第二十三讲与圆有关的位置关系【基础知识回顾】点与圆的位置关系：1、点与圆的位置关系有种，若圆的半径为r点P到圆心的距离为d则：点P在
圆内<＝>点P在圆上<＝>点P在圆外<＝>过三点的圆：⑴过同一直线上三点作用，过三点，有且只有一个圆⑵
三角形的外接圆：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆的圆心叫做三角形的这个三角形叫做这个圆的⑶三角形外心的形成：三角
形的交点，外心的性质：到相等【名师提醒：1、锐角三角形外心在三角形直角三角形的外心是锐角三角形的外心在三角形】
直线与圆的位置关系：1、直线与圆的位置关系有种：当直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆直线叫圆的线，这的直线叫做圆的
直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆2、设⊙o的半径为r，圆心o到直线l的距离为d，则：直线l与⊙o相交<＝>dr,直
线l与⊙o相切<＝>dr直线l与⊙o相离<＝>dr切线的性质和判定：⑴性质定理：圆的切线垂直于经过切点的【名师提醒：根
据这一定理，在圆中遇到切线时，常用连接圆心和切点，即可的垂直关系】⑵判定定理：经过半径的且这条半径的直线式圆的切线【名师提
醒：在切线的判定中，当直线和圆的公共点标出时，用判定定理证明。当公共点未标出时，一般可证圆心到直线的距离d=r来判定相切】切线长定
理：⑴切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的长叫做这点到圆的切线长。⑵切线长定理：从圆外一点到圆的两条切线
，它们的相等，并且圆心和这一点的连线平分的夹角三角形的内切圆：⑴与三角形各边都的圆，叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心
叫做三角形的⑵三角形内心的形成：是三角形的交点内心的性质：到三角形各的距离相等，内心与每一个顶点的连接线平分【
名师提醒：三类三角形内心都在三角形若△ABC三边为a、b、c面积为s，内切圆半径为r，则s=，若△ABC为直角三角形，则r
=】反证法：假设命题的结论，由此经过推理得出由矛盾判定所作的假设从而得到原命题成立，这种证明命题的方法叫反
证法【名师提醒：反证法正题的关键是提出即假设所证结论的反面成立，择推理论证得出的矛盾可以与相矛盾，也可以与相矛盾，从而
肯定原命题成立】【典型例题解析】考点一：切线的性质例1（永州）如图，AC是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，A为切点，连接PC交
⊙O于点B，连接AB，且PC=10，PA=6．求：（1）⊙O的半径；（2）cos∠BAC的值．例2（珠海）已知，AB是⊙O的
直径，点P在弧AB上（不含点A、B），把△AOP沿OP对折，点A的对应点C恰好落在⊙O上．（1）当P、C都在AB上方时（如图1），
判断PO与BC的位置关系（只回答结果）；（2）当P在AB上方而C在AB下方时（如图2），（1）中结论还成立吗？证明你的结论；（3）
当P、C都在AB上方时（如图3），过C点作CD⊥直线AP于D，且CD是⊙O的切线，证明：AB=4PD．对应训练1．（玉林）如图，
已知点O为Rt△ABC斜边AC上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点E，与AC相交于点D，连接AE．（1）求证：A
E平分∠CAB；（2）探求图中∠1与∠C的数量关系，并求当AE=EC时，tanC的值．2．（泰州）如图，已知直线l与⊙O相离，O
A⊥l于点A，OA=5．OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．（1）试判断线段AB与AC的数量关
系，并说明理由；（2）若PC=2，求⊙O的半径和线段PB的长；（3）若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙
O的半径r的取值范围．考点二：切线的判定例2（铁岭）如图，⊙O的直径AB的长为10，直线EF经过点B且∠CBF=∠CDB．连
接AD．（1）求证：直线EF是⊙O的切线；（2）若点C是弧AB的中点，sin∠DAB=，求△CBD的面积．考点三：三角形的外接
圆和内切圆例4（阜新）如图，在△ABC中，BC=3cm，∠BAC=60°，那么△ABC能被半径至少为cm的圆形纸片所覆盖．
例5（玉林）如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D，E，过劣弧（不包括端点D，E）上任一点P作⊙O的
切线MN与AB，BC分别交于点M，N，若⊙O的半径为r，则Rt△MBN的周长为（）A．rB．C．2rD．
对应训练4．（台州）已知，如图1，△ABC中，BA=BC，D是平面内不与A、B、C重合的任意一点，∠ABC=∠DBE，BD=BE．
（1）求证：△ABD≌△CBE；（2）如图2，当点D是△ABC的外接圆圆心时，请判断四边形BDCE的形状，并证明你的结论．5．
（武汉）在锐角三角形ABC中，BC=5，sinA=，（1）如图1，求三角形ABC外接圆的直径；（2）如图2，点I为三角形ABC的
内心，BA=BC，求AI的长．【聚焦山东中考】1．（济南）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，以其三边为直
径向三角形外作三个半圆，矩形EFGH的各边分别与半圆相切且平行于AB或BC，则矩形EFGH的周长是．2．（菏泽）如图，PA，
PB是⊙O是切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，若∠P=46°，则∠BAC=度．【备考真题过关】一、选择题1．（恩施州）如
图，两个同心圆的半径分别为4cm和5cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为（）A．3cmB．4cmC．6cmD
．8cm2．（河南）如图，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，弧EC=弧BC．则下列结论中不一定正确的是（）A．BA⊥
DAB．OC∥AEC．∠COE=2∠CAED．OD⊥AC3．（黄石）如图所示，直线CD与以线段AB为直
径的圆相切于点D并交BA的延长线于点C，且AB=2，AD=1，P点在切线CD上移动．当∠APB的度数最大时，则∠ABP的度数为（
）A．15°B．30°C．60°D．90°9．（嘉兴）如图，AB是⊙0的弦，BC与⊙0相切于点B，连接OA、OB．若∠
ABC=70°，则∠A等于（）A．15°B．20°C．30°D．70°10.（泉州）如图，O是△ABC的内心，过点
O作EF∥AB，与AC、BC分别交E、F，则（）A．EF＞AE+BFB．EF＜AE+BFC．EF=AE+BF
D．EF≤AE+BF二、填空题12．（江西）如图，AC经过⊙O的圆心O，AB与⊙O相切于点B，若∠A=50°，则∠C=度．
17．（荆门）如图，在直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，BC∥OA，⊙P分别与OA、OC、BC相切于点E、D、B，与AB交于
点F．已知A（2，0），B（1，2），则tan∠FDE=．18．（连云港）如图，圆周角∠BAC=55°，分别过B，C两点作⊙O
的切线，两切线相交与点P，则∠BPC=°．19．（武汉）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3.0），点B为y轴正半轴上的一点
，点C是第一象限内一点，且AC=2．设tan∠BOC=m，则m的取值范围是．20．（宜宾）如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O
上一点，点C是AD的中点，弦CE⊥AB于点F，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CF、BC于点P、Q，连接AC．
给出下列结论：①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P是△ACQ的外心；④AP?AD=CQ?CB．其中正确的是（写出所有正确结
论的序号）．21.（黄石）如图所示，已知A点从（1，0）点出发，以每秒1个单位长的速度沿着x轴的正方向运动，经过t秒后，以O、
A为顶点作菱形OABC，使B、C点都在第一象限内，且∠AOC=60°，又以P（0，4）为圆心，PC为半径的圆恰好与OA所在的直线相
切，则t=．22.（湘潭）如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为．
三、解答题23．（天津）已知⊙O中，AC为直径，MA、MB分别切⊙O于点A、B．（Ⅰ）如图①，若∠BAC=25°，求∠AMB的大
小；（Ⅱ）如图②，过点B作BD⊥AC于E，交⊙O于点D，若BD=MA，求∠AMB的大小．24.（铜仁地区）如图，已知⊙O的直径AB
与弦CD相交于点E，AB⊥CD，⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F．（1）求证：CD∥BF；（2）若⊙O的半径为5，cos∠
BCD=，求线段AD的长．25．（咸宁）如图，AB是⊙O的直径，点E是AB上的一点，CD是过E点的弦，过点B的切线交AC的延
长线于点F，BF∥CD，连接BC．（1）已知AB=18，BC=6，求弦CD的长；（2）连接BD，如果四边形BDCF为平行四边形，则
点E位于AB的什么位置？试说明理由．26．（张家界）如图，⊙O的直径AB=4，C为圆周上一点，AC=2，过点C作⊙O的切线DC，
P点为优弧上一动点（不与A、C重合）．（1）求∠APC与∠ACD的度数；（2）当点P移动到CB弧的中点时，求证：四边形OBPC是
菱形．（3）P点移动到什么位置时，△APC与△ABC全等，请说明理由．27.（河北）如图，A（-5，0），B（-3，0），点C在
y轴的正半轴上，∠CBO=45°，CD∥AB．∠CDA=90°．点P从点Q（4，0）出发，沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度运动，
运动时时间t秒．（1）求点C的坐标；（2）当∠BCP=15°时，求t的值；（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，
当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．28．（宁波）如图，在△ABC中，BE是它的角平分线，∠C=90°
，D在AB边上，以DB为直径的半圆O经过点E，交BC于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）已知sinA=，⊙O的半径为4，求图中阴影部分的面积．29．（莆田）如图，点C在以AB为直径的半圆O上，延长BC到点D，使得CD=BC，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F，点G为DF的中点，连接CG、OF、FB．（1）求证：CG是⊙O的切线；（2）若△AFB的面积是△DCG的面积的2倍，求证：OF∥BC．30（义乌市）如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°．（1）求∠ABC的度数；（2）求证：AE是⊙O的切线；（3）当BC=4时，求劣弧AC的长． |
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