第20练三角函数的图象与性质题型一三角函数的图象例1(2013·四川)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)的部分图象
如图所示，则ω，φ的值分别是()A．2，－B．2，－C．4，－D．4，破题切入点考查“五点作图法”的逆用，由图象求解析式，先看
周期，再看什么时候取得最值以及函数零点等．答案A解析T＝－，T＝π，∴ω＝2，∴2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，∴φ＝2kπ－，k
∈Z.又φ∈，∴φ＝－，选A.题型二三角函数的简单性质例2(2013·山东)设函数f(x)＝－sin2ωx－sinωx·co
sωx(ω>0)，且y＝f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.(1)求ω的值；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小
值．破题切入点(1)先根据倍角公式以及两角和与差的三角函数公式将f(x)的解析式化简为“一角一函数名”的形式，然后根据“y＝f(
x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为”确定该函数的周期，代入周期公式即可求出ω的值；(2)先根据(1)确定函数解析式，然
后利用给定区间确定f(x)的区间，根据该函数在区间上的图象即可确定所求函数的最值．解(1)f(x)＝－sin2ωx－sinωx
cosωx＝－×－sin2ωx＝cos2ωx－sin2ωx＝－sin.依题意知＝4×，ω>0，所以ω＝1.(2)由(1)知
f(x)＝－sin.当π≤x≤时，≤2x－≤.所以－≤sin≤1.所以－1≤f(x)≤.故f(x)在区间上的最大值和最小值分别为，
－1.题型三三角函数图象的变换例3已知函数f(x)＝sin(ωx＋)，其中ω>0，且函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距
离等于.若函数f(x)的图象向左平移m个单位所对应的函数是偶函数，则最小正实数m＝________.破题切入点由相邻两对称轴间距
离得出周期进而求出ω，再由平移后为偶函数得出m的最小值．答案解析依题意，可得＝，又T＝，故ω＝3，所以f(x)＝sin(3x＋
)．函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数为g(x)＝sin[3(x＋m)＋]．g(x)是偶函数当且仅当3m＋＝kπ＋(
k∈Z)，即m＝＋(k∈Z)，从而最小正实数m＝.总结提高(1)利用三角函数图象确定解析式的基本步骤：①最值定A：即根据给定函数
图象确定函数的最值即可确定A的值．②周期定ω：即根据给定函数图象的特征确定函数的周期，利用周期计算公式T＝求解ω.③最值点定φ：即
根据函数图象上的最高点或最低点的坐标，代入函数解析式求解φ的取值，注意利用中心点求解φ时，要验证该点所在的单调区间以确定φ，否则会
产生增解．(2)三角函数的简单性质主要包括：定义域、值域、对称性、奇偶性、周期性和单调性，对称性注意各三角函数的对称中心和对称轴，
求解奇偶性时首先应利用诱导公式将函数化成最简再去研究，周期性的求解注意公式中应为|ω|而不是ω，单调性要将x的系数化成正的．本部分
题目注意要将ωx＋φ当作一个整体．(3)对于三角函数图象变换问题，平移变换规则是“左加右减上加下减”并且在变换过程中只变换其中的自
变量x，要把这个系数提取后再确定变换的单位和方向，当两个函数的名称不同时，首先要将函数名称统一，其次把ωx＋φ写成ω(x＋)最后确
定平移的单位和方向．伸缩变换时注意叙述为“变为原来的”这个字眼，变换的倍数要根据横向和纵向，要加以区分．1．已知函数y＝Asin(
ωx＋φ)＋k的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线x＝是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为()A．y＝4
sin(4x＋)B．y＝2sin(2x＋)＋2C．y＝2sin(4x＋)＋2D．y＝2sin(4x＋)＋2答案D解析由题意得解
得又函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的最小正周期为，所以ω＝＝4，所以y＝2sin(4x＋φ)＋2.又直线x＝是函数图象的一条对称
轴，所以4×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，所以φ＝kπ－(k∈Z)，故可得y＝2sin(4x＋)＋2符合条件，所以选D.2．已知函数f
(x)＝sin2ωx＋sinωx·cosωx，x∈R，又f(α)＝－，f(β)＝，若|α－β|的最小值为，则正数ω的值为()
A.B.C.D.答案B解析f(x)＝＋sin2ωx＝sin2ωx－cos2ωx＋＝sin(2ωx－)＋，又由f(α
)＝－，f(β)＝，且|α－β|的最小值为可知T＝3π，于是ω＝.3.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，|φ|<)的
图象如图所示，为了得到g(x)＝sin3x的图象，则只要将f(x)的图象()A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向
左平移个单位长度D．向左平移个单位长度答案B解析由题意，得函数f(x)的周期T＝4＝，ω＝3，所以sin＝－1，又|φ|<，所
以φ＝，所以f(x)＝sin＝sin，所以将函数f(x)的图象向右平移个单位长度可以得到函数g(x)＝sin3x的图象．4.已知
函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)，y＝f(x)的部分图象如图所示，则f()等于()A．－B．－1C.D．1
答案C解析由图象知，T＝＝2(－)＝，ω＝2.由2×＋φ＝kπ，k∈Z，得φ＝kπ－，k∈Z.又∵|φ|＜，∴φ＝.由Atan
(2×0＋)＝1，知A＝1，∴f(x)＝tan(2x＋)，∴f()＝tan(2×＋)＝tan＝.5．(2014·辽宁)将函数y＝3
sin(2x＋)的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数()A．在区间[，]上单调递减B．在区间[，]上单调递增C．在区间[
－，]上单调递减D．在区间[－，]上单调递增答案B解析y＝3sin(2x＋)的图象向右平移个单位长度得到y＝3sin[2(x－
)＋]＝3sin(2x－π)．令2kπ－≤2x－π≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋π，k∈Z，则y＝3sin(2x－π)的
增区间为[kπ＋，kπ＋π]，k∈Z.令k＝0得其中一个增区间为[，π]，故B正确．画出y＝3sin(2x－π)在[－，]上的简图
，如图，可知y＝3sin(2x－π)在[－，]上不具有单调性，故C，D错误．6．将函数f(x)＝－4sin的图象向右平移φ个单位，
再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍，所得图象关于直线x＝对称，则φ的最小正值为()A.B.πC.πD.答案B解析依题
意可得y＝f(x)?y＝－4sin[2(x－φ)＋]＝－4sin[2x－(2φ－)]?y＝g(x)＝－4sin[4x－(2φ－)]
，因为所得图象关于直线x＝对称，所以g＝±4，得φ＝π＋π(k∈Z)，故选B.7．已知函数f(x)＝3sin(ωx－)(ω>0)和
g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x∈[0，]，则f(x)的取值范围是________．答案[－，3]
解析∵f(x)和g(x)的对称轴完全相同，∴二者的周期相同，即ω＝2，f(x)＝3sin(2x－)．∵x∈[0，]，∴2x－∈[
－，]，sin(2x－)∈[－，1]，∴f(x)∈[－，3]．8．(2014·北京)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，
φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f(x)的最小正周期为________．答案π解析
∵f(x)在上具有单调性，∴≥－，∴T≥.∵f＝f，∴f(x)的一条对称轴为x＝＝.又∵f＝－f，∴f(x)的一个对称中心的横坐标
为＝.∴T＝－＝，∴T＝π.9．函数f(x)＝sin(x∈R)的图象为C，以下结论正确的是________．(写出所有正确结论的编
号)①图象C关于直线x＝对称；②图象C关于点对称；③函数f(x)在区间内是增函数；④由y＝sin2x的图象向右平移个单位长度可以
得到图象C.答案①②③解析当x＝时，f＝sin＝sin＝sin＝－1，为最小值，所以图象C关于直线x＝对称，所以①正确；当x
＝时，f＝sin＝sinπ＝0，图象C关于点对称，所以②正确；当－≤x≤时，－≤2x－≤，此时函数单调递增，所以③正确；y＝si
n2x的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin2＝sin，所以④错误，所以正确的是①②③.10．已知函数f(x)＝sinωx
·cosωx＋cos2ωx－(ω>0)，直线x＝x1，x＝x2是y＝f(x)图象的任意两条对称轴，且|x1－x2|的最小值为.(
1)求f(x)的表达式；(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，
得到函数y＝g(x)的图象，若关于x的方程g(x)＋k＝0在区间上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．解(1)f(x)＝si
n2ωx＋－＝sin2ωx＋cos2ωx＝sin，由题意知，最小正周期T＝2×＝，T＝＝＝，所以ω＝2，所以f(x)＝sin
.(2)将f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到y＝sin的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y
＝sin的图象．所以g(x)＝sin.令2x－＝t，∵0≤x≤，∴－≤t≤.g(x)＋k＝0在区间上有且只有一个实数解，即函数g(
x)＝sint与y＝－k在区间上有且只有一个交点．如图，由正弦函数的图象可知－≤－k<或－k＝1.所以－(2014·天津)已知函数f(x)＝cosx·sin(x＋)－cos2x＋，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x
)在闭区间[－，]上的最大值和最小值．解(1)由已知，有f(x)＝cosx·(sinx＋cosx)－cos2x＋＝sin
x·cosx－cos2x＋＝sin2x－(1＋cos2x)＋＝sin2x－cos2x＝sin(2x－)．所以f(x)的最
小正周期T＝＝π.(2)因为f(x)在区间[－，－]上是减函数，在区间[－，]上是增函数，f(－)＝－，f(－)＝－，f()＝，所
以，函数f(x)在闭区间[－，]上的最大值为，最小值为－.12．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋)(A>0，ω>0)，g(x)＝
tanx，它们的最小正周期之积为2π2，f(x)的最大值为2g()．(1)求f(x)的单调递增区间；(2)设h(x)＝f2(x)
＋2cos2x.当x∈[a，)时，h(x)有最小值为3，求a的值．解(1)由题意，得·π＝2π2，所以ω＝1.又A＝2g()＝2
tanπ＝2tan＝2，所以f(x)＝2sin(x＋)．令2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)．故f(x)的单调递增区间为[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)．(2)因为h(x)＝f2(x)＋2cos2x＝×4×sin2(x＋)＋2cos2x＝3(sinx＋cosx)2＋2cos2x＝3＋3sin2x＋(cos2x＋1)＝3＋＋2sin(2x＋)，又h(x)有最小值为3，所以有3＋＋2sin(2x＋)＝3，即sin(2x＋)＝－.因为x∈[a，)，所以2x＋∈[2a＋，)，所以2a＋＝－，即a＝－. |
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