第37练圆锥曲线中的探索性问题题型一定值、定点问题例1已知椭圆C：＋＝1经过点(0，)，离心率为，直线l经过椭圆C的右焦点F交椭圆于A
、B两点．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l交y轴于点M，且＝λ，＝μ，当直线l的倾斜角变化时，探求λ＋μ的值是否为定值？若是，
求出λ＋μ的值；否则，请说明理由．破题切入点(1)待定系数法．(2)通过直线的斜率为参数建立直线方程，代入椭圆方程消y后可得点A
，B的横坐标的关系式，然后根据向量关系式＝λ，＝μ.把λ，μ用点A，B的横坐标表示出来，只要证明λ＋μ的值与直线的斜率k无关即证明
了其为定值，否则就不是定值．解(1)依题意得b＝，e＝＝，a2＝b2＋c2，∴a＝2，c＝1，∴椭圆C的方程为＋＝1.(2)因直
线l与y轴相交于点M，故斜率存在，又F坐标为(1,0)，设直线l方程为y＝k(x－1)，求得l与y轴交于M(0，－k)，设l交椭圆
A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝，又由＝λ
，∴(x1，y1＋k)＝λ(1－x1，－y1)，∴λ＝，同理μ＝，∴λ＋μ＝＋＝＝＝－.所以当直线l的倾斜角变化时，直线λ＋μ的值
为定值－.题型二定直线问题例2在平面直角坐标系xOy中，过定点C(0，p)作直线与抛物线x2＝2py(p>0)相交于A，B两点
．(1)若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值；(2)是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得
的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由．破题切入点假设符合条件的直线存在，求出弦长；利用变量的系数恒为零求解
．解方法一(1)依题意，点N的坐标为N(0，－p)，可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋p，与x
2＝2py联立得消去y得x2－2pkx－2p2＝0.由根与系数的关系得x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p2.于是S△ABN＝S△
BCN＋S△ACN＝·2p|x1－x2|＝p|x1－x2|＝p＝p＝2p2，∴当k＝0时，(S△ABN)min＝2p2.(2)假设
满足条件的直线l存在，其方程为y＝a，AC的中点为O′，l与以AC为直径的圆相交于点P，Q，PQ的中点为H，则O′H⊥PQ，Q′点
的坐标为(，)．∵|O′P|＝|AC|＝＝，|O′H|＝＝|2a－y1－p|，∴|PH|2＝|O′P|2－|O′H|2＝(y＋p2
)－(2a－y1－p)2＝(a－)y1＋a(p－a)，∴|PQ|2＝(2|PH|)2＝4[(a－)y1＋a(p－a)]．令a－＝0
，得a＝，此时|PQ|＝p为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为y＝，即抛物线的通径所在的直线．方法二(1)前同方法一，再由弦
长公式得|AB|＝|x1－x2|＝·＝·＝2p·，又由点到直线的距离公式得d＝.从而S△ABN＝·d·|AB|＝·2p··＝2p
2.∴当k＝0时，(S△ABN)min＝2p2.(2)假设满足条件的直线l存在，其方程为y＝a，则以AC为直径的圆的方程为(x－0
)(x－x1)－(y－p)(y－y1)＝0，将直线方程y＝a代入得x2－x1x＋(a－p)(a－y1)＝0，则Δ＝x－4(a－p)
(a－y1)＝4[(a－)y1＋a(p－a)]．设直线l与以AC为直径的圆的交点为P(x3，y3)，Q(x4，y4)，则有|PQ|
＝|x3－x4|＝＝2.令a－＝0，得a＝，此时|PQ|＝p为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为y＝，即抛物线的通径所在的直
线．题型三定圆问题例3已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，两个焦点分别为F1和F2，椭圆G上一点到F1和F2的
距离之和为12，圆Ck：x2＋y2＋2kx－4y－21＝0(k∈R)的圆心为点Ak.(1)求椭圆G的方程；(2)求△AkF1F2的
面积；(3)问是否存在圆Ck包围椭圆G？请说明理由．破题切入点(1)根据定义待定系数法求方程．(2)直接求．(3)关键看长轴两端
点．解(1)设椭圆G的方程为＋＝1(a>b>0)，半焦距为c，则解得所以b2＝a2－c2＝36－27＝9.所以所求椭圆G的方程为
＋＝1.(2)点Ak的坐标为(－k,2)，S△AkF1F2＝×|F1F2|×2＝×6×2＝6.(3)若k≥0，由62＋02＋12k
－0－21＝15＋12k>0，可知点(6,0)在圆Ck外；若k<0，由(－6)2＋02－12k－0－21＝15－12k>0，可知点
(－6,0)在圆Ck外．所以不论k为何值，圆Ck都不能包围椭圆G.即不存在圆Ck包围椭圆G.总结提高(1)定值问题就是在运动变化
中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的．(2)
由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式：y
＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)．(3)定直线问题一般都为特殊直线x＝x0或y＝y0型．1．(2014·成都模拟)在平面直角坐
标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q.(1)求k的取值范围；(2)设椭圆与x轴正半
轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量＋与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．解(1)由已知条件
，得直线l的方程为y＝kx＋，代入椭圆方程得＋(kx＋)2＝1.整理得(＋k2)x2＋2kx＋1＝0.①直线l与椭圆有两个不同的交
点P和Q等价于Δ＝8k2－4(＋k2)＝4k2－2>0，解得k<－或k>.即k的取值范围为(－∞，－)∪(，＋∞)．(2)设P(x
1，y1)，Q(x2，y2)，则＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，由方程①，得x1＋x2＝－.②又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2.
③而A(，0)，B(0,1)，＝(－，1)．所以＋与共线等价于x1＋x2＝－(y1＋y2)，将②③代入上式，解得k＝.由(1)知k
<－或k>，故不存在符合题意的常数k.2．已知双曲线方程为x2－＝1，问：是否存在过点M(1,1)的直线l，使得直线与双曲线交于P
、Q两点，且M是线段PQ的中点？如果存在，求出直线的方程，如果不存在，请说明理由．解显然x＝1不满足条件，设l：y－1＝k(x－
1)．联立y－1＝k(x－1)和x2－＝1，消去y得(2－k2)x2＋(2k2－2k)x－k2＋2k－3＝0，由Δ>0，得k<，x
1＋x2＝，由M(1,1)为PQ的中点，得＝＝1，解得k＝2，这与k<矛盾，所以不存在满足条件的直线l.3．设椭圆E：＋＝1(a，
b>0)过M(2，)，N(，1)两点，O为坐标原点．(1)求椭圆E的方程；(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭
圆E恒有两个交点A，B，且⊥？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围；若不存在，请说明理由．解(1)因为椭圆E：＋＝1(
a，b>0)过M(2，)，N(，1)两点，所以解得所以椭圆E的方程为＋＝1.(2)假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与
椭圆E恒有两个交点A，B，且⊥，设该圆的切线方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，解方程组得x2＋2(kx＋m)
2＝8，即(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－8＝0，则Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－8)＝8(8k2－m2＋4)
>0，即8k2－m2＋4>0.故y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝－＋m2＝.要使⊥
，需使x1x2＋y1y2＝0，即＋＝0，所以3m2－8k2－8＝0，所以k2＝≥0.又8k2－m2＋4>0，所以所以m2≥，即m≥
或m≤－，因为直线y＝kx＋m为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为r＝，r2＝＝＝，r＝，所求的圆为x2＋y2＝，此时圆的切
线y＝kx＋m都满足m≥或m≤－，而当切线的斜率不存在时切线为x＝±与椭圆＋＝1的两个交点为(，±)或(－，±)满足⊥，综上，存在
圆心在原点的圆x2＋y2＝，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且⊥.4．(2014·重庆)如图，设椭圆＋＝1(a>
b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点D在椭圆上，DF1⊥F1F2，＝2，△DF1F2的面积为.(1)求该椭圆的标准方程．(2)
是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆
的方程；若不存在，请说明理由．解(1)设F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c2＝a2－b2.由＝2，得|DF1|＝＝c，从而
S△DF1F2＝|DF1||F1F2|＝c2＝，故c＝1，从而|DF1|＝.由DF1⊥F1F2，得|DF2|2＝|DF1|2＋|F
1F2|2＝，因此|DF2|＝.所以2a＝|DF1|＋|DF2|＝2，故a＝，b2＝a2－c2＝1.因此，所求椭圆的标准方程为＋y
2＝1.(2)如图，设圆心在y轴上的圆C与椭圆＋y2＝1相交，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是两个交点，y1>0，y2>0
，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2.由圆和椭圆的对称性，易知，x2＝－x1，y1＝y2.由(1)知F1(－1,
0)，F2(1,0)，所以＝(x1＋1，y1)，＝(－x1－1，y1)，再由F1P1⊥F2P2，得－(x1＋1)2＋y＝0.由椭圆
方程得1－＝(x1＋1)2，即3x＋4x1＝0，解得x1＝－或x1＝0.当x1＝0时，P1，P2重合，题设要求的圆不存在．当x1＝
－时，过P1，P2分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C.设C(0，y0)，由CP1⊥F1P1，得·＝－1.而求得y1
＝，故y0＝.圆C的半径|CP1|＝＝.综上，存在满足题设条件的圆，其方程为x2＋(y－)2＝.5．(2014·江西)如图，已知
抛物线C：x2＝4y，过点M(0,2)任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点)．(
1)证明：动点D在定直线上；(2)作C的任意一条切线l(不含x轴)，与直线y＝2相交于点N1，与(1)中的定直线相交于点N2，证明
：|MN2|2－|MN1|2为定值，并求此定值．(1)证明依题意可设AB方程为y＝kx＋2，代入x2＝4y，得x2＝4(kx＋2
)，即x2－4kx－8＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x2＝－8.直线AO的方程为y＝x；BD的方程为x＝x2
.解得交点D的坐标为注意到x1x2＝－8及x＝4y1，则有y＝＝＝－2.因此动点D在定直线y＝－2上(x≠0)．(2)解依题设，
切线l的斜率存在且不等于0，设切线l的方程为y＝ax＋b(a≠0)，代入x2＝4y得x2＝4(ax＋b)，即x2－4ax－4b＝0
.由Δ＝0得(4a)2＋16b＝0，化简整理得b＝－a2.故切线l的方程可写为y＝ax－a2.分别令y＝2，y＝－2得N1，N2的
坐标为N1(＋a,2)，N2(－＋a，－2)，则|MN2|2－|MN1|2＝(－a)2＋42－(＋a)2＝8，即|MN2|2－|M
N1|2为定值8.6．(2014·福建)已知曲线Γ上的点到点F(0,1)的距离比它到直线y＝－3的距离小2.(1)求曲线Γ的方程．
(2)曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A，直线y＝3分别与直线l及y轴交于点M，N.以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点
为B.试探究：当点P在曲线Γ上运动(点P与原点不重合)时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论．解方法一(1)设S(x，y
)为曲线Γ上任意一点，依题意，点S到F(0,1)的距离与它到直线y＝－1的距离相等，所以曲线Γ是以点F(0,1)为焦点、直线y＝－
1为准线的抛物线，所以曲线Γ的方程为x2＝4y.(2)当点P在曲线Γ上运动时，线段AB的长度不变．证明如下：由(1)知抛物线Γ的方程为y＝x2，设P(x0，y0)(x0≠0)，则y0＝x，由y′＝x，得切线l的斜率k＝y′|x＝x0＝x0，所以切线l的方程为y－y0＝x0(x－x0)，即y＝x0x－x.由得A(x0,0)．由得M(x0＋，3)．又N(0,3)，所以圆心C(x0＋，3)，半径r＝|MN|＝|x0＋|，|AB|＝＝＝.所以点P在曲线Γ上运动时，线段AB的长度不变．方法二(1)设S(x，y)为曲线Γ上任意一点，则|y－(－3)|－＝2，依题意，点S(x，y)只能在直线y＝－3的上方，所以y>－3，所以＝y＋1，化简，得曲线Γ的方程为x2＝4y.(2)同方法一． |
|
