2020年第三十七届全国初中数学联赛一、选择题1．（3分）若，，均为整数且满足，则A．1B．2C．3D．42．（3分）若实数，，满足等式，
，则可能取的最大值为A．0B．1C．2D．33．（3分）若，是两个正数，且，则A．B．C．D．4．（3分）若方程的两根也是方程
的根，则的值为A．B．C．6D．05．（3分）在中，已知，，分别是边，上的点，且，，，则A．B．C．D．6．（3分）对于自然数
，将其各位数字之和记为，如，，则A．28062B．28065C．28067D．28068二、填空题7．（3分）已知实数，满足方程
组，则．8．（3分）二次函数的图象与轴正方向交于，两点，与轴正方向交于点．已知，，则．9．（3分）在等腰直角中，，是内一点
，且，，则．10．（3分）将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为
同一种颜色的球．按这种要求摆放，最多可以摆放个球．11．设整数，，为三角形的三边长，满足，求符合条件且周长不超过30的三角形的个
数．12．已知等腰三角形中，，的平分线与边交于点，为的内切圆与边的切点，作，交于点．证明：是的切线．13．已知二次函数的图象经过两
点，．（1）如果，，都是整数，且，求，，的值．（2）设二次函数的图象与轴的交点为、，与轴的交点为．如果关于的方程的两个根都是整数，
求的面积．14．设是大于2的质数，为正整数．若函数的图象与轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求的值．2020年第三十七届全国初
中数学联赛参考答案与试题解析一、选择题1．（3分）若，，均为整数且满足，则A．1B．2C．3D．4【分析】先根据，，均为整数，得
出和均为整数，根据有理数乘方的法则得出关于、、的方程组，求出、、之间的关系，用表示出、，代入原式进行计算．【解答】解：因为，，均为
整数，所以和均为整数，从而由可得或若则，从而．若则，从而．因此，．故选：．【点评】本题考查的是有理数的乘方及绝对值的性质，能根据有
理数的乘方及绝对值的性质得出、、之间的关系式解答此题的关键．2．（3分）若实数，，满足等式，，则可能取的最大值为A．0B．1C．
2D．3【分析】将两等式组成关于和方程组，求出其表达式（含，再根据非负数的性质解答即可．【解答】解：由两个已知等式可得，，而，所以
．当时，可得，，满足已知等式．所以可能取的最大值为2．故选：．【点评】此题将非负数的性质与不等式组相结合，综合性较强．初中阶段的非
负数的性质有三种：绝对值、偶次方、平方根，在解题时要注意加以灵活应用．3．（3分）若，是两个正数，且，则A．B．C．D．【分析】
由已知去分母得到，判断的范围，再由完全平方公式得到，即可得到，从而得到选项．【解答】解：由，去分母得：，整理得：，，，①，是两个正
数，，，，即：．，结合①式可得：，．因此，．故选：．【点评】本题主要考查了分式的混合运算，完全平方公式，分式的基本性质等知识点，利
用完全平方公式和分式的基本性质进行变式是解此题的关键．4．（3分）若方程的两根也是方程的根，则的值为A．B．C．6D．0【分析】
设是方程的一个根．根据方程解的意义知，既满足方程，也满足方程，将代入这两个方程，并整理，得．从而可知：方程的两根也是方程的根，这两
个方程实质上应该是同一个一元二次方程，然后根据同一个一元二次方程的定义找出相对应的系数间的关系即可．【解答】解：设是方程的一个根，
则，所以．由题意，也是方程的根，所以，把代入此式，得，整理得．从而可知：方程的两根也是方程的根，这两个方程实质上应该是同一个一元二
次方程，从而有（其中为常数），所以，．因此，．故选：．【点评】本题主要考查了一元二次方程的解．该题难度比较大，在解题时，采用了“转
化法”，即将所求转化为求（其中为常数）的相应的系数间的关系．5．（3分）在中，已知，，分别是边，上的点，且，，，则A．B．C．D
．【分析】此题要通过构造全等三角形来解；过作的平行线，交于；由于，因此是等边三角形，则，联立、的倍数关系，即可求得的度数；然后通过
证，得到，联立由三角形的外角性质得到的，即可求得的度数．【解答】解：，，是正三角形．作交于，，是等边三角形，则，从而，，又，，；，
，，；，得：．故选：．【点评】此题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的外角性质等知识，正确画出图形，并构造出全等三角形是解决问题
的关键．6．（3分）对于自然数，将其各位数字之和记为，如，，则A．28062B．28065C．28067D．28068【分析】分
别求出自然数1到2010中1到9出现的总次数，则数字1出现的总次数数字2出现的总次数数字9出现的总次数，从而求解．【解答】解：把1
到2010之间的所有自然数均看作四位数（如果不足四位，则在前面加0，补足四位，这样做不会改变的值）．1在千位上出现的次数为，1在百
位上出现的次数为，1在十位和个位上出现的次数均为，因此，1出现的总次数为．2在千位上出现的次数为11，2在百位和十位上出现的次数均
为，2在个位上出现的次数为，因此，2出现的总次数为．类似的，可求得，4，5，6，7，8，出现的总次数均为．因此．故选：．【点评】本
题考查了加法原理，得出自然数1到2010中1到9出现的总次数是解题的关键，注意分类顺序的应用，有一点的难度．二、填空题7．（3分）
已知实数，满足方程组，则13．【分析】由于，把代入，可得，而，再把代入即可求的值．【解答】解：，把代入，可得，，．故答案是：1
3．【点评】本题考查了立方和公式、完全平方公式．注意灵活运用、变形．8．（3分）二次函数的图象与轴正方向交于，两点，与轴正方向交于
点．已知，，则．【分析】首先利用根与系数的关系求得，两点横坐标之间的关系，再进一步结合已知，利用直角三角形的边角关系，把两点横
坐标用表示，由此联立方程解决问题．【解答】解：如图，由题意知，点的坐标为，．设，两点的坐标分别为，，，，则，是方程的两根，由根与系
数的关系得，，又，则；于是，，．由，得．故答案为：．【点评】本题主要考查二次函数图象与坐标轴交点坐标特点、根与系数的关系以及直角三
角形的边角关系解答问题．9．（3分）在等腰直角中，，是内一点，且，，则．【分析】先依据题意作一三角形，再结合图形进行分析，在等
腰直角中，已知、，通过辅助线求出，及边的长，进而可求．【解答】解：如图所示，过点作，过点作，分别垂直，在中，，在中，，且，解得，，
，在中，，所以在中，，所以．【点评】熟练掌握勾股定理的运用．会画出简单的图形辅助解题．10．（3分）将若干个红、黑两种颜色的球摆成
一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球．按这种要求摆放，最多可以摆放15个球．
【分析】根据题意“要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球”进行推理即可．【解答】解：方法
一：将这些球的位置按顺序标号为1，2，3，，由于1号球与7号球中间夹有5个球，1号球与12号球中间夹有10个球，12号球与6号球中
间夹有5个球，7号球与13号球中间夹有5个球，13号球与2号球中间夹有10个球，2号球与8号球中间夹有5个球，8号球与14号球中间
夹有5个球，14号球与3号球中间夹有10个球，3号球与9号球中间夹有5个球，9号球与15号球中间夹有5个球，15号球与4号球中间夹
有10个球，4号球与10号球中间夹有5个球，因此，编号为1，7，12，6，13，2，8，14，3，9，15，4，10的球颜色相同，
编号为5，11的球可以为另外的一种颜色．因此，可以按照要求摆放15个球；如果球的个数多于15个，则一方面，16号球与10号球应同色
，另一方面，5号球与16号球中间夹有10个球，所以5号球与16号球同色，从而1到16号球的颜色都相同，进一步可以知道：所有的球的颜
色都相同，与要求不符．因此，按这种要求摆放，最多可以摆放15个球．方法二：假设第1个是红的，那么第7个（与第1个夹5个球）和第12
个（与第1个夹10个球）也必须是红的，红红红；第6个（与第12个夹5个球）也必须是红的，红红红红；假设有第13个球，那么同理第2、
第8、第13、第7个球颜色必须一样，由于第7个球是红的，所以那3个球也是红的，红红红红红红红；假设有第14个球，那么同理第3、第9
、第14、第8个球颜色必须一样，由于第8个球是红的，所以那3个球也是红的，红红红红红红红红红红；假设有第15个球，那么同理第4、第
10、第15、第9个球颜色必须一样，由于第9个球是红的，所以那3个球也是红的，红红红红红红红红红红红红红；假设有第16个球，那么同
理第5、第11、第16、第10个球颜色必须一样，由于第10个球是红的，所以那3个球也是红的，红红红红红红红红红红红红红红红红；但这
样黑球就没地方放了，所以最多有15个球，排布方式：红红红红黑红红红红红黑红红红红或黑黑黑黑红黑黑黑黑黑红黑黑黑黑；故答案为：15．
【点评】本题考查了推理与论证，正确的理解题意是解题的关键．11．设整数，，为三角形的三边长，满足，求符合条件且周长不超过30的三角
形的个数．【分析】根据已知得出①，令，，则，代入可得出符合条件的和的值的组合，分别代入讨论，根据可得出的最小范围，根据周长不超过3
0可得出的最大值范围，进而可得出符合题意的三角形的个数．【解答】解：由已知等式可得：①，令，，则，其中，均为自然数，于是，等式①变
为，即②由于，均为自然数，判断易知，使得等式②成立的，只有两组：和（1）当，时，，．又，，为三角形的三边长，所以，即，解得．又因为
三角形的周长不超过30，即，解得，因此，所以可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形．（2）当，时，，．又，，为
三角形的三边长，所以，即，解得．又因为三角形的周长不超过30，即，解得．因此，所以可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符
合条件的三角形．综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为．【点评】本题考查了三角形的三边关系，难度较大，解答本题首先是将
进行变形，根据，，得出符合题意的、的值的组合是解答本题的关键．12．已知等腰三角形中，，的平分线与边交于点，为的内切圆与边的切点，
作，交于点．证明：是的切线．【分析】过点作出圆的切线，点为切点，通过证明点与点重合来证明与圆相切．【解答】证明：过点作的切线（切点
为并延长，交于点．为的平分线，．又、均为的切线，．又公共边，，．由，，，故，又，和为同一条直线．又点、均在上，点和点重合，故是的切
线．【点评】本题考查了切线的证明，和以往证明切线不同，本题采用了一种全新的证明切线的方法，即：作圆的切线，证明要证明的切线与所作切
线重合．13．已知二次函数的图象经过两点，．（1）如果，，都是整数，且，求，，的值．（2）设二次函数的图象与轴的交点为、，与轴的交
点为．如果关于的方程的两个根都是整数，求的面积．【分析】（1）代入两点坐标，求得、（用表示），再由已知，联立不等式组求得、、的值；
（2）设出程的两个根，根据根与系数的关系与因式分解求得两根，得出函数解析式，进一步求得图象与、轴的交点、、三点解答问题．【解答】解
：点、在二次函数的图象上，故，，解得，；（1）由知，解得，又为整数，所以，，；（2）设，是方程的两个整数根，且．由根与系数的关系可
得，，消去，得，两边同时乘以9，得，分解因式，得．所以或或或，解得或或或；又，是整数，所以后面三组解舍去，故，．因此，，，二次函数
的解析式为．易求得点、的坐标为和，点的坐标为，所以的面积为．【点评】此题主要考查二次函数图象上点的坐标特点、根与系数的关系、不等式
组、以及三角形的面积计算公式．14．设是大于2的质数，为正整数．若函数的图象与轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求的值．【分析】由函数的图象与轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，可得，与，然后分别从若与若时去分析，注意是大于2的质数，为正整数．【解答】解：由题意知，方程的两根，中至少有一个为整数．由根与系数的关系可得，，从而有①（1）若，则方程为，它有两个整数根和．（2）若，则．为整数，如果，中至少有一个为整数，则，都是整数．又为质数，由①式知或．不妨设，则可设（其中为非零整数），则由①式可得，，即．又，，即②如果为正整数，则，，从而，与②式矛盾．如果为负整数，则，，从而，与②式矛盾．时，方程不可能有整数根．综上所述，．【点评】此题考查了一元二次方程的整数根问题．注意根与系数的关系与整体思想的应用是解此题的关键． |
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