师大附中高三数学课件第八章§8.3圆的方程考试要求1.理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程.2.能根据圆的
方程解决一些简单的数学问题与实际问题.内容索引落实主干知识探究核心题型课时精练LUOSHIZHUGANZHISHI落实主干知识1
.圆的定义和圆的方程定义平面上到_____的距离等于_____的点的集合叫做圆方程?标准(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
圆心C_______半径为___?一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)圆心C___________半径r＝_
_____________定点定长(a，b)r2.点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝
r2之间存在着下列关系：(1)|MC|>r?M在，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2?M在圆外；(2)|MC|＝r?M在，
即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?M在圆上；(3)|MC|外圆上圆内常用结论1.以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)
＝0.2.圆心在过切点且与切线垂直的直线上.3.圆心在任一弦的垂直平分线上.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1
)确定圆的几何要素是圆心与半径.()(2)圆x2＋y2＝a2的半径为a.()(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝
0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.()√×√√1.圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别
是√2.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是A.(x－1)2＋(y－1)2＝1 B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C.(x＋1)2
＋(y＋1)2＝2 D.(x－1)2＋(y－1)2＝2√3.若坐标原点在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则实数m的取值范围
为____________.∵原点(0,0)在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，∴(0－m)2＋(0＋m)2<4，TANJI
UHEXINTIXING探究核心题型圆的方程题型一例1(1)(2022·深圳模拟)已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10
＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4上，则圆M的方程为A.(x＋3)2＋(y－1)2＝1 B.(x－3)2＋(y＋1)2＝1C.(
x＋3)2＋(y＋1)2＝1 D.(x－3)2＋(y－1)2＝1√到两直线3x－4y＝0,3x－4y＋10＝0的距离都相等的直线方
程为3x－4y＋5＝0，又两平行线间的距离为2，所以圆M的半径为1，从而圆M的方程为(x＋3)2＋(y＋1)2＝1.(2)已知圆的
圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)，则圆的一般方程为_____________________.
x2＋y2＋2x＋4y－5＝0方法一设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2
)2＝10，即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.方法二线段AB的垂直平分线方程为2x＋y＋4＝0，得交点坐标O(－1，－2)，所以
圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.教师备选1.已知圆E经过三点A(0,1)，B(2,0
)，C(0，－1)，则圆E的标准方程为√方法一(待定系数法)设圆E的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>
0)，方法二(几何法)2.在平面直角坐标系Oxy中，以点(0,1)为圆心且与直线x－by＋2b＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的
圆的标准方程为A.x2＋(y－1)2＝4 B.x2＋(y－1)2＝2C.x2＋(y－1)2＝8 D.x2＋(y－1)2＝16√由直
线x－by＋2b＋1＝0可得该直线过定点A(－1,2)，设圆心为B(0,1)，思维升华(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方
程.(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；②选择圆的一般方程，依据已知条
件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值.跟踪训练1(1)圆心在y轴上，半径长为1，且过点A(1,2)的圆的方程是A
.x2＋(y－2)2＝1 B.x2＋(y＋2)2＝1C.(x－1)2＋(y－3)2＝1 D.x2＋(y－3)2＝4√根据题意可设圆
的方程为x2＋(y－b)2＝1，因为圆过点A(1,2)，所以12＋(2－b)2＝1，解得b＝2，所以所求圆的方程为x2＋(y－2)
2＝1.(2)(2022·长春模拟)若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是A.(
x－3)2＋(y－1)2＝1 B.(x－2)2＋(y－1)2＝1C.(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D.(x－2)2＋(y＋1)2
＝1√设圆心坐标为(a，b)(a>0，b>0)，化简得|4a－3b|＝5， ①又圆与x轴相切，可得|b|＝r＝1，解得b＝1或b＝
－1(舍去)，把b＝1代入①得4a－3＝5或4a－3＝－5，所以圆心坐标为(2,1)，则圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝
1.与圆有关的轨迹问题题型二例2已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0).求：(1)直角顶点C的轨迹方程；方
法一设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.因为AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在，所以kAC·kBC＝－1，化简
得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0).由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,
0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点).所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y
≠0).(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，所以x0＝2x
－3，y0＝2y.由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋
(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1(y≠0).因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0).教师备选已知圆x2＋y
2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点.(1)求线段AP中点的轨迹方程；设AP的中点为M(x，y)
，由中点坐标公式可知点P坐标为(2x－2,2y).因为点P在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点
的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程.设PQ的中点为N(x，y).在Rt△PBQ
中，|PN|＝|BN|.设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN
|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.思维升华求与圆有关的轨
迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程.
(3)几何法：利用圆的几何性质列方程.(4)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.跟踪训练2(1)当点
P在圆x2＋y2＝1上运动时，连接它与定点Q(3,0)，则线段PQ的中点M的轨迹方程是A.(x＋3)2＋y2＝1 B.(x－3)2
＋y2＝1C.(2x－3)2＋4y2＝1 D.(2x＋3)2＋4y2＝1√设M(x，y)，P(x0，y0)，因为PQ的中点为M，又
因为P在圆x2＋y2＝1上，所以(2x－3)2＋4y2＝1，所以M的轨迹方程即为(2x－3)2＋4y2＝1.(2)自圆C：(x－3
)2＋(y＋4)2＝4外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为A.8x－
6y－21＝0 B.8x＋6y－21＝0C.6x＋8y－21＝0 D.6x－8y－21＝0√由题意得，圆心C的坐标为(3，－4)，
半径r＝2，连接PC，CQ(图略)，因为|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，所以|PO|2＋r2＝|PC|2，所以x2＋y2＋4＝(
x－3)2＋(y＋4)2，即6x－8y－21＝0，所以点P的轨迹方程为6x－8y－21＝0.与圆有关的最值问题题型三命题点1利用
几何性质求最值例3已知M(x，y)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3).(1)求|MQ|的最
大值和最小值；由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2
)，即kx－y＋2k＋3＝0.∵直线MQ与圆C有交点，(3)求y－x的最大值和最小值.设y－x＝b，则x－y＋b＝0.当直线y＝x
＋b与圆C相切时，截距b取到最值，∴b＝9或b＝1.∴y－x的最大值为9，最小值为1.命题点2利用函数求最值例4(2022·湘
潭质检)设点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2,0)，B(－2,0).则的最大值为_____.12由于点
P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，10由于点P(x，y)是圆上的点，故其
坐标满足方程(x－3)2＋y2＝4，故y2＝－(x－3)2＋4，由圆的方程(x－3)2＋y2＝4，易知1≤x≤5，教师备选1.已知
圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m>0).若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最
大值为A.7B.6C.5D.4√∵在Rt△APB中，原点O为斜边中点，|AB|＝2m(m>0)，∴|OC
|－r≤m＝|OP|≤|OC|＋r，又C(3,4)，r＝1，∴4≤|OP|≤6，即4≤m≤6.2.若点P为圆x2＋y2＝1上的一个
动点，A(－1,0)，B(1,0)为两个定点，则|PA|＋|PB|的最大值为√由已知得线段AB为圆的直径.所以|PA|2＋|PB|
2＝4，思维升华(2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式
法等求最值.思维升华(3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，
把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.跟踪训练3
(1)已知A(－2,0)，B(2,0)，点P是圆C：(x－3)2＋(y－)2＝1上的动点，则|AP|2＋|BP|2的最小值为A.
9B.14C.16D.26√设O为坐标原点，P(x，y)，则|AP|2＋|BP|2＝(x
＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝2(x2＋y2)＋8＝2|PO|2＋8.所以|PO|2的最小值为(OC－r)2＝(4－1)2＝
9，所以|AP|2＋|BP|2的最小值为26.√由x2＋y2－4x－2y－4＝0得(x－2)2＋(y－1)2＝9.其中A(－3,1
)为定点，点P(x，y)为圆上一点.设过定点A的直线l：y－1＝k(x＋3)与圆相切，KESHIJINGLIAN课时精练基础保分
练1.圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心坐标和半径分别为A.(4，－6)，16 B.(2，－3)，4C.(－2,3)，4 D.
(2，－3)，16√将圆的一般方程化为标准方程得(x＋2)2＋(y－3)2＝16，则圆心坐标为(－2,3)，半径为4.123456
789101112131415162.圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为A.(x－2)2＋(y－1)2
＝1 B.(x＋1)2＋(y－2)2＝1C.(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D.(x－1)2＋(y＋2)2＝1√已知圆的圆心C(1
,2)关于直线y＝x对称的点为C′(2,1)，所以圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为(x－2)2＋(y
－1)2＝1.123456789101112131415163.已知圆C的半径为2，圆心在x轴正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆
C相切，则圆C的方程为A.x2＋y2－2x－3＝0 B.x2＋y2＋4x＝0C.x2＋y2＋2x－3＝0 D.x2＋y2－4x＝0
√12345678910111213141516设圆心为(a，0)(a>0)，则圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4，化简得x2＋y
2－4x＝0，故选D.123456789101112131415164.点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹
方程是A.(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B.(x－2)2＋(y＋1)2＝4C.(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D.(x＋2)2＋
(y－1)2＝1√12345678910111213141516设圆上任一点为Q(x0，y0)，PQ的中点为M(x，y)，因为点Q
在圆x2＋y2＝4上，即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.1234567891011121
31415165.(多选)已知△ABC的三个顶点为A(－1,2)，B(2,1)，C(3,4)，则下列关于△ABC的外接圆圆M的说法
正确的是A.圆M的圆心坐标为(1,3) B.圆M的半径为C.圆M关于直线x＋y＝0对称 D.点(2,3)在圆M内√√√123456
78910111213141516设△ABC的外接圆圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，所以△ABC的外接圆圆M的方程为x
2＋y2－2x－6y＋5＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝5.因为直线x＋y＝0不经过圆M的圆心(1,3)，所以圆M不关于直线x
＋y＝0对称.因为(2－1)2＋(3－3)2＝1<5，故点(2,3)在圆M内.123456789101112131415166.(
多选)设有一组圆Ck：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，下列命题正确的是A.不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上B.所有
圆Ck均不经过点(3,0)C.经过点(2,2)的圆Ck有且只有一个D.所有圆的面积均为4π√√√12345678910111213
141516圆心坐标为(k，k)，在直线y＝x上，A正确；令(3－k)2＋(0－k)2＝4，化简得2k2－6k＋5＝0，∵Δ＝36
－40＝－4<0，∴2k2－6k＋5＝0无实数根，∴B正确；由(2－k)2＋(2－k)2＝4，123456789101112131
41516化简得k2－4k＋2＝0，∵Δ＝16－8＝8>0，有两个不相等实根，∴经过点(2,2)的圆Ck有两个，C错误；由圆的半径
为2，得圆的面积为4π，D正确.123456789101112131415167.已知圆C的圆心在x轴上，并且经过点A(－1,1)
，B(1,3)，若M(m，)在圆C内，则m的取值范围为_______.(0,4)设圆心为C(a，0)，由|CA|＝|CB|，得(
a＋1)2＋12＝(a－1)2＋32，解得a＝2.故圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.12345678910111213141
5168.已知A(0,2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是_
_______.12345678910111213141516因为圆C：x2＋y2－4x－2y＝0，设点A(0,2)关于直线x＋y
＋2＝0的对称点为A′(m，n)，12345678910111213141516故A′(－4，－2).连接A′C交圆C于Q(图略)
，由对称性可知123456789101112131415169.已知圆心为C的圆经过点A(－1,1)和B(－2，－2)，且圆心在直
线l：x＋y－1＝0上.(1)求圆心为C的圆的标准方程；12345678910111213141516设圆的标准方程为(x－a)2
＋(y－b)2＝r2(r>0)，且圆心在直线l：x＋y－1＝0上，解得a＝3，b＝－2，r＝5，∴圆的标准方程为(x－3)2＋(y
＋2)2＝25.12345678910111213141516(2)设点P在圆C上，点Q在直线x－y＋5＝0上，求|PQ|的最小值
.∴直线与圆C相离，1234567891011121314151610.已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|＝2
|PB|.(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；设点P的坐标为(x，y)，化简可得(x－5)2＋y2＝16，此方程即为所求.
12345678910111213141516(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M
，求|QM|的最小值.12345678910111213141516曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图所示.由题意知
直线l2是此圆的切线，连接CQ，当|QM|最小时，|CQ|最小，此时CQ⊥l1，12345678910111213141516技能
提升练11.点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，|PA|＝1，则点P的轨迹方程是A.(x－1)2＋y2＝4 B
.(x－1)2＋y2＝2C.y2＝2x D.y2＝－2x√12345678910111213141516∵|PA|＝1，又圆心坐标
为(1,0)，设P(x，y)，∴由两点间的距离公式，得(x－1)2＋y2＝2.12345678910111213141516√12
345678910111213141516设等边△ABC的边长为a，解得a＝6.以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立如
图所示的平面直角坐标系．12345678910111213141516由|MN|＝1，则点N在以M为圆心，1为半径的圆上.1234
567891011121314151613.(多选)已知圆C过点M(1，－2)且与两坐标轴均相切，则下列叙述正确的是A.满足条件的
圆C的圆心在一条直线上B.满足条件的圆C有且只有一个C.点(2，－1)在满足条件的圆C上√√√123456789101112131
41516因为圆C和两个坐标轴都相切，且过点M(1，－2)，所以设圆心坐标为(a，－a)(a>0)，故圆心在直线y＝－x上，A正确
；圆C的方程为(x－a)2＋(y＋a)2＝a2，把点M的坐标代入可得a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5，则圆心坐标为(1，－1
)或(5，－5)，所以满足条件的圆C有且只有两个，故B错误；圆C的方程分别为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，(x－5)2＋(y＋5
)2＝25，将点(2，－1)代入这两个方程可知其在圆C上，故C正确；1234567891011121314151614.已知长为2
a(a＞0)的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点的轨迹方程为_____________.x2＋y2＝
a2如图，不论直线怎么移动，线段AB的中点P(x，y)与原点O的连线始终为Rt△OAB斜边上的中线，即|OP|＝a，即x2＋y2＝
a2.故所求的轨迹方程为x2＋y2＝a2.12345678910111213141516拓展冲刺练15.已知直线l：3x＋4y＋m
＝0，圆C：x2＋y2－4x＋2＝0，则圆C的半径r＝_____；若在圆C上存在两点A，B，在直线l上存在一点P，使得∠APB＝9
0°，则实数m的取值范围是__________.12345678910111213141516若在圆C上存在两点A，B，在直线l上
存在一点P，使得∠APB＝90°，过P作圆的两条切线PM，PN(M，N为切点)，则由题意得，∠MPN≥90°，而当CP⊥l时，∠M
PN最大，只要此最大角≥90°即可，此时圆心C到直线l的距离为1234567891011121314151616.在平面直角坐标系
Oxy中，曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)与x轴交于不同的两点A，B，曲线Γ与y轴交于点C.(1)是否存在以AB为直径的圆过
点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由；12345678910111213141516由曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(
m∈R)，令y＝0，得x2－mx＋2m＝0.设A(x1，0)，B(x2，0)，可得Δ＝m2－8m＞0，则m＜0或m＞8，x1＋x2
＝m，x1x2＝2m.令x＝0，得y＝2m，即C(0,2m).若存在以AB为直径的圆过点C，1234567891011121314
1516得x1x2＋4m2＝0，即2m＋4m2＝0，12345678910111213141516(2)求证：过A，B，C三点的圆
过定点.设过A，B两点的圆的方程为x2＋y2－mx＋Ey＋2m＝0，将点C(0,2m)代入可得E＝－1－2m，所以过A，B，C三点
的圆的方程为x2＋y2－mx－(1＋2m)y＋2m＝0.整理得x2＋y2－y－m(x＋2y－2)＝0.12345678910111
213141516本课结束更多精品课件：WWW.998PPT.COM(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外
，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0.()A.(2,3)，3B.(－2,3)，C.(－2，－3)，13D.(2，－3)，圆
的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)，半径r＝.因为圆心为(1,1)且过原点，所以该圆的半径r
＝＝，则该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.解得－y2＝B.2＋y2＝C.2＋y2＝D.2＋y2＝则由题意得解得即2＋y2＝.所以圆E的一般方程为x2＋y2－x－1＝0，因为圆E经
过点A(0,1)，B(2,0)，所以圆E的圆心在线段AB的垂直平分线y－＝2(x－1)上.则圆E的半径为|EB|＝＝，由题意知圆E
的圆心在x轴上，所以圆E的圆心坐标为.所以圆E的标准方程为2＋y2＝.由题意可知要使所求圆的半径最大，则rmax＝|AB|＝＝，所
以半径最大的圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝2.由圆与直线4x－3y＝0相切，可得圆心到直线的距离d＝＝r＝1，解得a＝2或a＝
－(舍去)，又kAC＝，kBC＝，所以·＝－1，方法二设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知|CD
|＝|AB|＝2.由中点坐标公式得x＝，y＝，所以所以∴|MQ|max＝4＋2＝6，又|QC|＝＝4，|MQ|min＝4－2＝2.
∴圆心C的坐标为(2,7)，半径r＝2.(2)求的最大值和最小值；可得2－≤k≤2＋，∴≤2，∴的最大值为2＋，最小值为2－.可知
表示直线MQ的斜率k.∴＝2，·＝(－2－x，－y)，所以·＝x2＋y2－4，易知2≤y≤4，所以当y＝4时，·的值最大，最大值为
6×4－12＝12.由题意，得＝(2－x，－y)，所以·＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.延伸探究若将本题改为“设点P
(x，y)是圆(x－3)2＋y2＝4上的动点，定点A(0,2)，B(0，－2)”，则|＋|的最大值为______.＝(－x，－2－
y)，所以＋＝(－2x，－2y)，由题意，知＝(－x，2－y)，所以|＋|＝＝2.所以当x＝5时，|＋|的值最大，最大值为2＝10
.A.2B.2C.4D.4所以|PA|＋|PB|≤2，由基本不等式得2≤＝2，当且仅当|PA|＝|PB|＝时，等号
成立.与圆有关的最值问题的求解方法(1)借助几何性质求最值：形如μ＝，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题.圆
C的圆心为C(3，)，半径为r＝1，OC＝4，(2)已知x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则的最大值为A.2B.
C.D.＝2＋3×＝2＋3kPA，解得k＝±，则＝3，所以－≤kPA≤，所以的最大值为2＋3×＝.由题意知圆心到直线3x＋4
y＋4＝0的距离d＝＝＝r＝2，解得a＝2，所以圆心坐标为(2,0)，所以x＋y＝4，则解得故圆M的圆心坐标为(1,3)，圆M的半径为，则解得半径r＝|CA|＝＝.由题意知(m－2)2＋()2<10，解得05，∴|PQ|的最小值为d－r＝5－5.则＝2，则|QM|＝＝，则|QM|的最小值为＝4.|CQ|＝＝4，∴点P和圆心的距离恒为，12.等边△ABC的面积为9，且△ABC的内心为M，若平面内的点N满足|MN|＝1，则·的最小值为A.－5－2B.－5－4C.－6－2D.－6－4由M为△ABC的内心，则M在OC上，且OM＝OC，则A(－3,0)，B(3,0)，C(0,3)，M(0，)，则面积S＝a2＝9，且－1≤y≤1＋，又＝(－3－x，－y)，＝(3－x，－y)，＝x2＋y2－9＝2y－11设N(x，y)，则x2＋(y－)2＝1，即x2＋y2－2y＋2＝0，≥2×(－1)－11＝－5－2.所以·＝(x＋3)(x－3)＋y2D.满足条件的圆C有且只有两个，它们的圆心距为4它们的圆心距为＝4，D正确.圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝2，圆心为C(2,0)，半径为r＝，d＝|CP|＝.所以＝≥，解得－16≤m≤4.则·＝0，故所求圆的方程为2＋y2＝.所以m＝0(舍去)或m＝－.半径r＝|CM|＝，此时C(0，－1)，AB的中点M即圆心，令可得或故过A，B，C三点的圆过定点(0,1)和. |
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