一、主要内容平面点集和区域多元函数概念多元函数的极限极限运算多元连续函数的性质多元函数连续的概念全微分概念方向导数全微分的应用复合函数求导法则高阶偏导数偏导数概念全微分形式的不变性隐函数求导法则多元函数的极值微分法在几何上的应用1、区域（1）邻域（2）区域连通的开集称为区域或开区域．（3）聚点（4）n维空间2、多元函数概念定义类似地可定义三元及三元以上函数．3、多元函数的极限（1）定义中的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限说明：（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．4、极限的运算5、多元函数的连续性6、多元连续函数的性质（1）最大值和最小值定理在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．（2）介值定理在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．7、偏导数概念８、高阶偏导数纯偏导混合偏导定义二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.９、全微分概念函数连续函数可导函数可微偏导数连续多元函数连续、可导、可微的关系10、全微分的应用主要方面:近似计算与误差估计.以上公式中的导数称为全导数.11、复合函数求导法则无论是自变量的函数或中间变量的函数，它的全微分形式是一样的.12、全微分形式不变性13、隐函数的求导法则隐函数的求导公式14、微分法在几何上的应用(1)空间曲线的切线与法平面切线方程为法平面方程为(２)曲面的切平面与法线切平面方程为法线方程为15、方向导数记为三元函数方向导数的定义梯度的概念梯度与方向导数的关系16、多元函数的极值定义多元函数取得极值的条件定义一阶偏导数同时为零的点，均称为多元函数的驻点.驻点极值点注意条件极值：对自变量有附加条件的极值．二、典型例题例1解例2解例3解于是可得,例4解例5解例6解分析:得测验题测验题答案设是平面上的一个点，是某一正数，与点距离小于的点的全体，称为点的邻域，记为，
设E是平面上的一个点集，P是平面上的一个点，如果点P的任何一个邻域内总有无限多个点属于点集E，则称P为E的聚点.
设为取定的一个自然数，我们称元数组的全体为维空间，而每个元数组称为维空间中的一个点，数称为该点的第个坐标.
设是平面上的一个点集，如果对于每个点，变量按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称是变量的二元函数，记为（或记为）.
当时，元函数统称为多元函数.
定义设函数的定义域为是其聚点，如果对于任意给定的正数，总存在正数，使得对于适合不等式的一切点，都有成立，则称为函数当，时的极限，
记为
（或这里）.
定义设元函数的定义域为点集是其聚点且，如果则称元函数在点处连续.
设是函数的定义域的聚点，如果在点处不连续，则称是函数的间断点.
定义设函数在点的某一邻域内有定义，当固定在而在处有增量时，相应地函数有增量
，
如果存在，则称此极限为函数在点处对的偏导数，记为
同理可定义函数在点处对的偏导数，为
记为，，或.
，，或.
如果函数在区域内任一点处对的偏导数都存在，那么这个偏导数就是、的函数，它就称为函数对自变量的偏导数，
记作，，或.
同理可以定义函数对自变量的偏导数，记作，，或.
函数的二阶偏导数为
如果函数在点的全增量可以表示为，其中A,B不依赖于而仅与有关，，则称函数在点可微分，称为函数在点的全微分，记为，即=.
定理如果函数及都在点可导，函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在对应点可导，且其导数可用下列公式计算：
．
如果及都在点具有对和的偏导数，且函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在对应点的两个偏导数存在，且可用下列公式计算
，
.
.
隐函数存在定理1设函数在点的某一邻域内具有连续的偏导数，且，，则方程在点的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数，它满足条件，并有.
隐函数存在定理2设函数在点
的某一邻域内有连续的偏导数，且
，，则方程
在点的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数，它满足条件，
并有，.
隐函数存在定理3设、在点的某一邻域内有对各个变量的连续偏导数，且,
，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比式）
在点不等于零，则方程组
、
在点的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数，，它们满足条件,
，并有
定理如果函数在点是可微分的，那末函数在该点沿任意方向L的方向导数都存在，且有，
其中为轴到方向L的转角．
（其中）
定义设函数在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点，都可定出一个向量，这向量称为函数在点的梯度，记为
.
函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值．梯度的模为
.
设函数在点的某邻域内有定义，对于该邻域内异于的点：若满足不等式，则称函数在有极大值；若满足不等式，则称函数在有极小值；
极大值、极小值统称为极值.
使函数取得极值的点称为极值点.
定理1（必要条件）
设函数在点具有偏导数，且在点处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：，.
定理2（充分条件）
设函数在点的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，
则在点处是否取得极值的条件如下：
（1）时有极值，
当时有极大值，当时有极小值；
（2）时没有极值；
（3）时可能有极值.
又,，令
，，，
第二步对于每一个驻点，
求函数极值的一般步骤：
第三步定出的符号，再判定是否是极值.
求出实数解，得驻点.
第一步解方程组
求出二阶偏导数的值.
拉格朗日乘数法
要找函数在条件下的可能极值点，
先构造函数，
其中为某一常数，可由
解出，其中就是可能的极值点的坐标.
选择题:
二元函数的定义
域是().
（A）；（B）；
（C）；（D）.
2、设,则().
（A）；（B）；
（C）；（D）.
3、().
(A)0；(B)1；
(C)2；(D).
4、函数在点处连续,且两个偏导数
存在是在该点可微
的().
（A）充分条件,但不是必要条件；
（B）必要条件,但不是充分条件；
（C）充分必要条件；
（D）既不是充分条件,也不是必要条件.
5、设
则在原点处().
(A)偏导数不存在；(B)不可微；
(C)偏导数存在且连续；(D)可微.
6、设其中具有二阶连续偏
导数.则().
(A)；(B)；
(C)；(D).
7、曲面的切平面与三个坐标面所围
成的四面体的体积V=().
(A)；(B)；
(C)；(D).
8、二元函数的极值点是().
(A)(1,2)；(B)(1.-2)；
(C)(-1,2)；(D)(-1,-1).
9、函数满足
的条件极值是
().
(A)1；(B)0；
(C)；(D).
10、设函数在点的某邻
域内可微分,则在点处有
().
二、讨论函数的连续性，并指出间断点类型.
三、求下列函数的一阶偏导数:
1、；
2、；
3、.
四、设,而是由方程所
确的函数,求.
五、设,其中具有连续的二阶偏导
数,求.
设,试求和.
设轴正向到方向的转角为求函数在点(1,1)沿方向的方向导数,并分别确定转角使这导数有(1)最大值；(2)最小值；(3)等于零.
求平面和柱面的交线上与平面距离最短的点.
九、在第一卦限内作椭球面的切平面,
使该切平面与三坐标面所围成的四面体的体积最
小,求这切平面的切点,并求此最小体积.
一、1、A；2、B；3、B；4、B；5、D；
6、C；7、A；8、A；9、D；10、B.
二、(1)当时,在点函数连续；
(2)当时,而不是原点时,
则为可去间断点,为无穷间断点.
三、1、,；
2、
.
3、
.
四、.
五、.
六、
七、
八、
九、切点.
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