课题：§12．3．2．1等边三角形（一）新授课
教学目标
1.经历探索等腰三角形成为等边三角形的条件及其推理证明过程．
2.经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．
3.经历观察、实验、猜想、证明的数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．
教学重点
等边三角形判定定理的发现与证明．
教学难点
1．等边三角形判定定理的发现与证明．
2．引导学生全面、周到地思考问题．
教学方法
探索发现法．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
[师]我们在前两节课研究证明了等腰三角形的性质和判定定理，我们知道，在等腰三角形中有一种特殊的等腰三角形──三条边都相等的三角形，叫等边三角形．回答下面的三个问题．
1．把等腰三角形的性质用到等边三角形，能得到什么结论？
2．一个三角形满足什么条件就是等边三角形？
3．你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗？你能证明你的结论吗？把你的证明思路与同伴交流．
（教师应给学生自主探索、思考的时间）
[生甲]由等边对等角的性质可知，等边三角形的三个角相等，又由三角形三内角和定理可知，等边三角形的三个角相等，并且都等于60°．
[生乙]等腰三角形已有两边分别相等，所以我认为只要腰和底边相等，等腰三角形就是等边三角形了．
[生丙]等边三角形的三个内角都相等，且分别都等于60°，我认为等腰三角形的三个内角都等于60°，也就是说这个等腰三角形就是等边三角形了．
（此时，部分同学同意此生看法，部分同学不同意此生看法，引起激烈的争论，教师可让同学代表发表自己的看法）
[生丁]我不同意这个同学的看法，因为任何一个三角形满足这个条件都是等边三角形．根据等角对等边，三个内角都是60°，所以它们所对的边一定相等，但这一问题中“已知是等腰三角形，满足什么条件时便是等边三角形”，我觉得他给的条件太多，浪费!
[师]给三个角都是60°，这个条件确实有点浪费，那么给什么条件不浪费呢？下面同学们可以在小组内交流自己的看法．
Ⅱ．导入新课
探索等腰三角形成等边三角形的条件．
[生]如果等腰三角形的顶角是60°，那么这个三角形是等边三角形．
[师]你能给大家陈述一下理由吗？
[生]根据三角形的内角和定理，顶角是60°，等腰三角形的两个底角的和就是180°-60°=120°，再根据等腰三角形两个底角是相等的，所以每个底角分别是120°÷2=60°，则三个内角分别相等，根据等角对等边，则此时等腰三角形的三条边是相等的，即顶角为60°的等腰三角形为等边三角形．
[生]等腰三角形的底角是60°，那么这个三角形也是等边三角形，同样根据三角形内角和定理和等角对等边、等边对等角的性质．
[师]从同学们自主探索和讨论的结果可以发现：在等腰三角形中，不论底角是60°，还是顶角是60°，那么这个等腰三角形都是等边三角形．你能用更简洁的语言描述这个结论吗？
[生]有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
（这个结论的证明对学生来说可能有一定的难点，难点是意识到分别讨论60°的角是底角和顶角两种情况．这是一种分类讨论的思想，教师要关注学生得出证明思路的过程，引导学生全面、周到地思考问题，并有意识地向学生渗透分类的思想方法）
[师]你在与同伴的交流过程中，发现了什么或受到了何种启示？
[生]我发现我的证明过程没有意识到“有一个角是60°”，在等腰三角形中有两种情况：（1）这个角是底角；（2）这个角是顶角．也就是说我们思考问题要全面、周到．
[师]我们来看有多少同学意识到分别讨论60°的角是底角和顶角的情况，我们鼓掌表示对他们的鼓励．
今天，我们探索、发现并证明了等边三角形的判定定理；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，我们在证明这个定理的过程中，还得出了三角形为等边三角形的条件，是什么呢？
[生]三个角都相等的三角形是等边三角形．
[师]下面就请同学们来证明这个结论．
已知：如图，在△ABC中，∠A=∠B=∠C．
求证：△ABC是等边三角形．
证明：∵∠A=∠B，
∴BC=AC（等角对等边）．
又∵∠A=∠C，
∴BC=AC（等角对等边）．
∴AB=BC=AC，即△ABC是等边三角形．
[师]这样，我们由等腰三角形的性质和判定方法就可以得到．
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°；
三个角都相等的三角形是等边三角形．
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
[师]有了上述结论，我们来学习下面的例题，体会上述定理．
例4(书P54)
[例5]如图，课外兴趣小组在一次测量活动中，测得∠APB=60°，AP=BP=200m，他们便得出一个结论：A、B之间距离不少于200m，他们的结论对吗？
分析：我们从该问题中抽象出△APB，由已知条件∠APB=60°且AP=BP，由本节课探究结论知△APB为等边三角形．
解：在△APB中，AP=BP，∠APB=60°，
所以∠PAB=∠PBA=（180°-∠APB）=（180°-60°）=60°．
于是∠PAB=∠PBA=∠APB．
从而△APB为等边三角形，AB的长是200m，由此可以得出兴趣小组的结论是正确的．
Ⅲ．随堂练习
（一）课本P54练习1、2．
（二）补充练习
如图，△ABC是等边三角形，∠B和∠C的平分线相交于D，BD、CD的垂直平分线分别交BC于E、F，求证：BE=CF．
证明：连结DE、DF，则BE=DE，DF=CF．
由△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，得∠1=30°，故∠2=30°，从而∠DEF=60°．
同理∠DFE=60°，
故△DEF是等边三角形．
DE=DF，
因而BE=CF．
Ⅳ．课时小结
这节课，我们自主探索、思考了等腰三角形成为等边三角形的条件，并对这个结论的证明有意识地渗透分类讨论的思想方法．这节课我们学的定理非常重要，在我们今后的学习中起着非常重要的作用．
Ⅴ．课后作业
（一）课本P56─5、6、7、10题．
（二）预习P55～P56．
Ⅵ．活动与探究
探究：如图，在等边三角形ABC的边AB、AC上分别截取AD=AE．△ADE是等边三角形吗？试说明理由．
过程：通过分析、讨论，让学生进一步了解等边三角形的性质及判定．
结果：
已知：三角形ABC为等边三角形．D、E为边AB、AC上两点，且AD=AE．判断△ADE是否是等边三角形，并说明理由．
解：△ADE是等边三角形，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°．
又∵AD=AE，
∴△ADE是等腰三角形．
∴△ADE是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）．
参考例题
1．已知，如图，房屋的顶角∠BAC=100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC．屋椽AB=AC，求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数．
解：在△ABC中，
∵AB=AC（已知），
∴∠B=∠C（等边对等角）．
∴∠B=∠C=（180°-∠BAC）=40°（三角形内角和定理）．
又∵AD⊥BC（已知），
∴∠BAD=∠CAD（等腰三角形顶角的平分线与底边上的高互相重合）．
∴∠BAD=∠CAD=50°．
2．已知：如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD．
求证：DB=DE．
证明：∵△ABC是等边三角形，且BD是中线，
∴BD⊥AC，∠ACB=60°，∠DBC=30°．
又∵CD=CE，
∴∠CDE=∠E=∠ACB=30°．
∴∠DBC=∠E．
∴DB=DE．
3．已知：如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，交AB、AC于D、E．
求证：△ADE是等边三角形．
证明：∵△ABC是等边三角形（已知），
∴∠A=∠B=∠C（等边三角形各角相等）．
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）．
∴∠A=∠ADE=∠AED．
∴△ADE是等边三角形（三个角都相等的三角形是等边三角形）．
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