斗﹞；上造禀粟×2=×2=﹝斗﹞﹝为配合原文答案未约简﹞；公士禀粟
×1=×1=﹝斗﹞；后至大夫禀粟×5=×5==1﹝斗﹞。【第四题】今有牛、马、羊食人苗。苗主
责之粟五斗。羊主曰：“我羊食半马。”马主曰：“我马食半牛。”今欲衰偿之，问各出几何？答曰：牛主出二斗八升七分升之四；马主出一斗四
升七分升之二；羊主出七升七分升之一。解：今有牛、马、羊食人家之禾苗。苗主要求三畜之主共赔偿粟五斗。羊主曰：“我羊食半马之苗。”马主
曰：“我马食半牛之苗。”今牛、马、羊主依比例而偿苗主，问各人之所出。术曰：置牛四、马二、羊一，各自为列衰，副并为法。以五斗乘未并者
各自为实。实如法得一。今设羊之食苗量为1，马之食苗量为2，牛之食苗量为4。先列出下表：三畜食苗量衰一牛44一马22一羊11和
﹝副并﹞7依前述之法算之如下：牛主出粟5×==2﹝斗﹞=2斗=2斗8；马主出粟5×==
1﹝斗﹞=1斗=1斗4；羊主出粟5×=﹝斗﹞==7。注意1斗有10升。注曰：〔淳风等按：
此术问意，羊食半马，马食半牛，是谓四羊当一牛，二羊当一马。今术置羊一、马二、牛四者，通其率以为列衰。〕李淳风之算法如下：一马之食苗
量为2乘羊之食苗量，故一马可视之为2羊；一牛之食苗量为2乘马之食苗量，故一牛可视之为2马，即4羊；一羊一马一牛
之食苗量即1+2+4羊之食苗量，即7羊之食苗量，即1羊须赔粟斗，即7升，是为羊主赔粟数，2羊须赔粟斗
，即1斗，即1斗4，是为马主赔粟数，4羊须赔粟斗，即2斗，即2斗8，是为牛主赔粟数。此算法之结果同上。答：牛主
出二斗八升七分升之四﹝2斗8﹞；马主出一斗四升七分升之二﹝1斗4﹞；羊主出七升七分升之一﹝7升﹞。【第五题】今有甲持钱五百
六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱。欲以钱数多少衰出之，问各几何？答曰：甲出五十一钱一百九分钱之四十一
；乙出三十二钱一百九分钱之一十二；丙出一十六钱一百九分钱之五十六。术曰：各置钱数为列衰，副并为法。以百钱乘未并者，各自为实。实如法
得一。解：题意指甲持钱560，乙持钱350，丙持钱180，三人同出关，关税合共100钱，此100钱按三人之持钱比例摊分，
求各人所付之关税。各置钱数为列衰，即甲：乙：丙=560：350：180。副并为法，即560+350+180=1090。1090为副并，此数为分母。以百钱乘未并者，各自为实。即100×560=56000，100×350=35000，100×180=18000，以上诸数为分子。实如法得一，即：甲付关税=51﹝钱﹞。乙付关税=32﹝钱﹞。丙付关税=16﹝钱﹞。注曰：〔淳风等按：此术甲、乙、丙持钱数以为列衰，副并为所有率，未并者各为所求率，百钱为所有数，而今有之，即得。〕“今有术”算法与上相同，只是乘除次序不同，列式如下：。甲付关税×560=×560=51﹝钱﹞。乙付关税×350=×350=32﹝钱﹞。丙付关税×180=×180=16﹝钱﹞。今有术﹝晋术﹞先除后乘有时不合实际，因为分数部难以化简，例如上题，只是约去一零，始终不摆脱先乘后除之步骤。以下为《九章算术?卷三》衰分章原文：(1) |
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