数学竞赛----新初三尖子班选拔卷一．选择题（共10小题，每题5分）1．已知实数α，β满足2α2+5α﹣2＝0，2β2﹣5β﹣2＝0，且αβ
≠1，且的值为（）A．B．C．D．2．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝75°，∠BAD＝150°，BC＝6，对角线AC⊥A
D，P是线段AC上的动点，Q是射线DA上的动点，当四边形BPDQ为平行四边形时，则平行四边形BPDQ的面积是（）A．9﹣3B．
6C．9D．63．如图，正方形ABCD的顶点B在原点，点D的坐标为（4，4），将AB绕点A逆时针旋转60°，使点B落在点B′处，D
E⊥BB′于点E，则点E的坐标为（）B．C．D．4．如图，四边形OABC是平行四边形，对角线OB在y轴上，位于第一象限的点A和
第二象限的点C分别在双曲线y＝和y＝的一支上，分别过点A，C作x轴的垂线垂足分别为M和N，则有以下的结论：①ON＝OM；②△OMA
≌△ONC；③阴影部分面积是（k1+k2）；④四边形OABC是菱形，则图中曲线关于y轴对称，其中正确的结论是（）A．①②④B．
②③C．①③④D．①④5．如图，四边形ABCD是菱形，AB＝5，BE⊥AD垂足为E，交AC于点F，且DE＝2，S△ADF＝，点G从
点A出发，以每秒2个单位的速度沿折线A﹣D﹣C运动，到达点C终止，设点G的运动时间为t秒，△FDG的面积为S，则S的最大值为（
）A．6.25B．3.75C．5.25D．6．如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM＝4
5°，点F在射线AM上，且AF＝BE，CF与AD相交于点G．连接EC、EF、EG．下列结论：①∠ECF＝45°；②△AEG的周长为
（1+）a；③BE2+DG2＝EG2；④当G是线段AD的中点时，BE＝a．正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．
如图，四边形ABCD中，AB与CD不平行，M，N分别是AD、BC的中点，AB＝6，CD＝3，则MN的长可能是（）A．3.6B．
4.5C．1.4D．5.48．反比例函数和（k为大于1的定值）在第一象限的图象如图所示，点P在上．过点P作PA⊥y轴于点A，与交于
点C；过点P作PB⊥x轴于点B，与交于点D，连接OP、OC、OD、AB和CD．四边形PCOD的面积记为S1，△OCD的面积记为S2
．下列结论不正确的是（）A．S1为定值B．C．S2不为定值D．AB∥CD9．代数式+的最小值是（）A．B．C．D．10．约
定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点A（
1，m），B（n，﹣4）是关于x的“黄金函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线x＝2
的右侧，有结论①a+c＝0；②b＝4；③a+b+c＜0；④﹣1＜a＜0．则下列结论正确的是（）A．①②③B．①③④C．①②④D
．②③④二．填空题（共8小题，每题6分）11．对于三个实数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c
}表示这三个数中最小的数．例如：M{1，2，9}＝＝1．请结合上述材料，解决下列问题：（1）M{32，（﹣3）2，﹣32}＝
；（2）若M{5x，x2，﹣3}＝min{x2，﹣3}，则x＝．12．如图，矩形OABC的顶点A和C分别在x轴和y轴上，反比
例函数y＝（k≠0）的图象过点B，D为AB中点，连接CD，过点O作OE⊥CD于点E，连接AE，若AE＝3，CD＝，则k＝．1
3．将二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，所得新函数的图象与直线y＝x+b的图象恰有2个公共点时
，则b的取值范围为．14．如图，正方形ABCD的边长为2，E，F分别是BC，CD的中点，连接AE，G为AE上的一点，且∠F
GE＝45°，则GF的长为．15．如图，三个边长均为的正方形重叠在一起，O1，O2分别是两个正方形的中心，则阴影（重叠）部
分的面积为．16．如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，E、F分别是边BC和对角线BD上的动点，且BE＝DF，
则AE+AF的最小值为．17．若实数a，b，c满足12a2+7b2+5c2≤12a|b|﹣4b|c|﹣16c﹣16，则a+
b+c＝．18．如图，A，B两点在双曲线y1＝（x＞0）上，C，D两点在双曲线y2＝（m＞1，x＞0）上，若AC∥BD∥x轴
，且BD＝2AC，则△OAB的面积为．三．解答题（共4小题）19．（12分）小明在解方程﹣＝2时采用了下面的方法：由（﹣）
（+）＝（）2﹣（）2＝（24﹣x）﹣（8﹣x）＝16，又有﹣＝2，可得+＝8，将这两式相加可得，将＝5两边平方可解得x＝﹣1，经
检验x＝﹣1是原方程的解．请你学习小明的方法，解下面的方程：（1）方程的解是；（2）解方程+＝4x．20．（12分）如图，
在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（2，4）和点B（m，﹣2）．（1）（2分）求
一次函数与反比例函数的表达式；（2）直线AB与x轴交于点D，与y轴交于点C．①（4分）过点C作CE∥x轴交反比例函数y＝的图象于点
E，连接AE，试判断△ACE的形状，并说明理由；②（6分）设M是x轴上一点，当∠DCO＝2∠CMO时，直接写出点M的坐标．21．（
12分）正方形ABCD中，E、F是AD上的两个点，AE＝DF，连CF交BD于点M，连AM交BE于点N，连接DN．如果正方形的边长为
2．（1）求证：BE⊥AM；（2）求DN的最小值．22．（16分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、
c为常数，a≠0）的图象与x轴交于点A（1，0）、B两点，与y轴交于点C（0，4），且抛物线的对称轴为直线x＝﹣．（1）（3分）求
抛物线的解析式；（2）（5分）在直线BC上方的抛物线上有一动点M，过点M作MN⊥x轴，垂足为点N，交直线BC于点D；是否存在点M，
使得MD+DC取得最大值，若存在请求出它的最大值及点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）（8分）如图2，若点P是抛物线上另一动点
，且满足∠PBC+∠ACO＝45°，请直接写出点P的坐标．数学竞赛卷答案一．选择题（共10小题）1．A．2．B．3．D．4．D．5
．A．6．B．7．A．8．C．9．B．10．C．二．填空题（共8小题）11．（1）3．（2）﹣2或﹣3．12．12．13．﹣3＜
b＜1或b．14．3．15．4．16．2．17．．18．．三．解答题（共4小题）19．解：（1）（）（）＝（x2+42）
﹣（x2+10）＝32∵，∴32÷16＝2，∴∵92＝81，∴x＝±，经检验x＝±都是原方程的解，∴方程的解是：x＝±；故答案为：
x＝±．（2）（）（）＝（4x2+6x﹣5）﹣（4x2﹣2x﹣5）＝8x∵4x，∴8x÷4x＝2，∴，∵，∴4x2+6x﹣5＝4
x2+4x+1，∴2x＝6，解得x＝3，经检验x＝3是原方程的解，∴方程4x的解是：x＝3．20．解：（1）∵点A（2，4）和点B
（m，﹣2）都在反比例函数y的图象上，∴2×4＝﹣2m＝8＝k2，∴m＝﹣4，∴B（﹣4，﹣2），将点A（2，4）、B（﹣4，﹣2
）代入y＝k1x+b得，，∴，∴y＝x+2，∴反比例函数解析式为y，一次函数解析式为y＝x+2；（2）①在y＝x+2中，当x＝0时
，y＝2，∴C（0，2），∵CE∥x轴，∴C点的纵坐标为2，∴，∴x＝4，∴E（4，2），作AH⊥CE于H，∴CH＝AH＝HE＝2
，∴∠HCA＝∠HAC＝∠HAE＝∠HEA＝45°，∴CA＝EA，∠CAE＝90°，∴△ACE是等腰直角三角形，②当点M在D点左侧
时，由①知，△COD是等腰直角三角形，∵∠DCO＝2∠CMO，∴∠DMC＝∠DCM，∴DM＝CD，∵OD＝OC＝2，∴CD＝MD＝
2，∴M（﹣2﹣2，0），根据对称性可知，当点M在点D右侧时，M（2+2，0），综上：M（﹣2﹣2，0）或（2+2，0）．21．（
1）证：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝DC，∠BAE＝∠CDF＝90°，又AE＝DF，∴△ABE≌△DCF，∴∠ABE＝∠DC
F，∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠CDM＝∠ADM，∴△ADM≌△CDM∴∠DCM＝∠DAM，∴∠ABE＝∠DAM，∴∠AB
E+∠BAM＝∠DAM+BAM＝90°，∴∠ANB＝90°，则BE⊥AM；（2）解：取AB中点P，连PN、PD，由（1）知：△AB
N、△APD均为直角三角形，∴PNAB＝1，PD，∴DN≥PD﹣PN1，则DN的最小值为1．22.解：（1）∵抛物线的对称轴为直线
x，∴，∴b＝3a，∴y＝ax2+3ax+c，将A（1，0）、C（0，4）代入y＝ax2+3ax+c，∴，∴，∴y＝﹣x2﹣3x+
4；（2）存在点M，使得MDDC取得最大值，理由如下；令y＝0，则﹣x2﹣3x+4＝0，∴x＝﹣4或x＝1，∴B（﹣4，0），∵O
B＝OC＝4，∴∠CBO＝45°，设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴y＝x+4，设M（m，﹣m2﹣3m+4），则D（m，
m+4），∵MN⊥x轴，∴MD＝﹣m2﹣4m，如图1，过点D作DG⊥y轴交于点G，∵∠DCG＝45°，∴CD2＝2DG2，∴DGC
D，∵DG＝﹣m，∴MDDC＝﹣m2﹣5m＝﹣（m）2，∴当m时，MDDC有最大值，此时M（，）；（3）如图2，当P点在BC上方时
，作A点关于y轴的对称点E，∵A（1，0），∴E（﹣1，0），∴∠ACO＝∠ECO，∵∠BCO＝45°，∠PBC+∠ACO＝45°
，∴∠BCE＝∠PBC，∴EC∥PB，设直线EC的解析式为y＝k''x+b''，∴，∴，∴y＝4x+4，∴PB的直线解析式为y＝4x+16，联立，∴或（舍），∴P（﹣3，4）；如图3，当P点在BC下方时，作A点关于y轴的对称点E，∵A（1，0），∴E（﹣1，0），∴∠ACO＝∠ECO，∵∠BCO＝45°，∠PBC+∠ACO＝45°，∴∠BCE＝∠PBC，设BP与CE的交点为Q，设Q（t，4t+4），∴BQ＝CQ，∴t2+16t2＝（t+4）2+（4t+4）2，∴t，∴Q（，），设直线BQ的解析式为y＝k1x+b1，∴，∴，∴yx+1，联立，∴（舍）或，∴P（，）；综上所述：P点坐标为（﹣3，4）或（，）． |
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