2022年山东省临沂市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．﹣2的相反数是（）A．±2B．﹣C．2D．2．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人
类非物质文化遗产代表作名录．鱼与“余”同音，寓意生活富裕、年年有余，是剪纸艺术中很受喜爱的主题．以下关于鱼的剪纸中，既是轴对称图形
又是中心对称图形的是（）3．计算a（a+1）﹣a的结果是（）A．1B．a2C．a2+2aD．a2﹣a+14．如图，A，B位
于数轴上原点两侧，且OB＝2OA．若点B表示的数是6，则点A表示的数是（）A．﹣2B．﹣3C．﹣4D．﹣55．如图所示的三棱柱
的展开图不可能是（）A．B．C．D．6．如图是某一水塘边的警示牌，牌面是五边形，这个五边形的内角和是（）A．900°B．7
20°C．540°D．360°7．满足m＞|﹣1|的整数m的值可能是（）A．3B．2C．1D．08．方程x2﹣2x﹣24＝0的
根是（）A．x1＝6，x2＝4B．x1＝6，x2＝﹣4C．x1＝﹣6，x2＝4D．x1＝﹣6，x2＝﹣49．为做好疫情防控工作
，某学校门口设置了A，B两条体温快速检测通道，该校同学王明和李强均从A通道入校的概率是（）A．B．C．D．10．如图，在△AB
C中，DE∥BC，＝，若AC＝6，则EC＝（）A．B．C．D．11．将5kg浓度为98%的酒精，稀释为75%的酒精．设需要加水
xkg，根据题意可列方程为（）A．0.98×5＝0.75xB．＝0.75C．0.75×5＝0.98xD．＝0.9812．甲、乙
两车从A城出发前往B城，在整个行程中，汽车离开A城的距离y（单位：km）与时间x（单位：h）的对应关系如图所示，下列说法中不正确的
是（）A．甲车行驶到距A城240km处，被乙车追上B．A城与B城的距离是300kmC．乙车的平均速度是80km/hD．甲车比乙
车早到B城二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13．比较大小：（填“＞”，“＜”或“＝”）．14．因式分解：2
x2﹣4x+2＝．15．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，B的坐标分别是A（0，2），B（2，﹣1）．平移△ABC
得到△A''B''C''，若点A的对应点A''的坐标为（﹣1，0），则点B的对应点B''的坐标是．16．如图，在正六边形ABCDEF
中，M，N是对角线BE上的两点．添加下列条件中的一个：①BM＝EN；②∠FAN＝∠CDM；③AM＝DN；④∠AMB＝∠DNE．能使
四边形AMDN是平行四边形的是（填上所有符合要求的条件的序号）．三、解答题（本大题共7小题，共72分）17．（12分）计算
：（1）﹣23÷×（﹣）；（2）﹣．18．（8分）省农科院为某县选育小麦种子，为了解种子的产量及产量的稳定性，在该县的10个乡镇中
，每个乡镇选择两块自然条件相近的实验田分别种植甲、乙两种小麦，得到其亩产量数据如下（单位：kg）：甲种小麦：8048188
02816806811818811803819乙种小麦：804811806810802
812814804807809画以上甲种小麦数据的频数分布直方图，甲乙两种小麦数据的折线图，得到图1，图2（1
）图1中，a＝，b＝；（2）根据图1，若该县选择种植甲种小麦，则其亩产量W（单位：kg）落在内的可能性最大；A
.800≤W＜805B.805≤W＜810C.810≤W＜815D.815≤W＜820（3）观察图2，从小麦的产量或产量的稳定性的
角度，你认为农科院应推荐种植哪种小麦？简述理由．19．（8分）如图是一座独塔双索结构的斜拉索大桥，主塔采用倒“Y”字形设计．某学习
小组利用课余时间测量主塔顶端到桥面的距离．勘测记录如下表：活动内容测量主塔顶端到桥面的距离成员组长：×××组员××××××××××
××测量工具测角仪，皮尺等测量示意图说明：左图为斜拉索桥的侧面示意图，点A，C，D，B在同一条直线上，EF⊥AB，点A，C分别与点
B，D关于直线EF对称．测量数据∠A的大小28°AC的长度84mCD的长度12m请利用表中提供的信息，求主塔顶端E到AB的距离（参
考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）．20．（10分）杠杆原理在生活中被广泛应用（杠杆
原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂），小明利用这一原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图1）．制作方法如下：第一步：在一根匀质
细木杆上标上均匀的刻度（单位长度1cm），确定支点O，并用细麻绳固定，在支点O左侧2cm的A处固定一个金属吊钩，作为秤钩；第二步：
取一个质量为0.5kg的金属物体作为秤砣．（1）图1中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点O右侧的B处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．
当重物的质量变化时，OB的长度随之变化．设重物的质量为xkg，OB的长为ycm．写出y关于x的函数解析式；若0＜y＜48，求x的取
值范围．（2）调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点O右侧的B处，使秤杆平衡，如图2．设重物的质量为xkg，OB的长
为ycm，写出y关于x的函数解析式，完成下表，画出该函数的图象．x/kg……0.250.5124……y/cm……
……21．（10分）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，直线AO交⊙O于C，D两点，连接BC，BD．过圆心O作BC的平行
线，分别交AB的延长线、⊙O及BD于点E，F，G．（1）求证：∠D＝∠E；（2）若F是OE的中点，⊙O的半径为3，求阴影部分的面积
．22．（12分）已知△ABC是等边三角形，点B，D关于直线AC对称，连接AD，CD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）在线
段AC上任取一点P（端点除外），连接PD．将线段PD绕点P逆时针旋转，使点D落在BA延长线上的点Q处．请探究：当点P在线段AC上的
位置发生变化时，∠DPQ的大小是否发生变化？说明理由．（3）在满足（2）的条件下，探究线段AQ与CP之间的数量关系，并加以证明．2
3．（12分）第二十四届冬奥会在北京成功举办，我国选手在跳台滑雪项目中夺得金牌．在该项目中，运动员首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后
在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止．本项目主要考核运动员的飞行距离和动作姿态，某数学兴趣小组对该项目中的
数学问题进行了深入研究：如图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区CD所在水平线为x轴，过起跳点A与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标
原点，建立平面直角坐标系．着陆坡AC的坡角为30°，OA＝65m，某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆，AB＝100m
．在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离y（m）与水平方向移动的距离x（m）具备二次函数关系，其解析式为y＝﹣x2+bx+c．（1）
求b，c的值；（2）进一步研究发现，运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离x（m）与飞行时间t（s）具备一次函数关系，当运动员在
起跳点腾空时，t＝0，x＝0；空中飞行5s后着陆．①求x关于t的函数解析式；②当t为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值
是多少？一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．﹣2的相反数
是（）A．±2B．﹣C．2D．【分析】相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．【解答】解：﹣2的相反数是2，故选：C
．【点评】本题考查了相反数，熟记相反数的定义是解答本题的关键．2．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化
遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．鱼与“余”同音，寓意生活富裕、年年有余，是剪纸艺术中很受喜爱的主题．以下关于鱼的剪纸中，既
是轴对称图形又是中心对称图形的是（）【分析】对称图形又是中心对称图形的定义【解答】由中心对称的性质：连接中心对称图形上每一对对
称点的线段都经过对称中心，且被对称中心平分。轴的性质：对称轴是一条直线；在轴对称图形中，对称轴两侧的对应点到对称轴两侧的距离相等；
在轴对称图形中，沿对称轴将它对折，左右两边完全重合；如果两个图形关于某条直线对称，那么这条直线就是对称轴且对称轴垂直平分对称点所连
线段；图形对称。故选：D．【点评】本题考查了图形与几何的初步应用，又联系了数学文化与生活，从剪纸民间艺术角度命题，熟知定义并会做判
断是解题的关键所在3．计算a（a+1）﹣a的结果是（）A．1B．a2C．a2+2aD．a2﹣a+1【分析】去括号后合并同类项即
可得出结论．【解答】解：a（a+1）﹣a＝a2+a﹣a＝a2，故选：B．【点评】本题主要考查了整式的混合运算，正确使用去括号的法则
是解题的关键．4．如图，A，B位于数轴上原点两侧，且OB＝2OA．若点B表示的数是6，则点A表示的数是（）A．﹣2B．﹣3C．
﹣4D．﹣5【分析】根据条件求出OA的长度，点A在原点的左侧，点A为负数，从而得出答案．【解答】解：∵点B表示的数是6，∴OB＝6
，∵OB＝2OA，∴OA＝3，∴点A表示的数为﹣3，故选：B．【点评】本题考查了实数与数轴，根据条件求出OA的长度是解题的关键．5
．如图所示的三棱柱的展开图不可能是（）A．B．C．D．【分析】根据题意和各个选项中的图形，可以判断哪个图形不可能是三棱柱的展开
图．【解答】解：如图所示的三棱柱的展开图不可能是，故选：D．【点评】本题考查几何体的展开图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合
的思想解答．6．如图是某一水塘边的警示牌，牌面是五边形，这个五边形的内角和是（）A．900°B．720°C．540°D．360
°【分析】根据多边形的内角和公式：（n﹣2）?180°即可得出答案．【解答】解：（5﹣2）×180°＝540°，故选：C．【点评】
本题考查了多边形内角与外角，掌握多边形的内角和公式：（n﹣2）?180°是解题的关键．7．满足m＞|﹣1|的整数m的值可能是（
）A．3B．2C．1D．0【分析】用夹逼法估算无理数的大小，根据正数的绝对值等于它本身得到2＜|﹣1|＜3，从而得出答案．【解答】
解：∵9＜10＜16，∴3＜＜4，∴2＜﹣1＜3，∴2＜|﹣1|＜3，∴m可能是3，故选：A．【点评】本题考查了估算无理数的大小，
无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．8．方程x2﹣2x﹣24＝0的根是（）A．x1＝6，x2＝4B．x1＝
6，x2＝﹣4C．x1＝﹣6，x2＝4D．x1＝﹣6，x2＝﹣4【分析】利用十字相乘法因式分解即可．【解答】解：x2﹣2x﹣24＝
0，（x﹣6）（x+4）＝0，x﹣6＝0或x+4＝0，解得x1＝6，x2＝﹣4，故选：B．【点评】本题考查了利用因式分解法解一元二
次方程，掌握十字相乘法因式分解是解答本题的关键．9．为做好疫情防控工作，某学校门口设置了A，B两条体温快速检测通道，该校同学王明和
李强均从A通道入校的概率是（）A．B．C．D．【分析】画树状图，两名同学过通道的可能共有四种，然后利用概率公式求解即可．【解答
】解：画树状图如图：由图可知，共有4种等可能的结果，其中王明与李强均从A通道入校的结果只有1种．∴王明和李强均从A通道入校的概率为
．故选：A．【点评】本题考查了列表法与树状图法求概率，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．10．如图，在△ABC中，D
E∥BC，＝，若AC＝6，则EC＝（）A．B．C．D．【分析】利用平行线分线段成比例定理解答即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴
＝，∴，∴，∴EC＝．故选：C．【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，正确使用定理得出比例式是解题的关键．11．将5kg浓
度为98%的酒精，稀释为75%的酒精．设需要加水xkg，根据题意可列方程为（）A．0.98×5＝0.75xB．＝0.75C．0
.75×5＝0.98xD．＝0.98【分析】将5kg浓度为98%的酒精，稀释为75%的酒精，酒精质量不变，求出稀释后的酒精质量和酒
精溶液的质量，再减去5kg得出加水的质量即可．【解答】解：根据稀释前后酒精的质量不变，可表示出稀释后的酒精的浓度，列方程为：＝0.
75，故选：B．【点评】本题主要考查了根据实际问题列分式方程，找准题目的等量关系式解答本题的关键．12．甲、乙两车从A城出发前往B
城，在整个行程中，汽车离开A城的距离y（单位：km）与时间x（单位：h）的对应关系如图所示，下列说法中不正确的是（）A．甲车行
驶到距A城240km处，被乙车追上B．A城与B城的距离是300kmC．乙车的平均速度是80km/hD．甲车比乙车早到B城【分析】根
据“速度＝路程÷时间”，得出两车的速度，再逐一判断即可．【解答】解：由题意可知，A城与B城的距离是300km，故选项B不合题意；甲
车的平均速度是：300÷5＝60（km/h），乙车的平均速度是：300÷（4﹣1）＝80（km/h），故选项C不合题意；设乙车出发
x小时后追上甲车，则60（x+1）＝80x，解得x＝3，60×4＝240（km），即甲车行驶到距A城240km处，被乙车追上，故选
项A不合题意；由题意可知，乙车比甲车早到B城，故选项D符合题意．故选：D．【点评】此题主要考查了看函数图象，关键是正确从函数图象中
得到正确的信息．二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13．比较大小：＜（填“＞”，“＜”或“＝”）．【分析】利用
平方法比较大小即可．【解答】解：∵（）2＝，（）2＝，＜，∴＜，故答案为：＜．【点评】本题考查了实数大小比较，利用平方法比较大小是
解题的关键．14．因式分解：2x2﹣4x+2＝2（x﹣1）2．【分析】先提取2，然后用完全平方公式分解即可．【解答】解：2x2
﹣4x+2＝2（x2﹣2x+1）＝2（x﹣1）2故答案为2（x﹣1）2．【点评】此题主要考查了提取公因式和公式法分解因式，解本题的
关键是提取公因式2．15．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，B的坐标分别是A（0，2），B（2，﹣1）．平移△ABC得到
△A''B''C''，若点A的对应点A''的坐标为（﹣1，0），则点B的对应点B''的坐标是（1，﹣3）．【分析】由A点的平移判断出B
点的平移最后得出坐标即可．【解答】解：由题意知，点A从（0，2）平移至（﹣1，0），可看作是△ABC先向下平移2个单位，再向左平移
1个单位（或者先向左平移1个单位，再向下平移2个单位），即B点（2，﹣1），平移后的对应点为B''（1，﹣3），故答案为：（1，﹣3
）．【点评】本题主要考查平移的知识，根据A点的平移情况得出B点的对应点是解题的关键．16．如图，在正六边形ABCDEF中，M，N是
对角线BE上的两点．添加下列条件中的一个：①BM＝EN；②∠FAN＝∠CDM；③AM＝DN；④∠AMB＝∠DNE．能使四边形AMD
N是平行四边形的是①②④（填上所有符合要求的条件的序号）．【分析】①连接AD，交BE于点O，证出OM＝ON，由对角线互相平分
的四边形是平行四边形可得出结论；②证明△AON≌△DOM（ASA），由全等三角形的性质得出AN＝DM，根据一组对边平行且相等的四边
形是平行四边形可得出结论；③不能证明△ABM与△DEN全等，则可得出结论；④证明△ABM≌△DEN（AAS），得出AM＝DN，根据
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得出结论．【解答】解：①连接AD，交BE于点O，∵正六边形ABCDEF中，∠BAO＝∠AB
O＝∠OED＝∠ODE＝60°，∴△AOB和△DOE是等边三角形，∴OA＝OD，OB＝OE，又∵BM＝EN，∴OM＝ON，∴四边形
AMDN是平行四边形，故①符合题意；②∵∠FAD＝∠CDM，∠CDA＝∠DAF，∴∠OAN＝∠ODM，∴AN∥DM，又∵∠AON＝
∠DOM，OA＝OD，∴△AON≌△DOM（ASA），∴AN＝DM，∴四边形AMDN是平行四边形，故②符合题意；③∵AM＝DN，A
B＝DE，∠ABM＝∠DEN，∴△ABM与△DEN不一定全等，不能得出四边形AMDN是平行四边形，故③不符合题意；④∵∠AMB＝∠
DNE，∠ABM＝∠DEN，AB＝DE，∴△ABM≌△DEN（AAS），∴AM＝DN，∵∠AMB+∠AMN＝180°，∠DNM+∠
DNE＝180°，∴∠AMN＝∠DNM，∴AM∥DN，∴四边形AMDN是平行四边形，故④符合题意．故答案为：①②④．【点评】本题考
查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，正六边形的性质，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．三、解答题（本大题共7小题，共
72分）17．（12分）计算：（1）﹣23÷×（﹣）；（2）﹣．【分析】（1）利用有理数的混合运算法则运算即可；（2）利用异分母分
式的减法法则运算即可．【解答】解：（1）原式＝﹣8××（）＝8××＝3；（2）原式＝＝．【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，分
式的减法，正确利用相关法则进行运算是解题的关键．18．（8分）省农科院为某县选育小麦种子，为了解种子的产量及产量的稳定性，在该县的
10个乡镇中，每个乡镇选择两块自然条件相近的实验田分别种植甲、乙两种小麦，得到其亩产量数据如下（单位：kg）：甲种小麦：804
818802816806811818811803819乙种小麦：80481180681
0802812814804807809画以上甲种小麦数据的频数分布直方图，甲乙两种小麦数据的折线图，得到图
1，图2（1）图1中，a＝2，b＝3；（2）根据图1，若该县选择种植甲种小麦，则其亩产量W（单位：kg）落在D内的可
能性最大；A.800≤W＜805B.805≤W＜810C.810≤W＜815D.815≤W＜820（3）观察图2，从小麦的产量或产
量的稳定性的角度，你认为农科院应推荐种植哪种小麦？简述理由．【分析】（1）根据落在800﹣805，810﹣815的频数判断即可；（
2）根据落在哪个组的频数最多判断即可；（3）从离散程度判断即可．【解答】解：（1）由题意a＝2，b＝3，故答案为：2，3；（2）由
频数分布直方图可知落在815≤W＜820的可能性最大，故选：D；（3）从小麦的产量或产量的稳定性的角度，应推荐种植乙种小麦．理由：
从折线图可以看出乙的离散程度比较小．【点评】本题考查频数分布直方图，折线统计图等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问
题．19．（8分）如图是一座独塔双索结构的斜拉索大桥，主塔采用倒“Y”字形设计．某学习小组利用课余时间测量主塔顶端到桥面的距离．勘
测记录如下表：活动内容测量主塔顶端到桥面的距离成员组长：×××组员××××××××××××测量工具测角仪，皮尺等测量示意图说明：左
图为斜拉索桥的侧面示意图，点A，C，D，B在同一条直线上，EF⊥AB，点A，C分别与点B，D关于直线EF对称．测量数据∠A的大小2
8°AC的长度84mCD的长度12m请利用表中提供的信息，求主塔顶端E到AB的距离（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°
≈0.88，tan28°≈0.53）．【分析】根据题意和表格中的信息，可以得到AG的长，再根据锐角三角函数即可求得EG的长，本题得
以解决．【解答】解：延长EF交AB于点G，∵EF⊥AB，∴EG⊥AB，∴∠EGA＝90°，∵点A，C分别与点B，D关于直线EF对称
，∴CG＝DG，∵AC＝84m，CD＝12m，∴CG＝6m，∴AG＝AC+CG＝84+6＝90（m），∵∠A＝28°，tanA＝，
∴tan28°＝，解得EG≈47.7，即主塔顶端E到AB的距离约为47.7m．【点评】本题考查解直角三角形的应用、轴对称，解答本题
的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．20．（10分）杠杆原理在生活中被广泛应用（杠杆原理：阻力×阻力臂＝动
力×动力臂），小明利用这一原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图1）．制作方法如下：第一步：在一根匀质细木杆上标上均匀的刻度
（单位长度1cm），确定支点O，并用细麻绳固定，在支点O左侧2cm的A处固定一个金属吊钩，作为秤钩；第二步：取一个质量为0.5kg
的金属物体作为秤砣．（1）图1中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点O右侧的B处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的质量变化时，O
B的长度随之变化．设重物的质量为xkg，OB的长为ycm．写出y关于x的函数解析式；若0＜y＜48，求x的取值范围．（2）调换秤砣
与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点O右侧的B处，使秤杆平衡，如图2．设重物的质量为xkg，OB的长为ycm，写出y关于x
的函数解析式，完成下表，画出该函数的图象．x/kg……0.250.5124……y/cm……421……【分析】（
1）根据阻力×阻力臂＝动力×动力臂解答即可；（2）根据阻力×阻力臂＝动力×动力臂求出解析式，然后根据列表、描点、连线的步骤解答．【
解答】解：（1）∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂，∴重物×OA＝秤砣×OB，∵OA＝2cm，重物的质量为xkg，OB的长为ycm，秤砣
为0.5kg，∴2x＝0.5y，∴y＝4x，∵4＞0，∴y随x的增大而增大，∵当y＝0时，x＝0；当y＝48时，x＝12，∴0＜x
＜12；（2）∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂，∴秤砣×OA＝重物×OB，∵OA＝2cm，重物的质量为xkg，OB的长为ycm，秤砣为
0.5kg，∴2×0.5＝xy，∴y＝，当x＝0.25时，y＝＝4；当x＝0.5时，y＝＝2；当x＝1时，y＝1；当x＝2时，y＝
；当x＝4时，y＝；故答案为：4；2；1；；；作函数图象如图：【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的应用，以及列表、描点、连线画
函数图象的方法，求出函数解析式是解答本题的关键．21．（10分）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，直线AO交⊙O于C，D两点，连接
BC，BD．过圆心O作BC的平行线，分别交AB的延长线、⊙O及BD于点E，F，G．（1）求证：∠D＝∠E；（2）若F是OE的中点，
⊙O的半径为3，求阴影部分的面积．【分析】（1）连接OB，由切线的性质得出∠E+∠BOE＝90°，由圆周角定理得出∠D+∠DCB＝
90°，证出∠BOE＝∠OCB，则可得出结论；（2）求出∠BOG＝60°，由三角形面积公式及扇形的面积公式可得出答案．【解答】（1
）证明：连接OB，∵AB是⊙O的切线，∴∠OBE＝90°，∴∠E+∠BOE＝90°，∵CD为⊙O的直径，∴∠CBD＝90°，∴∠D
+∠DCB＝90°，∵OE∥BC，∴∠BOE＝∠OBC，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠BOE＝∠OCB，∴∠D＝∠E；（
2）解：∵F为OE的中点，OB＝OF，∴OF＝EF＝3，∴OE＝6，∴BO＝OE，∵∠OBE＝90°，∴∠E＝30°，∴∠BOG＝
60°，∵OE∥BC，∠DBC＝90°，∴∠OGB＝90°，∴OG＝，BG＝，∴S△BOG＝OG?BG＝＝，S扇形BOF＝＝π，∴
S阴影部分＝S扇形BOF﹣S△BOG＝．【点评】本题考查了切线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，圆周角定理
，扇形的面积公式，熟练掌握切线的性质是解题的关键．22．（12分）已知△ABC是等边三角形，点B，D关于直线AC对称，连接AD，C
D．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）在线段AC上任取一点P（端点除外），连接PD．将线段PD绕点P逆时针旋转，使点D落在B
A延长线上的点Q处．请探究：当点P在线段AC上的位置发生变化时，∠DPQ的大小是否发生变化？说明理由．（3）在满足（2）的条件下，
探究线段AQ与CP之间的数量关系，并加以证明．【分析】（1）根据菱形的判定定理和轴对称图形的性质解答即可；（2）连接PB，过点P分
别作PE∥CB交AB于点E，PF⊥AB于点F，根据全等三角形的判定定理，等腰三角形的性质，轴对称图形的性质解答即可；（3）根据等腰
三角形的性质解答即可．【解答】（1）证明：连接BD，等边△ABC中，AB＝BC＝AC，∵点B、D关于直线AC对称，∴AC垂直平分B
D，∴DC＝BC，AD＝AB，∴AB＝BC＝CD＝DA，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：当点P在线段AC上的位置发生变化时，∠D
PQ的大小不发生变化，始终等于60°，理由如下：∵将线段PD绕点P逆时针旋转，使点D落在BA延长线上的点Q处，∴PQ＝PD，等边△
ABC中，AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，连接PB，过点P分别作PE∥CB交AB于点E，PF⊥AB于点F，
如图则∠APE＝∠ACB＝60°，∠AEP＝∠ABC＝60°，∴∠BAC＝∠APE＝∠AEP＝60°，∴△APE是等边三角形，∴A
P＝EP＝AE，而PF⊥AB，∴∠APF＝∠EPF，∵点B，D关于直线AC对称，点P在线段AC上，∴PB＝PD，∠DPA＝∠BPA
，∴PQ＝PD，而PF⊥AB，∴∠QPF＝∠BPF，∴∠QPF﹣∠APF＝∠BPF﹣∠EPF，即∠QPA＝∠BPE，∴∠DPQ＝∠
DPA﹣∠QPA＝∠BPA﹣∠BPE＝∠APE＝60°；（3）解：在满足（2）的条件下，线段AQ与CP之间的数量关系是AQ＝CP，
证明如下：∵AC＝AB，AP＝AE，∴AC﹣AP＝AB﹣AE，即CP＝BE，∵AP＝EP，PF⊥AB，∴AF＝FE，∵PQ＝PD，
PF⊥AB，∴QF＝BF，∴QF﹣AF＝BF﹣EF，即AQ＝BE，∴AQ＝CP．【点评】本题主要考查了菱形的判定定理，等腰三角形的
性质，轴对称图形的性质，等边三角形的判定定理，熟练掌握相关性质和定理是解答本题的关键．23．（12分）第二十四届冬奥会在北京成功举
办，我国选手在跳台滑雪项目中夺得金牌．在该项目中，运动员首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，
再滑行到停止区终止．本项目主要考核运动员的飞行距离和动作姿态，某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究：如图为该兴趣小组绘
制的赛道截面图，以停止区CD所在水平线为x轴，过起跳点A与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．着陆坡AC的坡角
为30°，OA＝65m，某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆，AB＝100m．在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离y（
m）与水平方向移动的距离x（m）具备二次函数关系，其解析式为y＝﹣x2+bx+c．（1）求b，c的值；（2）进一步研究发现，运动员
在飞行过程中，其水平方向移动的距离x（m）与飞行时间t（s）具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，t＝0，x＝0；空中飞行5s后着陆．①求x关于t的函数解析式；②当t为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是多少？【分析】（1）根据题意，可以求得点A和点B的坐标，然后代入二次函数解析式，即可得到b、c的值；（2）①根据题意，可以得到x关于t的函数图象经过的两个点，然后根据待定系数法，即可得到x关于t的函数的解析式；②先求出直线AB的解析式，再根据题意，可以表示出h，然后根据二次函数的性质，可以求得当h为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，并求出这个最大值．【解答】解：（1）作BE⊥y轴于点E，∵OA＝65m，着陆坡AC的坡角为30°，AB＝100m，∴点A的坐标为（0，65），AE＝50m，BE＝50m，∴OE＝OA﹣AE＝65﹣50＝15（m），∴点B的坐标为（50，15），∵点A（0，65），点B（50，15）在二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象上，∴，解得，即b的值是，c的值是65；（2）①设x关于t的函数解析式是x＝kt+m，因为点（0，0），（5，50）在该函数图象上，∴，解得，即x关于t的函数解析式是x＝10t；②设直线AB的解析式为y＝px+q，∵点A（0，65），点B（50，15）在该直线上，∴，解得，即直线AB的解析式为y＝﹣x+65，则h＝（﹣x2+x+65）﹣（﹣x+65）＝﹣x2+x，∴当x＝﹣＝25时，h取得最值，此时h＝，∵25＜50，∴x＝25时，h取得最值，符合题意，将x＝25代入x＝10t，得：25＝10t，解得t＝2.5，即当t为2.5时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是m．【点评】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值．1 |
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