2021-2022学年辽宁省鞍山二十九中八年级（下）竞赛数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x
的取值范围是（）A．x≤B．x≥C．x＜D．x＞﹣2．（3分）如果三条线段长a＝1、b＝、c＝2，那么这三条线段组成的三角形满
足（）A．∠A＝90°B．∠B＝90°C．∠C＝90°D．不能确定3．（3分）下列计算正确的是（）A．B．3＝3C．＝2D
．4．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝40°，DE平分∠ADC，则∠DEB＝（）A．70°B．80°C．100°D
．110°5．（3分）化简（1+）（﹣1）2，结果正确的是（）A．1B．1﹣C．D．1+6．（3分）如图，在△ABC中，D，E
分别是AB，BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是（）A．∠B＝∠FB．∠B＝
∠BCFC．AC＝CFD．AD＝CF7．（3分）如图，将两块相同的含有30°角的三角尺按如图所示的方式摆放在一起，AC＝2，则AB
的长（）A．1B．2C．D．8．（3分）如图，两条宽度分别为2和4方形纸条交叉放置，重叠部分为四边形ABCD，若AB+BC＝9
，则四边形ABCD的面积是（）A．4B．12C．8D．69．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，P是BC边上除B、C点
外的任意一点，则代数式AP2+PB?PC等于（）A．25B．15C．20D．3010．（3分）如图，点A，B为定点，定直线l∥
AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对下列各值：①线段MN的长；②△PAB的周长；③△PMN的面积；④直线MN，
AB之间的距离；⑤∠APB的大小．其中会随点P的移动而变化的是（）A．②③B．②⑤C．①③④D．④⑤二、填空题（每小题3分，共
30分）11．（3分）化简：＝．12．（3分）命题：“如果a＝b，那么a2＝b2”的逆命题是命题（填“真”或“假”）．
13．（3分）如果+＝0，则+＝14．（3分）若a+＝4，（0＜a＜1），则＝．15．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝
90°，若两边长为5和13，则第三边为．16．（3分）如图，在△ABC中，D、E、F分别为边AB、BC、CA的中点，△AB
C的周长为34cm，则△DEF的周长为．17．（3分）观察式子：＝＝＝，＝＝＝，＝＝＝，…，由此得到的规律请你含n（n是大
于等于1的正整数）的式子表示出来，．18．（3分）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁
如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是．19．（3分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，BC＝
AC＝4，在直线BC上找一点P，使得△ABP为以AB为腰的等腰三角形，则PC的长度为．20．（3分）如图，?ABCD中，对
角线AC与BD相交于点E，∠AEB＝45°，BD＝2，将△ABC沿AC所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内，若点B的落点记
为B′，则DB′的长为．三、计算题（21题每题各5分，22每题10分）21．（10分）计算：（1）2×．（2）（）．22．（
10分）若x、y为实数，且y＝，求?的值．四、证明题：（23，24每题10分）23．（10分）如图，△ACB和△ECD都是等腰直角
三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点．（1）求证：△ACE≌△BCD；（2）若AD＝5，DE＝13，求BE长．24
．（10分）如图，在?ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE＝DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG＝CH，连接G
E、EH、HF、FG．求证：（1）△BEG≌△DFH；（2）四边形GEHF是平行四边形．2021-2022学年辽宁省鞍山二十九中八
年级（下）竞赛数学试卷（教师解析版）一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（
）A．x≤B．x≥C．x＜D．x＞﹣【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案．【解答】解：由题意可知：2x﹣1≥0，∴x≥故选
：B．2．（3分）如果三条线段长a＝1、b＝、c＝2，那么这三条线段组成的三角形满足（）A．∠A＝90°B．∠B＝90°C．∠
C＝90°D．不能确定【分析】根据已知分别求出a2+c2和b2，可得a2+c2＝b2，可知△ABC是直角三角形，且∠B＝90°，即
可判断．【解答】解：∵a＝1、b＝、c＝2，∴a2+c2＝1+4＝5，b2＝5，∴a2+c2＝b2，∴△ABC是直角三角形，且∠B
＝90°，故选：B．3．（3分）下列计算正确的是（）A．B．3＝3C．＝2D．【分析】利用二次根式的加减法对A、B进行判断；根
据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．【解答】解：A．与不能合并，所以A选项不符合题意；B．3﹣
＝2，所以B选项不符合题意；C．×＝＝＝2，所以C选项不符合题意；D．÷＝＝，所以D选项符合题意．故选：D．4．（3分）如图，
在平行四边形ABCD中，∠C＝40°，DE平分∠ADC，则∠DEB＝（）A．70°B．80°C．100°D．110°【分析】根
据平行四边形的性质得出∠ADC，进而利用角平分线的定义和平行线的性质解答即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥A
B，∠ADC＝180°﹣∠C＝140°，∴∠CDE+∠DEB＝180°，∵DE平分∠ADC，∴∠CDE＝70°，∴∠DEB＝180
°﹣70°＝110°，故选：D．5．（3分）化简（1+）（﹣1）2，结果正确的是（）A．1B．1﹣C．D．1+【分析】利用平方
差公式计算．【解答】解：原式＝（+1）（﹣1）（﹣1）＝（2﹣1）×（﹣1）＝﹣1．故选：C．6．（3分）如图，在△ABC中，D，
E分别是AB，BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是（）A．∠B＝∠FB．∠B
＝∠BCFC．AC＝CFD．AD＝CF【分析】利用三角形中位线定理得到DE∥AC且DE＝AC，结合平行四边形的判定定理进行选择．【
解答】解：∵在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AC且DE＝AC，A、根据∠B＝∠F不能
判定CF∥AD，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．B、根据∠B＝∠BCF可以判定CF∥AB，即CF∥AD，由“两
组对边分别平行的四边形是平行四边形”得到四边形ADFC为平行四边形，故本选项正确．C、根据AC＝CF不能判定AC∥DF，即不能判定
四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．D、根据AD＝CF，FD∥AC不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．故选：B
．7．（3分）如图，将两块相同的含有30°角的三角尺按如图所示的方式摆放在一起，AC＝2，则AB的长（）A．1B．2C．D．【
分析】作CE⊥AB，交AB的延长线于E，则四边形BECD是矩形，在Rt△BCD中，设CD＝x，则BD＝x，在Rt△ACE中，利用勾
股定理列方程，从而解决问题．【解答】解：作CE⊥AB，交AB的延长线于E，则四边形BECD是矩形，在Rt△BCD中，设CD＝x，则
BD＝x，∴CE＝BD＝x，AE＝AB+BE＝2x，在Rt△ACE中，由勾股定理得，（2x）2+（x）2＝（2）2，解得x＝2（负
值舍去），∴AB＝2，故选：B．8．（3分）如图，两条宽度分别为2和4方形纸条交叉放置，重叠部分为四边形ABCD，若AB+BC＝9
，则四边形ABCD的面积是（）A．4B．12C．8D．6【分析】根据题意判定四边形ABCD是平行四边形．如图，过点A作AE⊥B
C于点E，过点A作AF⊥CD于点F，利用面积法求得AB与BC的数量关系，从而求得该平行四边形的面积．【解答】解：依题意得：AB∥C
D，AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形．如图，过点A作AE⊥BC于点E，过点A作AF⊥CD于点F，∴AE＝1，AF＝2，∴B
C?AE＝AB?AF，∴BC＝2AB．又∵AB+BC＝9，∴AB＝3，BC＝6，∴四边形ABCD的面积＝1×6＝6故选：D．9．（
3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，P是BC边上除B、C点外的任意一点，则代数式AP2+PB?PC等于（）A．25B．1
5C．20D．30【分析】首先过点A作AD⊥BC于D，可得∠ADP＝∠ADB＝90°，又由AB＝AC，根据三线合一的性质，可得BD
＝CD，由勾股定理可得PA2＝PD2+AD2，AD2+BD2＝AB2，然后由AP2+PB?PC＝AP2+（BD+PD）（CD﹣PD
），即可求得答案．【解答】解：过点A作AD⊥BC于D，∵AB＝AC＝5，∠ADP＝∠ADB＝90°，∴BD＝CD，根据勾股定理得：
PA2＝PD2+AD2，AD2+BD2＝AB2，∴AP2+PB?PC＝AP2+（BD+PD）（CD﹣PD）＝AP2+（BD+PD）
（BD﹣PD）＝AP2+BD2﹣PD2＝AP2﹣PD2+BD2＝AD2+BD2＝AB2＝25．故选：A．10．（3分）如图，点A，
B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对下列各值：①线段MN的长；②△PAB的周长；③△PMN
的面积；④直线MN，AB之间的距离；⑤∠APB的大小．其中会随点P的移动而变化的是（）A．②③B．②⑤C．①③④D．④⑤【分析
】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MN＝AB，从而判断出①不变；再根据三角形的周长的定义判断出②是变化的；确
定出点P到MN的距离不变，然后根据等底等高的三角形的面积相等确定出③不变；根据平行线间的距离相等判断出④不变；根据角的定义判断出⑤
变化．【解答】解：∵点A，B为定点，点M，N分别为PA，PB的中点，∴MN是△PAB的中位线，∴MN＝AB，即线段MN的长度不变，
故①错误；PA、PB的长度随点P的移动而变化，所以，△PAB的周长会随点P的移动而变化，故②正确；∵MN的长度不变，点P到MN的距
离等于l与AB的距离的一半，∴△PMN的面积不变，故③错误；直线MN，AB之间的距离不随点P的移动而变化，故④错误；∠APB的大小
点P的移动而变化，故⑤正确．综上所述，会随点P的移动而变化的是②⑤．故选：B．二、填空题（每小题3分，共30分）11．（3分）化简
：＝．【分析】根据＝|a|，可得答案．【解答】解；＝＝，故答案为：．12．（3分）命题：“如果a＝b，那么a2＝b2”的逆命题
是假命题（填“真”或“假”）．【分析】直接利用逆命题的写法就是将原命题的结论与题设交换进而得出答案．【解答】解：命题：“如果a
＝b，那么a2＝b2”的逆命题是如果a2＝b2，那么a＝b，是假命题；故答案为：假．13．（3分）如果+＝0，则+＝2【分析】
根据算术平方根的非负性得出a、b的值，再将a、b的值代入原式根据二次根式的运算顺序和法则计算可得．【解答】解：∵+＝0，∴a﹣2＝
0、3﹣b＝0，则a＝2、b＝3，所以原式＝+＝+＝2．14．（3分）若a+＝4，（0＜a＜1），则＝﹣．【分析】根据完全平方
公式的变形（）2＝a+﹣2求解．【解答】解：∵0＜a＜1，∴＜0，∵（）2＝a+﹣2＝4﹣2＝2，∴＝﹣．故答案为：﹣．15．（3
分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若两边长为5和13，则第三边为13或．【分析】分13为斜边或13为直角边，分别利用勾股定
理可得答案．【解答】解：当13为斜边时，第三边为，当13为直角边时，第三边为＝，故答案为：13或．16．（3分）如图，在△ABC中
，D、E、F分别为边AB、BC、CA的中点，△ABC的周长为34cm，则△DEF的周长为17cm．【分析】根据三角形中位线定
理得到DE＝AC，DF＝BC，EF＝AB，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【解答】解：∵△ABC的周长为34cm，∴AB+AC
+BC＝34cm，∵D、E、F分别为边AB、BC、CA的中点，∴DE＝AC，DF＝BC，EF＝AB，∴△DEF的周长＝EF+DE+
DF＝×（AB+AC+BC）＝17cm，故答案为：17cm．17．（3分）观察式子：＝＝＝，＝＝＝，＝＝＝，…，由此得到的规律请你
含n（n是大于等于1的正整数）的式子表示出来，＝．【分析】列出式子化简即可得出答案．【解答】解：＝＝．故答案为：＝．18．（3
分）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短
距离是25．【分析】要求正方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．【解答】解
：如图：（1）AB＝＝＝25；（2）AB＝＝＝5；（3）AB＝＝＝5．所以需要爬行的最短距离是25．19．（3分）如图，在Rt△A
CB中，∠ACB＝90°，BC＝AC＝4，在直线BC上找一点P，使得△ABP为以AB为腰的等腰三角形，则PC的长度为4+4或4
﹣4或4．【分析】先利用勾股定理求出AB，再分为三种情况，①AB＝BP时，CP＝BP+BC即可求解，②AB＝BP时，CP＝BP﹣
BC即可求解，③AB＝AP时，可得BC＝CP，即可求解．【解答】解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，BC＝AC＝4，∴AB＝＝
4，①如图，AB＝BP时，∴BP＝4，∴CP＝BP+BC＝4+4，②如图，AB＝BP时，∴BP＝4，∴CP＝BP﹣BC＝4﹣4，③
如图，AB＝AP时，∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BP，∴点C为BP中点，∴CP＝BC＝4，综上，PC的长为4+4或4﹣4或4．20
．（3分）如图，?ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，∠AEB＝45°，BD＝2，将△ABC沿AC所在直线翻折180°到其原来
所在的同一平面内，若点B的落点记为B′，则DB′的长为．【分析】解法一：如图，连接BB′．根据折叠的性质知△BB′E是等腰直角
三角形，则BB′＝BE．又B′E是BD的中垂线，则DB′＝BB′．解法二：利用折叠的性质和平行四边形的性质得到△B′ED是等腰直角
三角形，由等腰直角三角形的性质解答即可．【解答】解法一：∵四边形ABCD是平行四边形，BD＝2，∴BE＝BD＝1．如图2，连接BB
′．根据折叠的性质知，∠AEB＝∠AEB′＝45°，BE＝B′E．∴∠BEB′＝90°，∴△BB′E是等腰直角三角形，则BB′＝B
E＝．又∵BE＝DE，B′E⊥BD，∴DB′＝BB′＝．解法二：如图2，根据折叠的性质知，∠BEA＝∠B′EA＝45°，则∠B′E
D＝90°．又由折叠的性质和平行四边形ABCD的性质知，BE＝B′E＝DE，∴△B′ED是等腰直角三角形，∴DB′＝DE＝×BD＝
故答案为：．三、计算题（21题每题各5分，22每题10分）21．（10分）计算：（1）2×．（2）（）．【分析】（1）先化简，然后
约分即可；（2）先化简括号内的式子，然后根据乘法分配律计算即可．【解答】解：（1）2×＝4××＝3×＝；（2）（）＝（4﹣）×＝4
×﹣×＝﹣．22．（10分）若x、y为实数，且y＝，求?的值．【分析】根据二次根式有意义的得出x，y的值进而代入原式求出即可．【解
答】解：∵y＝，∴x2﹣4＝0，x+2≠0，解得：x＝2，∴y＝，∴?＝×＝×＝．四、证明题：（23，24每题10分）23．（10
分）如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点．（1）求证：△ACE≌△BCD；（2
）若AD＝5，DE＝13，求BE长．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得CD＝CE，AC＝BC，∠ECD＝∠ACB＝90°，
所以∠ACE＝∠BCD，利用SAS即可证明结论；（2）根据勾股定理即可解决问题．【解答】（1）证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直
角三角形，∴CD＝CE，AC＝BC，∠ECD＝∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BC
D（SAS）；（2）解：∵△ACE≌△BCD，∴BD＝AE，∠CAE＝∠CBD＝45°，∴∠EAD＝90°，∵AD＝5，DE＝13，∴AE＝＝12．∴BD＝12，∴AB＝AD+DB＝5+12＝17，如图，连接BE，在Rt△ABE中，∠EAB＝90°，AE＝12，AB＝17，∴BE＝＝＝．24．（10分）如图，在?ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE＝DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG＝CH，连接GE、EH、HF、FG．求证：（1）△BEG≌△DFH；（2）四边形GEHF是平行四边形．【分析】（1）利用平行四边形的性质得出BG＝DH，进而利用SAS得出△BEG≌△DFH；（2）利用全等三角形的性质得出∠GEF＝∠HFB，进而得出答案．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥DC，∴∠ABE＝∠CDF，∵AG＝CH，∴BG＝DH，在△BEG和△DFH中，，∴△BEG≌△DFH（SAS）；（2）∵△BEG≌△DFH（SAS），∴∠BEG＝∠DFH，EG＝FH，∴∠GEF＝∠HFB，∴GE∥FH，∴四边形GEHF是平行四边形． |
|
