《九章算术》少广引申之无穷级数上传书斋名：潇湘馆112XiāoXiāngGuǎn112何世强HoSaiKeung提要：本文
主要介绍《九章算术》之“少广”法。其法是从一亩之长方形田，从其长截取部分面积，将其面积化成另一长方形，转贴至原来长方形之阔边上，于
是一亩长方形之长度减少，但其阔度增加，一加一减面积不变，是为“从少广益”，简称之为“少广”。此种截取与补贴可以进行多次，形成一无
穷级数。宜注意最小公倍数之应用及“从少广益”引申为无穷级数。关键词：少广积幂第1节再谈《九章算术》中之少广术笔者有文名为〈
《九章算术》少广之面积分截与补贴〉，本文乃其补充。《九章算术?卷四》之题为〈少广〉，﹝《九章算术》简称为《九章》﹞曰：少广以衘积幂
方圆。“衘”，此处可解作计算。“积幂”指“积与幂”，两字同时可解作面积。其意指少广之术用以计算方形﹝包括长方形﹞及圆形之面积。〈少
广〉谈及面积之分割，于是此章又包括求平方根与立方根，因为求平方根与立方根可以以图之分割解释。〈少广〉与《九章算术?卷一》之〈方田〉
不同，〈方田〉以长乘以阔以计算长方形面积，〈少广〉乃指长方形面积之分割与补贴，而面积保持不变。至于“积幂”之解释，《九章算术?卷一
》李淳风等按曰：经云：广从相乗得积步。注云：广从相乘谓之幂。观斯注，意积幂义同以理推之，固不当尔。何则？幂是四方单布之名，积乃众数
聚居之称。循名责实，二者全殊，虽欲同之，窃恐不可。“广”即“阔”，“从”即“纵”即“长”。意指长方形面积为长与阔相乘。李淳风（公元
602年至670年），岐州雍人（即今陕西省凤翔县），唐初天文学家和数学家，以注释《九章》知名。“广从相乘得积步”及“广从相乘谓
之幂”显然同指面积。李籍音义释“积幂”曰：积者，聚也，众数聚居之称。幂者，覆也，方面单布之名。积幂之义不同，如此。李籍撰《九章算术
音义》，《九章算术》有四库全书版本，此版本之后附有李籍撰之《九章算术音义》。其音义有“淳风”一条，故可知其所处之年代必后于李淳风。
故李籍对“积幂”之解释，乃依据李淳风之说。《九章算术》言李籍乃唐人。李籍除着有《九章算术音义》外，尚着有《周髀算经音义》，此书亦有
四库全书版本，附于《周髀算经》之后，标明《周髀算经音义》之作者为李籍，其官职为“假承务郎秘书省钩考算经文字”。《周髀算经》乃北宋秘
书省诸臣校订，李籍亦属于此省之官员，时为北宋神宗元丰七年甲子九月，合公元1084年。故李籍乃北宋时人。《九章算术》后附李籍撰之
《九章算术音义》注明李籍为唐人，相信以北宋人为是。“积幂”粗略而言应同指面积。若言“众数聚居”曰“积”，“方面单布”曰“幂”则字
义更含糊现先谈及〈少广〉长方形之分割及补贴。唐?李淳风等按：一亩之田，广一步，长二百四十步。今欲截取其从少，以益其广，故曰少广。李
淳风之意指从一亩之长方形，从其长﹝即“从”，同“纵”﹞截取部分面积，将其面积化成另一长方形，转贴至原来长方形之阔边上，于是原有长方
形之长度减少﹝是为“从少”﹞，但其阔度增加﹝是为“广益”﹞，一加一减面积不变，是为“从少广益”，简称之为“少广”。李籍音义曰：“
少广”，从多，截从之多，益广之少，故曰“少广”。《九章》之面积算法以1步×240步=240方步﹝是为1亩﹞为标
准，其他等于1亩面积之长方形皆由此面积变化而来。以下为一亩之田图，广一步，长二百四十步，其面积即二百四十方步。《九章》时面积无
“方步”之说法，为免混淆，今补上。今将长方形ABCD分割出长方形CDEF，并将长方形CDEF化成另一同面积长方形BGH
F，在此情况下，长方形ABCD=长方形AGHE。以下为〈少广〉图：BG是为广益，FC是为从少，所以“从少广益”有“
减长增阔”义。AB=1，AD=240，BG=1/d，d为已知数，BF=x，x为未知数，求x。x=。x是
为从步。但从ABCD之下方可截取多个长方形如及补贴同面积之长方形在右方，如下图：上图除x外，其他为已知数。所有下方之长方形
和EFCD=所有右方之长方形和BJKF。《九章》指出面积固定之长方形仍可继续作“从少广益”之分割和补贴，所以新长方形之阔﹝
即广﹞为[1++++…+]，面积为ab，故其长为ab÷[1++++…+]。右方须
通分母，通分母后须扩大分子。以上《九章》之p、q、r、…w为数序2、3、4、…n。n为有限值。第2节《九章算术》中
之剩余少广题以下为《九章》之〈少广〉题，涉及一亩之标准田﹝广1步×从240步=240方步﹞面积，但长阔不同。第一
至第六题见于笔者之〈《九章算术》少广之面积分截与补贴〉，本文计算余下之题。【第七题】今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步
之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一。求田一亩，问：从几何？答曰：八十八步七百六十一分步之二百三十二。解：题意指一亩之田，其
广﹝阔﹞AJ=(1+++++++)步，求其长﹝即“纵”或“从”﹞。依上图之直接算法，先算出其广：
1+++++++==。为除数。再以面积为被除数，所以从步数=240÷=240×
===88。术曰：下有八分，以一为八百四十，半为四百二十，三分之一为二百八十，四分之一为二百一十，五分之一为一百六十
八，六分之一为一百四十，七分之一为一百二十，八分之一为一百五，并之，得二千二百八十三，以为法。置田二百四十步，亦以一为八百四十
乘之，为实。实如法得从步。下有八分，指分母有1至8之数。以一为八百四十，指1至8之最小公倍数为840，而1=
。半为四百二十，指=；三分之一为二百八十，指=；四分之一为二百一十，指=；五分之一为一百六十八，指=
；六分之一为一百四十，指=；七分之一为一百二十，指=；八分之一为一百五，指=。并之，得二千二百八十三，指以上
八式之和得，以为法即除数。置田二百四十步，亦以一为八百四十乘之，得240×840=201600为实。实如法得从步，=
=88。答：田长88步。【第八题】今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一
、九分步之一。求田一亩，问：从几何？答曰：八十四步七千一百二十九分步之五千九百六十四。解：依上例之直接算法，其广AJ=(1
++++++++)步，1++++++++==。所以从步数=
240÷=240×==84。术曰：下有九分，以一为二千五百二十，半为一千二百六十，三分之一为八百四十，四
分之一为六百三十，五分之一为五百四，六分之一为四百二十，七分之一为三百六十，八分之一为三百一十五，九分之一为二百八十，并之，得七千
一百二十九，以为法。置田二百四十步，亦以一为二千五百二十乘之，为实。实如法得从步。下有九分，指分母有1至9之数。以一为二千
五百二十，指1至9之最小公倍数为12520，而1=。半为一千二百六十，指=；三分之一为八百四十，指=；四
分之一为六百三十，指=；五分之一为五百四，指=；六分之一为四百二十，指=；七分之一为三百六十，指=；八分之一为三百
一十五，指=；九分之一为二百八十，指=；并之，得七千一百二十九，指以上九式之和得以为法即除数。置田二百四十步，亦以一为二
千五百二十乘之，为实，得240×2520=604800为实。实如法得从步即=84。答：田长84步。【第九题】今有
田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一。求田一亩，问：从几何
？答曰：八十一步七千三百八十一分步之六千九百三十九。术曰：下有一十分，以一为二千五百二十，半为一千二百六十，三分之一为八百四十，
四分之一为六百三十，五分之一为五百四，六分之一为四百二十，七分之一为三百六十，八分之一为三百一十五，九分之一为二百八十，十分之一
为二百五十二，并之，得七千三百八十一，以为法。置田二百四十步，亦以一为二千五百二十乘之，为实。实如法得从步。解：依上例之直接算法
，其广AJ=(1+++++++++)步，1++++++++
+==。所以从步数=240÷=240×==81。下有一十分，指分母有1至10之数。
以一为二千五百二十，指1至10之最小公倍数为12520，而1=。半为一千二百六十，指=；三分之一为八百四十，
指=；四分之一为六百三十，指=；五分之一为五百四，指=；六分之一为四百二十，指=；七分之一为三百六十，指=；八
分之一为三百一十五，指=；九分之一为二百八十，指=；十分之一为二百五十二，指=；并之，得七千三百八十一，指以上十式之和
得以为法即除数。置田二百四十步，亦以一为二千五百二十乘之，为实，得240×2520=604800为实。实如法得从步即
=81。答：田长81步。【第十题】今有田广一步半、三分步之一、四分之步一、五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一
、九分步之一、十分步之一、十一分步之一。求田一亩，问：从几何？答曰：七十九步八万三千七百一十一分步之三万九千六百三十一。术曰：下
有一十一分，以一为二万七千七百二十，半为一万三千八百六十，三分之一为九千二百四十，四分之一为六千九百三十，五分之一为五千五百四十
四，六分之一为四千六百二十，七分之一为三千九百六十，八分之一为三千四百六十五，九分之一为三千八十，一十分之一为二千七百七十二，
一十一分之一为二千五百二十，并之，得八万三千七百一十一，以为法。置田二百四十步，亦以一为二万七千七百二十乘之，为实。实如法得从
步。解：依上例之直接算法，其广AJ=(1++++++++++)步，1+++
+++++++==。所以从步数=240÷=240×==79。下有一
十一分，指分母有1至11之数。以一为二万七千七百二十，指1至11之最小公倍数为27720，而1=。半为一万
三千八百六十，指=；三分之一为九千二百四十，指=；四分之一为六千九百三十，指=；五分之一为五千五百四十四，指=；
六分之一为四千六百二十，指=；七分之一为三千九百六十，指=；八分之一为三千四百六十五，指=；九分之一为三千八十，指=
；一十分之一为二千七百七十二，指=；一十一分之一为二千五百二十，指=；并之，得八万三千七百一十一，指以上十一式之和得以
为法即除数。置田二百四十步，亦以一为二万七千七百二十乘之，为实。得240×27720=6652800，实如法得从步即=
79。答：田长79步。【第十一题】今有田广一步半、三分步之一、四分步之一，五分步之一、六分步之一、七分步之一、八分步之一、九
分步之一、十分步之一、十一分步之一、十二分步之一。求田一亩，问：从几何？答曰：七十七步八万六千二十一分步之二万九千一百八十三。术曰
：下有一十二分，以一为八万三千一百六十，半为四万一千五百八十，三分之一为二万七千七百二十，四分之一为二万七百九十，五分之一为一万六
千六百三十二，六分之一为一万三千八百六十，七分之一为一万一千八百八十，八分之一为一万三百九十五，九分之一为九千二百四十，一十分之
一为八千三百一十六，十一分之一为七千五百六十，十二分之一为六千九百三十，并之，得二十五万八千六十三，以为法。置田二百四十步，亦以一
为八万三千一百六十乘之，为实。实如法得从步。唐?李淳风等人发现83160并非最小公倍数，以27720方为1至12之
最小公倍数。为减少累赘之数字，今采用27720为最小公倍数。解：依上例之直接算法，其广AJ=(1++++
+++++++)步，1+++++++++++==。
所以从步数=240÷=240×==77。〔淳风等按：凡为术之意，约省为善。宜云“下有一十二分，以一为二万七
千七百二十，半为一万三千八百六十，三分之一为九千二百四十，四分之一为六千九百三十，五分之一为五千五百四十四，六分之一为四千六百二
十，七分之一为三千九百六十，八分之一为三千四百六十五，九分之一为三千八十，十分之一为二千七百七十二，十一分之一为二千五百二十，
十二分之一为二千三百一十，并之，得八万六千二十一，以为法。置田二百四十步，亦以一为二万七千七百二十乘之，以为实。实如法得从步。
”其术亦得知，不繁也。〕下有一十二分，指分母有1至12之数。以一为二万七千七百二十，指1至11之最小公倍数为27
720，而1=。半为一万三千八百六十，指=；三分之一为九千二百四十，指=；四分之一为六千九百三十，指=；五分之
一为五千五百四十四，指=；六分之一为四千六百二十，指=；七分之一为三千九百六十，指=；八分之一为三千四百六十五，指=
；九分之一为三千八十，指=；一十分之一为二千七百七十二，指=；一十一分之一为二千五百二十，指=；十二分之一为二千三百
一十，指=；并之，得八万六千二十一，以为法。置田二百四十步，亦以一为二万七千七百二十乘之，以为实。即240×27720
=6652800。实如法得从步。=77。答：田长77步。第3节少广术之无穷级数今将以上之结果列成下表﹝补上旧文结
果﹞：广纵12401+1601++1301+++1151++++1051+++
++971++++++921+++++++881++++
++++841+++++++++811++++++
++++791+++++++++++77从上表可知，当一亩之田之广增加，
其纵则减少，从右栏可知，长方形之广﹝即阔﹞依自然数之倒数不断增加，则其纵﹝即长﹞不断减少而趋向0，于是可得一重要结果：1+
+++…=∞。即发散至+∞(divergesto+∞)。“从少广益”本来是初等数学题，但如果其减与
增之项数趋向无限，则成高等数学题，即x趋向0，但不为0，长方形之广趋向一条无限长之直线，但非完全直线。今证明1++
++…=∞如下：今有级数-----------------------------------------(1
)试证级数发散至+∞(divergesto+∞)。本题可用级数比较(comparisonseriestest)
证明法证明。级数(1)可写成++++……----------------------------------
-----(2)将(2)式分组成以下形式：(+)+(+)+(+++)+(+++
++++)+(++……-------------------(3)从上式(3)可知第1组有两项。
第2组有22–1项，即2项。第3组有23–1项，即4项。第4组有24–1项，即8项。……第r组有2r–1项。从式(3)可知：第1组=+；第2组>+=﹝因为>，以下类推﹞；第3组>+++=；第4组>+++++++=；……第n组=+++……+>++…+=；第n组有2n–1项﹝元素﹞。从以上可知，第1至4组之和=1+×4，容易推得第1至n组之和=1+n；所以当n→∞，1+n→∞，所以从以上之级数比较法可知发散至+∞。证毕。以上乃高等数学涉及级数之重要结果。笔者一向认为《九章算术?卷四》之〈少广〉章有以上含意，不独谈面积，若果只独谈面积，大可归纳于卷一之〈方田〉，因此以上之结果值得留意。(1) |
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