圆梦高考助力未来2023年高考数学模拟题精练（二）第I卷（选择题）一、单选题1．已知集合A={2，3，4，6，7}，B={2，3，5，7}，
则A∩B=（）A．{2，3，5}B．{2，3，7}C．{2，3，5，7}D．{2，3，4，5，6，7}2．如图，
图O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直
线OP的距离表示成x的函数，则的图像大致为A．B．C．D．3．被誉为我国“宋元数学四大家”的李治对“天元术”进行了较为全面的总结和
探讨，于1248年撰写《测圆海镜》，对一元高次方程和分式方程理论研究作出了卓越贡献.我国古代用算筹记数，表示数的算筹有纵式和横式两
种，如图1所示.如果要表示一个多位数字，即把各位的数字依次横列，个位数用纵式表示，且各位数的筹式要纵横相间，例如614用算筹表示出
来就是“”，数字0通常用“○”表示.按照李治的记法，多项式方程各系数均用算筹表示，在一次项旁记一“元”字，“元”向上每层增加一次幂
，向下每层减少一次幂.如图2所示表示方程为.根据以上信息，图3中表示的多项式方程的实根为（）A．和B．和C．和D．和4．已
知集合，集合，则（）A．B．C．D．5．已知复数，则的虚部为（）A．B．C．D．6．已知是复数z的共轭复数，若
在复平面上的对应点位于第一象限，则z的对应点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7．一百零八塔，位于宁
夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群该塔群随山势凿石分阶而建，依山势自上而下，第一阶1座，第二阶3座，第三阶3座，第四
阶5座，第五阶5座，从第五阶开始塔的数目构成一个首项为5，公差为2的等差数列，总计108座，故名一百零八塔.则该塔的阶数是（
）第7题图第9题图A．10B．11C．12D．138．我国古代数学名著《九章算
术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程比如在
表达式中“”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程求得，类似上述过程及方法.则的值为（）A．B．C．7D．9．
我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象
来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（）A．
B．C．D．10．等比数列的前n项和为Sn，若，则公比（）A．－1B．1C．－2D．211．已知为正六边形，若A、
D为椭圆W的焦点，且B、C、E、F都在椭圆W上，则椭圆W的离心率为A．B．C．D．12．函数的图象大致为（）A．B．C．
D．13．已知集合，则A＝（）A．B．C．D．14．甲、乙、丙、丁四人参加某项技能比赛，赛前甲、乙、丙分别做了预测.甲说
：“丙得第1名，我第3名”.乙说：“我第1名，丁第4名”.丙说：“丁第2名，我第3名”.比赛成绩揭晓后，发现他们每人只说对了一半.
获得第一名的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁15．已知正数，，满足，则，，的大小关系为（）A．B．C．D．以上均不对
16．圆和圆相交，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．17．已知空间四边形OABC中，点M在线段OA上，且OM=2MA，
点N为BC中点，设，则=（）A．B．C．D．18．若复数为纯虚数，则的值为（）A．2B．C．1D．019．如
图，边长为的正方形是一个水平放置的平面图形的直观图，则平面图形以为轴旋转一周所围成的几何体是（）第19题图
第23题图A．一个圆柱B．一个圆柱和一个同底面的圆锥的组合体C．一
个圆锥和一个同底面的圆柱(内部挖去一个同底等高的圆锥)的组合体D．两个同底的圆锥的组合体20．黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名
的数学家波恩哈德·黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用.其定义黎曼函数为：当（为正整数，是既约真分数）时，当或或为上的无理数时
.已知、、都是区间内的实数，则下列不等式一定正确的是A．B．C．D．21．正四棱锥的五个顶点在同一个球面上,若其底面边长为4
,侧棱长为,则此球的体积为A．B．C．D．22．区块链作为一种革新的技术，已经被应用于许多领域.在区块链技术中，若密码的长度设定为
256比特，则密码一共有种可能；因此，为了破解密码，最坏情况需要进行次运算.现在有一台机器，每秒能进行次运算，假设机器一直正常运转
，那么在最坏情况下这台机器破译密码所需时间大约为（）（参考数据：）A．秒B．秒C．秒D．秒23．双曲线的光学性质为：如图①
，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线
的这个光学性质.某“双曲线新闻灯”的轴截面是双曲线的一部分，如图②，其方程为，为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点和
点反射后，满足，，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．24．如果数列同时满足以下三个条件：（1）；（2）向量与互相平行
；（3）与的等差中项为．那么，这样的数列，，…，的个数为（）A．B．C．D．25．刘徽(约公元225年-295年)，魏晋期间
伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一他在割圆术中提出的，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣
”，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n边形等分成n个等腰三角形(如图所示)，当n变得很大时，这n
个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，得到的近似值为（）A．B．C．D．26．过椭圆C：右焦点F的直线
l：交C于A、B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为，则椭圆C的方程为（）A．B．C．D．27．设A、B为圆上的两动点，且
∠AOB=120o，P为直线l：3x–4y–15=0上一动点，则的最小值为（）A．3B．4C．5D．628．设双曲
线的离心率为，A，B是双曲线C上关于原点对称的两个点，M是双曲线C上异于A，B的动点，直线斜率分别，若，则的取值范围为（）
A．B．C．D．29．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统
计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后
，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半30
．制作芯片的原料是晶圆，晶圆是由硅元素加以纯化得到，晶圆越薄，其体积越小且成本越低，但对工艺的要求就越高，即制作晶圆越薄其工艺就越
高.某大学为鼓励更多的有志青年投入到芯片事业中，成立甲，乙，丙三个科研小组，用三种不同的工艺制作晶圆.甲小组制作的晶圆厚度为毫米，
乙小组制作的晶圆厚度为毫米，丙小组制作的晶圆厚度为毫米，则在三个小组中制作工艺水平最高与最低的分别是（）A．甲小组和丙小组
B．丙小组和乙小组C．乙小组和丙小组D．丙小组和甲小组31．设等差数列的前项和为，公差为．已知，，，则选项不正确的是（
）A．数列的最小项为第项B．C．D．时，的最大值为32．如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，是底面内一动点，若直线与平面
不存在公共点，则三角形的面积的最小值为第32题图第3
3题图A．B．1C．D．二、多选题33．小李经营的个体店在2020年各月份的收入和支出（单位：百元）情况的统计如图所示，下列说法中
正确的有A．月支出最高值与月支出最低值的比是6:1B．1至2月份的支出的变化率与3至4月份的收入的变化率相同C．利润最大的月份是2
月份和9月份D．第三季度平均月利润为2000元34．下列说法正确的是（）A．设随机变量X等可能取，…，n，如果，则B．设随
机变量X服从二项分布，则C．设离散型随机变量服从两点分布，若，则D．已知随机变量X服从正态分布且，则35．嫦娥奔月是中华民族的千年
梦想.2020年12月我国嫦娥五号“探月工程”首次实现从月球无人采样返回.某校航天兴趣小组利用计算机模拟“探月工程”，如图，飞行器
在环月椭圆轨道近月点制动（俗称“踩刹车”）后，以的速度进入距离月球表面的环月圆形轨道（月球的球心为椭圆的一个焦点），环绕周期为，已
知远月点到月球表面的最近距离为，则（）第35题图第36题图
第38题图A．圆形轨道的周长为B．月球半径为C．近月点与远月点的距离为D．椭圆轨道的离心
率为36．如图，在四面体中，截面是正方形，则在下列命题中，正确的为A．B．截面C．D．异面直线与所成的角为37．为了增强学生
的身体素质，提高适应自然环境、克服困难的能力，某校在课外活动中新增了一项登山活动，并对“学生喜欢登山和性别是否有关”做了一次调查，
其中被调查的男女生人数相同，得到如图所示的等高条形统计图，则下列说法中正确的有（）附：，其中.A．被调查的学生中喜欢登山的
男生人数比喜欢登山的女生人数多B．被调查的女生中喜欢登山的人数比不喜欢登山的人数多C．若被调查的男女生均为人，则有的把握认为喜欢登
山和性别有关D．无论被调查的男女生人数为多少，都有的把握认为喜欢登山和性别有关38．如图所示是正四面体的平面展开图,分别为的中点,
在这个正四面体中,下列命题正确的是A．与平行B．与为异面直线C．与成60°角D．与垂直39．已知椭圆C∶(a>b>0)的左，
右两焦点分别是F1，F2，其中F1F2=2c.直线l∶y=k(x+c)(k∈R)与椭圆交于A，B两点则下列说法中正确的有（
）A．△ABF2的周长为4aB．若AB的中点为M，则C．若，则椭圆的离心率的取值范围是D．若AB的最小值为3c，则椭圆的离心率
40．函数的部分图像如图所示，则下列说法中正确的有（）A．f(x)的周期为πB．f(x)的单调递减区间是(k∈Z)C．f
(x)的图像的对称轴方程为(k∈Z)D．f(2020)+f(2021)=041．设，则下列结论正确的是（）A．B．C
．D．42．对于数列，若存在数列满足（），则称数列是的“倒差数列”，下列关于“倒差数列”描述正确的是（）A．若数列是单增
数列，但其“倒差数列”不一定是单增数列；B．若，则其“倒差数列”有最大值；C．若，则其“倒差数列”有最小值；D．若，则其“倒差
数列”有最大值.43．甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（
）第43题图第45题图第49题图A．乙
类水果的平均质量B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D．乙类水果的
质量服从的正态分布的参数44．下列命题中，正确的是（）A．在中，，B．在锐角中，不等式恒成立C．在中，若，则必是等腰直角三
角形D．在中，若，，则必是等边三角形45．在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是（）A．异面直线与所成的角大小为B．四面体
的每个面都是直角三角形C．二面角的大小为D．正方体的内切球上一点与外接球上一点的距离的最小值为46．已知函数，则下列命题正确的是（
）A．的图象关于直线对称B．的最小正周期为C．的值域为D．在上单调递减47．设数列的前项和为，若，则下列说法中正确的有（
）A．存在，，使得是等差数列B．存在，，使得是等比数列C．对任意，，都有一定是等差数列或等比数列D．存在，，使得既不是等
差数列也不是等比数列48．一个复数集X称为某种运算的“和谐集”是指X满足性质:①X?C；②?a，b∈X对某种规定的运算a⊕b，都有
a⊕b∈X.则下列数集X是相应运算的“和谐集”的是（）A．，其中i是虚数单位，规定运算:a⊕b=ab，(?a，b∈X)B．
，规定运算:C．，规定运算:a⊕b=ab，(?a，b∈X)D．，规定运算:a⊕b=a+b，(?a，b∈X)49．函数的部分图象如图
中实线所示，图中圆C与的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下列说法中正确的是（）A．函数在上单调递增B．函数的图象关于点
成中心对称C．函数的图象向右平移个单位后关于直线成轴对称D．若圆半径为，则函数的解析式为50．如图，正方体的棱长为1，P为的中点，
Q为线段上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面多边形记为S，则下列命题正确的是（）A．当时，S为等腰梯形B．
当时，S与的交点R满足C．当时，S为六边形D．当时，S的面积为51．在正方体中，分别为棱的中点，P是线段上的动点(含端点)，则（
）A．B．平面C．与平面所成角正切值的最大值为D．当P位于时，三棱锥的外接球体积最小52．已知函数，其中是自然对数的底
数，下列说法中，正确的是（）A．在是增函数B．设，则满足的正整数的最小值是2C．是奇函数D．在上有两个极值点53．已知
.（）A．的零点个数为4B．的极值点个数为3C．x轴为曲线的切线D．若，则54．华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混
沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学?经济学和社会学领域都有重要作用.在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设
是定义在上的函数，对于，令，若存在正整数使得，且当时，，则称是的一个周期为的周期点.给出下列四个结论正确的是（）A．若，则
存在唯一个周期为1的周期点；B．若，则存在周期为2的周期点；C．若，则不存在周期为3的周期点；D．若，则对任意正整数，都不是的周期
为的周期点.55．已知圆与双曲线的四个交点的连线构成的四边形的面积为，若为圆与双曲线在第一象限内的交点，为双曲线的右焦点，且（为坐
标原点），则下列说法正确的是（）A．双曲线的渐近线方程为B．双曲线右支上的动点到、两点的距离之和的最小值为C．圆在点处的切
线被双曲线截得的弦长等于D．若以双曲线上的两点、为直径的圆过点，则第II卷（非选择题）三、双空题56．如图，一个酒杯的内壁的轴截面
是抛物线的一部分，杯口宽cm，杯深8cm，称为抛物线酒杯．①在杯口放一个表面积为的玻璃球，则球面上的点到杯底的最小距离为____
__cm；②在杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径的取值范围为______(单位：cm)．第56题图
第58题图第59题图57．函数图象上不同两点处
的切线的斜率分别是，规定（为A与B之间的距离）叫做曲线在点A与点B之间的“弯曲度”.若函数图象上两点A与B的横坐标分别为0，1，则
=___________；设为曲线上两点，且，若恒成立，则实数m的取值范围是___________.58．如图所示，在平面直角坐标
系中，，，圆过坐标原点，圆与圆外切.则（1）圆的半径等于__________；（2）已知过点和抛物线焦点的直线与抛物线交于，，且，
则______．四、填空题59．三等分角是古希腊三大几何难题之一，公元3世纪末，古希腊数学家帕普斯利用双曲线解决了三等分角问题，如
图，已知圆心角ACB是待三等分的角(0<∠ACB<π)，具体操作方法如下∶在弦AB上取一点D，满足AD=2DB，以AD为实轴，为虚
轴作双曲线，交圆弧AB于点M，则∠ACM=2∠MCB，即CM为∠ACB的三等分线，已知双曲线E的方程为，点A，D分别为双曲线E的左
，右顶点，点B为其右焦点，点C为双曲线E的右准线上一点，且不在x轴上，线段CB交双曲线E于点P，若扇形CMB的面积为，则的值为__
_________.60．数独是一种非常流行的逻辑游戏.如图就是一个数独，玩家需要根据盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的未知数
字，并满足每一行、每一列、每一个粗线官内的数字均含1—6这6个数字（每一行，每一列以及每一个粗线宫都没有重复的数字出现），则图中的
______.第60题图第62题图第
67题图61．若的展开式中常数项为，则的值为___________.62．已知椭圆C：，左、右焦点分别为、，是椭圆C上位于第一象
限内的点且满足，延长交椭圆C于点Q，则△的内切圆半径是_______．63．定义，已知，，若恰好有3个零点，则实数的取值范围是_
_______.64．如果实数满足线性约束条件，则的最小值等于_______________．65．若?是双曲线的左右焦点，过的直
线与双曲线的左右两支分别交于，两点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为________.66．已知点是抛物线上一点，为其焦点，以为
圆心、为半径的圆交准线于，两点，若为等腰直角三角形，且的面积是，则抛物线的方程是________．67．如图，水平放置的正四棱台形
玻璃容器的高为，两底面对角线EG，E1G1的长分别为25和97.在容器中注入水，水深为8.现有一根玻璃棒l，其长度为39.(容器厚
度?玻璃棒粗细均忽略不计)，将l放在容器中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，则l浸没在水中部分的长度为________
___.五、解答题68．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2．（1）求数列{an}的通项公式；（2）在①bn＝，②bn＝an?2n
，③bn＝（﹣1）n?Sn这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解该问题．若_____，求数列{bn}的前n项和Tn．69
．在底面半径为2高为的圆锥中内接一个圆柱，且圆柱的底面积与圆锥的底面积之比为1∶4，求圆柱的表面积．70．（本小题满分16分）如图
，在矩形纸片中，，，在线段上取一点，沿着过点的直线将矩形右下角折起，使得右下角顶点恰好落在矩形的左边边上．设折痕所在直线与交于点
,记折痕的长度为，翻折角为．（1）写出关于的函数关系式，并求其定义域；（2）求折痕的最小值.71．（本小题满分14分）如图，在平面
直角坐标系中，以轴正半轴为始边的角与单位圆交于点，△为等边三角形．（1）若点的横坐标是，求的值和点的坐标；（2）求△的面积的取
值范围．72．如图所示的几何体是由一个直三棱柱和半个圆柱拼接而成其中，∠FAB=90°，AB=AF=2，点G为弧CD的中点，且C，
G，D，E四点共面.（1）证明∶D，G，B，F四点共面；（2）若平面BDF与平面ABG所成锐二面角的余弦值为，求AD长.73．为落
实十三五规划节能减排的国家政策，某职能部门对市场上两种设备的使用寿命进行调查统计，随机抽取A型和B型设备各100台，得到如下频率分
布直方图：（1）将使用寿命超过2500小时和不超过2500小时的台数填入下面的列联表：超过2500小时不超过2500小时总计A型B
型总计根据上面的列联表，能否有99%的把握认为使用寿命是否超过2500小时与型号有关？（2）用分层抽样的方法从不超过2500小时A
型和B型设备中抽取8台，再从这8台设备中随机抽取3台，其中A型设备为台，求的分布列和数学期望；（3）已知用频率估计概率，现有一项工
作需要10台同型号设备同时工作2500小时才能完成，工作期间设备损坏立即更换同型号设备(更换设备时间忽略不计)，A型和B型设备每台
的价格分别为1万元和0.6万元，A型和B型设备每台每小时耗电分别为2度和6度，电价为0.75元/度.只考虑设备的成本和电费，你认为
应选择哪种型号的设备，请说明理由.参考公式：，.参考数据：0.0500.0100.0013.8416.63510.82874．如图
，在多面体ABCDE中，平面ACDE⊥平面ABC，四边形ACDE为直角梯形，CD∥AE，AC⊥AE，∠ABC=60°，CD=1，A
E=AC=2，F为BE的中点．（1）当BC的长为多少时，DF⊥平面ABE．（2）求平面ABE与平面BCD所成的锐二面角的大小．75
．在如图所示的圆柱中，AB为圆的直径，是的两个三等分点，EA，FC，GB都是圆柱的母线．（1）求证：平面ADE；（2）设BC=1，
已知直线AF与平面ACB所成的角为30°，求二面角A—FB—C的余弦值．76．已知数列{an}满足．（1）求a1，a2，a3的值；
（2）对任意正整数n，an小数点后第一位数字是多少？请说明理由．77．如图，某生态农庄内有一直角梯形区域，，，百米，百米．该区域内
原有道路，现新修一条直道（宽度忽略不计），点在道路上（异于，两点），，．（1）用表示直道的长度；（2）计划在区域内种植观赏植物，在
区域内种植经济作物．已知种植观赏植物的成本为每平方百米2万元，种植经济作物的成本为每平方百米1万元，新建道路的成本为每百米1万元，
求以上三项费用总和的最小值．78．已知函数．（1）若，求的单调区间；（2）若函数有且只有一个零点，求实数k的值；79．已知椭圆C1
：(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C
，D两点，且|CD|=|AB|.（1）求C1的离心率；（2）设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程.80
．我国南宋时期的数学家杨辉，在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律．此图称为“杨辉三角”，
也称为“贾宪三角”．在此图中，从第三行开始，首尾两数为，其他各数均为它肩上两数之和．（1）把“杨辉三角”中第三斜列各数取出按原来的
顺序排列得一数列：，，，，，…，写出与的递推关系，并求出数列的通项公式；（2）已知数列满足，设数列满足：，数列的前项和为，若恒成立
，试求实数的取值范围．81．甲?乙?丙三人参加学校“元旦嘉年华”竞答游戏，活动的规则为：甲?乙?丙三人先分别坐在圆桌的A，B，C三
点，第一轮从甲开始通过掷骰子决定甲的竞答对手，如果点数是奇数，则按逆时针选择乙，如果是偶数，则按顺时针选丙，下一轮由上一轮掷骰子选
中的对手继续通过掷骰子决定竞答对手，如果点数是奇数按逆时针选对手，点数是偶数按顺时针选对手，已知每场竞答甲对乙?甲对丙?乙对丙获胜
的概率分别为且甲?乙?丙之间竞答互不影响，各轮游戏亦互不影响，比赛中某选手累计获胜场数达到2场，游戏结束，该选手为晋级选手.（1）
求比赛进行了2场且甲晋级的概率；（2）当比赛进行了3场后结束，记甲获胜的场数为，求的分布列与数学期望82．设等比数列的前项和为，已
知，且，，成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，求数列的前项和.83．在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，
EF是上底面圆O的直径，FB是圆台的一条母线.（Ⅰ）已知G,H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；（Ⅱ）已知EF=FB
=AC=，AB=BC．求二面角的余弦值.84．图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1
，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.（1）证明：图2中的A，C，G，D四
点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；（2）求图2中的二面角B?CG?A的大小.85．如图所示的几何体由等高的个圆柱和个圆柱拼接而成
，点为弧的中点，且、、、四点共面．（1）证明：平面．（2）若直线与平面所成角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．86．已知各项均
为正数的数列的前n项和为，，.（1）求证；数列是等差数列，并求的通项公式；（2）若表示不超过的最大整数，如，，求证：.87．已知正
项数列的前n项和满足.数列满足（1）求数列的通项公式；（2）试问:数列是否构成等比数列(注:是数列的前n项和)?请说明理由；（3）
若是否存在正整数n，使得成立?若存在求所有的正整数n；否则，请说明理由.88．某工厂在疫情形势好转的情况下，复工后的前5个月的利润
情况如下表所示：第1个月第2个月第3个月第4个月第5个月利润（单位：万元）111275180设第i个月的利润为y万元．（1）根据表
中数据，求y关于i的方程（，的值要求保留小数点后四位有效数字）；（2）根据已知数据求得回归方程后，为验证该方程的可靠性，可用一个新
数据加以验证，方法如下：先计算新数据对应的残差，再计算，若，则说明该方程是可靠的，否则说明不可靠．现已知该厂第6个月的利润为120
万元，是判断(1)中求得的回归方程是否可靠，说明你的理由．参考数据：，取．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．89．如
图，在四棱柱中，平面，底面ABCD满足∥BC，且(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.90．在棱长为正方体中，是底面
的中心，是棱上的一点,是棱的中点.（1）如图，若是棱的中点，求异面直线和所成角的余弦值；（2）如图，若延长与的延长线相交于点，求线
段的长度.91．已知动圆过定点A(0,2),且在x轴上截得的弦MN的长为4．（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；（2）设，直线l与曲线
C交于异于原点的两个不同点P，Q，过P，Q两点分别作曲线C的切线，两切线的交点为M．设线段的中点为N，若，求直线l的斜率．92．（
本小题满分16分）已知数列的前项和为,且满足,数列的前项和为,且满足,其中N.（1）求数列的通项公式；（2）若数列是公差不为零的
等差数列.①求实数的值.②若≤对任意的N恒成立,求的取值范围.93．在平面直角坐标系xOy中，已知点E(0，2)，以OE为直径的
圆与抛物线C∶x2=2py(p>0)交于点M，N(异于原点O)，MN恰为该圆的直径，过点E作直线交抛物线与A，B两点，过A，B两点
分别做拋物线C的切线交于点P.（1）求证∶点P的纵坐标为定值；（2）若F是抛物线C的焦点，证明∶∠PFA=∠PFB.94．已知函数
f(x)=tanx-sinx，g(x)=x-sinx，x∈（1）证明∶关于x的方程f(x)-g(x)=x在上有且仅有一个实数根；（
2）当x∈时，f(x)≥ag(x)，求实数a的最大值.95．已知数列满足.(1)证明是等比数列，并求的通项公式；(2)证明：.9
6．已知函数，其中是自然对数的底数（1）若曲线与直线有交点，求a的最小值；（2）①设，问是否存在最大整数k，使得对任意正数x都成立
？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由；②若曲线与直线有两个不同的交点，求证：.97．如图，已知椭圆的左、右顶点为，，上、下顶
点为，，记四边形的内切圆为.（1）求圆的标准方程；（2）已知圆的一条不与坐标轴平行的切线交椭圆于P，M两点.（i）求证：；（ii）
试探究是否为定值.98．设.（1）求证：函数一定不单调；（2）试给出一个正整数，使得对恒成立.（参考数据：，，）99．（12分）在
平面直角坐标系中，点到点的距离之和为4.（1）试求点A的M的方程.（2）若斜率为的直线l与轨迹M交于C,D两点，为轨迹M上不同于C
，D的一点，记直线PC的斜率为，直线PD的斜率为，试问是否为定值.若是，求出该定值；若不同，请说出理由.100．已知动圆过点，并且
与圆外切，设动圆的圆心的轨迹为．（1）求曲线的方程；（2）过动点作直线与曲线交于，两点，当为的中点时，求的值；（3）过点的直线与曲
线交于，两点，设直线，点，直线交于点，证明直线经过定点，并求出该定点的坐标.参考答案（二）1．B【分析】根据交集运算直接求解.【详
解】由集合，集合，则.故选：B2．C【分析】试题分析：当时，，，当时，，，故选C.考点：三角函数3．A【分析】根据题设，可得图3
的方程为，解方程即求解.【详解】由题意知：图3表示的方程为，解得或.故选：A.4．A【分析】先化简两集合，再由交集的概念，即可得出
结果.【详解】集合，集合，所以.故选：A.5．A【分析】根据复数的除法运算法则，先化简，得出其共轭复数，进而可求出结果.【详解】因
为，所以，因此的虚部为.故选：A.6．D【分析】首先设（）则，可得，由求得范围，即可得解.【详解】设（）则，，由在复平面上的对应点
位于第一象限，所以，所以，所以z的对应点位于第四象限，故选：D.7．C【分析】先求出前四阶共12座，设第五阶塔的数目为，则，设从第
五阶开始自上而下，每一层的塔的数目为，由等差数列的前项和可得结果.【详解】由第一阶1座，第二阶3座，第三阶3座，第四阶5座，则前四
阶共12座.则从第五阶后共有座.设第五阶塔的数目为，则，设从第五阶开始自上而下，每一层的塔的数目为由从第五阶开始塔的数目构成一个
首项为5，公差为2的等差数列.所以所以所以由，解得或（舍去）所以该塔的阶数是故选：C8．B【分析】令，则有，然后转化为一元
二次方程，解出的值，并排除不正确的值，即可得到结果.【详解】令，则，整理，得，解得，或，，，.故选：.【点睛】本题主要考查类比推理
的能力，考查了转化与化归思想，一元二次方程的求解，以及类比推理能力和数学运算能力，本题属基础题.9．B【分析】由图象知函数的定义域
排除选项选项A、D，再根据不成立排除选项C，即可得正确选项.【详解】由图知的定义域为，排除选项A、D，又因为当时，，不符合图象，所
以排除选项C，故选：B.10．C【分析】先根据数列是等比数列，建立方程得到，最后求解即可.【详解】解：因为是等比数列，所以，又因为
，所以，解得：故选：C.【点睛】本题考查等比数列的通项公式的基本量法、等比数列前n项和的基本量法，是基础题.11．A【分析】设正六
边形的边长为1，则，由，可得，从而可得椭圆的离心率.【详解】设正六边形的边长为1，如图由A、D为椭圆W的焦点，则在椭圆中，由B、C
、E、F都在椭圆W上，则在直角三角形中，由椭圆的定义可得：，则所以故选：A12．B【分析】根据绝对值的性质，结合函数的奇偶性、指数
型函数的性质进行判断即可.【详解】设，因为，所以函数是偶函数，图象关于y轴对称，当时，，此时函数单调递增，所以有，所以选项B符合
，故选：B13．D【分析】利用对数函数的性质，解不等式.【详解】由条件可知，解得：，则.故选：D14．B【分析】根据每人只说对一半
，结合题意，假设分析，进行推理，即可得答案.【详解】由题意得，每人只说对了一半，对于甲：假设丙得第1名正确，则甲得第3名错误，则甲
可以得第2名或第4名；对于乙：乙得第1名错误，则丁得第4名正确，所以甲得第2名，乙得第3名；对于丙：丁得第2名错误，丙得第3名错误
；不满足题意，假设不成立；所以对于甲：丙得第1名错误，甲得第3名正确；对于丙：丙得第3名错误，则丁得第2名正确；对于乙：丁得第4名
错误，则乙得第1名正确，所以第1名为乙，第2名为丁，第3名为甲，第4名为丙，满足题意，故选：B15．A【分析】将看成常数，然后根据
题意表示出，再作差比较出大小即可【详解】解：由，得，则，得，所以，所以，令，则，所以函数在上单调递增，所以，所以，即所以，所以，综
上，故选：A16．D【分析】首先求出两圆的公共弦方程，则圆心到直线的距离小于半径，即可得到不等式，解得即可；【详解】解：因为圆①和
圆②相交，所以①减②得，即两圆的公共弦方程为，则圆的圆心到公共弦的距离小于半径，，解得或，故选：D【点睛】本题考查两圆的位置关系求
参数的取值范围，解答的关键是利用两圆方程作差求出公共弦方程，利用点到直线的距离小于半径即可求出参数的取值范围；17．B【分析】由空
间向量的加减法运算法则求解即可.【详解】因为点M在线段OA上，且OM=2MA，所以，，又点N为BC中点，所以故，故选：B.18．A
【分析】先利用复数的除法化简复数，再由纯虚数的概念求解.【详解】因为，所以若复数为纯虚数，则，解得故选：A．19．C【分析】先根据
直观图画出原图，即可得出结论.【详解】由直观图画出原图，如下图所示，因为所以，则平面图形以为轴旋转一周所围成的几何体为一个圆锥和一
个圆柱(里面挖去一个圆锥)．故选：C．20．B【分析】设为正整数，是既约真分数，或或为上的无理数，然后根据，与集合，的关系分类讨论
，计算与，与的关系.【详解】设为正整数，是既约真分数，或或为上的无理数，则根据题意有：①当时，则，，②当时，，；③当时，，；④当
时，，综上所述，一定成立.故选：B.【点睛】本题以黎曼函数为背景，考查学生获取新知识应用新知识的能力.当、、都是区间内的实数时，
与的取值可能为的形式（为正整数，是既约真分数），也可能为或或为上的无理数，解决的途径主要是要针对，的取值进行分类讨论，然后根据的性
质判断与，与的关系.21．B【分析】先求四棱锥的高，再根据勾股定理得球的半径，最后根据球的体积公式得结果.【详解】正四棱锥的高为，
设外接球的半径为则所以球的体积为选B.【点睛】本题考查正四棱锥外接球，考查基本分析求解能力，属中档题.22．B【分析】根据题目意思
得到，根据对数运算求出.【详解】解：设这台机器破译所需时间大约为秒，则，两边同时取底数为10的对数得，所以，所以所以，所以.故选
：B.【点睛】对数运算的一般思路:（1）拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对
数运算性质化简合并；（2）合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.
23．C【分析】连接，已知条件为，，设，由双曲线定义表示出，用已知正切值求出，再由双曲线定义得，这样可由勾股定理求出（用表示），然
后在中，应用勾股定理得出的关系，求得离心率．【详解】易知共线，共线，如图，设，，则，由得，，又，所以，，所以，所以，由得，因为，故
解得，则，在中，，即，所以．故选：C．24．B【分析】由已知得或，分析得到再分5种情况讨论得解.【详解】由（1）得；由（2）得；由
（3）得，所以或，当时，所以.当时，所以.因为,所以考虑，当时，，则9步中有8步是+1，有1步是+2，共有种；当时，，则9步中有6
步为+1,3步为+2，共有种；当时，，则9步中有4步为+1,5步为+2，共有种；当时，，则9步中有2步为+1,7步为+2，共有种；
当时，，则9步中9步为+2，共有种；综上所述，共有种.故选：B25．A【分析】设圆的半径为,每个等腰三角形的顶角为,则每个等腰三角
形的面积为,由割圆术可得圆的面积为,整理可得,当时即可为所求.【详解】由割圆术可知当n变得很大时,这n个等腰三角形的面积之和近似等
于圆的面积,设圆的半径为,每个等腰三角形的顶角为,所以每个等腰三角形的面积为,所以圆的面积为,即,所以当时,可得,故选:A【点睛】
本题考查三角形面积公式的应用,考查阅读分析能力.26．A【分析】由题意，可得右焦点的坐标，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理，求出
的中点的坐标，由直线的斜率可得，的关系，再由椭圆中，，的关系求出，的值，进而可得椭圆的方程．【详解】解：直线中，令，可得，所以右焦
点，，设，，，，则，的中点，联立，整理得，所以，，所以，所以，又，，所以，，所以椭圆的方程为，故选：A．【点睛】关键点点睛：本题解
题的关键是联立直线和椭圆的方程，然后利用韦达定理求出，，进而根据由两点间的斜率公式得，的关系.27．C【分析】取中点，求出点轨迹方
程，，转化求点到直线上点的距离的最小值，由此计算可得．【详解】设是中点，因为，所以，即在以原点为圆心，为半径的圆上，，，又，所以，
所以．故选：C．【点睛】关键点点睛：本题考查圆上两动点与直线上动点间的“距离”的最小值问题，解题关键是取中点，把用表示，这样两动点
转化为一个动点，求得点轨迹，利用直线与圆的位置关系求解即可．28．D【分析】首先利用点差法求得，再根据求得的取值范围.【详解】设，
则，那么，两式相减得：，整理得：即，又因为双曲线的离心率为，所以，所以，故，其中，所以故选：D.【点睛】本题主要考查点差法化简直
线的斜率之间的关系，在求解过程需要掌握这种技巧.29．A【分析】首先设出新农村建设前的经济收入为M，根据题意，得到新农村建设后的经
济收入为2M，之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项.
【详解】设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M，则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74
M，所以种植收入增加了，所以A项不正确；新农村建设前其他收入我0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B
项正确；新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以C项正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收
入的综合占经济收入的，所以超过了经济收入的一半，所以D正确；故选A.点睛：该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形
图，要会从图中读出相应的信息即可得结果.30．A【分析】设，，，则，，.由，，，根据余弦函数和正弦函数的单调性确定最大，设，利用导
数法确定a最小.【详解】设，，，所以，，.因为，所以.又，，所以，，所以最大，否定B，D.设，，，令，，，所以在上为减函数，所以，
即，所以在上为减函数.所以，即，所以，所以.故选：A.【点睛】本题主要考查三角函数的单调性以及导数与函数的单调性比较大小，还考查了
运算求解的能力，属于难题.31．D【分析】根据题意，由等差数列的性质及前项和公式依次分析选项，综合即可得出答案．【详解】解：由题意
，又，所以，故选项正确；由，且，，，得，解得，选项正确；由题意当时，，当时，，所以，，故时，的最大值为10，故选项错误；由于，数列
是递减数列，当时，，当时，；当时，，当时，，所以当时，，当时，，当时，，故数列中最小的项为第6项，选项正确．故选：．32．C【分析
】延展平面，可得截面,其中分别是所在棱的中点，可得平面,再证明平面平面,可知在上时，符合题意，从而得到与重合时三角形的面积最小，进
而可得结果.【详解】延展平面，可得截面,其中分别是所在棱的中点，直线与平面不存在公共点，所以平面,由中位线定理可得,在平面内，在平
面外，所以平面,因为与在平面内相交，所以平面平面,所以在上时，直线与平面不存在公共点，因为与垂直，所以与重合时最小，此时，三角形的
面积最小，最小值为，故选C.【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、面面平行的判定定理，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线
面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的
性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.33．A
CD【分析】根据图表所给数据对选项一一分析即可.【详解】对于A，月支出最高值为60，最低值为10，比为6:1，故A正确；对于B，1
至2月份的支出的变化率为，3至4月份的收入的变化率，故B错误；对于C，由图知，1月到11月利润依次为20,30,20,20,20,
20,10,20,30,20,20，故利润最大的月份是2月份和9月份，故C正确；对于D，第7,8,9月的利润依次为10,20,30
，平均利润为（百元），即2000元，故D正确；故选：ACD34．ABC【分析】对于A：由，解之可判断；对于B，根据二项分布可判断；
对于C，根据两点分布计算可判断；对于D：根据正态分布的对称性可判断；【详解】对于A：对于，故A正确；对于B，设随机变量X服从二项分
布，则，故B正确；对于C，因为且，故C正确；对于D：随机变量服从正态分布正态曲线的对称轴是.，D错误；故选：ABC.35．BC【分
析】根据题意结合椭圆定义和性质分别求出各量即可判断.【详解】由题，以的速度进入距离月球表面的环月圆形轨道，环绕周期为，则可得环绕的
圆形轨道周长为km，半径为km，故A错误；则月球半径为，故B正确；则近月点与远月点的距离为，故C正确；设椭圆方程为，则（为月球的半
径），，故离心率为，故D错误.故选：BC.【点睛】本题考查椭圆的应用，解题的关键是正确理解椭圆的定义.36．ABD【分析】根据线线
、线面平行判定和性质逐一判断即可.【详解】解：因为截面是正方形，所以，又平面所以平面又平面,平面平面截面，故B正确同理可证因为，
所以，故A正确又所以异面直线与所成的角为，故D正确和不一定相等，故C错误故选：ABD【点睛】考查线线、线面平行的判定和性质以及异
面直线所成的角；基础题.37．AC【分析】利用等高条形图可判断AB选项的正误；利用独立性检验可判断CD的正误.【详解】因为被调查的
男女生人数相同，由等高条形统计图可知，喜欢登山的男生占，喜欢登山的女生占，所以A正确，B错误；设被调查的男女生人数均为，则由等高条
形统计图可得列联表如下：男女合计喜欢不喜欢合计由公式可得.当时，，所以有的把握认为喜欢登山和性别有关；当时，，所以没有的把握认为喜
欢登山和性别有关，显然的值与的取值有关，所以C正确，D错误.故选：AC.38．BCD【分析】首先由平面展开图还原几何体，在几何体中
判断线与线的位置关系，直接判断选项，再根据线面垂直判断线线的位置关系.【详解】如图,把平面展开图还原成正四面体,知与为异面直线,A
不正确；与为异面直线，B正确；,，而，,与成60°角，C正确；连接，，平面,,又与垂直,D正确.故选：BCD【点睛】本题考查线
与线的位置关系，意在考查空间想象能力和推理证明，属于基础题型.39．AC【分析】选项A.由椭圆的定义可判断；选项B.由点差法可
求解判断；选项C.，,求出的范围，从而建立不等式求出离心率，可判断；选定D.AB的最小值为通径,从而可得，可判断.【详解】由直
线l∶y=k(x+c)过点，即弦过椭圆的左焦点.，所以A正确；设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则M有，，所以由作差得∶，所以
则有，所以B错误；，所以，则有，可得，所以C正确；由过焦点的弦中通经最短，则AB的最小值为通径，则有，即，解得a=2c，所以，D错
误.故选：AC【点睛】关键点睛：本题考查椭圆的定义、过交点的弦的性质以及点差法的应用和与向量的应用，解答本题的关键是由，，所以，从
而得出其离心率的范围，以及过焦点的弦中通径最小，属于中档题.40．BCD【分析】由函数的图像确定函数中的参数的取值，求出函数的解析
式，再根据函数性质判断选项是否正确.【详解】由图像可知当时，又，所以，又时，又，所以，所以函数，所以函数的周期为2，故A选项错误；
令，解得，所以函数的单调递减区间为(k∈Z)，故B选项正确；令，解得，所以函数的的对称轴为，故C选项正确；因为函数的周期为2，所以
，故D选项正确.故选：BCD.【点睛】求三角函数的解析式时，由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)
的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ，否则需要代入点的坐标，利用一些已知点的坐标代入解析式，再
结合函数的性质解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.41．BD【分析】先判断出，利用不等
式性质及基本不等式一一验证：对于A：利用作差法比较；对于B：利用基本不等式判断；对于C：利用作差法比较；对于D：利用基本不等式判断
.【详解】因为，所以∵，∴，对于A：，因为，所以，即，故A错误；对于B：由基本不等式,所以，故B正确；对于C：，因为所以，所以，故
C错误；对于D：由基本不等式，，而，所以.故选：BD【点睛】（1）要证明一个命题为真命题，需要严格的证明；要判断一个命题为假命题，
举一个反例就可以了.（2）利用基本不等式的条件：一正二定三相等.42．ACD【分析】根据新定义进行判断．【详解】A．若数列是单增数
列，则，虽然有，但当时，，因此不一定是单增数列，A正确；B．，则，易知是递增数列，无最大值，B错；C．，则，易知是递增数列，有最小
值，最小值为，C正确；D．若，则，首先函数在上是增函数，当为偶数时，，∴，当为奇数时，，显然是递减的，因此也是递减的，即，∴的奇数
项中有最大值为，∴是数列中的最大值．D正确．故选：ACD．【点睛】本题考查数列新定义，解题关键正确理解新定义，把问题转化为利用数列
的单调性求最值．43．ABC【分析】利用正态分布的性质，逐一进行判断即可.【详解】由图象可知，甲图象关于直线对称，乙图象关于直线对
称所以，故A，C正确；因为甲图象比乙图象更“高瘦”，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故B正确；因为乙图象的最
大值为，即，所以，故D错误；故选：ABC【点睛】本题主要考查了正态分布的性质的应用，属于中档题.44．ABD【分析】对于选项在中，
由正弦定理可得，即可判断出正误；对于选项在锐角中，由，可得，即可判断出正误；对于选项在中，由，利用正弦定理可得：，得到或即可判断出
正误；对于选项在中，利用余弦定理可得：，代入已知可得，又，即可得到的形状，即可判断出正误.【详解】对于，由，可得：，利用正弦定理可
得：，正确；对于，在锐角中，，，，，，因此不等式恒成立，正确；对于，在中，由，利用正弦定理可得：，，，，或，或，是等腰三角形或直角
三角形，因此是假命题，错误.对于，由于，，由余弦定理可得：，可得，解得，可得，故正确.故选：.【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理及
三角形边角关系，主要涉及的考点是三角形内角的诱导公式的应用，同时考查正弦定理进行边角转化，属于中等题.45．ABD【分析】根据异面
直线所成的角，正方体中线面垂直的关系，二面角的概念，正方体的外接球与内切球对各个选项进行判断．【详解】连接，易知，又正方体中平面，
从而有，平面，从而得，异面直线与所成的角大小为，A正确；正方体中平面，则，同理，∴四面体的四个面都是直角三角形，B正确；由,知二面
角的平面角是，为，即二面角为，C错误；易知的中点是正方体外接球和内切球的球心，又外接球半径为．内切球半径这，∴内切球上一点与外接球
上一点的距离的最小值为，D正确．故选：ABD．【点睛】本题考查异面直线所成的角，二面角，直线与平面垂直的判定与性质，考查正方体的外
接球与内切球等问题，实质考查学生对正方体中线面平行垂直关系的认识与掌握程度．考查了空间想象能力、运算求解能力．属于中档题．46．A
CD【分析】利用函数对称性的定义可判断A选项的正误；利用函数周期性的定义可判断B选项的正误；利用导数法可判断CD选项的正误.【详解
】对于A选项，当为正奇数时，，当为正偶数时，.综上所述，函数的图象关于直线对称，A对；对于B选项，因为，所以，函数为周期函数，但最
小正周期不是，B错；对于D选项，，则，当时，，因为且，则，故，此时，所以，函数在上单调递减，D对；对于C选项，由于函数为周期函数，
且是函数的一个周期，只需求出函数在上的值域，即为函数在上的值域，当时，，因为且，则，故，此时，所以，函数在上单调递增，所以，当时，
，又因为，则，因此，函数的值域为，C对.故选：ACD.47．ABD【分析】由等差数列的通项公式和求和公式代入判断A,由，得，作差可
判断BCD.【详解】对于A：因为为等差数列，设公差为d，由，得，即对任意正整数n都成立．所以，∴，即当时，是等差数列对于B：由
，得两式作差可得，当时，，是等比数列，B正确；对于CD：当，，所以，当时，是以为首项，2为公比的等比数列，所以，所以，此时既不是等
差数列也不是等比数列.C不正确，D正确.故选：ABD【点睛】本题主要考查了等差等比的通项公式及并存的求通项问题，一般都是通过，属于
中档题.48．ABCD【分析】利用虚数单位的幂的运算性质可以判定A;利用共轭复数的性质可以判定B,利用复数的模的性质可以判定C;利
用复数的模的三角不等式可以得到集合X中的元素满足的充分必要条件是?存在实数，使得，进而根据复数的加法运算公式可判定D.【详解】对于
A,设则a⊕b=ab=,,所以,即a⊕,故A正确；对于B,,则故即,,即a⊕b,故B正确；对于C,,则|a|<1,|b|<1,∴
|a·b|=|a||b|<1，即a·b,即a⊕b,故C正确；对于D,由于在复数范围内，所以由?，有复数的模的不等式得到存在实数，
使得，又，于是?存在实数，使得，，'',所以a⊕b=a+b,因为''，，所以即a⊕b,故D正确；故选：ABCD.【点睛】本题考查复数的
运算和模的性质，关键是认真审题，注意复数的模的性质的应用，常用的模的性质：（左侧取等号的条件是存在存在实数，使得，右侧取等号的条件
是存在存在实数，使得，共轭复数的性质有,这些公式不难证明，在考试中往往十分有用.49．BD【分析】由图易得点C的横坐标为，所以的周
期，所以,从而可得，根据三角函数的图象性质对选项进行逐一分析可得答案.【详解】由图易得点C的横坐标为，所以的周期，所以，又，所以，
因此.所以函数在上单调递增.所以函数在上单调递减.则函数在上单调递减，所以选项A不正确.由,得函数的图象的对称中心为所以函数的图
象关于点成中心对称，故选项B正确.函数的图象向右平移个单位得到，直线不是此时的对称轴，故选项C不正确.若圆半径为，则，∴，函数的
解折式为故选：BD.【点睛】本题考查根据三角函数的图象求解析式，考查三角函数的单调性和对称性等性质，属于中档题.50．ABD【分析
】分，，三种情况讨论截面的形状，再逐一分析各个选项即可得出答案.【详解】解：过点A，P，Q的平面截正方体，当时，其截面形状为梯形如
图1，特别地当时，截面形状为等腰梯形，当时，其截面形状为五边形如图2．若，则，所以．当时，与重合，其截面形状为四边形如图3，此时，
因为P为的中点，且，所以为的中点，所以，同理，所以四边形为平行四边形，所以四边形为菱形，其面积为．故ABD正确．故选：ABD.51
．AC【分析】证明平面后可判断A，由线面平行的性质定理判断B，求出直线与平面所成角正切值判断C，根据球体积公式判断D．【详解】正方
体中侧棱与底面垂直，则与底面内的直线垂直，而正方形的对角线与垂直，与是对角面内两相交直线，因此有与平面垂直，当然垂直于此平面的直线
，A正确；设，，如图，若平面，是过的平面与平面的交线，则，但由正方体性质知是中点，是中点，所以，而与相交，这是不可能的，B错；如图
，易知在平面上的射影在中，连接，则是与平面所成的角，设正方体棱长为，则，，的最小值是到直线的距离，所以的最大值为，C正确；正方体中
，设平面，交于（由面面垂直的性质定理可得是上），易知是的外心，因此的外接球的球心一定在上，设为，高，正方体棱长为，则，，其中，所以
当时，最小，此时重合．D错．故选：AC．【点睛】关键点点睛：本题考查线面垂直的性质定理，线面平行的性质定理，直线与平面所成的角，棱
锥的外接球问题，需要对每个知识都能掌握并运算，属于中等难度的题目．解题关键是掌握正方体的性质，掌握正方体中的直线、平面间的平行、垂
直关系，由此才能正确快速地求解．52．ABC【分析】A利用导数研究单调性即可；B将、代入求值，并比较的大小即可；C利用奇偶性的定义
判断奇偶性；D应用导数研究函数分别在、、、上是否存在，进而确定上极值点的个数.【详解】由题意，，A：上有，则在是增函数，正确；B：
当时，，不合题意；当时，，，则，符合题意；∴满足的正整数的最小值是2，正确；C：，则，是奇函数，正确；D：由A知：在上，无极值点，
时，不是极值点；在上，1、时，、，即，∴单调递减，而，，∴使.2、时，，又，，∴，则，又有，∴，故不存在零点.综上，上只有一个极值
点，错误；故选：ABC【点睛】关键点点睛：选项D，将区间分拆不同子区间，应用导数研究函数在各区间上是否存在，判断区间极值点的个数.
53．BC【分析】首先根据得到，分别画出和的图像，从而得到函数的单调性和极值，再依次判断选项即可得到答案.【详解】，令，得到.分别
画出和的图像，如图所示：由图知：有三个解，即有三个解，分别为，，.所以，，为增函数，，，为减函数，，，为增函数，，，为减函数.所以
当时，取得极大值为，当时，取得极小值为，当时，取得极大值为，所以函数有两个零点，三个极值点，A错误，B正确.因为函数的极大值为，所
以轴为曲线的切线，故C正确.因为在为增函数，为减函数，所以存在，满足，且，显然，故D错误.故选：BC【点睛】本题主要考查导数的综合
应用，考查利用导数研究函数的零点，极值点和切线，属于难题.54．AD【分析】由周期点的定义，可得直线与存在交点．分别对选项分析，结
合函数的最值和函数值的符号，可得结论．【详解】解：对于，令，2，3，，若存在正整数使得，且当时，，则称是的一个周期为的周期点．对于
①，若为周期为1的周期点，，故A正确；对于②，若为周期为2的周期点，则解得,，但，解得所以不存在在周期为2的周期点，故B错误；对
于③，当时，易见有两个周期点；当时，即，可得时，周期点有4个，同理，时，周期点有8个，故③错误；对于④，，所以，即，所以不是
周期点，故D正确．故选：AD．【点睛】关键点点睛：本题考查了周期点的概念，解题的关键是紧扣定义进行计算即可.55．BCD【分析】首
先根据圆和双曲线的对称性，利用四边形的面积及圆的方程求得点的坐标，再利用求出的坐标，然后结合双曲线基本量之间的关系建立方程，进而求
出、的值，最后结合选项逐项进行判断即可．【详解】由圆与双曲线的对称性知，圆与双曲线的交点的连线构成的四边形为矩形，设，则，且，得，
所以，所以，即．设，则，得，则，即，得，从而．A项，双曲线的渐近线方程为，故A项错误；B项，设双曲线的左焦点为，则，连接、，由双曲
线的定义可得，所以（当且仅当、、三点共线时取等号），故B项正确；C项，圆心，，所以，圆在点处的切线的斜率为，切线方程为，即圆在点处
的切线方程为．由，得，解得或，所以该切线与双曲线的交点为与，所以，故C项正确；D项，由题意知，且直线、的斜率均存在且不为，设直线的
方程为，则直线的方程为，设、，由，得，所以，同理得，即，故D项正确．故选：BCD.【点睛】关键点点睛：圆锥曲线中求曲线上的点到焦点
与另一点的距离之和的最值问题，通常利用圆锥曲线的定义将问题进行转化，如本题中的选项B，利用双曲线的定义将问题转化为求．56．【
分析】根据题意，，进而得，，故最小距离为；进而建立坐标系，得抛物线的方程为，当杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，此时设玻
璃球轴截面所在圆的方程为，进而只需满足抛物线上的点到圆心的距离大于等于半径恒成立，再根据几何关系求解即可.【详解】因为杯口放一个表
面积为的玻璃球，所以球的半径为，又因为杯口宽cm，所以如图1所示，有，所以，所以，所以，又因为杯深8cm，即故最小距离为如图1所示
，建立直角坐标系，易知，设抛物线的方程为，所以将代入得，故抛物线方程为，当杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，如图2，设
玻璃球轴截面所在圆的方程为，依题意，需满足抛物线上的点到圆心的距离大于等于半径恒成立，即，则有恒成立，解得，可得.所以玻璃球的半径
的取值范围为.故答案为：；【点睛】本题考查抛物线的应用，考查数学建模能力，运算求解能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于设出球触
及酒杯底部的轴截面圆的方程，进而将问题转化为抛物线上的点到圆心的距离大于等于半径恒成立求解.57．【分析】根据弯曲度的定义，利
用导数即可求得；根据弯曲度定义，构造函数，求函数的最大值，即可得出的取值范围.【详解】当时，，又根据题意可知，故可得，则；当时，，
根据题意可设故可得则；当时，因为，故显然成立，故满足题意；当时，等价于，不妨令，容易知，又因为，故要满足题意，只需，解得，结合，则
.综上所述，.故答案为：；.【点睛】本题考查函数新定义，涉及利用导数求函数某点处切线的斜率，以及构造函数法，属综合性中档题.58．
2【分析】（1）利用两圆外切可得圆心距等于半径之和即可求解，（2）求出抛物线的焦点坐标，由此求出直线的斜率即可求出直线的方程，将
其与抛物线方程联立，利用韦达定理以及向量坐标运算即可求解.【详解】设圆的半径，圆的半径，由题意可得，由两圆外切可得：，解得：，设
，，由抛物线可得焦点坐标为，则，直线：，由，可得，所以，，所以，解得，因为，所以，【点睛】关键点点睛：本题解题的关键的是利用两圆外
切圆心距等于半径之和，求参数的值关键是设直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理可得、、代入即可.59．【分析】由可得，右准线方程为
，然后设，，然后可得，，然后可求出，然后联立直线的方程和双曲线的方程求出点的纵坐标即可.【详解】由可得，右准线方程为设，，则圆C∶
，由题意可得，又有，即可得，则BC：，联立，可得所以故答案为：60．17【分析】根据题中要求每一行、每一列、每一个粗线官内的数字均
含1—6这6个数字，且不重复，分析每行、每列所缺数字，填入表中，即可得答案.【详解】由题意得：第2列缺少2，则第4行第2列为2，所
以第3行第1列为5，所以第1列缺少1和6，则a+c=7,第4行缺少5，所以第4行第6列为5，所以第6列缺少4和6，则b+d=10，
所以故答案为：1761．或【分析】先分解，求出中含、以及常数项分别和相乘即可得解.【详解】，中含的项为，中含的项为，中的常数项为，
所以的常数项为，，所以或，故答案为：或.62．【详解】由椭圆的性质知，,．而直角△的内切圆半径是,在△中,，．因为，即，所以,可得
，所以在△中,，可得，解得：，则的内切圆半径是．【点睛】本题考查了圆锥曲线中椭圆基本量的计算问题，焦点三角形问题是椭圆中的常见题
型，本题的切入口是利用面积和求内切圆的半径。此题属于中档题.63．【分析】根据题意，分类讨论求解，当时，根据指数函数的图象和性质无
零点，不合题意；当时，令，得，令，得或，再分当，两种情况讨论求解.【详解】由题意得：当时，在轴上方，且为增函数，无零点，至多有
两个零点，不合题意；当时，令，得，令，得或，如图所示：当时，即时，要有3个零点，则，解得；当时，即时，要有3个零点，则，令，，
所以在是减函数，又，要使，则须，所以.综上：实数的取值范围是.故答案为：【点睛】本题主要考查二次函数，指数函数的图象和分段函数的零
点问题，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，利用导数判断函数单调性，属于中档题.64．【详解】试题分析：作出约束条件表示的可行
域，如图内部（含边界），再作直线，上下平移直线，当过点时，取得最小值.考点：简单的线性规划.65．【分析】根据双曲线的定义算出△A
F1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，由△ABF2是等边三角形得∠F1AF2=120°，利用余弦定理算出c=a，结合双曲
线离心率公式即可算出双曲线C的离心率.【详解】因为△ABF2为等边三角形，可知，A为双曲线上一点，，B为双曲线上一点，则，即，∴
由，则，已知，在△F1AF2中应用余弦定理得：，得c2=7a2，则e2＝7?e＝故答案为：【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率，常常
不能经过条件直接得到a，c的值，这时可将或视为一个整体，把关系式转化为关于或的方程，从而得到离心率的值.66．【分析】首先根据为
等腰直角三角形，转化求，再根据圆的半径，以及抛物线的定义，转化点到准线的距离，再表示的面积，求.【详解】由题意可知，且，得，所以，
根据抛物线的定义，可知点到准线的距离，，，解得：，所以抛物线方程故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用，表示，这样就可借
助，转化为点到准线的距离，求的面积.67．【分析】记玻璃棒的另一端落在上点处，过作为垂足，设，记与水面的交点为，过作为垂足，再将空
间问题转化为平面问题，利用正弦定理与余弦定理求解即可.【详解】解：由题,设O，是正棱台的两底面中心.由正棱台的定义，OO平面，所以
平面平面同理，平面平面.记玻璃棒的另一端落在上点处.过作为垂足，则因为，所以，从而设，则.因为，所以.在中，由正弦定理可得，解得因
为，所以.于是记与水面的交点为，过作为垂足，则平面，故，从而故答案为：【点睛】本题主要考查正棱台的概念，考查正弦定理?余弦定理等基
础知识，考查空间想象能力和运用数学模型及数学知识分析和解决实际问题的能力.本题解题的关键在于根据空间图形，将空间问题平面化，利用正
弦定理和余弦定理求解.68．（1）an＝2n﹣1，n∈N；（2）答案见解析.【分析】（1）根据公式an＝进行计算，即可得到数列{
an}的通项公式；（2）①先根据第（1）题的结果计算出数列{bn}的通项公式，然后运用裂项相消法即可计算出前n项和Tn；②先根据第
（1）题的结果计算出数列{bn}的通项公式，然后运用错位相减法即可计算出前n项和Tn；③先根据第（1）题的结果计算出数列{bn}的
通项公式，然后分n为偶数和奇数两种情况分别求和，最后综合即得到前n项和Tn．【详解】解：（1）依题意，当n＝1时，a1＝S1＝1，
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2﹣（n﹣1）2＝2n﹣1，∵当n＝1时，a1＝1也满足上式，∴an＝2n﹣1，n∈N，（2
）方案一：选条件①：由（1），可得：＝，∴Tn＝b1+b2+…+bn＝＝．方案二：选条件②：由（1），可得，则，，两式相减，可得：
＝＝﹣6﹣（2n﹣3）?2n+1，∴．方案三：选条件③：由（1），可得，（i）当n为偶数时，n﹣1为奇数Tn＝b1+b2+…+bn
＝﹣12+22﹣32+42﹣…﹣（n﹣1）2+n2＝（22﹣12）+（42﹣32）+…+[n2﹣（n﹣1）2]＝3+7+…+2n﹣
1＝＝，（ii）当n为奇数时，n﹣1为偶数＝＝，综上所述，可得．69．【分析】根据底面积之比可得半径之比，进一步得到母线长与圆锥的
高之比，最后根据圆柱表面积公式计算即可.【详解】因为圆柱的底面积与圆锥的底面积之比为1∶4，所以圆柱的底面半径与圆锥的底面半径之比
为1∶2，所以圆柱的母线长与圆锥的高之比为1∶2，所以圆柱的底面半径为1，母线长为．所以圆柱的表面积70．（1）=，；（2）.【
详解】解：（1）设顶点翻折到边上的点为，由题意可得,，因为，所以=，即与的函数关系式为=，……………4分由题意有，首先利用，可知
，解得，所以，………………………………………5分又由，可知，即，……………………………7分即，故与的函数关系式为=，.…………
…………8分（2）=令，…………………………………………9分设+0—最大值……………………13分从而的最小值为.………………………
…15分答：折痕的最小值为.……………………………………………16分71．（1）；；（2）.【详解】（1）由题可得，由三角函数定义
可得，，.……………2分因为由三角函数定义可得．，，……………5分所以点的坐标为；
……………7分（2）因为，，，……………10分所以，因为，所以，所以，所以.
……………14分【点睛】本题考查了三角函数中的三角的定义，两角和与差以及面积公式，
对于三角的定义的变式，即已知角，求点的坐标，是学生一直忽略的一个知识点，要引起足够的重视，此题属于简单题.72．（1）证明见解析；
（2）.【分析】（1）连接DG，由题意可证，，进而得出，即证.（2）以A为原点，建立空间直角坐标系，设AD=h，求出平面BFD的一
个法向量以及平面ABG的一个法向量，利用空间向量的数量积即可求解.【详解】（1）连接DG，因为AB⊥AF，AF=AB所以直棱柱的底
面为等腰直角三角形，∠DCE=45°，在半圆DGC上，G是弧CD中点，所以∠GDC=45°，所以，又，所以，B?F?D?G四点共面
.（2）直棱柱中，AB⊥AF，以A为原点，建立如图空间直角坐标系，AF=AB=2，设AD=h，F(2，0，0)，B(0，2，0)，
D(0，0，h)，(-2，0，h)，=(2，-2，0)，设平面BFD的法向量为=(x，y，z).则有，化简得，所以取=(h，h，2
)，A(0，0，0)，B(0，2，0)，G(-1，1，h)，=(0，2，0)，=(-1，1，h)，设平面ABG的法向量为m=(r，
s.t)则有，化简得，所以取=(h，0，1)，平面BDF与平面ABG所成二面角即与夹角或其补角，所以解得，所以.【点睛】思路点睛：
解决二面角相关问题通常用向量法，具体步骤为：（1）建坐标系，建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内；（2）根
据题意写出点的坐标以及向量的坐标，注意坐标不能出错.（3）利用数量积验证垂直或求平面的法向量.（4）利用法向量求距离、线面角或二面
角.73．（1）列联表答案见解析，有99%的把握认为使用寿命是否超过2500小时与型号有关；（2）分布列答案见解析，数学期望：；（
3）选择A型设备，理由见解析.【分析】（1）根据频率分布直方图即可完善列联表，计算出卡方值，和6.635比较即可判断；（2）可得的
取值可能为0，1，2，3，求出取不同值时的概率，即可得出分布列，求出数学期望；（3）分别计算出选择A和选择B需要更换的设备台数，即
可计算出总费用，得出结果.【详解】解：（1）由频率分布直方图可知，A型超过2500小时的有台，则A型不超过2500小时的有30台，
同理，B型超过2500小时的有台，则B型不超过2500小时的有50台.列联表如下：超过2500小时不超过2500小时总计A型703
0100B型5050100总计12080200因为，所以有99%的把握认为使用寿命是否超过2500小时与型号有关.（2）由（1）和
分层抽样的定义可知A型设备有3台，B型设备有5台，所以的取值可能为0，1，2，3，，，，，所以的分布列为0123所以.（3）由频率
分布直方图中的频率估计概率知：A型设备每台更换的概率为0.3，所以10台A型设备估计要更换3台；B型设备每台更换的概率为0.5，所
以10台B型设备估计要更换5台，选择A型设备的总费用(万元)，选择B型设备的总费用(万元)，所以选择A型设备.【点睛】本题考查由频
率分布直方图解决相关问题，解题的关键是正确理解频率分布直方图，能利用频率分布直方图正确计算出各组数据.74．（1）BC=2；（2）
60°．【分析】（1）取AB的中点G，连接FG，CG，证得CG//DF，要使DF⊥平面ABE，则只需CG⊥平面ABE，即，从而可得
结论；（2）过B作BHCD，则，所以平面平面＝，即所求二面角的平面角，由此可得．【详解】（1）取AB的中点G，连接FG，CG，∵F
为BE的中点∴，又∵，∴∴四边形CDFG为平行四边形，∴CG//DF∵平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE平面∴AE⊥平面ABC
，∴AE⊥CG，要使DF⊥平面ABE，则只需CG⊥平面ABE，由线面垂直定理，只需，故BC=2.BC=2时，，又，，平面，所以平面
，即DF⊥平面ABE；（2）过B作BHCD，则，连接，所以平面平面＝，证明如下：设平面平面平面＝，由，平面，平面，得平面，所以，即
，而平面的交线只有一条，所以．由（1），同理，所以，则即所求二面角的平面角而，∴所成锐二面角为.【点睛】方法点睛：本题考查证明线面
垂直，求二面角．求二面角的方法：（1）几何法（定义法）：根据定义作出二面角的平面角并证明，然后解三角形得出结论；（2）空间向量法：
建立空间直角坐标系，写出各点为坐标，求出二面角两个面的法向量，由两个平面法向量的夹角得二面角（它们相等或互补）．75．（1）见解析
（2）.【分析】（1）由，另易证得，即可证得面面，由面面平行，从而证得线面平行，即面.（2）连接，易证面，可过作交于，连接，则即为
二面角A—FB—C的平面角，求出其余弦值即得.【详解】解：（1）连接，因为C，D是半圆的两个三等分点，所以，又，所以均为等边三角形
.所以，所以四边形是平行四边形，所以，又因为平面ADE，平面ADE，所以平面ADE.因为EA，FC都是圆柱的母线，所以EA//F
C.又因为平面ADE，平面ADE，所以平面ADE.又平面，所以平面平面ADE，又平面，所以平面ADE.（2）连接AC，因为FC是
圆柱的母线，所以圆柱的底面，所以即为直线AF与平面ACB所成的角，即因为AB为圆的直径，所以，在，所以，所以在因为，又因为，所以
平面FBC，又平面FBC，所以.在内，作于点H，连接AH.因为平面ACH，所以平面ACH，又平面ACH，所以，所以就是二面角的平
面角.在，在，所以，所以，所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了线面平行的判定，线面角的应用，求二面角，考查了学生的分析观察能
力，逻辑推理能力，空间想象能力，学生的运算能力，属于中档题.76．（1），，；（2）a1，a2小数点后第一位数字均为5，当n≥3，
n∈N时，an小数点后第一位数字均为6．见解析【分析】（1）因为数列{an}满足，令n=1，n=2，n=3，分别求解.（2）根据
a1，a2小数点后第一位数字均为5，a3小数点后第一位数字为6，猜想对任意正整数n（n≥3），均有0.6＜an＜0.7，根据，所以
对任意正整数n（n≥3），有an≥a3＞0.6，只要证明：对任意正整数n（n≥3），有即可.采用数学归纳法证明.【详解】（1）a1
，a2；a3，可得，，；（2）a1，a2小数点后第一位数字均为5，a3小数点后第一位数字为6，下证：对任意正整数n（n≥3），均有
0.6＜an＜0.7，注意到，故对任意正整数n（n≥3），有an≥a3＞0.6，下用数学归纳法证明：对任意正整数n（n≥3），有①
当n＝3时，有，命题成立；②假设当n＝k（k∈N，k≥3）时，命题成立，即则当n＝k+1时，∵∴∴∴n＝k+1时，命题也成立；综
合①②，任意正整数n（n≥3），．由此，对正整数n（n≥3），0.6＜an＜0.7，此时an小数点后第一位数字均为6．所以a1，a
2小数点后第一位数字均为5，当n≥3，n∈N时，an小数点后第一位数字均为6．【点睛】本题主要考查归纳、猜想和数学归纳法证明，还
考查了放缩、运算求解的能力，属于中档题.77．（1），；（2）万元．【分析】（1）根据解三角形和正弦定理可得，，（2）分别求出，，
可得，设三项费用之和为，可得，，利用导数求出最值.【详解】解：（1）过点作，垂足为，在中，∵，，，∴，在中，∵，，，∴，∴，∵，∴
，在中，由正弦定理可得，∴，，（2）在中，由正弦定理可得，∴，∴，又∴，设三项费用之和为，则，，∴，令，解得，当时，，函数单调递减
，当时，，函数单调递增，∴，即三项费用总和的最小值为万元．78．（1）的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）；【分析】（1）先由
得，对其求导，解对应不等式，即可得出单调区间；（2）先由题意，得到方程仅有一个实根，令，则与有且仅有一个交点，对求导，用导数的方法
判断函数单调性，进而可确定结果.【详解】（1）由得，定义域为，则，由得，由得，所以的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）由题意知
方程仅有一个实根，由得，令，则与有且仅有一个交点，又，由得；由得；所以在上单调递增，在上单调递减，所以.当时，.又，所以要使仅有一
个零点，则.【点睛】本题主要考查求函数单调区间，以及导数的方法研究函数零点，通常需要对函数求导，利用导函数判断函数单调性等，属于常
考题型.79．（1）；（2），.【分析】（1）求出、，利用可得出关于、的齐次等式，可解得椭圆的离心率的值；（2）由（1）可得出的方
程为，联立曲线与的方程，求出点的坐标，利用抛物线的定义结合可求得的值，进而可得出与的标准方程.【详解】（1），轴且与椭圆相交于、两
点，则直线的方程为，联立，解得，则，抛物线的方程为，联立，解得，，，即，，即，即，，解得，因此，椭圆的离心率为；（2）由（1）知，
，椭圆的方程为，联立，消去并整理得，解得或（舍去），由抛物线的定义可得，解得.因此，曲线的标准方程为，曲线的标准方程为.【点睛】本
题考查椭圆离心率的求解，同时也考查了利用抛物线的定义求抛物线和椭圆的标准方程，考查计算能力，属于中等题.80．（1），；（2）.【
分析】（1）首先找出递推关系，利用递推关系即可计算出数列的通项公式.（2）根据数列的通项公式带入求出列的通项公式，从而求出数列的通
项公式，再利用裂项相消即可求出即可计算实数的取值范围.【详解】解：（1）由“杨辉三角”的定义可知：，时，所以有故（2）数列满足，①
当时，，②得：，故：，满足上式，所以，数列满足：，则：，由于恒成立，故：，整理得：，因为在上单调递减，故当时，，所以．81．（1）
；（2）分布列答案见解析，数学期望：.【分析】（1）根据题意分别求出每一类情况的概率，再利用互斥事件概率加法公式即可求解；（2）由
题意可知的所有可能取值为0，1，2，利用独立事件与互斥事件的概率公式求出对应的概率即可求出分布列与数学期望．【详解】（1）比赛进行
了2场且甲晋级的概率为：（2）依题意，的所有可能取值为.“”即比赛进行了3场甲获胜2场，分以下三种情况：①第一场甲胜，第二场无甲
，第三场甲胜.概率为.②第一场甲输，二三场均胜.概率为.③第一场甲胜，第二场输，第三场胜.概率为.由互斥事件的概率加法公式可知
：比赛进行了3场且甲晋级的概率为：.由上知.“”即比赛进行了3场甲获胜0场，分以下两种情况：①3场比赛中甲参加了1场，输了，概率
为.②3场比赛中甲参加了2场，都输了，概率为.所以，故，故的分布列为012则.【点睛】关键点点睛：本题第（2）问的关键点是计算出
和.82．（1）；（2）.【分析】（1）利用基本量代换求出首项和公比，写出通项公式；（2）利用把化为，利用裂项相消法求和.【详解】
解析（1）设等比数列的公比是，由得，解得.∵，，成等差数列，∴，解得.∴.（2）∵数列是以1为首项，以3为公比的等比数列，∴.∵，
∴.【点睛】(1)等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换和灵活运用性质；(2)数列求和的方法：公式法、裂项相消法、错位相减
法、倒序相加法．83．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）【详解】(Ⅰ)连结，取的中点，连结，，、在上底面内，不在上底面内，上底面，平面，又，平
面，平面，平面，所以平面平面，由平面，平面．(Ⅱ)连结，，，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，，，，于是有，，，
，可得平面中的向量，，设平面中的法向量，则于是得平面的一个法向量，又平面的一个法向量设二面角为，则，二面角的余弦值为.考点：直
线与平面平行的判定；二面角的平面及求法.【方法点晴】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，
注意向量法的合理运用；直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条
直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行，向量法：两平面所成的角的大小与分别垂直于这平面的两向量所成的角（或补角）相等.84
．(1)见详解；(2).【分析】(1)因为折纸和粘合不改变矩形，和菱形内部的夹角，所以，依然成立，又因和粘在一起，所以得证.因为
是平面垂线，所以易证.(2)在图中找到对应的平面角，再求此平面角即可.于是考虑关于的垂线，发现此垂足与的连线也垂直于.按照此思路即
证.【详解】(1)证：，，又因为和粘在一起.，A，C，G，D四点共面.又.平面BCGE，平面ABC，平面ABC平面BCGE，得证.
(2)过B作延长线于H，连结AH，因为AB平面BCGE，所以而又，故平面，所以.又因为所以是二面角的平面角，而在中，又因为故，所以
.而在中,，即二面角的度数为.【点睛】很新颖的立体几何考题．首先是多面体粘合问题，考查考生在粘合过程中哪些量是不变的．再者粘合后的
多面体不是直棱柱，建系的向量解法在本题中略显麻烦，突出考查几何方法．最后将求二面角转化为求二面角的平面角问题考查考生的空间想象能力
．85．（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）取弧的中点，连结，，可证，，即可得到线面垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向
量法求出二面角的余弦值；【详解】解：（1）取弧的中点，连结，，则，所以，因为且，所以四边形为平行四边形，所以，所以，又因为平面，平
面，所以，又平面，．所以平面．（2）以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设，因为直线与平面所成角为，则，，，，设平面的法向量
为，由可得：，令，则，同理可得：平面的法向量为，则，故平面与平面所成锐二面角的余弦值为．【点睛】本题考查了立体几何中的线面垂直的判
定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互
转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.86．（
1）证明见解析，；（2）证明见解析.【分析】(1)用替换给定关系式中，求出的关系，由此求出，进而求得；(2)对进行适当放大为，再利
用裂项相消法求其前n项和，再确定这个和所在区间即可得解.【详解】（1）因为，所以当时，，即，而，有，所以，所以数列是以为首项，公差
为1的等差数列；，则，当时，，又满足上式，所以的通项公式为；（2），当时，，故，当时，，所以对任意的，都有，又，所以.所以.【点睛
】思路点睛：给出Sn与an的递推关系，求an，常用思路是：一是利用转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，
先求出Sn与n之间的关系，再求an.87．（1）；（2）不构成，理由见解析；（3）存在，.【分析】（1）由，得到是等差数列，即可得
解；（2）首先求出，则，即可得到，再由，即可得到，即可得证；（3）由（2）可得，所求不等式即设，利用裂项相消法可得到，同理，有，再
由题意求出的值；【详解】解：（1）由于，故；时；作差得，由于是正项数列，故，是等差数列，；所以（2）由于，，故由于，所以当时，，数
列构成等比数列；当时，数列不构成等比数列.（3）若，由（2）知，于是，所求不等式即设，则故同理，有由于，故而只能有.于是，综上所述
，所有符合条件的正整数只有【点睛】数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．(2)错
位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．88．（1）（2）可靠【
分析】（1）设，求出，，，再由即可求解.（2）将代入，求出，再求即可求解.（1）解：设，则，，则，所以，故关于的回归方程为.（2）
解：由（1）知，当时，，因为，所以（1）中求得的回归方程可靠.89．(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)【分析】(Ⅰ)证明，根据得到，得到证
明.(Ⅱ)如图所示，分别以为轴建立空间直角坐标系，平面的法向量，，计算向量夹角得到答案.【详解】(Ⅰ)平面，平面，故.，，故，
故.，故平面.(Ⅱ)如图所示：分别以为轴建立空间直角坐标系，则，，，，.设平面的法向量，则，即，取得到，，设直线与平面所成角为故.
【点睛】本题考查了线面垂直，线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.90．（1）；（2）【详解】试题分析：（1）先通过平移
将两条异面直线平移到同一个起点，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可；（2）利用平面相交的公
理知，从而，利用三角形全等求,解直角三角形即可.试题解析：（1）如图，连接，取的中点，连接分别为的中点，,且且四边形为平行四边形
，为异面直线与所成的角，在中，易求（2）平面，且在平面内，平面同理平面，又平面平面,由公理知（如图），且为的中点,,91．（1）；
（2）.【详解】解：（1）由题意，动圆过定点，设圆心，线段MN的中点为E，连接，则，则由圆的性质得，所以，所以，整理得．当时，也满
足上式，所以动圆的圆心的轨迹方程为．…………………………………………………4分（2）由题意可知直线l的斜率存在，设直线的方程为：，
联立得：设，，则，设，则，…………………………………6分又曲线的方程为，即y=,=，过点的切线斜率为，切线方程为y-，即同理，
过点的切线方程为，联列两切线方程可得交点的坐标为，……8分所以,又因为，所以MN中点纵坐标为1，即2，即,故直线的斜率为k=……
………………………………………………………………10分92．（1）；（2）①；②≤≤.【详解】（1）由可得，作差得，化简可得，
………………………………………2分又时所以数列是以首项，为公比的等比数列,所以.
………………………………………4分(2)设数列是以首项，为公差的等差数列,则,,由可得,
……………………………6分对任意恒成立,可得,解之得或者(舍去)，………………8分所以，
………………………………9分（3）因为≤恒成立，①当为偶数时，≤，令，则，当≥3
时，；当≤2时，；又因为，所以，所以，≤，…………………………………………12分②当为奇数
时，≥，令，则，当≥3时，；当≤2时，；因为，所以，所以，≥，…………………………………………15
分综上所述：≤≤，…………………………………………16分【点睛】本题考查了数列的综合应用，第一问已知数列和
与通项的关系，求通项公式，第二问探究问题，已知等差，等比数列求参数，平时练的比较多，对于中等偏上的学生问题不大，第三问涉及奇偶性讨
论，恒成立等问题，难度较大。此题属于难题.93．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）由题意易得抛物线方程x2=y，设
A，B，根据两点写出直线方程得，由于直线过E点，所以，再根据直线PA，PB直线方程解得点P坐标，进而得证.（2）转化为证明向量分别
与向量的夹角相等,应用向量夹角余弦公式，即可证明结论.【详解】（1）以OC为直径的圆为x2+(y-1)2=1.由题意可知该圆与抛物
线交于一条直径，由对称性可知交点坐标为(1，1)，(-1，1)代入抛物线方程可得2p=1.所以抛物线的方程为x2=y.设A，B，所
以所以直线AB的方程为，即因为直线AB过点C(0，2)，所以，所以①.因为，所以直线PA的斜率为，直线PB的斜率为直线PA的方程为
，即，同理直线PB的方程为联立两直线方程，可得P由①可知点P的纵坐标为定值-2.（2），，注意到两角都在内，可知要证，即证，，，
所以，又，所以，同理式得证.【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2
)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，
则必须用一般弦长公式．94．（1）证明见解析；（2）最大值为3.【分析】（1）设求出导数，得出单调性，根据零点存在原理可证明.（2
）,因为，所以,，从而,从而可分和两种情况分类讨论出其单调性，得出答案.【详解】证明∶令，即，所以因此当x∈时，，，当x∈时，，所
以在上单调递减，在单调递增，又因为所以在无零点，在只有一个零点，因此方程有且仅有一个根（2）令，则则因为，所以,，从而①.因此当时
，,则，所以函数在单调递增，又，因此，所以函数在调递增，又，在恒成立②．当时,令,由因为∈(0，1)必有一解，记为x0，所以当时，
，当时，因此当时，单调递减，当时，单调递增，又，所以在恒成立，所以在上单调递减，又，所以当时，与题意矛盾，综上所述，所以a的最大值
为3.【点睛】关键点睛：本题考查方程根的个数的证明和不等式恒成立求参数的范围，解答本题的关键是由，当若时，由，得出，从而得出不等式
成立，当当时，得到与条件相矛盾的结论，属于难题.95．（1）证明见解析，；（2）证明见解析.【详解】试题分析：本题第（1）问，证明等比数列，可利用等比数列的定义来证明，之后利用等比数列，求出其通项公式；对第（2）问，可先由第（1）问求出，然后转化为等比数列求和，放缩法证明不等式.试题解析：（1）证明：由得，所以，所以是等比数列，首项为，公比为3，所以，解得.（2）由（1）知：，所以，因为当时，，所以，于是=，所以.【易错点】对第（1）问，构造数列证明等比数列不熟练；对第（2）问，想不到当时，，而找不到思路，容易想到用数学归纳法证明而走弯路.考点：本小题考查等比数列的定义、数列通项公式的求解、数列中不等式的证明等基础知识，考查同学们的逻辑推理能力，考查分析问题与解决问题的能力.数列是高考的热点问题之一，熟练数列的基础知识是解决好该类问题的关键.96．（1）；（2）①存在，；②证明见解析.【分析】（1）求出函数的导函数，得出其单调区间，求出的最小值，得到答案.（2）①当时,，原不等式恒成立．当时,设，即，再设，求出导数分析其单调性，得到其最值，然后再分析的符号，讨论得出的单调性和最值，从而得到答案.②设，，．由（1）可知,所以，,由①可得，从而可证.【详解】解：（1）由己知得，．由于，所以可得可得得当x变化时，与的变化情况如下表所示：x1－0＋↘极小值↗当时，，所以当时，有最小值因此，当曲线与直线有交点时，．（2）①由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，所以当时，又，则，原不等式恒成立．．当时，令，则．设，得，故当x变化时，与的变化情况如下表所示：x－0＋↘极小值↗这样，当时，，此时当x变化时，与的变化情况如下表所示：x1－0＋↘极小值↗得，即原不等式恒成立．当时，得，，则在内有唯一零点．此时x变化时，与的变化情况如下表所示：x1＋0－0＋↗极大值↘极小值↗得，即原不等式不恒成立．综上所述，存在最大整数，使得原不等式恒成立．②证明：设，，．由（1）可知所以，由①可得即所以都满足不等式，即，故区间为不等式解集的子集，得【点睛】关键点睛：本题考查函数图像有交点求参数的范围和根据恒成立求参数范围，解答本题的关键是由在定义域内恒成立，即分析其单调性，由其导数为，设，根据的单调性，分析得出的符号，得出单调性，属于难题.97．（1）；（2）（i）详见解析；（ii）是定值.【分析】（1）由已知可得：直线的方程为：，利用四边形的内切圆为可求得内切圆的半径，问题得解．（2）（i）设切线，联立直线方程与椭圆方程可得：，即可求得，所以，问题得证．（ii）①当直线的斜率不存在时，，②当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，联立直线方程与椭圆方程可得：，即可求得：，同理可得：，问题得解．【详解】（1）因为，分别为椭圆的右顶点和上顶点，则，坐标分别为，可得直线的方程为：则原点O到直线的距离为，则圆的半径，故圆的标准方程为.（2）（i）可设切线，将直线的方程代入椭圆可得，由韦达定理得：则，又与圆相切，可知原点O到的距离，整理得，则，所以，故.（ii）由知，①当直线的斜率不存在时，显然，此时；②当直线的斜率存在时，设直线的方程为：代入椭圆方程可得，则，故，同理，则.综上可知：为定值.【点睛】本题主要考查了直线与圆相切的几何关系，还考查了点到直线距离公式，考查了韦达定理及向量垂直的数量积关系，考查分类思想及计算能力，属于难题．98．（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）求导，令得，即可分析函数的单调性；（2）取，分别讨论，，时，通过导数分析单调性结合不等式即可证明问题．【详解】（1）由得，因，由，得，当时，；当时，；故函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数不单调.（2）当时，可证明对恒成立，当时，，，，不等式成立；当时，，令，所以，则函数单调递减，所以，所以，原不等式成立；当时，因，故只需证，即证，只需证，在（1）中令，可得，故，令，所以，解得，当时，；当时，，所以，而，所以原不等式也成立.综上所述，当时，对恒成立.注：当或时结论也成立；当时结论不成立.【点睛】方法点睛：已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．99．（1）.（2）是定值.【详解】分析：（1）由椭圆的定义，得到点的轨迹是椭圆，即可求得的值，从而得到椭圆的方程；（2）设直线的方程，联立方程组，得到，利用斜率公式得到，即可化简利用为定值.解析：（1）由题意，则，故椭圆的定义知点的轨迹是椭圆，且，则，所以轨迹的方程为.（2），理由如下：设直线的方程为，联立，得，当时，直线与椭圆有两个交点，且，因为，所以，所以（定值）.点睛：本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常利用的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.100．（1）（2）（3）证明见解析，点【分析】（1）根据双曲线定义可得轨迹方程；（2）分情况讨论直线斜率是否存在，联立直线与曲线方程，由根与系数关系计算；（3）分情况讨论直线斜率是否存在，联立方程，由根与系数关系，证明关系式，可得直线过定点.（1）解：设动圆的圆心，半径为，则由题意可得，即因为，所以点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，且，所以曲线的方程为．（2）解：当直线的斜率不存在时，，此时；直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立得，，．因为为的中点，所以，代入曲线方程得；整理可得；，因为恰为双曲线的渐近线，且其中一条渐近线的倾斜角为，所以，所以．综上可得．（3）证明：当直线的斜率不存在时，，直线当直线的斜率存在时，设直线，，直线，当时，，，联立得，，下面证明直线经过点，即证，把代入整理得，即，所以直线经过点．试卷第1页，共3页答案第1页，共2页试卷第1页，共3页答案第1页，共2页 |
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