2022年内蒙古鄂尔多斯市中考数学试卷一、单项选择题（本大题共10题，每题3分，共30分）1．如图，数轴上点A表示的数的相反数是（）A．
﹣2B．﹣C．2D．32．下列几何体的三视图中没有矩形的是（）A．B．C．D．3．一组数据2，4，5，6，5．对该组数据描述正
确的是（）A．平均数是4.4B．中位数是4.5C．众数是4D．方差是9.24．下列运算正确的是（）A．a3b2+2a2b3
＝3a5b5B．（﹣2a2b）3＝﹣6a6b3C．2﹣2＝﹣D．+＝5．下列尺规作图不能得到平行线的是（）A．B．C．D．6．
如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C．若EC＝2，则OD的长为（）A．2B．
2C．4D．4+27．下列说法正确的是（）①若二次根式有意义，则x的取值范围是x≥1．②7＜＜8．③若一个多边形的内角和是54
0°，则它的边数是5．④的平方根是±4．⑤一元二次方程x2﹣x﹣4＝0有两个不相等的实数根．A．①③⑤B．③⑤C．③④⑤D．①②④
8．实验学校的花坛形状如图所示，其中，等圆⊙O1与⊙O2的半径为3米，且⊙O1经过⊙O2的圆心O2．已知实线部分为此花坛的周长，则
花坛的周长为（）A．4π米B．6π米C．8π米D．12π米9．如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，矩形BEFG的
边EF经过点C，且点G在边AD上，若BG＝4，则BE的长为（）A．B．C．D．310．如图①，在正方形ABCD中，点M是AB的
中点，点N是对角线BD上一动点，设DN＝x，AN+MN＝y，已知y与x之间的函数图象如图②所示，点E（a，2）是图象的最低点，那么
a的值为（）A．B．2C．D．二、填空题（本大题共6题，每题3分，共18分）11．截止2022年1月中国向120多个国家和国际
组织提供超20亿剂新冠疫苗，是对外提供此疫苗最多的国家．20亿用科学记数法表示为．12．如图，在△ABC中，边BC的垂直平
分线DE交AB于点D，连接DC，若AB＝3.7，AC＝2.3，则△ADC的周长是．13．按一定规律排列的数据依次为，，，
……按此规律排列，则第30个数是．14．如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD中点，若BC＝5，AD＝10，
BE＝，则AB的长是．15．如图，正方形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，E、F分别是边AB、OA上的点，且∠ECF
＝45°，将△ECF沿着CF翻折，点E落在x轴上的点D处．已知反比例函数y1＝和y2＝分别经过点B、点E，若S△COD＝5，则k1
﹣k2＝．16．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB
、PC．则PA+2PB的最小值为．三、解答题（本大题共8题，共72分，解答时写出必要的文字说明，演算步骤或推理说明）17．
（8分）（1）解不等式组，并写出该不等式组的最小整数解．（2）先化简，再求值：（+1）÷，其中a＝4sin30°﹣（π﹣3）0．1
8．（7分）为了调查九年级学生寒假期间平均每天观看冬奥会时长情况，随机抽取部分学生进行调查，根据收集的数据绘制了如图所示两幅不完整
的统计图“平均每天观看冬奥会时长”频数分布表观看时长（分）频数（人）频率0＜x≤1520.0515＜x≤3060.1530＜x≤4
518a45＜x≤600.2560＜x≤7540.1（1）频数分布表中，a＝，请将频数分布直方图补充完整；（2）九年级共有5
20名学生，请你根据频数分布表，估计九年级学生平均每天观看冬奥会时长超过60分钟的有人；（3）校学生会拟在甲、乙、丙、丁四
名同学中，随机抽取两名同学做“我与冬奥”主题演讲，请用树状图或列表法求恰好抽到甲、乙两名同学的概率．19．（8分）旗杆及升旗台的剖
面如图所示，MN、CD为水平线，旗杆AB⊥CD于点B．某一时刻，旗杆AB的一部分影子BD落在CD上，另一部分影子DE落在坡面DN上
，已知BD＝1.2m，DE＝1.4m．同一时刻，测得竖直立在坡面DN上的1m高的标杆影长为0.25m（标杆影子在坡面DN上），此时
光线AE与水平线的夹角为80.5°，求旗杆AB的高度．（参考数据：sin80.5°≈0.98，cos80.5°≈0.17，tan8
0.5°≈6）20．（8分）如图，已知一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于A（﹣2，4），B（﹣4，2）两点，
且与x轴和y轴分别交于点C、点D．（1）根据图象直接写出不等式＜ax+b的解集；（2）求反比例函数与一次函数的解析式；（3）点P在
y轴上，且S△AOP＝S△AOB，请求出点P的坐标．21．（8分）如图，以AB为直径的⊙O与△ABC的边BC相切于点B，且与AC边
交于点D，点E为BC中点，连接DE、BD．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE＝5，cos∠ABD＝，求OE的长．22．（1
0分）某超市采购了两批同样的冰墩墩挂件，第一批花了6600元，第二批花了8000元，第一批每个挂件的进价是第二批的1.1倍，且第二
批比第一批多购进50个．（1）求第二批每个挂件的进价；（2）两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市
场调查发现，当售价为每个60元时，每周能卖出40个，若每降价1元，每周多卖10个，由于货源紧缺，每周最多能卖90个，求每个挂件售价
定为多少元时，每周可获得最大利润，最大利润是多少？23．（11分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（，0
），B（3，）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，过P作PD⊥x轴，交直线BC于点D，若以P、D、
O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；（3）抛物线上是否存在点Q，使∠QCB＝45°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若
不存在，请说明理由．24．（12分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分线．（1）如图1，点E、F分
别是线段BD、AD上的点，且DE＝DF，AE与CF的延长线交于点M，则AE与CF的数量关系是，位置关系是；（2）如
图2，点E、F分别在DB和DA的延长线上，且DE＝DF，EA的延长线交CF于点M．①（1）中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；
如果不成立，请说明理由；②连接DM，求∠EMD的度数；③若DM＝6，ED＝12，求EM的长．一、单项选择题（本大题共10题，每题3
分，共30分）1．如图，数轴上点A表示的数的相反数是（）A．﹣2B．﹣C．2D．3【分析】根据数轴得到点A表示的数为﹣2，再求
﹣2的相反数即可．【解答】解：点A表示的数为﹣2，﹣2的相反数为2，故选：C．【点评】本题考查了数轴，相反数，掌握只有符号不同的两
个数互为相反数是解题的关键．2．下列几何体的三视图中没有矩形的是（）A．B．C．D．【分析】根据长方体、三棱柱、圆柱以及圆锥的
三视图进行判断即可．【解答】解：A．该长方体的主视图、左视图、俯视图都是矩形，因此选项A不符合题意；B．该三棱柱的主视图、左视图是
矩形，因此选项B不符合题意；C．该圆柱体的主视图、左视图是矩形，因此选项C不符合题意；D．该圆锥的主视图、左视图是等腰三角形，俯视
图是带圆心的圆、所以它的三视图没有矩形，因此选项D符合题意；故选：D．【点评】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义，掌握简单
几何体的三视图的形状是正确判断的前提．3．一组数据2，4，5，6，5．对该组数据描述正确的是（）A．平均数是4.4B．中位数是
4.5C．众数是4D．方差是9.2【分析】将数据按照从小到大重新排列，再根据众数、中位数、算术平均数的定义计算，最后利用方差的概念
计算可得．【解答】解：将这组数据重新排列为2，4，5，5，6，所以这组数据的众数为5，故选项C不合题意；中位数为5，故选项B不合题
意；平均数为＝4.4，故选项A符合题意；方差为×[（2﹣4.4）2+（4﹣4.4）2+2×（5﹣4.4）2+（6﹣4.4）2]＝1
.84，，故选项D不合题意；故选：A．【点评】本题主要考查方差，众数，中位数，算术平均数，解题的关键是掌握众数、中位数、算术平均数
及方差的定义．4．下列运算正确的是（）A．a3b2+2a2b3＝3a5b5B．（﹣2a2b）3＝﹣6a6b3C．2﹣2＝﹣D．
+＝【分析】把每一选项按照运算法则计算后判断结果即可．【解答】解：a3b2+2a2b3不能合并，因为不是同类项，A选项错误；（﹣2
a2b）3＝﹣8a6b3，B选项也错误；2﹣2＝，C选项也错误；+＝3，D选项正确．故选：D．【点评】本题考查了整式的运算和实数的
运算，关键要掌握合并同类项、实数指数幂、二次根式的化简混合运算．5．下列尺规作图不能得到平行线的是（）A．B．C．D．【分析】
利用基本作图，根据同位角相等两直线平行可对A选项进行判断；根据在同一平面内，垂直于同一直线两直线平行可对B选项进行判断；根据内错角
相等两直线平行可对C选项进行判断；根据平行线的判定方法可对D选项进行判断．【解答】解：通过尺规作图不能得到平行线的为．故选：D．【
点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操
作．也考查了平行线的判定．6．如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C．若EC＝2，
则OD的长为（）A．2B．2C．4D．4+2【分析】过点E作EH⊥OA于点H，根据角平分线的性质可得EH＝EC，再根据平行线的
性质可得∠ADE的度数，再根据含30°角的直角三角形的性质可得DE的长度，再证明OD＝DE，即可求出OD的长．【解答】解：过点E作
EH⊥OA于点H，如图所示：∵OE平分∠AOB，EC⊥OB，∴EH＝EC，∵∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，∴∠AOC＝2∠A
OE＝30°，∵DE∥OB，∴∠ADE＝30°，∴DE＝2HE＝2EC，∵EC＝2，∴DE＝4，∵∠ADE＝30°，∠AOE＝15
°，∴∠DEO＝15°，∴∠AOE＝∠DEO，∴OD＝DE＝4，故选：C．【点评】本题考查了角平分线的性质，含30°角的直角三角形
的性质，平行线的性质等，熟练掌握这些性质是解题的关键．7．下列说法正确的是（）①若二次根式有意义，则x的取值范围是x≥1．②7
＜＜8．③若一个多边形的内角和是540°，则它的边数是5．④的平方根是±4．⑤一元二次方程x2﹣x﹣4＝0有两个不相等的实数根．A
．①③⑤B．③⑤C．③④⑤D．①②④【分析】根据二次根式有意义的条件、估算无理数的大小、算术平方根、平方根和多边形的内角和定理，根
的判别式判断即可．【解答】解：①若二次根式有意义，则1﹣x≥0，解得x≤1．故x的取值范围是x≤1，题干的说法是错误的．②8＜＜9
，故题干的说法是错误的．③若一个多边形的内角和是540°，则它的边数是5是正确的．④＝4的平方根是±2，故题干的说法是错误的．⑤∵
Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣4）＝17＞0，∴一元二次方程x2﹣x﹣4＝0有两个不相等的实数根，故题干的说法是正确的．故选：B．【
点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相
等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了二次根式有意义的条件、估算无理数的大小、算术平方
根、平方根和多边形．8．实验学校的花坛形状如图所示，其中，等圆⊙O1与⊙O2的半径为3米，且⊙O1经过⊙O2的圆心O2．已知实线部
分为此花坛的周长，则花坛的周长为（）A．4π米B．6π米C．8π米D．12π米【分析】连接AO1，AO2，BO1，BO2，O1
O2，根据等边三角形的判定得出△AO1O2和△BO1O2是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠AO1O2＝∠AO2O1＝∠BO1
O2＝∠BO2O1＝60°，求出优弧所对的圆心角的度数，再根据弧长公式求出即可．【解答】解：连接AO1，AO2，BO1，BO2，O
1O2，∵等圆⊙O1与⊙O2的半径为3米，⊙O1经过⊙O2的圆心O2，∴AO1＝AO2＝BO1＝BO2＝O1O2＝3米，∴△AO1
O2和△BO1O2是等边三角形，∴∠AO1O2＝∠AO2O1＝∠BO1O2＝∠BO2O1＝60°，∴优弧所对的圆心角的度数是360
°﹣60°﹣60°＝240°，∴花坛的周长为2×＝8π（米），故选：C．【点评】本题考查了相交两圆的性质，弧长公式，等边三角形的性
质和判定等知识点，能求出圆心角的度数是解此题的关键．9．如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，矩形BEFG的边EF经过
点C，且点G在边AD上，若BG＝4，则BE的长为（）A．B．C．D．3【分析】过点G作GM⊥BC于点M，过点C作CN⊥AD于点
N，由菱形的性质得出AB＝BC＝CD＝2，AD＝BC，∠ABC＝∠D＝60°，AD∥BC，由直角三角形的性质求出MG＝3，证明△G
BM∽△BCE，由相似三角形的性质得出，则可求出答案．【解答】解：过点G作GM⊥BC于点M，过点C作CN⊥AD于点N，∵四边形AB
CD为菱形，∴AB＝BC＝CD＝2，AD＝BC，∠ABC＝∠D＝60°，AD∥BC，∴∠MGN＝90°，∴四边形GMCN为矩形，∴
GM＝CN，在△CDN中，∠D＝60°，CD＝2，∴CN＝CD?sin60°＝2＝3，∴MG＝3，∵四边形BEFG为矩形，∴∠E＝
90°，BG∥EF，∴∠BCE＝∠GBM，又∵∠E＝∠BMG，∴△GBM∽△BCE，∴，∴，∴BE＝，故选：B．【点评】本题考查了
菱形的性质，直角三角形的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．10．如图①，在正方形AB
CD中，点M是AB的中点，点N是对角线BD上一动点，设DN＝x，AN+MN＝y，已知y与x之间的函数图象如图②所示，点E（a，2）
是图象的最低点，那么a的值为（）A．B．2C．D．【分析】由A、C关于BD对称，推出NA＝NC，推出AN+MN＝NC+MN，推
出当M、N、C共线时，y的值最小，连接MC，由图象可知MC＝2，就可以求出正方形的边长，再求a的值即可．【解答】解：如图，连接AC
交BD于点O，连接NC，连接MC交BD于点N′．∵四边形ABCD是正方形，∴O是BD的中点，∵点M是AB的中点，∴N′是△ABC的
重心，∴N′O＝BO，∴N′D＝BD，∵A、C关于BD对称，∴NA＝NC，∴AN+MN＝NC+MN，∵当M、N、C共线时，y的值最
小，∴y的值最小就是MC的长，∴MC＝2，设正方形的边长为m，则BM＝m，在Rt△BCM中，由勾股定理得：MC2＝BC2+MB2，
∴20＝m2+（m）2，∴m＝4，∴BD＝4，∴a＝N′D＝BD＝×4＝，故选：A．【点评】本题考查的是动点图象问题，涉及到二次函
数、解直角三角形，正方形的性质，利用勾股定理求线段长是解题的关键．二、填空题（本大题共6题，每题3分，共18分）11．截止2022
年1月中国向120多个国家和国际组织提供超20亿剂新冠疫苗，是对外提供此疫苗最多的国家．20亿用科学记数法表示为2×109．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少
位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：20亿＝200
0000000＝2×109．故答案为：2×109．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其
中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．12．如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线DE交AB于点D，
连接DC，若AB＝3.7，AC＝2.3，则△ADC的周长是6．【分析】根据线段垂直平分线的性质可得BD＝CD，进一步即可求出
△ADC的周长．【解答】解：∵边BC的垂直平分线DE交AB于点D，∴BD＝CD，∵AB＝3.7，AC＝2.3，∴△ADC的周长为A
D+CD+AC＝AB+AC＝6，故答案为：6．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握这一性质是解题的关键．13．按一定规
律排列的数据依次为，，，……按此规律排列，则第30个数是．【分析】由所给的数，发现规律为第n个数是，当n＝30时即可求解．【
解答】解：∵，，，……，∴第n个数是，当n＝30时，＝＝，故答案为：．【点评】本题考查数字的变化规律，能够通过所给的数，探索出数的
一般规律是解题的关键．14．如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD中点，若BC＝5，AD＝10，BE＝，则AB的长是
12．【分析】延长BE交AD于点F，由“ASA”可证△BCE≌△FDE，可得DF＝BC＝5，BE＝EF，由勾股定理可求AB的
长．【解答】解：如图，延长BE交AD于点F，∵点E是DC的中点，∴DE＝CE，∵AB⊥BC，AB⊥AD，∴AD∥BC，∴∠D＝∠B
CE，∠FED＝∠BEC，∴△BCE≌△FDE（ASA），∴DF＝BC＝5，BE＝EF，∴BF＝2BE＝13，在Rt△ABF中，由
勾股定理可得AB＝12．故答案为：12．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关
键．15．如图，正方形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，E、F分别是边AB、OA上的点，且∠ECF＝45°，将△ECF沿着C
F翻折，点E落在x轴上的点D处．已知反比例函数y1＝和y2＝分别经过点B、点E，若S△COD＝5，则k1﹣k2＝10．【分析】
作EH⊥y轴于点F，则四边形BCHE、AEHO都为矩形，利用折叠的性质得∠DCH＝∠EOH，再证明△BCE≌△OCD，则面积相等，
根据反比例函数系数k的几何意义得k1﹣k2的值．【解答】解：作EH⊥y轴于点H，则四边形BCHE、AEHO都为矩形，∵∠ECH＝4
5°，∴∠BCE+∠OCH＝45°，∵∠DOC+∠OCH＝45°，∴∠BCE＝∠OCD，∵BC＝OC，∠B＝∠COD，∴△BCE≌
△OCD（ASA），∴S△BCE＝S△COD＝5，∴S△CEH＝5，S矩形BCHE＝10，∴根据反比例函数系数k的几何意义得：k1
﹣k2＝S矩形BCHE＝10，故答案为：10．【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，折叠的性质，正方形的性质和全等三角形的
判定和性质，利用折叠和全等进行转化是关键．16．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线
段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为4．【分析】在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，
交AD于P，此时PA+2PB＝2（）＝＝2BF，通过解直角三角形ABF，进一步求得结果．【解答】解：如图，在∠BAC的外部作∠CA
E＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此时PA+2PB最小，∴∠AFB＝90°∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAD＝
，∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°，∴PF＝，∴PA+2PB＝2（）＝2（PF+PB）＝2BF，在Rt△ABF中，AB＝4，
∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝45°，∴BF＝AB?sin45°＝4×＝2，∴（PA+2PB）最大＝2BF＝4，故答案为：4．【点
评】本题考查了等腰三角形性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造．三、解答题（本大题共8题，共72分，解答时写出必
要的文字说明，演算步骤或推理说明）17．（8分）（1）解不等式组，并写出该不等式组的最小整数解．（2）先化简，再求值：（+1）÷，
其中a＝4sin30°﹣（π﹣3）0．【分析】（1）根据不等式组的解法求出x的范围，然后根据x的范围即可求出该不等式组的最小整数解
．（2）根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将a的值代入原式即可求出答案．【解答】解：（1）由①得：x＜1，由②得：x
≥﹣2，∴不等式组的解集为：﹣2≤x＜1，∴该不等式组的最小整数解为x＝﹣2．（2）原式＝[+1]?＝（+）?＝?＝，当a＝4si
n30°﹣（π﹣3）0＝4×﹣1＝2﹣1＝1时，原式＝4．【点评】本题考查不等式组的解法、分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于
基础题型．18．（7分）为了调查九年级学生寒假期间平均每天观看冬奥会时长情况，随机抽取部分学生进行调查，根据收集的数据绘制了如图所
示两幅不完整的统计图“平均每天观看冬奥会时长”频数分布表观看时长（分）频数（人）频率0＜x≤1520.0515＜x≤3060.15
30＜x≤4518a45＜x≤600.2560＜x≤7540.1（1）频数分布表中，a＝0.45，请将频数分布直方图补充完整；
（2）九年级共有520名学生，请你根据频数分布表，估计九年级学生平均每天观看冬奥会时长超过60分钟的有52人；（3）校学生会
拟在甲、乙、丙、丁四名同学中，随机抽取两名同学做“我与冬奥”主题演讲，请用树状图或列表法求恰好抽到甲、乙两名同学的概率．【分析】（
1）根据0＜x≤15的频数与频率，求出调查的总人数，再用30＜x≤45的频数除以总人数，求出a，然后求出45＜x≤60的频数，从而
补全统计图；（2）用总人数乘以平均每天观看冬奥会时长超过60分钟的人数所占的百分比即可；（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图
求得所有等可能的结果与恰好抽到甲、乙两名同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）调查的总人数有：2÷0.05＝4
0（人），a＝＝0.45，45＜x≤60的人数有：40×0.25＝10（人），补全统计图如下：（2）估计九年级学生平均每天观看冬奥
会时长超过60分钟的有：520×0.1＝52（人）；故答案为：52；（3）画树状图得：∵共有12种情况，恰好抽到甲、乙两名同学的是
2种，∴P（恰好抽到甲、乙两名同学）＝＝．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及频率分布直方图的知识．用到的知识点为：概率＝
所求情况数与总情况数之比．19．（8分）旗杆及升旗台的剖面如图所示，MN、CD为水平线，旗杆AB⊥CD于点B．某一时刻，旗杆AB的
一部分影子BD落在CD上，另一部分影子DE落在坡面DN上，已知BD＝1.2m，DE＝1.4m．同一时刻，测得竖直立在坡面DN上的1
m高的标杆影长为0.25m（标杆影子在坡面DN上），此时光线AE与水平线的夹角为80.5°，求旗杆AB的高度．（参考数据：sin8
0.5°≈0.98，cos80.5°≈0.17，tan80.5°≈6）【分析】设MN为竖直立在坡面DN上的1m高的标杆，ME为标杆
影子，长为0.25m，作DF⊥CD交AE于点F，作FH⊥AB于点H，利用相似和锐角三角函数可以求出旗杆AB的高度．【解答】解：如图
，设MN为竖直立在坡面DN上的1m高的标杆，ME为标杆影子，长为0.25m，作DF⊥CD交AE于点F，作FH⊥AB于点H，∵DF∥
MN，∴＝，∴＝，∴DF＝5.6，∴BH＝DF＝5.6，在Rt△AHF中，∠AFH＝80.5°，tan∠AFH＝，∴tan80.5
°＝≈6，∴AH≈7.2，∴旗杆AB的高度为5.6+7.2＝12.8（m）．【点评】本题考查了锐角三角函数和相似三角形的应用；作出
相应辅助线得到矩形是解决本题的难点；用到的知识点为：同一时刻物高与影长的比一定．20．（8分）如图，已知一次函数y＝ax+b与反比
例函数y＝（x＜0）的图象交于A（﹣2，4），B（﹣4，2）两点，且与x轴和y轴分别交于点C、点D．（1）根据图象直接写出不等式＜
ax+b的解集；（2）求反比例函数与一次函数的解析式；（3）点P在y轴上，且S△AOP＝S△AOB，请求出点P的坐标．【分析】（1
）通过图象位置关系解不等式．（2）用待定系数法法求解析式．（2）先求△AOB的面积，再求P的坐标．【解答】解：（1）当y＝的图象在
y＝ax+b图象的下方时，＜ax+b成立，∴﹣2＜x＜4．（2）将A（﹣2，4）代入y＝得：﹣8＝m，∴反比例函数为：y＝﹣．将A
（﹣2，4），B（﹣4，2）代入y＝ax+b得：，解得：，∴一次函数的表达式为：y＝x+6．（3）在y＝x+6中，当y＝0时，x＝
﹣6，∴C（﹣6，0）．∴S△ABO＝S△AOC﹣S△BOC＝OC×（yA﹣yB）＝×6×2＝6，∴S△AOP＝×6＝3，∵P在y
轴上，∴OP×|xA|＝3，∴OP＝3．∴P（0，3）或（0．﹣3）．【点评】本题考查一次函数和反比例函数的综合问题，数形结合，将
线段的长度转化为坐标运算是求解本题的关键．21．（8分）如图，以AB为直径的⊙O与△ABC的边BC相切于点B，且与AC边交于点D，
点E为BC中点，连接DE、BD．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE＝5，cos∠ABD＝，求OE的长．【分析】（1）连接O
D，可推出∠BDC＝90°，进而得出DE＝BE，进而证明△DOE≌△BOE，进一步得出结论；（2）可推出∠C＝∠ABD，解直角三角
形ABC求得AC，进而根据三角形中位线定理求得OE．【解答】（1）证明：如图，连接OD，∵AB为⊙O的直径，∴∠BDC＝∠ADB＝
90°，∵E是BC的中点，∴DE＝BE＝EC＝，在△DOE和△BOE中，，∴△DOE≌△BOE（SSS），∴∠ODE＝∠ABC＝9
0°，∴OD⊥DE∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；（2）解：∵∠ABC＝90°，∴∠BAD+∠CBD＝90°，由（1）知：∠B
DC＝90°，BC＝2DE，∴∠C+∠DBC＝90°，BC＝2DE＝10，∴∠C＝∠ABD，在Rt△ABC中，AC＝＝，∵OA＝O
B，BE＝CE，∴OE＝．【点评】本题考查了直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，切线的判定，解直角三角形等知识，解决问题的关键
是熟练掌握有关基础知识．22．（10分）某超市采购了两批同样的冰墩墩挂件，第一批花了6600元，第二批花了8000元，第一批每个挂
件的进价是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多购进50个．（1）求第二批每个挂件的进价；（2）两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂
件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调查发现，当售价为每个60元时，每周能卖出40个，若每降价1元，每周多卖10个，由于货源紧缺，
每周最多能卖90个，求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最大利润是多少？【分析】（1）设第二批每个挂件的进价为x元，则
第一批每个挂件的进价为1.1x元，根据题意列出方程，求解即可；（2）设每个售价定为y元，每周所获利润为w元，则可列出w关于y的函数
关系式，再根据“每周最多能卖90个”得出y的取值范围，根据二次函数的性质可得出结论．【解答】解：（1）设第二批每个挂件的进价为x元
，则第一批每个挂件的进价为1.1x元，根据题意可得，+50＝，解得x＝40．经检验，x＝40是原分式方程的解，且符合实际意义，∴1
.1x＝44．∴第二批每个挂件的进价为40元．（2）设每个售价定为y元，每周所获利润为w元，根据题意可知，w＝（y﹣40）[40+
10（60﹣y）]＝﹣10（y﹣52）2+1440，∵﹣10＞0，∴当x≥52时，y随x的增大而减小，∵40+10（60﹣y）≤9
0，∴y≥58，∴当y＝58时，w取最大，此时w＝﹣10（58﹣52）2+1440＝1080．∴当每个挂件售价定为58元时，每周可
获得最大利润，最大利润是1080元．【点评】本题综合考查分式方程和二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题关键．23．（11分
）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（，0），B（3，）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2
）点P在抛物线上，过P作PD⊥x轴，交直线BC于点D，若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；（3）抛物线上
是否存在点Q，使∠QCB＝45°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据待定系数法，将点A，点B代
入抛物线解析式，解关于b，c的二元一次方程组，即可求得抛物线的解析式；（2）设出点P的坐标，确定出PD∥CO，由PD＝CO，列出方
程求解即可；（3）过点D作DF⊥CP交CP的延长线于点F，过点F作y轴的平行线EF，过点D作DE⊥EF于点E，过点C作CG⊥EF于
点G，证明△DEF≌△FGC（AAS），由全等三角形的性质得出DE＝FG，EF＝CG，求出F点的坐标，由待定系数法求出直线CF的解
析式，联立直线CF和抛物线解析式即可得出点P的坐标．【解答】解：（1）将点A（﹣，0），B（3，）代入到y＝ax2+bx+2中得：
，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）设点P（m，﹣m2+m+2），∵y＝﹣x2+x+2，∴C（0，2），设直线B
C的解析式为y＝kx+c，∴，解得，∴直线BC的解析式为y＝x+2，∴D（m，m+2），∴PD＝|﹣m2+m+2﹣m﹣2|＝|m2
﹣3m|，∵PD⊥x轴，OC⊥x轴，∴PD∥CO，∴当PD＝CO时，以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，∴|m2﹣3m|＝
2，解得m＝1或2或或，∴点P的横坐标为1或2或或；（3）①当Q在BC下方时，如图，过B作BH⊥CQ于H，过H作MN⊥y轴，交y轴
于M，过B作BN⊥MH于N，∴∠BHC＝∠CMH＝∠HNB＝90°，∵∠QCB＝45°，∴△BHC是等腰直角三角形，∴CH＝HB，
∴∠CHM+∠BHN＝∠HBN+∠BHN＝90°，∴∠CHM＝∠HBN，∴△CHM≌△HBN（AAS），∴CM＝HN，MH＝BN，
∵H（m，n），∵C（0，2），B（3，），∴，解得，∴H（，），设直线CH的解析式为y＝px+q，∴，解得，∴直线CH的解析式为
y＝﹣x+2，联立直线CF与抛物线解析式得，解得或，∴Q（，）；②当Q在BC上方时，如图，过B作BH⊥CQ于H，过H作MN⊥y轴，
交y轴于M，过B作BN⊥MH于N，同理得Q（，）．综上，存在，点Q的坐标为（，）或（，）．【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了
待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，二次函数图象上点的坐标特征，用待定系
数法确定出解析式是解本题的关键．24．（12分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分线．（1）如图1
，点E、F分别是线段BD、AD上的点，且DE＝DF，AE与CF的延长线交于点M，则AE与CF的数量关系是AE＝CF，位置关系
是AE⊥CF；（2）如图2，点E、F分别在DB和DA的延长线上，且DE＝DF，EA的延长线交CF于点M．①（1）中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；②连接DM，求∠EMD的度数；③若DM＝6，ED＝12，求EM的长．【分析】（1）证明△ADE≌△CDF（SAS），由全等三角形的性质得出AE＝CF，∠DAE＝∠DCF，由直角三角形的性质证出∠EMC＝90°，则可得出结论；（2）①同（1）可证△ADE≌△CDF（SAS），由全等三角形的性质得出AE＝CF，∠E＝∠F，则可得出结论；②过点D作DG⊥AE于点G，DH⊥CF于点H，证明△DEG≌△DFH（AAS），由全等三角形的性质得出DG＝DH，由角平分线的性质可得出答案；③由等腰直角三角形的性质求出GM的长，由勾股定理求出EG的长，则可得出答案．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分线，∴AD＝BD＝CD，AD⊥BC，∴∠ADE＝∠CDF＝90°，又∵DE＝DF，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF，∠DAE＝∠DCF，∵∠DAE+∠DEA＝90°，∴∠DCF+∠DEA＝90°，∴∠EMC＝90°，∴AE⊥CF．故答案为：AE＝CF，AE⊥CF；（2）①（1）中的结论还成立，理由：同（1）可证△ADE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF，∠E＝∠F，∵∠F+∠ECF＝90°，∴∠E+∠ECF＝90°，∴∠EMC＝90°，∴AE⊥CF；②过点D作DG⊥AE于点G，DH⊥CF于点H，∵∠E＝∠F，∠DGE＝∠DHF＝90°，DE＝DF，∴△DEG≌△DFH（AAS），∴DG＝DH，又∵DG⊥AE，DH⊥CF，∴DM平分∠EMC，又∵∠EMC＝90°，∴∠EMD＝∠EMC＝45°；③∵∠EMD＝45°，∠DGM＝90°，∴∠DMG＝∠GDM，∴DG＝GM，又∵DM＝6，∴DG＝GM＝6，∵DE＝12，∴EG＝＝＝6，∴EM＝GM+EG＝6+6．【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．1 |
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