2021-2022学年第一学期九年级数学期中测试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）下列函数是反比例函数的是A.B.C.D.
如图所示的立体图形是一个圆柱被截去四分之一后得到的几何体，它的左视图是A.B.C.D.将抛物线向右平移个单位，再
向下平移个单位，所得抛物线解析式为A.B.C.D.如图，、、是双曲线上的三点，过这三点分别作轴的垂线，得到三个三角形，，，
设它们的面积分别是、、，则A.B.C.D.如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，的顶点都在这些小正方形的顶点
上，则的值为A.B.C.D.如图是一个由多个相同小正方体搭成的几何体从上面看到的形状图，图中所标数字为该位置小正方体
的个数，则这个几何体从正面看到的形状图是A.B.C.D.已知，，是抛物线上的点，则A.B.C.D.在同一平面直角坐
标系内，二次函数与一次函数的图象可能是A.B.C.D.已知二次函数为常数的图象与轴有交点，且当时，随的增大而增大，则的取
值范围是A.B.C.D.如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示．下列结论：；；当时，的取值范
围是；方程有两个不相等的实数根；点，都在抛物线上，则有．其中结论正确的个数是A.个B.个C.个D.个二、填空题（本题共8小
题，前4个小题每题3分，后4个小题每题4分，共28.0分）抛物线的顶点坐标是______．函数的自变量的取值范围是______．如
图，小树在路灯的照射下形成投影若树高，树影，树与路灯的水平距离则路灯的高度为______第13题图
第14题图第15题图图是一个地铁站入口的双翼闸机如图，它的双翼展开时，双翼边缘的端点与
之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为______．如图，直线过原点分别交反比
例函数于、，过点作轴，垂足为，则的面积为______．已知二次函数与轴有交点，则整数的最大值______．17．已知△ABC中，A
B＝6，AC＝，∠B＝30°，则△ABC的面积等于．18.如图，在平面直角坐标系中，已知直线和双曲线，在直线上取一点，记为，过
作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，过作轴的垂线交双曲线于点，过作轴的垂线交直线于点，，依次进行下去，记点的横坐标为，
若，则______．三、计算题（本大题共2小题，共分）19.计算：（1）（2）如图，小亮在大楼的观光电梯中的点测得大楼楼底点的俯
角为，此时他距地面的高度为米，电梯再上升米到达点，此时测得大楼楼顶点的仰角为，求大楼的高度结果保留根号21.如图，在平面直角坐标系
中，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于第一、三象限内的A、B两点，与y轴交于点C，过点B作B
M⊥x轴，垂足为M，BM＝OM，OB＝2，点A的纵坐标为4．（1）求一次函数的解析式；（2）求不等式mx+n＞的解集；（3）连接M
C，AO在x轴上，是否存在点P使S△PAO＝SMBOC，若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由．22.某水产养殖户进行小龙
虾养殖已知每千克小龙虾养殖成本为元，在整个销售旺季的天里，第天的销售单价元与时间天之间的函数关系为，第天的日销售量千克与时间天之间
的函数关系如图所示：求关于的函数解析式哪一天的日销售利润最大最大利润是多少在实际销售的前天中，该养殖户决定每销售千克小龙虾，就捐赠
元给村里的特困户在这前天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间的增大而增大，求的取值范围．23.如图，抛物线与轴交于，两点．1求抛物
线的解析式；若抛物线交轴于点，在抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；3在抛物线
第二象限的图象上是否存在一点，使得的面积最大？若存在，求出点的坐标和面积的最大值；若不存在，请说明理由．24.如图，在的内部作一个
矩形，其中和分别在两直角边上，，．如果设矩形的一边，那么边的长度如何表示？设矩形的面积为，当取何值时，的值最大？最大值是多少？如果
把矩形改为如图所示的位置，其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少？答案和解析1.【答案】【解析】【分析】本题考查了反比例函数的定义
．判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为为常数，或为常数，此题
应根据反比例函数的定义进行判断，反比例函数的一般形式是．【解答】解：、是正比例函数，不符合题意；B、未限定，不符合题意；C、是反比
例函数，符合题意；D、不是反比例函数，不符合题意．故选：．?2.【答案】【解析】解：从左边看外边是一个矩形，矩形中间有一条纵向的虚
线，故选：．根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图，注意看不到的线用虚
线表示．3.【答案】【解析】解：抛物线的顶点坐标为，向右平移个单位，再向下平移个单位后的顶点坐标是．所得抛物线解析式是．故选：．求
出原抛物线的顶点坐标，再根据向左平移横坐标，向下平移纵坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．本题考查的
是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的规律是解答此题的关键．4.【答案】【解析】解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段
、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是个定值，即，所以．故选：．根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴
作垂线所围成的直角三角形面积的关系即可判断．主要考查了反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，是
经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂
线所围成的直角三角形面积的关系即．5.【答案】【解析】解：过点作于点，，，由勾股定理可知：，，故选：．过点作于点，根据勾股定理可求
出，然后根据锐角三角函数的定义即可求出答案．本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用勾股定理以及锐角三角函数的定义，本题属于基础
题型．6.【答案】【解析】解：由俯视图中的数字可得：主视图有列，从左到右分别是：，，个正方形．故选：．俯视图中的每个数字是该位置小
立方体的个数，分析其中的数字，得主视图有列，从左到右分别是，，个正方形．本题考查了由三视图判断几何体，利用俯视图上所标数字分析是解
题关键．7.【答案】【解析】解：抛物线的对称轴为直线，，时，函数值最大，又到的距离比到的距离小，．故选：．求出抛物线的对称轴为直线
，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性和对称性，求出对称轴是
解题的关键．8.【答案】【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，根据、的正负确定一次函数图象经过的象
限是解题的关键．根据二次函数图象的开口以及对称轴与轴的关系即可得出、的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对
比即可得出结论．【解答】解：二次函数图象开口向上，对称轴在轴右侧，，，一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于轴负半轴
的同一点，故A错误；B.二次函数图象开口向下，对称轴在轴左侧，，，一次函数图象应该过第二、三、四象限，且与二次函数交于轴负半轴的同
一点，故B错误；C.二次函数图象开口向上，对称轴在轴右侧，，，一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于轴负半轴的同一点
，故C正确；二次函数图象开口向上，对称轴在轴右侧，，，一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于轴负半轴的同一点，故D错
误；故选C．?9.【答案】【解析】解：二次函数为常数的图象与轴有交点，解得：；抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，且当时，随的增
大而减小，，实数的取值范围是．故选：．根据图象与轴有交点，得出判别式，解得；再求出抛物线的对称轴，结合抛物线开口向上，且当时，随的
增大而增大，可得，从而得出答案．本题考查了抛物线与轴的交点和二次函数的图象与性质，明确抛物线与轴的交点个数与判别式的关系及二次函数
的性质是解题的关键．10.【答案】【解析】解：根据函数的对称性，抛物线与轴的另外一个交点的坐标为；函数对称轴在轴右侧，则，而，故，
故正确，符合题意；，即，而时，，即，，正确，符合题意；由图象知，当时，的取值范围是，错误，不符合题意；当时，，由图象知，抛物线上有
两个点满足条件，即方程总有两个根；正确，符合题意；从图象看，当时，，当时，，有，故正确，符合题意；故选：．由抛物线的开口方向判断与
的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．本题考查了二次函数图象
与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系
数共同决定对称轴的位置：当与同号时即，对称轴在轴左；当与异号时即，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点位置：抛物线与轴交于；抛物
线与轴交点个数由决定：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点．11.【答案】【解析】解：抛物线，该
抛物线的顶点坐标为，故答案为：．根据题目中抛物线的顶点式，可以直接写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决．本题考查二次函数的性质，解
答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．12.【答案】且【解析】解：由题意，且，故答案为且根据分式、二次根式有意义的条件，
构建不等式组即可解决问题；本题考查函数的自变量的取值范围，解题的关键是熟练掌握分式、二次根式有意义的条件，学会根据不等式组解决问题
．13.【答案】【解析】解：，∽，，即，．故答案为．利用中心投影的特点得到，则可判断∽，然后利用相似比求的长．本题考查了中心投影：
中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大即位似变换的关系．也考查了相似三角形的判定与性质．14.【答
案】【解析】解：如图所示，过作于，过作于，则中，，同理可得，，又点与之间的距离为，通过闸机的物体的最大宽度为，故答案为：．过作于，
过作于，则可得和的长，依据端点与之间的距离为，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度．本题主要考查了特殊角的三角函数值，特殊角的三角
函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．15.【答案】【解析】解：反比例函数与
正比例函数的图象相交于、两点，、两点关于原点对称，，的面积的面积，又是反比例函数图象上的点，且轴于点，的面积，则的面积为，故答案为
．证明的面积的面积，而的面积，即可求解．本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，涉及到反比例函数的比例系数的几何意义：反比例函
数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积的关系，即．16.【答案】【解析】解：由题意得，解得，整
数的最大值为．故答案为：．根据二次函数的定义及二次函数图象与轴交点与的关系求解．本题考查抛物线与轴的交点问题，解题关键是掌握抛物线
与轴交点个数与判别式的关系．17.【答案】或．解：作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D，①如图1，当AB、AC位于AD异侧时，
在Rt△ABD中，∵∠B＝30°，AB＝6，∴AD＝AB＝3，BD＝ABcosB＝3，在Rt△ACD中，∵AC＝2，∴CD＝＝＝，
则BC＝BD+CD＝3+＝4，∴S△ABC＝?BC?AD＝×4×3＝6；②如图2，当AB、AC在AD的同侧时，由①知，BD＝3，C
D＝，则BC＝BD﹣CD＝2，∴S△ABC＝?BC?AD＝×2×3＝3．综上，△ABC的面积是3或6．故答案为：或．?18.【答案
】【解析】解：当时，的横坐标与的横坐标相等为，的纵坐标和的纵坐标相同为，的横坐标和的横坐标相同为，的纵坐标和的纵坐标相同为，的横坐
标和的横坐标相同为，的纵坐标和的纵坐标相同为，的横坐标和的横坐标相同为，由上可知，，，，，，，个为一组依次循环，，，故答案为：．根
据反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征分别求出、、、、、，从而得到每次变化为一个循环组依次循环，用除以，根据商的情况确定出即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，依次求出各点的坐标，观察出每次变化为一个循环组依次循环是解题的
关键，也是本题的难点．19.【答案】(1)解：原式．【解析】本题考查实数的运算，特殊角的三角函数值，属于只记内容，熟练掌握特殊角的
三角函数值，根据实数混合运算的法则计算即可．(2)解：原式．【解析】原式利用特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值
的代数意义，以及积的乘方运算法则计算即可求出值．此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20.解：过作于，过作于．由
已知得，，，米，米．在中，米，，米．米．在中，，米．米．答：大楼的高度是米．【解析】过作于，过作于求出和的长，在中，求出，则可得出
答案本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．21.【答案】21．解：（1）∵B
M＝OM，OB＝2，∴BM＝OM＝2，∴点B的坐标为（﹣2，﹣2），则﹣2＝，解得k＝4，∴反比例函数的解析式为y＝，∵点A的纵坐
标是4，∴4＝，得x＝1，∴点A的坐标为（1，4），∵一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象过点A（1，4）、点B（﹣2，﹣2），∴
，解得：，即一次函数的解析式为y＝2x+2；（2）不等式mx+n＞的解集的解集为：﹣2＜x＜0或x＞1；（3）存在，连接OA，∵y
＝2x+2与y轴交与点C，∴点C的坐标为（0，2），∵点B（﹣2，﹣2），点M（﹣2，0），点O（0，0），∴OM＝2，OC＝2，
MB＝2，∴S四边形MBOC＝S△MOB+S△MCO＝+＝+＝4，∵S△PAO＝S四边形MBOC，∴S△PAO＝＝2，∴OP＝1，
∴P的坐标为（1，0）或（﹣1，0）．22.【答案】解：设关于的函数解析式为，将，分别代入函数解析式，得解得为整数．设日销售利润为
元，则．当时，，当时，取得最大值，最大值为当时，，当时，取得最大值，最大值为．，第天的日销售利润最大，最大利润为元．设日销售利润为
元，根据题意，得，其函数图象的对称轴为，随的增大而增大，且，由二次函数的图象及其性质可知，解得，又，【解析】本题主要考查二次函数的
应用，熟练掌握待定系数求函数解析式、由相等关系得出利润的函数解析式、利用二次函数的图象解不等式及二次函数的图象与性质是解题的关键．
根据函数图象，利用待定系数法求解可得；设日销售利润为，分和两种情况，根据“总利润每千克利润销售量”列出函数解析式，由二次函数的性质
分别求得最值即可判断；依据中相等关系列出函数解析式，确定其对称轴，由且销售利润随时间的增大而增大，结合二次函数的性质可得答案．23
.【答案】解：1将，代入得：，解得，则该抛物线的解析式为：；2存在，理由：如图，点关于抛物线对称轴的对称点为点，设直线的解析式为：
，将点、代入得：，解得，故直线解析式为：，直线与抛物线对称轴的交点为，此时的周长最小．解方程组，解得，故点的坐标为；3存在，理由：
如图，过点作轴于点，设点的坐标为，，若有最大值，则就最大，，当时，最大值，最大，当时，，点的坐标为．【解析】Ⅰ直接利用待定系数求出二次函数解析式即可；Ⅱ首先求出直线的解析式，再利用轴对称求最短路线的方法得出答案；Ⅲ根据，得出函数最值，进而求出点坐标即可．此题主要考查了二次函数综合应用以及待定系数法求一次函数、二次函数解析式和图形面积求法、二次函数最值求法等知识，根据题意正确表示出四边形的面积是解题关键．24.【答案】解：四边形是矩形，，，，，，，，∽，，，，；由题意得：，当时，最大面积为；，，，，过点作于点，交于点，，四边形是矩形，，，，，设，，，，当时，矩形的最大面积是．【解析】根据矩形的性质证明∽，对应边成比例即可表示边的长度；结合表示矩形的面积，利用二次函数的性质即可求出的最大值；过点作于点，交于点，结合表示矩形的面积，利用二次函数的性质即可求出的最大值．本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的最值，矩形的性质，解决本题的关键是证明∽．第1页，共1页第2页，共2页 |
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