《九章算术》之〈商功〉分立方体为3：2：1上传书斋名：潇湘馆112XiāoXiāngGuǎn112何世强HoSaiKeun
g提要：《九章算术?卷五》之题为〈商功〉，主要为计算物体之体积、泥土体积等。本文所涉及之体积为截头圆锥体、方锥、阳马与鳖臑。最重要
之课题为将一立方体分割成体积3：2：1。本文尚谈及不同时代之圆周率。关键词：圆亭徽术方锥阳马鳖臑第1节《九章》之截
头圆锥体体积题《九章算术?卷五》之题为〈商功〉﹝《九章算术》简称为《九章》﹞，指工程涉及物体之体积、泥土体积等。此外尚涉及工程所雇
用之人数。笔者有文名为〈《九章算术》〈商功〉之土壤转换及城沟体积题〉及〈《九章算术》〈商功〉之阳马与截头方锥体积题〉，本文乃二文之
延续。第一至第十一题见笔者另文。【第十二题】今有圆亭，下周三丈，上周二丈，髙一丈。问：积几何？答曰：五百二十七尺九分尺之七。﹝于徽
术，当积五百四尺四百七十一分尺之一百一十六也。淳风等按：依密率，为积五百三尺三十三分尺之二十六。﹞术曰：上下周相乗，又各自乗，并之
，以高乘之，三十六一而一。﹝此术周三径一之义，合以三除上下周，各为上下径，以相乘，又各自乗，并以高乗之，三而一，为方亭之积。﹞解：
题中之“圆亭”即今之所谓截头圆锥体BCED，见下图。今设上圆半径为a，下圆半径为b，高为h，求其体积。今延长EC及DB
交于A，此大锥形之高为g，圆亭体积乃大锥体AED减去小锥体ABC，大锥体体积为πb2g，小锥体体积为πa2(g–
h)。今先求以a、b及h表g。因相似三角形关系，以下比例成立：=ag=bg–bhbh=g(b–a)g
=。圆亭体积=×πb2g–×πa2(g–h)=×π(b2g–a2g+a2h)=[g(b2
–a2)+a2h]=[(b2–a2)+a2h]=[bh(b+a)+a2h]=(b2+ba+
a2)。若圆亭上圆圆周为C1，下圆圆周为C2，即2πa=C1，2πb=C2，移项得：a=，a2=；b=
，b2=。于是圆亭体积：(b2+ba+a2)=[+()()+]=(C12+C1C2+
C22)=(C12+C1C2+C22)。本题上圆圆周为C1=20，下圆圆周为C2=30，高h=10
﹝单位为尺﹞。《九章》中提及圆之三率如下：若依“疏率”“周三径一为率”即π=3，(C12+C1C2+C22)=
(202+20×30+302)=(400+600+900)==527﹝立方尺﹞。以上即所谓“上下周相乗
，又各自乗，并之，以高乘之，三十六一而一。”末句指除以36。答曰：圆亭体积为五百二十七尺九分尺之七，即527立方尺。(2)
若依“徽术”指“刘徽之术”，亦指“徽率”，徽率指π=。(C12+C1C2+C22)=(202+20×
30+302)=(400+600+900)==504=504﹝立方尺﹞。此即所谓“于徽术，当积五百四尺四百七
十一分尺之一百一十六也。”即504立方尺。(3)若依密率即π=，(C12+C1C2+C22)=(202
+20×30+302)=(400+600+900)==503=503﹝立方尺﹞。此即所谓“淳风等按：依
密率以七乘之二百六十四而一。”此即×10(400+600+900)式。又此即所谓“依密率，为积五百三尺三十三分尺
之二十六。”即体积为503立方尺。李淳风注曰：依垣条注云：从方锥中求圆锥之积，亦犹方幂求圆幂。以彼例此，似应有“从方亭求圆亭之
积”八字。刘徽注曰：亦犹方幂中求圆幂。以下为方锥中求圆锥图﹝方锥边长2r，高h﹞：《九章》注文有类似以下之比例：方锥体积：
圆锥体积=(2r)2h：πr2h=4：π。若π=3，则4：π=4：3。若π=，则4：
π=4：=200：157。又若π=，则4：π=4：=14：11。以上比例指出若一方锥
圆亭体积已知，则可算出圆锥之体积，此即所谓“从方锥中求圆锥之积”。反之若圆锥体之体积已知，则方锥体积亦可依以上之比例算出。算法可见
以下之【第十四题】。至于“方幂求圆幂”，即正方形面积：圆面积=4r2：πr2=4：π。若π=3，则4：
π=4：3。若π=，则4：π=4：=200：157。若π=，则4：π=4
：=14：11。以上比例与前之体积相同。【第十三题】今有方锥，下方二丈七尺，髙二丈九尺。问：积几何？答曰：七千四十七尺
。术曰：下方自乗，以髙乗之，三而一。按：此术假令方锥下方二尺，髙一尺，即四阳马，如术为之，用十二阳马，成三方锥，故三而一，得方锥也
。解：以下为方锥含四阳马图：ABCDE是为方锥，AO为高，E、G、H、K为四边之中点。四阳马分别为AOKBE、AOGCE、
AOGDH、AOHEK。以下为阳马图﹝此图一棱垂直底部之正方形﹞：若h=29，a=13?，单位为尺，则：一阳马体积=
a2h=×13?2×29=1761﹝立方尺﹞。方锥体积=4×a2h=4×1761=4×=
7047﹝立方尺﹞。或直接算出方锥体积=×272×29=7047﹝立方尺﹞。以下为清?李潢《九章算术细草》原文：
【第十四题】今有圆锥，下周三丈五尺，髙五丈一尺。问：积几何？答曰：一千七百三十五尺一十二分尺之五。于徽术，当积一千六百五十八尺三十
一十四分尺之十三。淳风等按：依密率，为积一千六百五十六尺八十八分尺之四十七。术曰：下周自乗，以髙乗之，三十六而一。按：此术圆锥下周
，以为方锥下方，方锥下方，令自乗，以髙乘之，合三而一，得大锥方之积。大锥方之积，合十二圆矣。今求一圆，复合十二除之，故令三乘十二得
三十六。而连除于徽术，当下周自乘，以髙乘之，又以二十五乘之，九百四十二而一。圆锥比于方锥，亦二百分之一百五十七，令径自乘者，亦当以
一百五十七乘之，六百而一，其说如圆亭也。淳风等按：依密率，以七乘之，二百六十四而一。解：若圆锥半径为a，下圆圆周为C，即2π
a=C，移项得：a=，a2=。若C=35，高为h=51﹝单位为尺﹞。圆锥体积=πa2h=πh
=。(1)若依“疏率”“周三径一为率”即π=3，===1735=1735﹝立方尺﹞。此即所谓“术曰：下
周自乗，以髙乗之，三十六而一。”答：体积一千七百三十五尺一十二分尺之五，即1735立方尺。(2)若依“徽术”，亦指“徽率”，
徽率π=。===1658=1658﹝立方尺﹞。此即所谓“于徽术，当积一千六百五十八尺三百一十四分尺之十三。
”即1658立方尺。注文按曰：而连除于徽术，当下周自乘，以髙乘之，又以二十五乘之，九百四十二而一。此即352×51×
=1658﹝立方尺﹞。注意=。(3)若依密率即π=，===1656=1656﹝立方尺﹞。以上
即：“淳风等按：依密率，以七乘之，二百六十四而一。依密率，为积一千六百五十六尺八十八分尺之四十七。”见以上诸式。以下为比例法，先求
出大方锥体积，再依【第十二题】之比例求出圆锥体之体积。(1)若依“疏率”“周三径一为率”即π=3，大方锥边长为2a=
=，大方锥体积=(2a)2h==。所以圆锥体积=×==1735=1735﹝立方尺﹞。(2)
若依“徽术”指徽率π=。大方锥边长为2a==，大方锥体积=(2a)2h==。所以圆锥体积=×
=×==1658﹝立方尺﹞。注文曰：圆锥比于方锥，亦二百分之一百五十七。注意之比﹝见前文﹞。(3)若依密率即
π=，大方锥边长为2a==，大方锥体积=(2a)2h=。所以圆锥体积=×==1656﹝立方
尺﹞。【第十五题】今有壍堵，下广二丈，袤一十八丈六尺，髙二丈五尺。问：积?何？答曰：四万六千五百尺。术曰：广袤相乘，以髙乘之，二而
一。刘徽注曰：斜解立方，得两壍堵，虽复椭方，亦为壍堵，故二而一。此则合所规幂，推其物体，葢为壍上迭也。其形如城，而无上广，与所规棊
，形异而同实，未开所以名之为壍堵之说也。解：以下为壍堵图：“斜解”即斜切也。“立方”，指正立方体，内可藏圆球。“椭方”即长立方体，
内可藏椭圆球。以下为“椭方”图：刘徽注文意指正立方体可分成两个全等之壍堵，但长立方体“椭方”亦可分成两个全等之壍堵。壍堵其实是一长
或正立方体，从其对角线截取一半即成。从另一角度观之，壍堵是一直角三角形柱体。以下为另一壍堵图：壍堵体积=?hal，若h=
25，a=20及l=186，单位为尺，体积=?×25×20×186立方尺=46500立方尺。第
2节《九章》之分割一立方体为体积3：2：1将一立方体﹝正立方体或长立方体﹞分割为3：2：1之体积比乃《九章》之著名课题，
分割时不用有刻度之尺量度距离。根据以下所述之法，将一立方体分割为鳖臑、阳马、壍堵，其体积比即为1：2：3，分割时不须任何量度工具
。以下各题即指出其情况。【第十六题】今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺。问：积?何？答曰：九十三尺少半尺。术曰：广袤相乗，以高乗之，
三而一。解：阳马体积=×5×7×8立方尺=立方尺=93立方尺。“少半”即。注曰：按此术阳马之形，
方锥一隅也，今谓四柱屋隅为阳马。假令广袤各一尺，髙一尺，相乗得立方积一尺。斜解立方，得两壍堵。一正立方体1×1×1=
1立方尺，依对角线斜截，得两壍堵，如上图。故壍堵体积为?立方尺。注又曰：斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑。阳马居二，鳖臑居一，不
易之率也。合两鳖臑成一阳马，合三阳马而成一立方，故三而一。ACBFED是一壍堵﹝见下图﹞，其体积为?立方尺。若壍堵依ABD
平面分割成两部分，得ABFED阳马，及ACBD鳖臑，ACBD是一四面体。鳖臑之“鳖”，乃鳖科之一类，软壳龟之统称，俗称甲鱼
、团鱼、水鱼等。粤人特别为香港人多称之为“水鱼”。“臑”之粤音为nou6﹝音近“闹”﹞。乃动物之前肢。鳖臑，指鳖之前肢。ACB
D之形状似鳖之臑，故名。以下为阳马及鳖臑图：ABFED阳马体积=×1×1×1=立方尺，ACBD鳖臑体积
=××1×1×1=立方尺，ACEBFG壍堵体积=立方尺。壍堵体积+阳马体积+鳖臑体积=
++=(3+2+1)=1﹝立方尺﹞。三者之体积比，即壍堵体积：阳马体积：鳖臑体积=：：
=3：2：1。以上之法是为将一立方体﹝正立方体或长立方体﹞分割为3：2：1之体积比。又以上即注文所谓“阳马居二，鳖臑
居一”之说。所以2壍堵=1立方体体积。3阳马=1立方体体积。6鳖臑=1立方体体积。注意鳖臑体积乃阳马体积
之半。以下为鳖臑图：两壍堵可合并成一正立方体，除此之外，3阳马与6鳖臑不能合并成一正立方体，但其数之算法则成立。若阳马之体积为
93立方尺，则鳖臑体积为93立方尺÷2=×立方尺=立方尺=46立方尺。壍堵体积为46立方尺×
3=(138+2)立方尺=140立方尺。三数之和为280，即5×7×8。【第十七题】今有鳖臑，下广五尺，无袤，上袤四尺，无广，高七尺。问：积?何？答曰：二十三尺少半尺。术曰：广袤相乗，以高乘之，六而一。按：此术臑者，背节也。或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云。中破阳马，得两鳖臑。鳖臑之起数，卽阳马之半数，数同而寔据半，故云六而一，即得。解：中破阳马，得两鳖臑。鳖臑之起数，卽阳马之半数，鳖臑体积=××5×4×7===23﹝立方尺﹞。“少半尺”即。答：鳖臑体积为23立方尺。以下为鳖臑图：中破阳马，得两鳖臑图：ABCDE是为一阳马，依ABD切开，则得两体积相等之鳖臑。(1) |
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