第26练数列求和问题大全题型一分组转化法求和例1等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2
，a3中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nlnan，求数列{bn}的前n项和Sn.破题切入点(1)可以通过逐个验证来确定
数列的前三项，进而求得an；(2)可以分组求和：将{bn}前n项和转化为数列{an}和数列{(－1)nlnan}前n项的和．解
(1)当a1＝3时，不合题意；当a1＝2时，当且仅当a2＝6，a3＝18时，符合题意；当a1＝10时，不合题意．因此a1＝2，a2
＝6，a3＝18.所以公比q＝3.故an＝2·3n－1(n∈N)．(2)因为bn＝an＋(－1)nlnan＝2·3n－1＋(
－1)nln(2·3n－1)＝2·3n－1＋(－1)n[ln2＋(n－1)ln3]＝2·3n－1＋(－1)n(ln2－ln
3)＋(－1)nnln3，所以Sn＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n]·(ln2－ln3)＋[－1
＋2－3＋…＋(－1)nn]ln3.所以当n为偶数时，Sn＝2×＋ln3＝3n＋ln3－1；当n为奇数时，Sn＝2×－(ln
2－ln3)＋ln3＝3n－ln3－ln2－1.综上所述，Sn＝题型二错位相减法求和例2已知：数列{an}的前n项和
为Sn，且满足Sn＝2an－n(n∈N)．(1)求a1，a2的值；(2)求数列{an}的通项公式；(3)若数列{bn}的前n项和
为Tn，且满足bn＝nan(n∈N)，求数列{bn}的前n项和Tn.破题切入点(1)代入求解即可．(2)由Sn＝2an－n得S
n－1＝2an－1－(n－1)，n≥2，两式相减构造数列求通项公式．(3)错位相减求和．解(1)Sn＝2an－n.令n＝1，解得
a1＝1；令n＝2，解得a2＝3.(2)Sn＝2an－n，所以Sn－1＝2an－1－(n－1)(n≥2，n∈N)，两式相减得an
＝2an－1＋1，所以an＋1＝2(an－1＋1)(n≥2，n∈N)，又因为a1＋1＝2，所以数列{an＋1}是首项为2，公比为
2的等比数列．所以an＋1＝2n，即通项公式an＝2n－1(n∈N)．(3)bn＝nan，所以bn＝n(2n－1)＝n·2n－n
，所以Tn＝(1·21－1)＋(2·22－2)＋(3·23－3)＋…＋(n·2n－n)，Tn＝(1·21＋2·22＋3·23＋…＋
n·2n)－(1＋2＋3＋…＋n)．令Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，①2Sn＝1·22＋2·23＋3·24＋…
＋n·2n＋1，②①－②，得－Sn＝21＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1，－Sn＝－n·2n＋1，Sn＝2(1－2n)＋n·2
n＋1＝2＋(n－1)·2n＋1，所以Tn＝2＋(n－1)·2n＋1－(n∈N)．题型三倒序相加法求和例3已知函数f(x)＝
(x∈R)．(1)证明：f(x)＋f(1－x)＝；(2)若数列{an}的通项公式为an＝f()(m∈N，n＝1,2，…，m)，求
数列{an}的前m项和Sm；(3)设数列{bn}满足b1＝，bn＋1＝b＋bn，Tn＝＋＋…＋，若(2)中的Sm满足对不小于2的任
意正整数m，Sm1)中的结论，构造倒序求和．(3)由已知条件求出Tn的最小值，将不等式转化为最值问题求解．(1)证明因为f(x)＝，所以f(1－
x)＝＝＝.所以f(x)＋f(1－x)＝＋＝＝.(2)解由(1)，知f(x)＋f(1－x)＝，所以f()＋f(1－)＝(1≤k≤
m－1，k∈N)，即f()＋f()＝.所以ak＋am－k＝，am＝f()＝f(1)＝.又Sm＝a1＋a2＋…＋am－1＋am，①
Sm＝am－1＋am－2＋…＋a1＋am，②由①＋②，得2Sm＝(m－1)×＋2am＝－，即Sm＝－(m∈N)．(3)解由b1
＝，bn＋1＝b＋bn＝bn(bn＋1)，显然对任意n∈N，bn>0，则＝＝－，即＝－，所以Tn＝(－)＋(－)＋…＋(－)＝－
＝3－.因为bn＋1－bn＝b>0，所以bn＋1>bn，即数列{bn}是单调递增数列．所以Tn关于n递增，所以当n∈N时，Tn≥
T1.因为b1＝，b2＝()2＋＝，所以Tn≥T1＝3－＝.由题意，知Sm<，即－<，解得m<，所以正整数m的最大值为3.题型四
裂项相消法求和例4在公差不为0的等差数列{an}中，a1，a4，a8成等比数列．(1)已知数列{an}的前10项和为45，求数列
{an}的通项公式；(2)若bn＝，且数列{bn}的前n项和为Tn，若Tn＝－，求数列{an}的公差．破题切入点(1)列方程组(
两个条件)确定an.(2)可以采用裂项相消法求得含有公差的表达式，再和已知Tn＝－对比求得公差．解设数列{an}的公差为d，由a
1，a4，a8成等比数列可得a＝a1·a8，即(a1＋3d)2＝a1(a1＋7d)，∴a＋6a1d＋9d2＝a＋7a1d，而d≠0
，∴a1＝9d.(1)由数列{an}的前10项和为45可得S10＝10a1＋d＝45，即90d＋45d＝45，故d＝，a1＝3，故
数列{an}的通项公式为an＝3＋(n－1)·＝(n＋8)．(2)bn＝＝，则数列{bn}的前n项和为Tn＝[＋＋…＋]＝＝＝＝－
.所以＝1，d＝±1.故数列{an}的公差d＝1或－1.总结提高数列求和的主要方法：(1)分组求和法：一个数列既不是等差数列也不
是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分，即能分别求和，然后再合并，或对字母n分类讨论后再求和．(2
)错位相减法：这是推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，主要用于求{an·bn}的前n项和，其中{an}和{bn}分别是等差数列
和等比数列．(3)倒序相加法：这是推导等差数列前n项和时所用的方法，将一个数列倒过来排序，如果原数列相加时，若有公因式可提，并且
剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和．(4)裂项相消法：把数列和式中的各项分别裂开后，消去一部分从而计算和的方法，适
用于求通项为的前n项和，其中{an}若为等差数列，则＝·(－)．其余还有公式法求和等．1．若数列{an}的通项公式为an＝，则其前
n项和Sn为()A．1－B.－－C.－－D.－－答案D解析方法一因为an＝＝－，所以Sn＝a1＋a2＋…＋an＝1－＋
－＋－＋…＋－＋－＝1＋－－＝－－.故选D.方法二因为a1＝，a2＝，所以S1＝a1＝.令n＝1，选项B中，－1－＝0，选项C中
，－1－＝，故排除B，C.又S2＝＋＝，选项A中，令n＝2，则1－＝，故排除A，应选D.2．已知数列1，3，5，7，…，则其前n项
和Sn为()A．n2＋1－B．n2＋2－C．n2＋1－D．n2＋2－答案A解析因为an＝2n－1＋，则Sn＝n＋＝n2＋
1－.3．(2013·课标全国Ⅰ)设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m等于()A．3
B．4C．5D．6答案C解析am＝2，am＋1＝3，故d＝1，因为Sm＝0，故ma1＋d＝0，故a1＝－，因为am＋am＋
1＝5，故am＋am＋1＝2a1＋(2m－1)d＝－(m－1)＋2m－1＝5，即m＝5.4．在数列{an}中，若存在一个确定的正整
数T，对任意n∈N满足an＋T＝an，则称{an}是周期数列，T叫作它的周期．已知数列{xn}满足x1＝1，x2＝a(a≤1)，
xn＋2＝|xn＋1－xn|，当数列{xn}的周期为3时，则{xn}的前2013项和S2013等于()A．1340B．1
342C．1344D．1346答案B解析由xn＋2＝|xn＋1－xn|，得x3＝|x2－x1|＝|a－1|＝1－a，x
4＝|x3－x2|＝|1－2a|，因为数列{xn}的周期为3，所以x4＝x1，即|1－2a|＝1，解得a＝0或a＝1.当a＝0时，
数列{xn}为1,0,1,1,0,1，…，所以S2013＝2×671＝1342.当a＝1时，数列{xn}为1,1,0,1,1,
0，…，所以S2013＝2×671＝1342.综上，S2013＝1342.5．已知数列2008,2009,1，－20
08，－2009，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2014项之和S2014等于(
)A．2008B．2010C．1D．0答案B解析由已知得an＝an－1＋an＋1(n≥2)，∴an＋1＝an－an
－1.故数列的前8项依次为2008,2009,1，－2008，－2009，－1,2008,2009.由此可知数列为周期
数列，周期为6，且S6＝0.∵2014＝6×335＋4，∴S2014＝S4＝2008＋2009＋1＋(－2008)＝2
010.6．数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前60项和为________．答案1830解析∵
an＋1＋(－1)nan＝2n－1，∴a2＝1＋a1，a3＝2－a1，a4＝7－a1，a5＝a1，a6＝9＋a1，a7＝2－a1，
a8＝15－a1，a9＝a1，a10＝17＋a1，a11＝2－a1，a12＝23－a1，…，a57＝a1，a58＝113＋a1，a
59＝2－a1，a60＝119－a1，∴a1＋a2＋…＋a60＝(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋a7＋a8)＋…＋(a5
7＋a58＋a59＋a60)＝10＋26＋42＋…＋234＝＝1830.7．在等比数列{an}中，a1＝3，a4＝81，若数列{
bn}满足bn＝log3an，则数列的前n项和Sn＝________.答案解析设等比数列{an}的公比为q，则＝q3＝27，解
得q＝3.所以an＝a1qn－1＝3×3n－1＝3n，故bn＝log3an＝n，所以＝＝－.则数列的前n项和为1－＋－＋…＋－＝1
－＝.8．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝1.{an}的“差数列”的通项公式为an
＋1－an＝2n，则数列{an}的前n项和Sn＝________.答案2n＋1－n－2解析因为an＋1－an＝2n，应用累加法
可得an＝2n－1，所以Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝2＋22＋23＋…＋2n－n＝－n＝2n＋1－n－2.9．定义：若数列{
An}满足An＋1＝A，则称数列{An}为“平方递推数列”．已知数列{an}中，a1＝2，点(an，an＋1)在函数f(x)＝2x
2＋2x的图象上，其中n为正整数．(1)证明：数列{2an＋1}是“平方递推数列”，且数列{lg(2an＋1)}为等比数列；(2)
设(1)中“平方递推数列”的前n项之积为Tn，即Tn＝(2a1＋1)·(2a2＋1)·…·(2an＋1)，求数列{an}的通项公式
及Tn关于n的表达式．(1)证明由题意得an＋1＝2a＋2an，得2an＋1＋1＝4a＋4an＋1＝(2an＋1)2.所以数列{
2an＋1}是“平方递推数列”．令cn＝2an＋1，所以lgcn＋1＝2lgcn.因为lg(2a1＋1)＝lg5≠0，所以＝
2.所以数列{lg(2an＋1)}为等比数列．(2)解因为lg(2a1＋1)＝lg5，所以lg(2an＋1)＝2n－1·lg
5，所以2an＋1＝52n－1，即an＝(52n－1－1)．因为lgTn＝lg(2a1＋1)＋lg(2a2＋1)＋…＋lg(2a
n＋1)＝＝(2n－1)lg5.所以Tn＝52n－1.10．(2014·湖南)已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N.(1)
求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和．解(1)当n＝1时，a1＝S1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n.故数列{an}的通项公式为an＝n.(2)由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn
.记数列{bn}的前2n项和为T2n，则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．记A＝21＋22＋…＋
22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，则A＝＝22n＋1－2.B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n，
故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.11．(2014·课标全国Ⅱ)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1
＝3an＋1.(1)证明{an＋}是等比数列，并求{an}的通项公式；(2)证明＋＋…＋<.证明(1)由an＋1＝3an＋1得a
n＋1＋＝3(an＋)．又a1＋＝，所以{an＋}是首项为，公比为3的等比数列．an＋＝，因此{an}的通项公式为an＝.(2)由
(1)知＝.因为当n≥1时，3n－1≥2×3n－1，所以≤.于是＋＋…＋≤1＋＋…＋＝(1－)<.所以＋＋…＋<.12．(2014·山东)已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝(－1)n－1，求数列{bn}的前n项和Tn.解(1)因为S1＝a1，S2＝2a1＋×2＝2a1＋2，S4＝4a1＋×2＝4a1＋12，由题意得(2a1＋2)2＝a1(4a1＋12)，解得a1＝1，所以an＝2n－1.(2)bn＝(－1)n－1＝(－1)n－1＝(－1)n－1(＋)．当n为偶数时，Tn＝(1＋)－(＋)＋…＋(＋)－(＋)＝1－＝.当n为奇数时，Tn＝(1＋)－(＋)＋…－(＋)＋(＋)＝1＋＝.所以Tn＝(或Tn＝) |
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