再谈《九章算术》之“盈朒”术上传书斋名：潇湘馆112XiāoXiāngGuǎn112何世强HoSaiKeung提要：本文指
出解《九章算术》中之盈不足术之要点，是为列出维乘式或维乘图，配上适当符号，可依行列式算法算出分子。盈不足之题目方式有多种，其维乘法
、所出率及盈与不足之和或差不尽相同，不能以一种算法概括。关键词：盈朒盈不足维乘所出率第1节《九章》之〈盈朒〉综论《九章
算术?卷七》之题为〈盈朒〉﹝《九章算术》简称为《九章》﹞，“盈”，有余也；“朒”，不足也；“盈朒”又称为“朓朒”，指有余和不足也，
故又称为“盈不足”。北宋?李籍《九章算术音义》曰：“盈”者，满也；不足者，虚也。满虚相推，以求其适，故曰“盈不足”。以下为《九章》
之盈不足术之用法：盈不足以御隐杂互见。御，可引申解作计算。隐，蔽也；杂，混杂也，指“一盈一不足”之相杂。“御隐杂”可解作计算隐蔽而
混杂之事物。“互见”指交替出现也。笔者有文名为〈《九章算术》之盈不足术及二鼠穿垣题、驽良相逢题〉，本文乃其补充。盈不足术分成以下情
况：一盈一不足二盈二不足一盈一适足一不足一适足以上之“二盈”若其中一盈为0，或“一盈一不足”之“一不足”为0，则化成(4)
之“一盈一适足”，同理，“二不足”若其中一不足为0，则化成(5)之“一不足一适足”。以下为盈不足术之﹝一盈一不足﹞要点：今
设人数为x，物价为y，若果每人出钱a1﹝所出率一﹞，则盈b1；若每人出钱a2﹝所出率二﹞，则不足b2。此乃典型之“盈不足”题目。若
x与y均为未知数，其他为已知数，依题意可列出如下之一组二元一次方程式：a1x=y+b1------------
--------------(1)a2x=y–b2--------------------------(2)先解x
，(1)–(2)得：a1x–a2x=b1+b2x(a1–a2)=b1+b2x=。为解y，(1)
×a2及(2)×a2可分别得：a1a2x=ya2+b1a2------------------(3)a1a
2x=ya1–b2a1------------------(4)(4)–(3)得：0=ya1–ya2–
(b2a1+b1a2)y(a1–a2)=b2a1+b1a2y=。盈不足术尚包括y与x之比。=
÷=。术曰：置所出率，盈、不足各居其下。所出率a1a2所出率盈b1b2不足本题a2之栏为“不足”，“维乘”式改写成得：
=a1b2+a2b1。注意行列式=a1b2–a2b1。令“维乘”之，可视之为行列式运算得b2a1+b1a2
，为实，即为分子，所出率之差，a1–a2为法，即为分母，得物价。以上之“维乘图”只适用于“一盈一不足”。其他情况之“盈不足
”题之“维乘图”行列式数之符号须作适当之调整﹝《九章》无此符号调整﹞。即得y=，是为物价。并盈与不足为实即b1+b2，
所出率之差，a1–a2为法，得人数。即得x=。至于分母之和或差，须视乎题目要求而定，见以下各例。总之盈不足之题目方式有
多种，其维乘法、所出率及盈与不足之和或差不尽相同，不能以一种算法概括。第2节《九章》之〈盈朒〉相关题目以下为盈不足术之相关题
目：【第二题】今有共买鸡，人出九，盈一十一；人出六，不足十六。问：人数、鸡价各几何？答曰：九人。鸡价七十。解：依以上之解法，比较数
字可知：a1=9，b1=11；a2=6，b2=16；列出维乘图﹝a2成–6﹞行列式：a1a29–6b1
b21116依以上算法得：人数x====9。鸡价y=====70。《九章》之算法写得简单，
令维乘得210，盈与不足之和为27，所出率之差为3，作除法即得二数。答曰：有9人。鸡价70。【第三题】今有共买琎，人出
半，盈四；人出少半，不足三。问：人数、琎价各几何？答曰：四十二人。琎价十七。解：琎，粤音“进”，阴去声。像玉之石也。李籍《音义》曰
：琎，将邻切。美石次玉曰琎。指像玉之石但不及玉石之美者曰琎。“半”即?，“少半”即?。仍依以上之解法，比较数字可知：a1
=?，b1=4；a2=?，b2=3；列出维乘图行列式：a1a2?–?b1b243人数x====
42。琎价y===6(+)=6×=17。《九章》之算法写，令维乘得，盈与不足之和为7，所出
率之差为1/6，作除法即得二数。答曰：有42人。琎价17。【第六题】今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三。问：人
数、羊价各几何？答曰：二十一人。羊价一百五十。解：今设人数为x，物价为y，若果每人出钱a1﹝所出率一﹞，则不足b1；若每人出钱a2
﹝所出率二﹞，则不足b2。此乃“双不足”题目。若x与y均为未知数，其他为已知数，依题意可列出如下之一组二元一次方程式：a
1x=y–b1--------------------------(5)a2x=y–b2----------
----------------(6)先解x，(5)–(6)得：a1x–a2x=–b1+b2x(a1–a
2)=–b1+b2x=。为解y，(5)×a2及(6)×a2可分别得：a1a2x=ya2–b1a
2------------------(7)a1a2x=ya1–b2a1------------------(8)
(8)–(7)得：0=ya1–ya2–(b2a1–b1a2)y(a1–a2)=b2a1–b1a2
y=。本题依以上之解法，比较数字可知：a1=5，b1=45；a2=7，b2=3；为避免负数，将a1及
a2之数调换，b1及b2之数亦相应调换，即得：a1=7，b1=3；a2=5，b2=45；所以人数
x====21。羊价y=====150。仍用旧符号a1=5，b1=45；a2
=7，b2=3；列出维乘图行列式：a1a2–5–7b1b2453调整符号以配合行列式运算得a1=–5，b1=4
5；a2=–7，b2=3。3(–5)–45(–7)=–15+315=300，(–5)–(–7)
=2，依以上之计算可得答案。答：21人。羊价150。【第七题】假令与共买物，人出八，盈三；人出九，盈十。问：人数、物价各几何
？答曰：七人。物价五十三。解：今设人数为x，物价为y，若果每人出钱a1﹝所出率一﹞，则盈b1；若每人出钱a2﹝所出率二﹞，则盈b2
。此乃“双盈”题目。若x与y均为未知数，其他为已知数，依题意可列出如下之一组二元一次方程式：a1x=y+b1-
-------------------------(9)a2x=y+b2-----------------------
---(10)先解x，(9)–(10)得：a1x–a2x=b1–b2x(a1–a2)=b1–
b2x=。为解y，(9)×a2及(10)×a1可分别得：a1a2x=ya2+b1a2---------
---------(11)a1a2x=ya1+b2a1------------------(12)(12)–(1
1)得：0=ya1–ya2+(b2a1–b1a2)y(a1–a2)=–b2a1+b1a2y=。
本题依以上之解法，比较数字可知：a1=8，b1=3；a2=9，b2=10；所以人数x===
=7。物价y====53。为避免负数，将a1及a2之数调换，b1及b2之数亦相应调换，即得正数。
仍用旧符号a1=8，b1=3；a2=9，b2=10；列出维乘图及行列式：a1a289b1b2–3–10或作
a1=9，b1=10；a2=8，b2=3；列出维乘图及行列式：a1a298b1b2–10–3依以上之算法即
可得答案。答：有7人。物价53。【第八题】今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百。问：人数、金价各几何？答曰：三十三
人。金价九千八百。本题仍属双盈题，依上题之解法，比较数字可知：a1=400，b1=3400；a2=300，b2
=100；所以人数x====33。金价y=====9800。今列出维乘图及行列式：a1a
2400300b1b2–3400–100依以上之算法即可得答案。答：有33人。金价9800。【第九题】今有共买犬，人出五，
不足九十；人出五十，适足。问：人数、犬价各几何？答曰：二人。犬价一百。解：今设人数为x，物价为y，若果每人出钱a1﹝所出率﹞，则不
足b1；若每人出钱a2，则适足。此乃“一不足一适足”题目。若x与y均为未知数，其他为已知数，依题意可列出如下之二元一次方
程式一组：a1x=y–b1--------------------------(13)a2x=y-------
------------------------(14)先解x，(14)–(13)得：a2x–a1x=b1x(a
2–a1)=b1x=。为解y，(13)×a2及(14)×a1可分别得：a1a2x=ya2–b1
a2------------------(15)a1a2x=ya1--------------------------
(16)(16)–(15)得：0=ya1–ya2+b1a2y(a2–a1)=b1a2y=。本题依以上
之解法，比较数字可知：a1=5，b1=90；a2=50；所以人数x====2。物价y====100。仍用旧符号a1=–5，b1=90；a2=50，b2=0；列出维乘图行列式：a1a2–5–50b1b29000(–5)–90(–50)=4500，(–5)–(–50)=45，依以上之计算可得答案。答：2人。犬价100。综合而言，《九章》未能清楚说明盈不足各种情况维乘图所带之符号，包括盈与不足之和或差，所出率之和或差。以下为《九章》之原文：(1) |
|
