二十二讲圆的有关概念及性质【基础知识回顾】一、圆的定义：1、⑴形成性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点
A随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫线段OA叫做⑵描述性定义：圆是到定点的距离等于的点的集合【名师提醒：1、在一个
圆中，圆心决定圆的半径决定圆的2、直径是圆中的弦，弦不一定是直径】3、弦与弧：弦：连接圆上任意两点的叫做弦弧：
圆上任意两点间的叫做弧，弧可分为、、三类4、圆的对称性：⑴轴对称性：圆是轴对称图形，有条对称轴的直线都是
它的对称轴.⑵中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是【名师提醒：圆不仅是中心对称图形，而且具有旋转性，即绕圆心旋转任意
角度都被与原来的图形重合】垂径定理及推论：（1）垂径定理：垂直于弦的直径，并且平分弦所对的几何语言：∵CD过圆心,且___
________∴,,.（2）推论：平分弦（）的直径，并且平分弦所对的几何语言：∵CD过圆心,且___
________∴,,.【名师提醒：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的
优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其中三个，注意解题过程中的灵活运用2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的线3、垂
径定理常用作计算，在半径r弦a弦心d和弦h中已知两个可求另外两个】三、圆心角、弧、弦之间的关系：1、圆心角定义：顶点在的角叫
做圆心角2、定理：在中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量它们所对应的其余各组量也分别几何语言：∵在圆O中，___
____∴,.∵在圆O中，________∴,.∵在圆O中，________∴,.【名师提醒：注意：
该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】四、圆周角定理及其推论：1、圆周角定义：顶点在并且两边都和圆的角叫圆周角2、圆周
角定理：在同圆或等圆中，圆弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的推论1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角那么它们
所对的弧推论2、半圆（或直弦）所对的圆周角是900的圆周角所对的弦是【名师提醒：1、在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个
，而它所对的圆周角有个，它们的关系是2、作直弦所对的圆周角是圆中常作的辅助线】3、圆内接四边形定义：如果一个多边形的所有顶点都
在圆上，这个多边形叫做这个圆叫做性质：圆内接四边形的对角【名师提醒：圆内接平行四边形是圆内接梯形是】考点一：垂
径定理例1、(浙江丽水)一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，则截面圆心O到水面的距离OC是A.
4B.5C.6D.8例2、（绍兴）绍兴市著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD
为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB为_________考点二：圆心角定理例3、（宜昌）如图，DC是⊙O直径，弦AB⊥CD
于F，连接BC，DB，则下列结论错误的是（）A．B．AF=BFC．OF=CFD．∠DBC=90°例4、（内江）如图，半圆O的
直径AB=10cm，弦AC=6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为____________对应训练2．（苏州）如图，AB是半圆的直
径，点D是弧AC的中点，∠ABC＝50°，则∠DAB等于（）．A．55°B．60°C．65°D．70°考点三：圆周角定理
例5、如图，将直角三角板60°角的顶点放在圆心O上，斜边和一直角边分别与⊙O相交于A、B两点，P是优弧AB上任意一点（与A、B不重
合），则∠APB=．例6、（巴中）如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则
∠BCD等于_____________对应训练6、（襄阳）△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是
（）A．80°B．160°C．100°D．80°或100°7、（2012?青海）如图，AB是⊙O的直径，弦
CD⊥AB于点N，点M在⊙O上，∠1=∠C（1）求证：CB∥MD；（2）若BC=4，sinM=，求⊙O的直径．考点
四：圆内接四边形的性质例3（深圳）如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内上
一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径长为（）A．6B．5C．3D．3对应训练【聚焦山东中考】1．（济南）
如图，AB是的直径，C是上一点，AB=10，AC=6，，垂足为D，则BD的长为（A）2（B）3（C）4（D）6
2．（潍坊）如图，⊙O的直径AB＝12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP：AP＝1：5，则CD的长为（）．
A．B．C．D．3．（临沂）如图，在⊙O中，∠CBO=45°，∠CAO=15°，则∠AOB的度数是(A)75°.(B)
60°.(C)45°.(D)30°.4．（滨州）（2008?湖州）如图，已知圆心角∠BOC=78°，则圆周角∠BAC的度数
是（）A．156°B．78°C．39°D．12°（泰安）如图，点A，B，C，在⊙O上，∠ABO=32°，∠ACO=38°，
则∠BOC等于（）A．60°B．70°C．120°D．140°6．（淄博）如图，AB是⊙O的直径，，AB=5，B
D=4，则sin∠ECB=______7．（山东莱芜，）如图，在⊙O中，已知∠OAB=22.5°，则∠C的度数为（）A.
135°B.122.5°C.115.5°D.112.5°8．（日照）如图，在△ABC中，以BC为直径的圆分
别交边AC、AB于D、E两点，连接BD、DE．若BD平分∠ABC，则下列结论不一定成立的是A.BD⊥ACB.AC2=2A
B·AEC.△ADE是等腰三角形D.BC＝2AD.9．（日照）如图(b)，已知，⊙O的直径CD为4，点A在⊙O上
，∠ACD=30°，B为弧AD的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为__________．10．（威海）如图
，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，AO=1．（1）求∠C的大小；（2）求阴影部分的面积．11．
（烟台）AB是圆O的直径,BC是圆O的切线,连接AC交圆O于点D,E为弧AD上一点,连接AE、BE，BE交AC于点F，且AF2=E
F.EB（1）求证：CB=CF（2）若点E到弦AD的距离为1，cos角C=3/5，求圆O的半径12．（东营）某施工工地安放了一个
圆柱形饮水桶的木制支架（如图1），若不计木条的厚度，其俯视图如图2所示，已知AD垂直平分BC，AD=BC=48cm，则圆柱形饮水桶
的底面半径的最大值是cm．【备考真题过关】一、选择题1．（嘉兴）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E
，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为__________2．（无锡）如图，以M（-5，0）为圆心、4为半径的圆与x轴交
于A、B两点，P是⊙M上异于A、B的一动点，直线PA、PB分别交y轴于C、D，以CD为直径的⊙N与x轴交于E、F，则EF的长（
）A．等于4B．等于4C．等于6D．随P点位置的变化而变化3．（陕西）如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直
的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（）A．3B．4C．3D．44．（2012?黄冈）如图，AB为⊙O的
直径，弦CD⊥AB于E，已知CD=12，BE=2，则⊙O的直径为（）A．8B．10C．16D．205．（河北）如图，CD
是⊙O的直径，AB是弦（不是直径），AB⊥CD于点E，则下列结论正确的是（）A．AE＞BEB．C．∠D=∠AECD．△ADE
∽△CBE6．（襄阳）△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（）A．80°B．160°
C．100°D．80°或100°7．（泸州）如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，∠B=60°，∠BOD=100°，
则∠C的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．80°二、填空题8．（朝阳）如图，AB为⊙O的直径，C
D为⊙O的一条弦，CD⊥AB，垂足为E，已知CD=6，AE=1，则⊙0的半径为．9．（成都）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥A
B于C．若AB=2，0C=1，则半径OB的长为．10．（嘉兴）如图，在⊙O中，直径AB丄弦CD于点M，AM=18，BM=
8，则CD的长为．11．（株洲）已知：如图，在⊙O中，C在圆周上，∠ACB=45°，则∠AOB=．13．（玉林）如图，
矩形OABC内接于扇形MON，当CN=CO时，∠NMB的度数是．14．（义乌市）如图，已知点A（0，2）、B（2，2）、C（0
，4），过点C向右作平行于x轴的射线，点P是射线上的动点，连接AP，以AP为边在其左侧作等边△APQ，连接PB、BA．若四边形AB
PQ为梯形，则：（1）当AB为梯形的底时，点P的横坐标是；（2）当AB为梯形的腰时，点P的横坐标是．15．（鞍山）如图，△A
BC内接于⊙O，AB、CD为⊙O直径，DE⊥AB于点E，sinA=，则∠D的度数是．三、解答题16．（荆门）如图所示为圆柱形大
型储油罐固定在U型槽上的横截面图．已知图中ABCD为等腰梯形（AB∥DC），支点A与B相距8m，罐底最低点到地面CD距离为1m．设
油罐横截面圆心为O，半径为5m，∠D=56°，求：U型槽的横截面（阴影部分）的面积．（参考数据：sin53°≈0.8，tan56°
≈1.5，π≈3，结果保留整数）17．（南通）如图，⊙O的半径为17cm，弦AB∥CD，AB=30cm，CD=16cm，圆心O
位于AB，CD的上方，求AB和CD的距离．18．（宁夏）在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥
AD．求∠D的度数．19．（长沙）如图，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC=∠APC=60°，（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）求圆心O到BC的距离OD．20．（大庆）如图△ABC中，BC=3，以BC为直径的⊙O交AC于点D，若D是AC中点，∠ABC=120°．（1）求∠ACB的大小；（2）求点A到直线BC的距离．21．（怀化）如图，已知AB是⊙O的弦，OB=4，∠OBC=30°，点C是弦AB上任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD、DB．（1）当∠ADC=18°时，求∠DOB的度数；（2）若AC=2，求证：△ACD∽△OCB． |
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