《九章算术》〈商功〉之刍童及曲池体积题补充

《九章算术》〈商功〉之刍童及曲池体积题补充上传书斋名：潇湘馆112XiāoXiāngGuǎn112何世强HoSaiKeung
提要：《九章算术?卷五》之题为〈商功〉，主要为计算物体之体积。本文所涉及之体积为刍童、曲池、盘池及冥谷，此等几何立体涉及相同或类似
之求体积公式。关键词：刍童曲池盘池冥谷第1节《九章》之刍童体积题《九章算术?卷五》之题为〈商功〉﹝《九章算术》简称为
《九章》﹞，指工程涉及物体之体积。本文主要谈及之体积为刍童、曲池、盘池及冥谷，此等几何立体涉及相同或类似之求体积公式。笔者有文名为
〈《九章算术》〈商功〉之土壤转换及城沟体积题〉、〈《九章算术》〈商功〉之阳马与截头方锥体积题〉、〈《九章算术》之〈商功〉分立方体为
3：2：1〉及〈《九章算术》〈商功〉之羡除与刍甍体积题〉，本文乃以上四文之延续。笔者多年前已有文谈及刍童、盘池及冥谷之体积，但无提
及雇用人数之算法，本文作补充。第一至第二十题见笔者另文。先介绍以下刍童之平面及立体图：若b为上袤，d为下袤，a为上广，d为
下广，h为高，则刍童体积=[a(2b+d)+c(2d+b)]。其证明法见笔者另文。以下问题均以刍童体积公式为基础
。第2节《九章》之曲池、盘池、冥谷体积题【第二十一题】今有曲池，上中周二丈，外周四丈，广一丈；下中周一丈四尺，外周二丈四尺
，广五尺；深一丈。问：积几何？答曰：一千八百八十三尺三寸少半寸。刘徽注曰：〔此池环而不通匝，形如盘蛇，而曲之。亦云“周”者，谓如“
委谷依垣”之周耳。引而伸之，周为袤。求袤之意，环田也。〕以下为曲池图：解：刘徽注文指曲池者，弯曲之水池也，但非圆形，故曰“不通匝”
，只像蛇之盘曲，但首尾不通。“委谷依垣”之“委”指放置和堆积，“谷”指谷物，“依”指依靠也，“垣”指墙。全句意指将谷物堆积于墙也
，墙与地面互相垂直，谷物堆积形成一二分之一之圆锥体，其“周”指地上之二分一之圆周，曲池之周亦相若，指圆之一弧，首尾不相通。上图A
BCDEFGH是为一曲池，注意优弧AD、BC、HE、GF并非曲池之部分。劣弧AD是为曲池之“上外周”、BC是为“上中周
”；劣弧HE是为“下外周”、GF是为“下中周”。曲池之高为h。曲池可比作一刍童，刍童有上袤和下袤，但曲池有上下中周与上下外周，
取其中位数而为上袤和下袤。为计算曲池体积，可用计算刍童体积公式=[a(2b+d)+c(2d+b)]计算之，刍童图
见上文。但首先要求出曲池上袤和下袤之长。《九章》曰：其曲池者，并上中、外周而半之，以为上袤；亦并下中、外周而半之，以为下袤。即上袤
=?(上中周+上外周)，下袤=?(下中周+下外周)。此举乃将曲池展开成一近似平面，取中外周之平均值作为上下袤。若
上中周C2为二丈，外周C1为四丈，广a为一丈；下中周C4为一丈四尺，外周C3为二丈四尺，广c为五尺；深h为一丈。若刍童以b
为上袤，d为下袤，a为上广，c为下广，h为高，单位为尺。则曲池之上袤b=?(C2+C1)，下袤d=?(
C4+C3)。以下为曲池化为刍童之数据，单位为尺：a为上广=10，b为上袤=?(20+40)=30，c
为下广=5，d为下袤=?(14+24)=19，h为高=10。曲池体积=[a(2b+d)+c
(2d+b)]=[10(60+19)+5(38+30)]=(790+340)==1883﹝立方尺
﹞=1883立方尺333立方寸。原题之“少半”即。原文答案一千八百八十三尺三寸少半寸之“三寸少半寸”应为立方尺。以下为清
?李潢《九章算术细草图说》原文：【第二十二题】今有盘池，上广六丈，袤八丈；下广四丈，袤六丈，深二丈。问：积几何？答曰：七万六百六
十六尺太半尺。解：盘池形状与刍童相类，可用刍童之体积公式计算其体积。不过盘池是一水池，上寛下窄。以下为盘池之平面及立体图：若b
为上袤，d为下袤，a为上广，c为下广，h为高，单位为尺。a为上广=60，b为上袤=80，c为下广=40，
d为下袤=60，h为高=20。盘池体积=[a(2b+d)+c(2d+b)]=[60(160+
60)+40(120+80)]=(13200+8000)==70666﹝立方尺﹞。是为“太半”。本题尚有另
一问如下：负土往来七十步，其二十步上下棚除，棚除二，当平道五；踟蹰之间十加一；载输之间三十步，定一返一百四十步。土笼积一尺六寸。
秋程人功行五十九里半。问：人到积尺及用徒各几何？答曰：人到二百四尺。用徒三百四十六人一百五十三分人之六十二。术曰：以一笼积尺乘程行
步数，为实。往来上下棚除二当平道五。〔棚，阁；除，斜道；有上下之难，故使二当五也。〕置定往来步数，十加一，及载输之间三十步，以为
法。除之，所得即一人所到尺。以所到约积尺，即用徒人数。解：工人建造盘池，须背负泥土来来往往，例如将挖出之泥土弃置他处，或需将物料涂
在盘池壁上，均属于“作功”之范围。棚，阁也；除，斜道也；人行棚除2步，相当于行平道5步，因登棚阁下棚阁与上斜道下斜道较为困
难也。“踟蹰之间”指工人工作时往返之瞬间，特别指上下棚除之时。工人负土往来70步，而70步中有20步属上落棚除，相当于行
平道×5=50步。故70步含20步棚除相当于行70–20+50=100步平道。“踟蹰之间十加一
”指步数加10%；即100步×10%=10步，共100+10步共110步。因“载输之间三十步”，所以总
步数为110+30=140﹝步﹞。一土笼之体积一尺六寸，姑且视之为1立方尺﹝不约简﹞。此土笼之尺码多为1尺×
1尺×1尺=1立方尺。1里有300步，须负责之泥土体积为59×300×1立方尺步。59×30
0×1=×300×=28560立方尺步。每人须负土28560立方尺步÷140步=204立方尺。以
上即所谓“人到积尺”。注意以上之复合单位“立方尺步”，复合单位现代物理学中经常出现。因为盘池体积==70666﹝立方尺﹞，
所以须用÷204=346﹝人﹞。以上答案合原题所问。以下为清?李潢《九章算术细草图说》原文：【第二十三题】今有冥谷，上
广二丈，袤七丈；下广八尺，袤四丈；深六丈五尺。问：积几何？答曰：五万二千尺。解：北宋?李籍《音义》曰：冥谷之形，如正置砑石。砑石，
犬牙形之石。冥谷指如砑石之深谷。宋?沈括《梦溪笔谈?技艺》：算术求积尺之法，如刍萌、刍童、方池、冥谷、堑堵、鳖臑、圆锥、阳马之类，
物形备矣，独未有隙积一术。冥谷乃古代算学家必习之体积之一。以下为冥谷之平面及立体图：若b为上袤，d为下袤，a为上广，c为下
广，h为高，单位为尺。a为上广=20，b为上袤=70，c为下广=8，d为下袤=40，h为深=65。
冥谷体积=[a(2b+d)+c(2d+b)]=[20(140+40)+8(80+70)]=(36
00+1200)=65(600+200)=52000﹝立方尺﹞。如上题，本题尚有另一问如下：载土往来二百步，载输之
间一里。程行五十八里；六人共车，车载三十四尺七寸。问：人到积尺及用徒各几何？答曰：人到二百一尺五十分尺之十三。用徒二百五十八人一万
六十三分人之三千七百四十六。术曰：以一车积尺乘程行步数，为实。置今往来步数，加载输之间一里，以车六人乘之，为法。除之，所得即一人
所到尺。以所到约积尺，即用徒人数。〔按：此术今有之义。以载输及往来并得五百步，为所有率，车载三十四尺七寸为所求率，程行五十八里，通
之为步，为所有数，而今有之，所得即一车所到。欲得人到者，当以六人除之，即得。术有分，故亦更令乘法而并除者，亦用以车尺数以为一人到
土率，六人乘五百步为行率也。又亦可五百步为行率，令六人约车积尺数为一人到土率，以负土术入之。入之者，亦可求返数也。要取其会通而已。
术恐有分，故令乘法而并除。以所到约积尺，即用徒人数者，以一人所到积尺除其众积，故得用徒人数也。〕以上之“今有术”其实为简单比例，
此法不及步骤解释法，见下文。以下为李潢《九章算术细草图说》原文：载泥土往来200步，载输之间一里即300步。程行58里
合58×300步=17400步。因为车载34立方尺，行车载功为17400步×34立方尺=17400
步×立方尺=603780立方尺步。“载土往来二百步，载输之间一里”共(200+300)步，即500步。6人共车，共行500×6=3000步。所以“人到积尺”=立方尺=201立方尺，即每人须负责载土及运输之泥土体积。用人数=冥谷体积÷人到积尺=52000÷201=52000×==258﹝人﹞。答：人到二百一尺五十分尺之十三，即201立方尺。用徒二百五十八人一万六十三分人之三千七百四十六，即258人。以上答案均合原题之问。(1)