《九章算术》少广之面积分截与补贴上传书斋名：潇湘馆112XiāoXiāngGuǎn112何世强HoSaiKeung提要：本
文主要介绍《九章算术》之“少广”法。少广之术主要用以计算长方形之面积。其法是从一标准面积之长方形，从其长﹝即“从”，同“纵”﹞截取
部分面积，将其面积化成另一长方形，转贴至原来长方形之阔边上，于是原有长方形之长度减少﹝是为“从少”﹞，但其阔度增加﹝是为“广益”﹞
，一加一减面积不变，是为“从少广益”，简称之为“少广”。关键词：少广积幂第1节《九章算术》中之少广术《九章算术?卷四》之
题为〈少广〉，﹝《九章算术》简称为《九章》﹞曰：少广以衘积幂方圆。“衘”，驾驭也，处理也。此处可解作计算。“积幂”指“积与幂”，两
字同时可解作面积。其意指少广之术可用以计算方形﹝包括长方形﹞及圆形之面积。唐?李籍音义释“积幂”曰：积者，聚也，众数聚居之称。幂者
，覆也，方面单布之名。积幂之义不同，如此。李籍之音义欠详尽。现先谈及〈少广〉术长方形之分割及补贴。唐?李淳风等按：一亩之田，广一步
，长二百四十步。今欲截取其从少，以益其广，故曰少广。李淳风之意指从一固定面积之长方形﹝一亩之田﹞，从其长﹝即“从”，同“纵”，24
0步﹞截取部分面积，将其面积化成另一长方形，转贴至原来长方形之阔边上﹝即“广”，1步﹞，于是原有长方形之长度减少﹝是为“从少”
﹞，但其阔度增加﹝是为“广益”，“益”增也﹞，一加一减面积不变，是为“从少广益”，简称之为“少广”。唐?李籍音义曰：“少广”，从
多，截从之多，益广之少，故曰“少广”。《九章》之面积算法以1步×240步=240方步﹝是为1亩﹞为标准，其他等
于1亩面积之长方形皆由此面积变化而来。以下为一亩之田图，广一步，长二百四十步，其面积即二百四十方步。《九章》时面积无“方步”之
说法，为免混淆，今补上。广1步AB纵240步DC今将长方形ABCD分割出长方形CDEF，并将长方形CDEF化成另
一同面积长方形BGHF，在此情况下，长方形ABCD=长方形AGHE。AaBGBG=1/dbBF=xEFH
DCBG是为广益，FC是为从少，所以“从少广益”有“减长增阔”义。今设AB=a，AD=b，BG=1/d﹝d为整
数﹞，三数为已知数，若BF=x，x为未知数，求x。因为BGHF=CDEF，所以x/d=a(b–x)x/d
=ab–axx/d+ax=abx(+a)=abx(1+da)=dabx=。x是为从步。《九
章算术》之解说颇累赘。唯以下注文则合：此以田广为法，以亩积步为实。实如法而一，得从步。“田广为法”指1/d+a为分母或除数
；“亩积步为实”之“亩积”为ab，“为实”即为分子或被除数，此说即x=。注文又曰：法有分者，当同其母，齐其子，以同乘法
实，而并齐于法。今以分母乘全步及子，子如母而一，并以并全法，则法实俱长，意亦等也。故如法而一，得从步数。其意多截取另一长方形如下
图：AaBGJBG=,GJ=bxEFHKLMDC上图除x外，其他为已知数。上图长方形EFML=长方形
BGHF，长方形LMCD=长方形GJKH，所以长方形EFCD=长方形BJKF，即：x(+)=a(b–x
)x()=ab–axx(q+p)=pqab–pqaxx(q+p+pqa)=pqabx=。
“当同其母，齐其子”，指通分母，即通二分数之分母﹝及，分子则分别乘以q及p﹞“同乘法实”即以pq同乘以分子ab。见
上式。《九章》指出面积固定之长方形仍可继续作“从少广益”之分割和补贴，所以新长方形之阔﹝即广﹞为[1++++…
+]，面积为ab，故其长为ab÷[1++++…+]。右方须通分母，通分母后须扩大分子。以上《九章》之
p、q、r、…为数序2、3、4、…。附带一提，但依本文所提及之“术”所云“以一为某数”，某数即最小公倍数。例如“以一为二”
，即以二为最小公倍数；“以一为六”，即以六为最小公倍数；“以一为一十二”，即以十二为最小公倍数；“以一为六十”，即以六十为最小公倍
数；“以一为一百二十”，即以一百二十为最小公倍数；“以一为四百二十”，即以四百二十为最小公倍数，其余可类推。笔者一向认为古人无最小
公倍数之说法，但以上所得之数显然为最小公倍数，不过其小公倍数属于非刻意得之，例如将三分数通分母：，，，其法是将所有分母相乘，扩大分
子后再约简，所得之分母是为最小公倍数。即将分数，，各自约简，令所有之分母皆相同是为最小公倍数。例如将以下四分数通分母：，，，，
分母得2×3×4×5=120，分子分别为60、40、30及24，其公因子为2，于是：==，中间
分数分子分母除以2；==，中间分数分子分母除以2；==，中间分数分子分母除以2；==，中间分数分子分
母除以2；故60是为最小公倍数。《九章》中之〈少广〉题并非每一题皆用最小公倍数，唐?李淳风已指出其误。所以正式有最小公倍数之
说可以说是始于唐，其概念则始于《九章》。第2节《九章算术》中之少广题以下为《九章》之〈少广〉题，涉及一亩之标准田﹝广1步
×从240步=240方步﹞面积，但长阔不同。本节之数学题其实非常简单，只能说是初等数学，其意义在于了解汉代对于长方形
之分截与补贴；了解最小公倍数之应用，通分母及扩大分子之法。【第一题】今有田广一步半。求田一亩，问：从几何？答曰：一百六十步。解：田
一亩240方步，其阔1步，其长显然为240÷1步=240×步=160步。但《九章》不作此算，其法乃
从1步×240步=240方步之长方形分割与补贴而成，其法如下：ABCD为一亩田﹝1×240方步﹞，有另一亩
田AGHE=ABCD，其广AG=1步，求其从﹝长﹞BF。以下为其图﹝单位：步﹞：A1BGBG=240xE
FHDC即从标准田割去EFCD，化成另一长方形面积BGHF贴于BF边上，此即为“少广”之义。所分割之长方形可以多于一个﹝
见以后各题﹞，但其求长之算法大略相同。设其长GH为x步，依题意可列出以下方程序：x=1×(240–x)x=
2×(240–x)x=480–2x3x=480x=160。术曰：下有半，是二分之一。以一为二，半为一，并之
，得三，为法。置田二百四十步，亦以一为二乘之，为实。实如法得从步。有分母为2。最小公倍数为2。以上文意指以1+2=3
为法，即为分母或除数。2×240=480为实，即为分子或被除数。“实如法”即指算出分数，所以“从步”=步=1
60步。答：从步160步。【第二题】今有田广一步半、三分步之一。求田一亩，问：从几何？答曰：一百三十步一十一分步之一十。解：
以下为二次分割图﹝单位：步﹞：A1BGJBG=，GJ=240xEFHKLMDC田一亩240方步，其阔AJ为
(1+)步=1步=1步，其长为JK240÷1步=240×步=步=130步。但《九章
》不作此算，其法如下：ABCD为一亩田﹝1×240方步﹞，有另一亩田AJKE=ABCD，因为EFML=BGHF
及LMCD=GJKH。其广AJ=(1+)步，求其从﹝长﹞BF。设其长为x步，依题意可列出以下方程序：因为B
JKF=EFCD，所以(+)x=1×(240–x)x=(240–x)5x=1440–6x11
x=1440x==130﹝步﹞。术曰：下有三分，以一为六，半为三，三分之一为二，并之，得一十一，为法。置田二百四十步
，亦以一为六乘之，为实。实如法得从步。“下有三分”指有分母1、2和3，最小公倍数为6。“以一为六”即1=，“半为三”
指，“三分之一为二”指=。“并之”指分子相加，得6+3+2=11为法，即为分母或除数。此步骤为通分母及扩大
分子。6×240=1440为实，即为分子或被除数。从步=步=130﹝步﹞。答：从步130步。【第三题】今
有田广一步半、三分步之一、四分步之一。求田一亩，问：从几何？答曰：一百一十五步五分步之一。解：图略去，与上题相若，只是其广多步
。即其广AJ=(1++)步，求其从﹝长﹞BF。设其长为x步，依题意可列出以下方程序：(++)x=1
×(240–x)()x=1×(240–x)x=240–x13x=2880–12x25x=
28805x=576x=115﹝步﹞。术曰：下有四分，以一为一十二，半为六，三分之一为四，四分之一为三，并之，得二十五，
以为法。置田二百四十步，亦以一为一十二乘之，为实。实如法而一，得从步。“下有四分”指有分母1至4。今以12为最小公倍数，
“以一为一十二”指1=，“半为六”指，“三分之一为四”指=，“四分之一为三”指，“并之，得二十五”指分子相加，即1
2+6+4+3=25，以25为法即为除数，“二百四十步，亦以一为一十二乘之，为实”指240×12=2
880。以2880÷25并约简即得115﹝步﹞。答：从步115步。【第四题】今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、
五分步之一。求田一亩，问：从几何？答曰：一百五步一百三十七分步之一十五。解：其广AJ=(1+++)步，求其从﹝长
﹞BF。设其长为x步，依题意可列出以下方程序：(+++)x=1×(240–x)x=240–x
x=240–x77x=14400–60x137x=14400x=105﹝步﹞。术曰：下有五分，以一为六十，
半为三十，三分之一为二十，四分之一为一十五，五分之一为一十二，并之，得一百三十七，以为法。置田二百四十步，亦以一为六十乘之，为实。
实如法得从步。“下有五分”指有分母1至5。今以60为最小公倍数，“以一为六十”指1=，“半为三十”指，“三分之一
为二十”指=，“四分之一为一十五”指，五分之一为一十二指=“并之，得一百三十七”指分子相加，即60+30+20
+15+12=137，以137为除数，“二百四十步，亦以一为六十乘之，为实”指240×60=14400。以
14400÷137得105﹝步﹞。答：从步105步。【第五题】今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六
分步之一。求田一亩，问：从几何？答曰：九十七步四十九分步之四十七。解：依直接算法，其广AJ=(1+++++
)步，1+++++==。从步数=240÷=240×==97。术曰：下有六
分，以一为一百二十，半为六十，三分之一为四十，四分之一为三十，五分之一为二十四，六分之一为二十，并之，得二百九十四，以为法。置田
二百四十步，亦以一为一百二十乘之，为实。实如法得从步。下有六分，指分母有1至6之数。以一为一百二十，指1至6之最小
公倍数为120，而1=。半为六十，指三分之一为四十，指=。四分之一为三十，指=。五分之一为二十四，指=。六分之
一为二十，指=。并之，得二百九十四，指以上六式之和得，以为法即除数。置田二百四十步，亦以一为一百二十乘之，得240×12
0=28800为实为被除数。实如法得从步，即=97。答：从步97步。【第六题】今有田广一步半、三分步之一、四分步之
一、五分步之一、六分步之一、七分步之一。求田一亩，问：从几何？答曰：九十二步一百二十一分步之六十八。解：依上例之直接算法，其广
AJ=(1++++++)步，1++++++==。所以从步数=240
÷=240×===92。术曰：下有七分，以一为四百二十，半为二百一十，三分之一为一百四十，四分之一为一百五，五分之一为八十四，六分之一为七十，七分之一为六十，并之，得一千八十九，以为法。置田二百四十步，亦以一为四百二十乘之，为实。实如法得从步。下有七分，指分母有1至7之数。以一为四百二十，指1至7之最小公倍数为420，而1=。半为二百一十，=。三分之一为一百四十，指=。四分之一为一百五，指=。五分之一为八十四，指=。六分之一为七十，指=。七分之一为六十，指=。并之，得一千八十九，指以上七式之和得，以为法即为除数。置田二百四十步，亦以一为四百二十乘之，得240×420=100800为实。实如法得从步即==92。答：从步92步。以下为《九章算术?卷四》之〈少广〉原文：(1) |
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