第30练空间角的突破方略题型一异面直线所成的角例1在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，求异面直线BA1与AC所成的角．破题
切入点利用·＝||·||×cos〈，〉，求出向量与的夹角〈，〉，再根据异面直线BA1，AC所成角的范围确定异面直线所成角．还可用
几何法或坐标法．解方法一因为＝＋，＝＋，所以·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·.因为AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，所
以·＝0，·＝0，·＝0，·＝－a2.所以·＝－a2.又·＝||·||·cos〈，〉，cos〈，〉＝＝－.所以〈，〉＝120°.所
以异面直线BA1与AC所成的角为60°.方法二连接A1C1，BC1，则由条件可知A1C1∥AC，从而BA1与AC所成的角亦为BA
1与A1C1所成的角，由于该几何体为边长为a的正方体，于是△A1BC1为正三角形，∠BA1C1＝60°，从而所求异面直线BA1与A
C所成的角为60°.方法三由于该几何体为正方体，所以DA，DC，DD1两两垂直且长度均为a，于是以D为坐标原点，，，分别为x，y
，z轴正方向建立空间直角坐标系，于是有A(a,0,0)，C(0，a,0)，A1(a,0，a)，B(a，a,0)，从而＝(－a，a,
0)，＝(0，－a，a)，且||＝||＝a，·＝－a2，∴cos〈，〉＝＝－，〈，〉＝120°，所以所求异面直线BA1与AC所成角
为60°.题型二直线与平面所成的角例2如图，已知四棱锥P—ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四
棱锥的高，E为AD的中点．(1)证明：PE⊥BC；(2)若∠APB＝∠ADB＝60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．破题切
入点平面的法向量是利用向量方法解决位置关系或夹角的关键，本题可通过建立坐标系，利用待定系数法求出平面PEH的法向量．(1)证明
以H为原点，HA，HB，HP所在直线分别为x，y，z轴，线段HA的长为单位长度，建立空间直角坐标系(如图)，则A(1,0,0)，B
(0,1,0)．设C(m,0,0)，P(0,0，n)(m<0，n>0)，则D(0，m,0)，E.可得＝，＝(m，－1,0)．因为
·＝－＋0＝0，所以PE⊥BC.(2)解由已知条件可得m＝－，n＝1，故C，D，E，P(0,0,1)．设n＝(x，y，z)为平面
PEH的法向量，则即因此可以取n＝(1，，0)．又＝(1,0，－1)，所以|cos〈，n〉|＝.所以直线PA与平面PEH所成角的正
弦值为.题型三二面角例3如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF＝
AB＝BC＝FE＝AD.(1)求异面直线BF与DE所成的角的大小；(2)证明：平面AMD⊥平面CDE；(3)求二面角A－CD－E的
余弦值．破题切入点以点A为坐标原点建立空间直角坐标系．(1)解如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设AB＝1，依题意
得B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，E(0,1,1)，F(0,0,1)，M.＝(－1,0,1)，＝(0，－1,
1)，于是cos〈，〉＝＝＝.所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°.(2)证明由＝，＝(－1,0,1)，＝(0,2,0)
，可得·＝0，·＝0.因此，CE⊥AM，CE⊥AD.又AM∩AD＝A，故CE⊥平面AMD.而CE?平面CDE，所以平面AMD⊥平面
CDE.(3)解设平面CDE的法向量为u＝(x，y，z)，则于是令x＝1可得u＝(1,1,1)．又由题设，平面ACD的一个法向量
为v＝(0,0,1)．所以cosu，v＝＝＝.因为二面角A－CD－E为锐角，所以其余弦值为.总结提高空间中各种角包括：异面
直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角．(1)异面直线所成的角的范围是(0，]．求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行
移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决．具体步骤如下：①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，
顶点选择在特殊的位置上；②证明作出的角即为所求的角；③利用三角形来求角．(2)直线与平面所成的角的范围是[0，]．求直线和平面所成
的角用的是射影转化法．具体步骤如下：①找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连接垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；③把
该角置于三角形中计算．注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，α为斜线与平面内任何
一条直线所成的角，则有θ≤α.(3)确定点的射影位置有以下几种方法：①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；②如果一
个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一
条直线在平面上的射影在这个角的平分线上；③两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上；④利用某
些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影的位置：a．如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角
形的外心；b．如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心(或旁心)；c．如果侧
棱两两垂直或各组对棱互相垂直，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心；(4)二面角的范围是(0，π]，解题时要注意图形的位置和
题目的要求．作二面角的平面角常有三种方法．①棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角
，就是二面角的平面角；②面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点(即斜足)，斜足与面
上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角；③空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射
线所成的角就是二面角的平面角．1．(2014·课标全国Ⅱ)直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，
A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为()A.B.C.D.答案C解析方法一补成正方体，利用
向量的方法求异面直线所成的角．由于∠BCA＝90°，三棱柱为直三棱柱，且BC＝CA＝CC1，可将三棱柱补成正方体．建立如图(1)所
示空间直角坐标系．设正方体棱长为2，则可得A(0,0,0)，B(2,2,0)，M(1,1,2)，N(0,1,2)，∴＝(1,1,2
)－(2,2,0)＝(－1，－1,2)，＝(0,1,2)．∴cos〈，〉＝＝＝＝.方法二通过平行关系找出两异面直线的夹角，再根据
余弦定理求解．如图(2)，取BC的中点D，连接MN，ND，AD，由于MN綊B1C1綊BD，因此有ND綊BM，则ND与NA所成的角即
为异面直线BM与AN所成的角．设BC＝2，则BM＝ND＝，AN＝，AD＝，因此cos∠AND＝＝.2．在正方体ABCD－A1B1C
1D1中，直线BC1与平面A1BD所成的角的正弦值是()A.B.C.D.答案C解析建立空间直角坐标系如图所示．设正方体的
棱长为1，直线BC1与平面A1BD所成的角为θ，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，∴＝
(1,0,1)，＝(1,1,0)，＝(－1,0,1)．设n＝(x，y，z)是平面A1BD的一个法向量，则令z＝1，则x＝－1，y＝
1.∴n＝(－1,1,1)，∴sinθ＝|cos〈n，〉|＝||＝.3．如图，过正方形ABCD的顶点A，引PA⊥平面ABCD.若
PA＝BA，则平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是()A．30°B．45°C．60°D．90°答案B解析将四棱椎P
－ABCD还原成正方体，可知∠APD为平面ABD与平面PCD的平面角，即∠APD＝45°.4.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1
中，∠ACB＝90°，AA1＝2，AC＝BC＝1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是()A.B.C.D.答案B解析以
C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，A1(1,0,2)，B(0,1,0)，A(1，0,0
)，C(0,0,0)，则＝(－1,1，－2)，＝(－1,0,0)，cos〈，〉＝＝＝.5．在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正
方形，侧棱PD⊥平面ABCD，AB＝PD＝a.点E为侧棱PC的中点，又作DF⊥PB交PB于点F，则PB与平面EFD所成角为()A
．30°B．45°C．60°D．90°答案D解析建立如图所示的空间直角坐标系D—xyz，D为坐标原点．则P(0,0，a)
，B(a，a,0)，E(0，，)．故＝(a，a，－a)，＝，所以·＝0＋－＝0，所以PB⊥DE，由已知DF⊥PB，且DF∩DE＝D
，所以PB⊥平面EFD，所以PB与平面EFD所成角为90°.6．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，则下面结论错
误的为()A．AC⊥BDB．△ACD是等边三角形C．AB与平面BCD所成的角为60°D．AB与CD所成的角为60°答案C解析
取BD中点O，连接AO、CO，则AO⊥BD，CO⊥BD，∴BD⊥平面AOC，∴AC⊥BD，又AC＝AO＝AD＝CD，∴△ACD是等
边三角形，而∠ABD是AB与平面BCD所成的角，应为45°.又＝＋＋(设AB＝a)，则a2＝a2＋2a2＋a2＋2·a·a·(－)
＋2a·a·(－)＋2a2cos〈，〉，∴cos〈，〉＝，∴AB与CD所成的角为60°.7．如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1
中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是__
____．答案60°解析以BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系．设AB＝BC＝AA1＝2，则C1(2,0,
2)，E(0,1,0)，F(0,0,1)，则＝(0，－1,1)，＝(2,0,2)，∴·＝2，∴cos〈，〉＝＝，∴EF和BC1所成
的角为60°.8．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为__
______．答案解析如图，建立空间直角坐标系D－xyz，则D1(0,0,1)，C1(0,2,1)，A1(1,0,1)，B(1
,2,0)，∴＝(0,2,0)，设平面A1BC1的一个法向量为n＝(x，y，z)，由得令y＝1，得n＝(2,1,2)，设D1C1与
平面A1BC1所成角为θ，则sinθ＝|cos〈，n〉|＝＝＝.9.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱C
D、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角的大小是________．答案90°解析方法一连接MD1，易证△DD1M≌△C
DN，则∠NDM＝∠DD1M，∴∠NDM＋∠D1MD＝∠DD1M＋∠D1MD＝90°，即DN⊥D1M，又A1D1⊥平面DC1，∴A
1D1⊥DN，∴DN⊥平面A1D1M.∵A1M?平面A1D1M，∴A1M⊥DN.即A1M与DN所成的角为90°.方法二(空间向量
法)以D为原点，分别以DA，DC，DD1为x，y，z轴，设正方体边长为2，则D(0,0,0)，N(0,2,1)，M(0,1,0)，
A1(2,0,2)，∴＝(0,2,1)，＝(2，－1,2)，cos〈，〉＝＝0，∴A1M与DN的夹角为90°.10．正四棱锥S－A
BCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角是________．答案30°
解析如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系O－xyz.设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，
C(－a,0,0)，P(0，－，)，则＝(2a,0,0)，＝(－a，－，)，＝(a，a,0)．设平面PAC的法向量为n，可求得n＝
(0,1,1)，则cos〈，n〉＝＝＝.∴〈，n〉＝60°，∴直线BC与平面PAC所成的角为90°－60°＝30°.11．如图所示
，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面PAD⊥底面ABCD，E为AD的中点，M是棱P
C的中点，PA＝PD＝2，BC＝AD＝1，CD＝.(1)求证：PE⊥平面ABCD；(2)求直线BM与平面ABCD所成角的正切值；(
3)求直线BM与CD所成角的余弦值．(1)证明因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，且平面
PAD∩平面ABCD＝AD，所以PE⊥平面ABCD.(2)解连接EC，设EC的中点为H，连接MH，HB，如图．因为M是PC的中点
，H是EC的中点，所以MH∥PE.由(1)，知PE⊥平面ABCD，所以MH⊥平面ABCD，所以HB是BM在平面ABCD内的射影．所
以∠MBH为直线BM与平面ABCD所成的角．因为AD∥BC，BC＝AD，E为AD的中点，∠ADC＝90°，所以四边形BCDE为矩形
，所以EC＝2，HB＝EC＝1.又MH＝PE＝，所以在△MHB中，tan∠MBH＝＝.所以直线BM与平面ABCD所成角的正切值为.
(3)解由(2)，知CD∥BE，所以直线BM与CD所成角为直线BM与BE的夹角．连接ME，在Rt△MHE中，ME＝，同理求得BM
＝，又BE＝CD＝，所以在△MEB中，cos∠MBE＝＝＝，所以直线BM与CD所成角的余弦值为.12.在如图所示的几何体中，四边形
ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，∠DAB＝60°，AD＝2，AM＝1，E是AB的中点．(1)求证：AN
∥平面MEC；(2)在线段AM上是否存在点P，使二面角P－EC－D的大小为？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由．(1)证明
由已知，MN∥AD∥BC，连接BN，设CM与BN交于F，连接EF，如图所示．又MN＝AD＝BC，所以四边形BCNM是平行四边形，F是BN的中点．又E是AB的中点，所以AN∥EF.因为EF?平面MEC，AN?平面MEC，所以AN∥平面MEC.(2)解如图所示，假设在线段AM上存在点P，使二面角P－EC－D的大小为.延长DA，CE交于点Q，过A作AH⊥EQ于H，连接PH.因为四边形ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，所以MA⊥平面ABCD，又CQ?平面ABCD，所以MA⊥EQ，EQ⊥平面PAH，所以EQ⊥PH，∠PHA为二面角P－EC－D的平面角．由题意，知∠PHA＝.在△QAE中，AE＝1，AQ＝2，∠QAE＝120°，则EQ＝＝，所以AH＝＝.又在Rt△PAH中，∠PHA＝，则AP＝AH×tan30°＝×＝＝<1.所以在线段AM上存在点P，使二面角P－EC－D的大小为，此时AP的长为. |
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