第十四讲二次函数的图象和性质【基础知识回顾】一、二次函数的定义：一般地如果y=（a、b、c是常数a≠0）那么y叫做x的二次函数【名
师提醒：二次函数y=kx2+bx+c(a≠0)的结构特征是：1、等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，
x的最高次数是，按一次排列2、强调二次项系数a0】二、二次函数的图象和性质：1、二次函数y=k
x2+bx+c(a≠0)的图象是一条，其定点坐标为对称轴式在抛物y=kx2+bx+c(a≠0)中：1、当a>0时，
y口向，当x<-时，y随x的增大而，当x时，y随x的增大而增大，2、当a<0时，开口向当x<-
时，y随x增大而增大，当x时，y随x增大而减小【名师提醒：注意几个特殊形式的抛物线的特点1、y=ax2,对称轴定点坐标
2、y=ax2+k，对称轴定点坐标3、y=a(x-h)2对称轴定点坐标4、y=a(x-h)2+k对称轴
定点坐标】三、二次函数图象的平移【名师提醒：二次函数的平移本质可看作是定点问题的平移，固然要掌握整抛物线的平移，只要关键的
顶点平移即可】四、二次函数y=ax2+bx+c的图象与字母系数之间的关系：a:开口方向向上则a0,向下则a0｜a｜越大
，开口越b:对称轴位置，与a联系一起，用判断b=0时，对称轴是c:与y轴的交点：交点在y轴正半轴上，则c0负半轴上则c0
，当c=0时，抛物点过点【名师提醒：在抛物线y=ax2+bx+c中，当x=1时，y=当x=-1时y=,经常根据对应的函
数值判考a+b+c和a-b+c的符号】【重点考点例析】考点一：二次函数图象上点的坐标特点例1（常州）已知二次函数y=a（x-2
）2+c（a＞0），当自变量x分别取、3、0时，对应的函数值分别：y1，y2，y3，，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（）
A．y3＜y2＜y1B．y1＜y2＜y3C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y2对应训练（衢州）已知二次函数y=x2
-7x+，若自变量x分别取x1，x2，x3，且0＜x1＜x2＜x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系正确的是（
）A．y1＞y2＞y3B．y1＜y2＜y3C．y2＞y3＞y1D．y2＜y3＜y1考点二：二次函数的图象和性质例2（咸
宁）对于二次函数y=x2-2mx-3，有下列说法：①它的图象与x轴有两个公共点；②如果当x≤1时y随x的增大而减小，则m=1；③如
果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m=-1；④如果当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等，则当x=2012时的函数值
为-3．其中正确的说法是．（把你认为正确说法的序号都填上）考点：二次函数的性质；二次函数图象与几何变换；抛物线与x轴的交点．对应
训练2．（河北）如图，抛物线y1=a（x+2）2-3与y2=（x-3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交
两条抛物线于点B，C．则以下结论：①无论x取何值，y2的值总是正数；②a=1；③当x=0时，y2-y1=4；④2AB=3AC；其中
正确结论是（）A．①②B．②③C．③④D．①④考点三：抛物线的特征与a、b、c的关系例3（玉林）二次函数y=
ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为x=1，有如下结论：①c＜1；②2a+b=0；③b2＜4ac；④若方程ax2+
bx+c=0的两根为x1，x2，则x1+x2=2，则正确的结论是（）A．①②B．①③C．②④D．③④对应训练3．（重
庆）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示对称轴为x=．下列结论中，正确的是（）A．abc＞0B．a
+b=0C．2b+c＞0D．4a+c＜2b考点四：抛物线的平移例4（桂林）如图，把抛物线y=x2沿直线y=
x平移个单位后，其顶点在直线上的A处，则平移后的抛物线解析式是（）A．y=（x+1）2-1B．y=（x+1）2+1
C．y=（x-1）2+1D．y=（x-1）2-1对应训练4．（南京）已知下列函数①y=x2；②y=-x2；③y=（
x-1）2+2．其中，图象通过平移可以得到函数y=x2+2x-3的图象的有（填写所有正确选项的序号）．【备考真题过关】一、选择题
1．（白银）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是（）A．x＜-1B．x＞3
C．-1＜x＜3D．x＜-1或x＞32．（兰州）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，若|ax
2+bx+c|=k（k≠0）有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜-3B．k＞-3C．k＜3
D．k＞33．（德阳）设二次函数y=x2+bx+c，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，那么c的取值
范围是（）A．c=3B．c≥3C．1≤c≤3D．c≤34．（北海）已知二次函数y=x2-4x+5
的顶点坐标为（）A．（-2，-1）B．（2，1）C．（2，-1）D．（-2，1）5．（广元）若二
次函数y=ax2+bx+a2-2（a、b为常数）的图象如图，则a的值为（）A．1B．C．-D．-21．（西宁
）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象过（﹣1，1）、（2，﹣1）两点，下列关于这个二次函数的叙述正确的是（）A．当x
=0时，y的值大于1B．当x=3时，y的值小于0C．当x=1时，y的值大于1D．y的最大值小于06．（巴中）对于二次函数y=2（
x+1）（x-3），下列说法正确的是（）A．图象的开口向下B．当x＞1时，y随x
的增大而减小C．当x＜1时，y随x的增大而减小D．图象的对称轴是直线x=-17．（天门）已知二次函数y=ax2
+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（-1，0），（3，0）．对于下列命题：①b-2a=0；②abc＜0；③a-2b
+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有（）A．3个B．2个C．1个D．0个8．（乐山）二次
函数y=ax2+bx+1（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（-1，0）．设t=a+b+1，则t值的变化范围是（）A．0＜
t＜1B．0＜t＜2C．1＜t＜2D．-1＜t＜19．（扬州）将抛物线y=x2+1先向左平移2
个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是（）A．y=（x+2）2+2B．y=（x+2）2-2
C．y=（x-2）2+2D．y=（x-2）2-210．（宿迁）在平面直角坐标系中，若将抛物线y=2x2-4x+3先向右
平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（）[来源:学_科_网Z_X_X_K]A．（
-2，3）B．（-1，4）C．（1，4）D．（4，3）11．（陕西）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2-
x-6向上（下）或向左（右）平移m个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则|m|的最小值为（）A．1B．2
C．3D．6填空题12．（玉林）二次函数y=-（x-2）2+的图象与x轴围成的封闭区域内（包括边界），横、纵坐标
都是整数的点有个（提示：必要时可利用下面的备用图画出图象来分析）．13．（长春）在平面直角坐标系中，点A是抛物线y=a（x-
3）2+k与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为．14．（孝感）二次函
数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x=1，其图象的一部分如图所示．对于下列说法：①abc＜0；
②a-b+c＜0；③3a+c＜0；④当-1＜x＜3时，y＞0．其中正确的是（把正确的序号都填上）．15．（苏州）
已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y=（x-1）2+1的图象上，若x1＞x2＞1，则（填“＞”、“＜”或“=”）
．16．（成都）有七张正面分别标有数字-3，-2，-1，0，l，2，3的卡片，它们除数字不图外其余全部相图．现将它们背面朝上，洗
匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的一元二次方程x2-2（a-1）x+a（a-3）=0有两个不相等的实数根，且以
x为自变量的二次函数y=x2-（a2+1）x-a+2的图象不经过点（1，0）的概率是．17．（上海）将抛物线y=x2+x向下平移
2个单位，所得抛物线的表达式是．18．（宁波）把二次函数y=（x-1）2+2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为．
18．（贵港）若直线y=m（m为常数）与函数y=的图象恒有三个不图的交点，则常数m的取值范围是．19．（广安）如图，把抛物线y
=x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（-6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=x2交于点Q，则图中阴
影部分的面积为．三、解答题20．（柳州）已知：抛物线y=（x-1）2-3．（1）写出抛物线的开口方向、对称轴；（2）函数
y有最大值还是最小值？并求出这个最大（小）值；（3）设抛物线与y轴的交点为P，与x轴的交点为Q，求直线PQ的函数解析式．21．（
佛山）规律是数学研究的重要内容之一．初中数学中研究的规律主要有一些特定的规则、符号（数）及其运算规律、图形的数值特征和位置关系特征
等方面．请你解决以下与数的表示和运算相关的问题：（1）写出奇数a用整数n表示的式子；（2）写出有理数b用整数m和整数n表示的式子；（3）函数的研究中，应关注y随x变化而变化的数值规律（课本里研究函数图象的特征实际上也是为了说明函数的数值规律）．下面对函数y=x2的某种数值变化规律进行初步研究：xi012345…yi01491625…yi+1﹣yi1357911…由表看出，当x的取值从0开始每增加1个单位时，y的值依次增加1，3，5…请回答：①当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值变化规律是什么？②当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值变化规律是什么？ |
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