2020-2021学年江苏省连云港市灌云县七年级（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项
中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．下列方程组中，是二元一次方程组的是（）A．B．C．D
．2．若从长度分别为2cm、3cm、4cm、6cm的四根木棒中，任意选取三根首尾顺次相连搭成三角形，则搭成的不同三角形共有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别交于A，B两点，AC⊥AB于点A，交直线b于点C，如果
∠1＝52°，那么∠2的度数为（）A．52°B．48°C．38°D．32°4．若a＞b，则下列结论正确的是（）A．ac＞b
cB．a﹣5＜b﹣5C．＞D．a+3b＞4b5．已知是方程组的解，则3﹣a﹣b的值是（）A．﹣1B．1C．2D．36．若×＝2
020n，则n＝（）A．2022B．2021C．2020D．20197．下列命题中：①长为5cm的线段AB沿某一方向平移10c
m后，平移后线段AB的长为10cm；②三角形的高在三角形内部；③六边形的内角和是外角和的两倍；④在同一平面内，平行于同一直线的两直
线平行：⑥两个角的两边分别平行，则这两个角相等．假命题个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，是由7块正方形组成的
长方形，已知中间小正方形的边长为1，则这个长方形的面积为（）A．63B．72C．99D．110二、填空题（本大题共8小题，每小
题3分，本大题共24分.不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上9．一个整数8150…0用科学记数法表示为8.15
×109，则原数中“0”的个数为个．10．若3m＝2，3n＝5，则33m+2n＝．11．命题“直角三角形两锐角互余”
的逆命题是：．12．已知关于x，y的二元一次方程y+ax＝b的部分解如表①所示，二元一次方程2x﹣cy＝d的部分解分别如表②
所示，则关于x，y的二元一次方程组的解为．x﹣10123y﹣4﹣3﹣2﹣10表①x﹣10123y531﹣1﹣3表②13．如
图，△ABC中，AD为BC边上的中线，DE⊥AB，垂足为点E，其中AB＝10，DE＝3，若BD＝5，则点A到BC的距离为．
14．甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，则a2020+（
）2021＝．15．若关于x的不等式组的整数解只有3个，则a的取值范围是．16．如图，在四边形ABCD中，∠C+∠D
＝207°，E、F分别是AD，BC上的点，将四边形CDEF沿直线EF翻折，得到四边形C′D′EF，C′F交AD于点G，若△EFG有
两个角相等，则∠EFG＝°．三、解答题（本大题共10小题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过
程或演算步骤）17．（10分）计算：（1）22﹣（π﹣1）0+3﹣2×（﹣6）；（2）（x+2y）（x﹣y）﹣y（x﹣2y）．18
．（10分）解下列方程组：（1）；（2）．19．（10分）解下列不等式（组），并把它们的解集在数轴上表示出来（1）解不等式：＜4﹣
；（2）解不等式组：．20．（8分）因式分解：（1）3ax2﹣3ay2；（2）x4﹣2x2y2+y4．21．（8分）如图，图①为该
校放置在水平操场上的篮球架的横截面图形，初始状态时，篮球架的横梁EF平行于AB，主柱AD垂直于地面，EF与上拉杆CF形成的角度为∠
F，且∠F＝145°，这一篮球架可以通过调整CF和后拉杆BC的位置来调整篮筐的高度，在调整EF的高度时，为使EF和AB平行，需要改
变∠EFC和∠C的度数，如图②，调整EF使其上升到GH的位置，此时，GH与AB平行，∠CDB＝32°，并且点H，D，B在同一直线上
，请你帮忙求出∠H的大小．22．（10分）仔细观察下列等式：第1个：52﹣12＝8×3；第2个：92﹣52＝8×7；第3个：132
﹣92＝8×11；第4个：172﹣132＝8×15；…（1）请你写出第8个等式：；（2）请写出第n个等式，并加以验证；（3）
运用上述规律，计算：8×11+8×15+…+8×403+8×407．23．（10分）如图，从①∠1＝∠2②∠C＝∠D③∠A＝∠F三
个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论可以组成3个命题．（1）这三个命题中，真命题的个数为；（2）选择一个真命题，并且
证明，（要求写出每一步的依据）如图，已知，求证：证明：24．（10分）某电器超市销售A、B两种型号的电风扇，表中
是近两周的销售情况：销售时段销售数量销售收入A种型号B种型号第一周3台5台1720元第二周4台10台2960元（1）求A、B两种型
号的电风扇的销售单价．（2）若A、B两种型号的电风扇每台进价分别为200元，170元，该超市准备采购这两种型号的电风扇共30台，且
费用不多于5700元．求最多能采购A种型号的电风扇多少台？25．（1分）若关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解与关于y的方程cy
+d＝0（c≠0）的解满足﹣1≤x﹣y≤1，则称方程ax+b＝0（a≠0）与方程cy+d＝0（c≠0）是“友好方程”．例如：方程2
x﹣1＝0的解是x＝0.5，方程y﹣1＝0的解是y＝1，因为﹣1≤x﹣y≤1，方程2x﹣1＝0与方程y﹣1＝0是“友好方程”．（1
）请通过计算判断方程2x﹣9＝5x﹣2与方程5（y﹣1）﹣2（1﹣y）＝﹣34﹣2y是不是“友好方程”．（2）若关于x的方程3x﹣
3+4（x﹣1）＝0与关于y的方程+y＝2k+1是“友好方程”，请你求出k的最大值和最小值．26．（14分）已知AB∥CD，点E、
F分别在直线AB、CD上，PF交AB于点G．（1）如图1，直接写出∠P、∠PEB与∠PFD之间的数量关系：；（2）如图2，E
Q、FQ分别为∠PEB与∠PFD的平分线，且交于点Q，试说明∠P＝2∠Q；（3）如图3，若∠BEQ＝∠PEB，∠DFQ＝∠PFD，
（2）中的结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请求出∠P与∠Q的数量关系；（4）在（3）的条件下，若∠CFP＝72°，当点
E在A、B之间运动时，是否存在PE∥FQ？若存在，请求出∠Q的度数；若不存在，请说明理由．2020-2021学年江苏省连云港市灌云
县七年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项
是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．下列方程组中，是二元一次方程组的是（）A．B．C．D．【分析】根
据二元一次方程组的定义逐个判断即可．【解答】解：A．是三元一次方程组，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；B．是二元一次方程组
，故本选项符合题意；C．是分式方程组，不是整式方程组，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；D．是二元二次方程组，不是二元一次方
程组，故本选项不符合题意；故选：B．2．若从长度分别为2cm、3cm、4cm、6cm的四根木棒中，任意选取三根首尾顺次相连搭成三角
形，则搭成的不同三角形共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据“在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于
第三边”组合三角形．【解答】解：三角形三边可以为：①2cm、3cm、4cm；②3cm、4cm、6cm．所以，可以围成的三角形共有2
个．故选：B．3．如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别交于A，B两点，AC⊥AB于点A，交直线b于点C，如果∠1＝52°，那么
∠2的度数为（）A．52°B．48°C．38°D．32°【分析】先根据平行线的性质求出∠BAD的度数，再根据垂直的定义和余角的
性质求出∠2的度数．【解答】解：如图：∵直线a∥b，∴∠1+∠BAD＝180°，∵AC⊥AB于点A，∠1＝52°，∴∠2＝180°
﹣90°﹣52°＝38°，故选：C．4．若a＞b，则下列结论正确的是（）A．ac＞bcB．a﹣5＜b﹣5C．＞D．a+3b＞4
b【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．【解答】解：A．当c＜0时，由a＞b得出ac＜bc，故本选项不符合题意；B．∵a＞b，∴a
﹣5＞b﹣5，故本选项不符合题意；C．∵a＞b，∴﹣＝＝，∵a＞b，∴a﹣b＞0，当a﹣b＝1时，＝，故本选项不符合题意；D．∵a
＞b，∴两边都加上3b，得a+3b＞4b，故本选项符合题意；故选：D．5．已知是方程组的解，则3﹣a﹣b的值是（）A．﹣1B．
1C．2D．3【分析】将代入方程组得到方程组，直接将此方程组中的两个方程相加可得到a+b＝1，再求解即可．【解答】解：∵是方程组的
解，∴，①+②得，5a+5b＝5，∴a+b＝1，∴3﹣a﹣b＝3﹣（a+b）＝2，故选：C．6．若×＝2020n，则n＝（）A
．2022B．2021C．2020D．2019【分析】根据乘方和乘法的定义得出×＝20202022，结合已知等式可得n的值．【解答
】解：×＝20202020×2020×2020＝20202022，∵×＝2020n，∴20202022＝2020n，∴n＝2022
，故选：A．7．下列命题中：①长为5cm的线段AB沿某一方向平移10cm后，平移后线段AB的长为10cm；②三角形的高在三角形内部
；③六边形的内角和是外角和的两倍；④在同一平面内，平行于同一直线的两直线平行：⑥两个角的两边分别平行，则这两个角相等．假命题个数有
（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据平移的性质、三角形的高、多边形的内角和和外角和，平行线的判定进行判断即可．【解
答】解：①长为5cm的线段AB沿某一方向平移10cm后，平移后线段AB的长为5cm，原命题是假命题；②锐角三角形的高在三角形内部，
原命题是假命题；③六边形的内角和是外角和的两倍，是真命题；④在同一平面内，平行于同一直线的两直线平行，是真命题：⑥两个角的两边分别
平行，则这两个角相等或互补，原命题是假命题；故选：B．8．如图，是由7块正方形组成的长方形，已知中间小正方形的边长为1，则这个长方
形的面积为（）A．63B．72C．99D．110【分析】设出正方形A的边长，进而表示出其他正方形的边长，根据长方形的长相等列出
方程，求出方程的解得到x的值，进而求出长方形的面积即可．【解答】解：设正方形A的边长为x，则正方形B的边长为x+1，正方形C的边长
为x+2，正方形D的边长为x+3，根据图形得：x+2+x+3＝3x+x+1，解得：x＝2，则长方形的面积为（x+2+x+3）（x+
1+x+2）＝（2x+5）（2x+3）＝9×7＝63．故选：A．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分.不需要写出
解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上9．一个整数8150…0用科学记数法表示为8.15×109，则原数中“0”的个数为
7个．【分析】将科学记数法表示的数转化为原数，即可求出0的个数．【解答】解：∵8.15×109＝8150000000，∴原数中
有7个0，故答案为：7．10．若3m＝2，3n＝5，则33m+2n＝200．【分析】根据幂的乘方法则以及同底数幂的乘法法则计算
即可．【解答】解：∵3m＝2，3n＝5，∴33m+2n＝（3m）3×（3n）2＝23×52＝8×25＝200．故答案为：20011
．命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是：如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形．【分析】先找到原命题的题设和结
论，再将题设和结论互换，即可得到原命题的逆命题．【解答】解：因为“直角三角形两锐角互余”的题设是“三角形是直角三角形”，结论是“两
个锐角互余”，所以逆命题是：“如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形”．故答案为：如果三角形有两个锐角互余，那么这个
三角形是直角三角形．12．已知关于x，y的二元一次方程y+ax＝b的部分解如表①所示，二元一次方程2x﹣cy＝d的部分解分别如表②
所示，则关于x，y的二元一次方程组的解为．x﹣10123y﹣4﹣3﹣2﹣10表①x﹣10123y531﹣1﹣3表②【分析】把
表格①中x与y的两对值代入方程y+ax＝b求出a与b的值，把表格②中x与y的两对值代入2x﹣cy＝d中求出c与d的值，确定出方程组
，求出解即可．【解答】解：把x＝0，y＝﹣3；x＝1，y＝﹣2代入y+ax＝b得：，解得：；把x＝0，y＝3；x＝1，y＝1代入2
x﹣cy＝d得：，解得：，代入方程组得：，解得：．故答案为：13．如图，△ABC中，AD为BC边上的中线，DE⊥AB，垂足为点E，
其中AB＝10，DE＝3，若BD＝5，则点A到BC的距离为6．【分析】过点A作AF⊥BC，垂足为F．先计算△ABD的面积，再
根据中线的性质求出AF．【解答】解：过点A作AF⊥BC，垂足为F．∵AB＝10，DE＝3，∴S△ABD＝AB×DE＝15．∵AD为
BC边上的中线，∴CD＝BD＝5，S△ADC＝S△ABD＝15．∴DC×AF＝15．∴AF＝6．故答案为：6．14．甲、乙两人共同
解方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，则a2020+（）2021＝0．
【分析】将代入代入第二个方程求得b，将代入第一个方程求得a，再利用幂的运算性质化简即可．【解答】解：∵由于甲看错了方程①中的a，得
到方程组的解为，∴是4x﹣by＝﹣2的解．∴﹣3×4﹣b＝﹣2．∴b＝﹣10．∵乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，∴是方程a
x+5y＝15的解．∴5a+20＝15．∴a＝﹣1．∴a2020+（）2021＝（﹣1）2020+（﹣1）2021＝1﹣1＝0．故
答案为：0．15．若关于x的不等式组的整数解只有3个，则a的取值范围是﹣2≤a＜﹣1．【分析】分别求出每一个不等式的解集，得
出不等式组的解集，再结合不等式组整数解的个数可确定a的取值范围．【解答】解：，解不等式x﹣a＞0，得：x＞a，解不等式5﹣2x＞1
，得：x＜2，则不等式组的解集为a＜x＜2，∵不等式组的整数解只有3个，∴﹣2≤a＜﹣1，故答案为：﹣2≤a＜﹣1．16．如图，在
四边形ABCD中，∠C+∠D＝207°，E、F分别是AD，BC上的点，将四边形CDEF沿直线EF翻折，得到四边形C′D′EF，C′
F交AD于点G，若△EFG有两个角相等，则∠EFG＝42或51°．【分析】根据题意△EFG有两个角相等，于是有三种情况，分别令
不同的两个角相等，通过折叠和四边形的内角和列方程求出结果即可，最后综合得出答案．【解答】解：（1）当∠FGE＝∠FEG时，设∠EF
G＝x，则∠EFC＝x，∠FGE＝∠FEG＝（180°﹣x），在四边形GFCD中，由内角和为360°得：（180°﹣x）+2x+∠
C+∠D＝360°，∵∠C+∠D＝207°，∴（180°﹣x）+2x＝360°﹣207°，解得：x＝42°，（2）当∠GFE＝∠F
EG时，此时AD∥BC不合题意舍去，（3）当∠FGE＝∠GFE时，同理有：x+2x+∠C+∠D＝360°，∵∠C+∠D＝207°，
∴x+2x+207°＝360°，解得：x＝51°，故答案为42或51．三、解答题（本大题共10小题，共102分.请在答题卡指定区域
内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）计算：（1）22﹣（π﹣1）0+3﹣2×（﹣6）；（2）（x+2
y）（x﹣y）﹣y（x﹣2y）．【分析】（1）利用零指数幂，负整数指数幂，实数的混合运算的法则进行运算即可；（2）先利用多项式乘多
项式的运算法则，单项式乘多项式的运算法则进行运算，再进行合并同类项即可．【解答】解：（1）22﹣（π﹣1）0+3﹣2×（﹣6）＝4
﹣1+×（﹣6）＝3﹣＝；（2）（x+2y）（x﹣y）﹣y（x﹣2y）＝x2﹣xy+2xy﹣2y2﹣xy+2y2＝x2．18．（1
0分）解下列方程组：（1）；（2）．【分析】（1）①﹣②得出3y＝3，求出y，再把y＝1代入②求出x即可；（2）①+②×2得出13
x＝26，求出x，再把x＝2代入①求出y即可．【解答】解：（1），①﹣②，得3y＝3，解得：y＝1，把y＝1代入②，得2x+1＝2
，解得：x＝，所以方程组的解是；（2），①+②×2，得13x＝26，解得：x＝2，把x＝2代入①，得6﹣4y＝2，解得：y＝1，所
以方程组的解是．19．（10分）解下列不等式（组），并把它们的解集在数轴上表示出来（1）解不等式：＜4﹣；（2）解不等式组：．【分
析】（1）去分母、去括号，移项、合并同类项，系数化为1即可；（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小
大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：（1）去分母，得：2x＜24﹣3（x﹣2），去括号，得：2x＜24﹣3x+
6，移项，得：2x+3x＜24+6，合并同类项，得：5x＜30，系数化为1，得：x＜6，将解集表示在数轴上如下：（2），解不等式①
得：x≥3，解不等式②得：x＞﹣1，则不等式组的解集为x≥3，将不等式组的解集表示在数轴上如下：．20．（8分）因式分解：（1）3
ax2﹣3ay2；（2）x4﹣2x2y2+y4．【分析】（1）直接提取公因式3a，进而利用平方差公式分解因式即可；（2）直接利用完
全平方公式以及平方差公式分解因式即可．【解答】解：（1）3ax2﹣3ay2＝3a（x2﹣y2）＝3a（x+y）（x﹣y）；（2）x
4﹣2x2y2+y4＝（x2﹣y2）2＝（x+y）2（x﹣y）2．21．（8分）如图，图①为该校放置在水平操场上的篮球架的横截面图
形，初始状态时，篮球架的横梁EF平行于AB，主柱AD垂直于地面，EF与上拉杆CF形成的角度为∠F，且∠F＝145°，这一篮球架可以
通过调整CF和后拉杆BC的位置来调整篮筐的高度，在调整EF的高度时，为使EF和AB平行，需要改变∠EFC和∠C的度数，如图②，调整
EF使其上升到GH的位置，此时，GH与AB平行，∠CDB＝32°，并且点H，D，B在同一直线上，请你帮忙求出∠H的大小．【分析】过
点D作DI∥AB，先求出∠IDC的度数，再利用平行线的性质可得答案．【解答】解：过点D作DI∥AB，∵EF∥AB，GH∥AB，∴E
F∥DI∥GH，∴∠IDC＝∠F＝145°，∠H＝∠IDB，∵∠CDB＝32°，∴∠IDB＝145°﹣32°＝113°，∴∠H＝∠
IDB＝113°．22．（10分）仔细观察下列等式：第1个：52﹣12＝8×3；第2个：92﹣52＝8×7；第3个：132﹣92＝
8×11；第4个：172﹣132＝8×15；…（1）请你写出第8个等式：332﹣292＝8×31；（2）请写出第n个等式，并加
以验证；（3）运用上述规律，计算：8×11+8×15+…+8×403+8×407．【分析】（1）根据题意即可得第8个等式；（2）结
合（1）即可得第n个等式，并利用平方差公式进行验证即可；（3）利用（2）的结论即可进行计算．【解答】解：（1）由题意可得，第8个等
式：332﹣292＝8×31，故答案为：332﹣292＝8×31；（2）由题意可得，第n个等式：（4n+1）2﹣（4n﹣3）2＝8
（4n﹣1），验证：左边＝（4n+1）2﹣（4n﹣3）2＝（4n+1+4n﹣3）（4n+1﹣4n+3）＝（8n﹣2）×4＝8（4n
﹣1）＝右边；（3）8×11+8×15+…+8×403+8×407＝（132﹣92）+（172﹣132）+…+（4052﹣4012
）+（4092﹣4052）＝132﹣92+172﹣132+…+4052﹣4012+4092﹣4052＝4092﹣92＝418×40
0＝167200．23．（10分）如图，从①∠1＝∠2②∠C＝∠D③∠A＝∠F三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论可以组
成3个命题．（1）这三个命题中，真命题的个数为3；（2）选择一个真命题，并且证明，（要求写出每一步的依据）如图，已知①∠1＝
∠2，②∠C＝∠D，求证：③∠A＝∠F证明：∵∠1＝∠2，∠1＝∠3（已知），∴∠3＝∠2（等量代换），∴DB∥EC（同位
角相等，两直线平行），∴∠D＝∠4（两直线平行，同位角相等），∵∠C＝∠D（已知），∴∠4＝∠C（等量代换），∴DF∥AC（内错角
相等，两直线平行），∴∠A＝∠F（两直线平行，内错角相等）．【分析】（1）直接利用平行线的判定与性质得出题设和结论的正确性；（2
）根据同位角相等，两直线平行得出DB∥EC，DF∥AC，然后根据平行线的性质得出结论．【解答】解：（1）由①②，得③；由①③，
得②；由②③，得①；均正确，故答案为3（2）如图所示：∵∠1＝∠2，∠1＝∠3（已知），∴∠3＝∠2（等量代换），∴DB∥EC（同
位角相等，两直线平行），∴∠D＝∠4（两直线平行，同位角相等），∵∠C＝∠D（已知），∴∠4＝∠C（等量代换），∴DF∥AC（内错
角相等，两直线平行），∴∠A＝∠F（两直线平行，内错角相等）．故答案为：①∠1＝∠2，②∠C＝∠D；∠A＝∠F；24．（10分）某
电器超市销售A、B两种型号的电风扇，表中是近两周的销售情况：销售时段销售数量销售收入A种型号B种型号第一周3台5台1720元第二周
4台10台2960元（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价．（2）若A、B两种型号的电风扇每台进价分别为200元，170元，该超
市准备采购这两种型号的电风扇共30台，且费用不多于5700元．求最多能采购A种型号的电风扇多少台？【分析】（1）设A种型号的电风扇
的销售单价为x元，B种型号的电风扇的销售单价为y元，利用总价＝单价×数量，结合近两周的销售数量及销售收入，即可得出关于x，y的二元
一次方程组，解之即可得出结论；（2）设采购A种型号的电风扇m台，则采购B种型号的电风扇（30﹣m）台，利用总价＝单价×数量，结合采
购费用不多于5700元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．【解答】解：（1）设A种型号的电风扇的销售
单价为x元，B种型号的电风扇的销售单价为y元，依题意得：，解得：．答：A种型号的电风扇的销售单价为240元，B种型号的电风扇的销售
单价为200元．（2）设采购A种型号的电风扇m台，则采购B种型号的电风扇（30﹣m）台，依题意得：200m+170（30﹣m）≤5
700，解得：m≤20．答：最多能采购A种型号的电风扇20台．25．（1分）若关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解与关于y的方程
cy+d＝0（c≠0）的解满足﹣1≤x﹣y≤1，则称方程ax+b＝0（a≠0）与方程cy+d＝0（c≠0）是“友好方程”．例如：方
程2x﹣1＝0的解是x＝0.5，方程y﹣1＝0的解是y＝1，因为﹣1≤x﹣y≤1，方程2x﹣1＝0与方程y﹣1＝0是“友好方程”．
（1）请通过计算判断方程2x﹣9＝5x﹣2与方程5（y﹣1）﹣2（1﹣y）＝﹣34﹣2y是不是“友好方程”．（2）若关于x的方程3
x﹣3+4（x﹣1）＝0与关于y的方程+y＝2k+1是“友好方程”，请你求出k的最大值和最小值．【分析】（1）分别解出两个方程，得
到x﹣y＝，即可确定两个方程是“友好方程”；（2）分别解两个方程为x＝1，y＝，再由已知可得﹣1≤1+≤1，求出k的取值范围为﹣4
≤k≤﹣，即可求解．【解答】解：（1）由2x﹣9＝5x﹣2，解得x＝﹣，由5（y﹣1）﹣2（1﹣y）＝﹣34﹣2y，解得y＝﹣3，
∴x﹣y＝，∴﹣1≤x﹣y≤1，∴方程2x﹣9＝5x﹣2与方程5（y﹣1）﹣2（1﹣y）＝﹣34﹣2y是“友好方程”；（2）由3x
﹣3+4（x﹣1）＝0，解得x＝1，由+y＝2k+1，解得y＝，∵两个方程是“友好方程”，∴﹣1≤x﹣y≤1，∴﹣1≤1+≤1，∴
﹣4≤k≤﹣，∴k的最大值为﹣，最小值为﹣4．26．（14分）已知AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，PF交AB于点G．（
1）如图1，直接写出∠P、∠PEB与∠PFD之间的数量关系：∠P+∠PEB＝∠PFD；（2）如图2，EQ、FQ分别为∠PEB与
∠PFD的平分线，且交于点Q，试说明∠P＝2∠Q；（3）如图3，若∠BEQ＝∠PEB，∠DFQ＝∠PFD，（2）中的结论还成立吗？
若成立，请说明理由；若不成立，请求出∠P与∠Q的数量关系；（4）在（3）的条件下，若∠CFP＝72°，当点E在A、B之间运动时，是
否存在PE∥FQ？若存在，请求出∠Q的度数；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由补角性质得∠P+∠PEB＝∠PGB，再根据平行线的性质可得结论；（2）根据三角形外角性质及平行线性质可得∠QEB+∠Q＝∠KFD，再由平分线的定义可得结论；（3）根据（1）（2）的结论可得答案；（4）根据角的关系得∠DFQ，∠PFQ的度数，最后根据平行线的性质可得结论．【解答】解：（1）∵∠P+∠PEB+∠PGE＝180°，∠PGE+∠BGB＝180°，∴∠P+∠PEB＝∠PGB，∵AB∥CD，∴∠PGB＝∠PFD，∴∠P+∠PEB＝∠PFD．故答案为：∠P+∠PEB＝∠PFD．（2）∵在三角形EQK中，∠QEB+∠Q＝∠QKB，AB∥CD，∴∠QKB＝∠KFD，∴∠QEB+∠Q＝∠KFD，∵EQ、FQ分别为∠PEB与∠PFD的平分线，∴2∠QEB＝∠PEB，2∠KFD＝∠PFD，由（1）知，∠P+∠PEB＝∠PFD，∴∠P+2∠QEB＝2∠KFD，即：∠P＝2∠KFD﹣2∠QEB＝2∠Q，（3）∠P＝3∠Q，理由如下：由（1）知，∠P+∠PEB＝∠PFD，由（2）知，∠Q+∠QEB＝∠QFD，∵∠BEQ＝∠PEB，∠DFQ＝∠PFD，∴∠P＝3∠Q，（4）∵∠CFP＝72°，∴∠PFD＝108°，∴∠DFQ＝∠PFD＝36°，∠PFQ＝108°﹣36°＝72°，∵PE∥FQ，∴∠EPF＝∠PFQ＝72°，∵AB∥CD，∴∠PGB＝∠PFD＝108°，∴∠PEB＝∠PGB﹣∠EPF＝108°﹣72°＝36°，∵∠BEQ＝∠PEB＝12°，∴∠Q＝∠QKB﹣∠BEQ＝∠QFD﹣∠BEQ＝36°﹣12°＝24°，∴存在PE∥FQ，∠Q＝24°． |
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