绝密★启用前山东省济南市莱芜区八年级上学期期末数学试题班别_________姓名__________成绩__________
__要求：1、本卷考试形式为闭卷，考试时间为120分钟。2、考生不得将装订成册的试卷拆散，不得将试卷或答题卡带出考场。3、考生只允
许在密封线以外答题，答在密封线以内的将不予评分。4、考生答题时一律使用蓝色、黑色钢笔或圆珠笔（制图、制表等除外）。5、考生禁止携带
手机、耳麦等通讯器材。否则，视为为作弊。6、不可以使用普通计算器等计算工具。第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一
、单选题1．分解因式4x2﹣y2的结果是（）A．（4x+y）（4x﹣y）B．4（x+y）（x﹣y）C．（2x+y）（2x﹣y）
D．2（x+y）（x﹣y）2．下列分式中是最简分式的是（）A．B．C．D．3．某校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组，
参加区青少年科技创新大赛，表格反映的是各组平时成绩的平均数（单位：分）及方差s2，如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么
应选的组是（）甲乙丙丁6776s211.111.6A．甲B．乙C．丙D．丁4．京剧脸谱、剪纸等图案蕴含着简洁美对称美，下面选取
的图片中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．在对一组样本数据进行分析时，小月列出了方差的计算公式：s2＝
，由公式提供的信息，则下列说法错误的是（）A．样本的众数是3B．样本的中位数是2.5C．样本的平均数是3D．n＝46．如果一个
多边形的内角和是它的外角和的5倍，则这个多边形是（）A．十边形B．十一边形C．十二边形D．十三边形7．如图，在平面直角坐标系中
，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，将△ABC平移后得到△A''B''C''，顶点C平移到了点C''（2，1），则点B的对应点B''的坐标为
（）A．（﹣1，0）B．（1，3）C．（﹣2，0）D．（0，1）8．关于x的分式方程+5=有增根，则m的值为（?）A．1B
．3C．4D．59．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A、D、E在同一条直线上，∠ACB＝22°，则∠ADC
＝（）A．57°B．62°C．67°D．72°10．?ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形A
ECF一定为平行四边形的是（）A．BE＝DFB．AF∥CEC．CE＝AFD．∠DAF＝∠BCE11．某班学生去距学校10千米的
博物馆参观，一部分同学骑自行车先走，过了15分钟后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的平均速度是骑车同学速度的3倍，
设骑车同学的平均速度是x千米/小时，则下列方程正确的是（）A．B．C．D．12．在?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，B
D＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①GN＝NE；②AE⊥GF；③AC平分∠BCD；④AC⊥BD，其中正
确的个数是（）A．1B．2C．3D．4第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题13．分解因式：a3
﹣2a2+a=________．14．化简的结果是_____．15．“阳光小区”开展“节约用水，从我做起”的活动，一个月后，社区居
委会从小区住户中抽取10个家庭与他们上个月的用水量进行比较，统计出节水情况如表：节水量（m3）0.30.40.50.60.7家庭数
（个）32311那么这10个家庭的节水量（m3）的平均数是_____．16．如图，已知?ABCD的周长为38，对角线AC、BD相交
于点O，点E是CD的中点，△DOE的周长为16，则BD的长为_____．17．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，6）点B的坐
标为（2，4），△OAB沿x轴向右平移后得到△EDF，点B的对应点F是直线y＝x上的一点，则点A的对应点D点的坐标为_____．
18．已知：有理数a≠1，我们把称为a的差倒数．例如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是．如果a1＝，a2是a1的差倒数，a3是a
2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，依此类推，那么a1?a2…a2022＝_____．评卷人得分三、解答题19．解方程：20．先化
简再求值：（﹣1）÷，其中a＝1．21．已知：如图，在?ABCD中，E，F分别为BC和AD上的点，BD和EF相交于点O，且OE＝O
F．求证：四边形AECF为平行四边形．22．已知△OAB在平面直角坐标系中的位置如图所示，请解答以下问题：(1)按要求作图：先将△
OAB绕原点O逆时针旋转90°，得到△OA1B1，再作出△OA2B2，使它与△OA1B1关于原点成中心对称；(2)直接写出点A1的
坐标；点B2的坐标．23．2021年是中国共产党建党100周年，某校开展了全校教师学习党史活动并进行了党史知识竞赛，从七、八年级中
各随机抽取了20名教师，统计这部分教师的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀）．相关数据统计、整理如下：抽取
七年级教师的竞赛成绩（单位：分）6，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10，10，10，10，10．七、八年
级教师竞赛成绩统计表年级七年级八年级平均数8.58.5中位数8a众数89优秀率b55%根据以上信息，解答下列问题：(1)填空：a＝
，b＝；(2)估计该校七年级80名教师中竞赛成绩达到8分及以上的人数；(3)根据以上数据分析，评价两个年级教师学习党史的竞赛成
绩谁更优异．24．如图，已知△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD，CE交于点F．(1)求
证：△AEC≌△ADB；(2)若AB＝1，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是平行四边形时，求EC的长．25．某生态示范园积极响应
政府提出的“践行生态有机理念，推动有机农业发展”经济政策，培育优良品种，种植了多种有机水果．某超市从该示范园第一次用300元购进甲
种水果，300元购进乙种水果．乙种水果的进价是甲种水果进价的1.5倍，超市所进甲种水果比所进乙种水果多10kg．(1)求甲、乙两种
水果的进价分别是每千克多少元？(2)第一次购进的水果很快销售完毕，为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲，乙两种有机水果共100千
克，其中甲种水果的质量不少于乙种水果质量的3倍．若甲种水果的售价为13元/千克，乙种水果的售价为20元/千克，超市购进两种有机水果
各多少千克时第二次获得最大利润，最大利润是多少？26．点E是?ABCD的边CD上的一点，连接EA并延长，使EA＝AM，连接EB并延
长，使EB＝BN，连接MN，F为MN的中点，连接CF，DM．(1)求证：四边形DMFC是平行四边形；(2)连接EF，交AB于点O，
若OF＝2，求EF的长．27．（1）如图1，△ABC和△AMN都是等腰直角三角形，直角顶点为点A，△ABC固定不动，△AMN可以绕
着点A旋转．①如图2，将△AMN绕点A旋转，使点M落在BC边上，连接CN．直接写出图中的全等三角形：；直接写出线段CN，CM，C
B之间满足的等量关系为：；②如图2，试探索线段MA，MB，MC之间满足的等量关系，并完整地证明你的结论；（2）如图3，P是等腰直
角△ABC内一点，∠BAC＝90°，连接PA，PB，PC，将△BAP绕点A顺时针旋转90°后得到△CAQ，连接PQ．已知PA＝2，
PB＝3，若∠PQC＝90°，求PC的长．参考答案：1．C【解析】【分析】按照平方差公式进行因式分解即可.【详解】解：4x2﹣y2
＝（2x+y）（2x﹣y）．故选：C．【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．2．A【解析】【分析】根据最简
分式的概念求解即可．【详解】A．该分式符合最简分式的定义，符合题意；B．该分式的分子、分母中含有公因式（x﹣1），不是最简分式，不
符合题意C．该分式的分子、分母中含有公因式（x+1），不是最简分式，不符合题意；D．该分式的分子、分母中含有公因式（x﹣1），不是
最简分式，不符合题意；故选：A．【点睛】本题主要考查最简分式，一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．3．C【解析】【分析】
由题意知乙组、丙组的平均数比甲组、丁组大，而丙组的方差比乙组的小，可知丙组的成绩比较稳定，进而得出答案．【详解】解：∵乙组、丙组的
平均数比甲组、丁组大，而丙组的方差比乙组的小∴丙组的成绩比较稳定故选C．【点睛】本题考查了利用平均数与方差进行决策．解题的关键在于
明确进行决策需要考虑的因素．4．D【解析】【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，
那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；根据中心对称图形与
轴对称图形的概念依次判断各个选项，进而得出答案．【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；B．是轴对称图形，不
是中心对称图形，故不符合题意；C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；D．既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意．故
选D．【点睛】本题考查了轴对称图形，中心对称图形．解题的关键在与对图形的对称性进行正确的识别．5．B【解析】【分析】根据公式可知这
组数据为2、3、3、4，根据众数的概念可知A正确，根据中位数的概念可知B错误，根据平均数的算法可知C，D正确．【详解】由题意知，这
组数据2、3、3、4，所以样本的众数是3，中位数是＝3，平均数为＝3，n＝4，故选：B．【点睛】本题考查了众数，中位数，平均数和方
差，熟练掌握以上知识点是解题的关键．6．C【解析】【分析】根据多边形内角和公式和多边形外角和为360°建立方程求解即可．【详解】设
这个多边形是n边形，由题意，得（n﹣2）×180°＝5×360°．解得n＝12，故选：C．【点睛】本题考查了多边形内角和公式和多边
形外角和为360°，掌握多边形的内角和公式是解题的关键．7．A【解析】【分析】由图可知顶点C（0，2），B（﹣3，1），由平移过程
求解即可．【详解】解：由图可知顶点C（0，2），B（﹣3，1）∵C点平移到了点C''（2，1）∴可知△ABC向右平移了2﹣0＝2个单
位，向下平移了2﹣1＝1个单位∴点B（﹣3，1）向右平移2个单位，向下平移1个单位，得到B''（﹣1，0）故选A．【点睛】本题考查了
直角坐标系中点坐标的平移．解题的关键在于明确点平移的过程．8．C【解析】【分析】根据分式方程有增根，求得的值，再代入化简后的整式方
程中，即可求得的值．【详解】x的分式方程+5=有增根，，将原方程去分母得：，即，将代入，得：解得．故选C．【点睛】本题考查了解
分式方程，分式方程增根的情况，掌握解分式方程是解题的关键．9．C【解析】【分析】由旋转的性质可得CA=CE，∠ACE=90°，∠A
CB=∠DCE=22°，从而得△ACE是等腰直角三角形，进而得∠E=45°，最后利用∠ADC是△CDE的外角即可解答．【详解】解：
由旋转可得：∠ACB＝∠DCE＝22°，CA＝CE，∠ACE＝90°，∴△ACE是等腰直角三角形，∴∠E＝45°，∵∠ADC是△C
DE的一个外角，∴∠ADC＝∠E+∠DCE＝45°+22°＝67°，故选：C．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质以
及三角形外角的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．10．C【解析】【分析】连接AC与BD相交于O,根据平行四边形的对角线互相平分
可得OA=OC，OB=OD，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要证明得到OE=OF即可，后根据各选项的条件分析判断即可得
解．【详解】如图，连接AC与BD相交于O，在?ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，要使四边形AECF为平行四边形，只需证明得到OE
＝OF即可；A、若BE＝DF，则OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，故本选项不符合题意；B、AF∥CE能够利用“角角边”证明△A
OF和△COE全等，从而得到OE＝OF，故本选项不符合题意；C、若CE＝AF，则无法判断OE＝OE，故本选项符合题意；D、由∠DA
F＝∠BCE，从而可得△DAF≌△BCE，然后得出∠DFA＝∠BEC，∴∠AFE＝∠CEF，∴AF∥CE，结合选项B可证明四边形A
ECF是平行四边形，故本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关
键．11．B【解析】【分析】根据题意，得到等量关系为：骑自行车同学所用时间—乘车同学所用时间=．【详解】设骑车学生的平均速度为xk
m/h，则汽车的平均速度为3xkm/h．根据题意，列方程得．故选：B．【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，找到合适的等
量关系是解决问题的关键．12．B【解析】【分析】证明四边形BGFE是平行四边形可判断①，BO＝BC，结合点E是OC的中点，可得B
E⊥AC，再利用四边形BGFE是平行四边形可判断②，证明∠BOC＝∠BCO，结合∠BOC＝∠ACD+∠BDC，可判断③，由BE⊥A
C，可得∠BOE＜90°，可判断④，从而可得答案.【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴，AB＝CD，∵E、F、G分别是OC
、OD、AB的中点，∴CD＝2EF，，AB＝2BG，∴BG＝EF，，∴四边形BGFE是平行四边形，∴GN＝NE，故①正确；∵四边形
ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，BO＝DO，AD＝BC，∵BD＝2AD＝2BC，∴BO＝BC，又∵点E是OC的中点，∴BE⊥A
C，∵四边形BGFE是平行四边形，∴，∴GF⊥AC，即GF⊥AE，故②正确；∵BO＝BC，∴∠BOC＝∠BCO，∵∠BOC＝∠AC
D+∠BDC，∴∠BOC＞∠ACD，∴∠BCO≠∠ACD，∴AC不平分∠BCD，故③错误；∵BO＝BC，点E是OC的中点，∴BE⊥
AC，∴∠BOE＜90°，∴AC与BD不垂直，故④错误，故选：B．【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，三角形的中位线的性质
，等腰三角形的判定与性质，熟练的利用平行四边形的性质解题是关键.13．a（a﹣1）2?【解析】【详解】试题分析：此多项式有公因式，
应先提取公因式a，再对余下的多项式进行观察，有3项，可利用完全平方公式继续分解．a3﹣2a2+a=a（a2﹣2a+1）=a（a﹣1
）2．故答案为a（a﹣1）2．考点：提公因式法与公式法的综合运用．14．.【解析】【分析】直接将原式通分，进而利用分式的加减运算法
则计算得出答案．【详解】原式＝＝＝．故答案为．【点睛】此题主要考查了分式的加减运算，正确进行通分运算是解题关键．15．0.45【解
析】【分析】根据加权平均数的计算公式即可求出答案．【详解】根据题意得：（0.3×3+0.4×2+0.5×3+0.6×1+0.7×1
）＝0.45（m3），答：这10个家庭的节水量（m3）的平均数是0.45m3．故答案为：0.45．【点睛】本题考查了加权平均数的计
算方法．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数即可．16．13【解析】【分析】根据平行四边形的性质知O为BD的中点，即
可判断OE是△DBC的中位线，即OE=BC，从而得出△BCD的周长是△DOE的周长的二倍，再根据BC+CD是平行四边形周长的一半求
出BD的长即可．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，且周长为38，∴O是BD的中点，BC+CD=38×=19，∵点E是CD的
中点，∴OE是△DBC的中位线，∴△BCD的周长是△DOE的周长的2倍，即BD+BC+DC=2（OD+OE+ED）=2×16，∴B
D+19=32，解得：BD=13，故答案为：13．【点睛】本题主要考查三角形的中位线定理，平行四边形的性质等知识点，熟练掌握平行四
边形对角线互相平分的性质是解题的关键．17．（5，6）【解析】【分析】根据平移的性质知BF=AD，由一次函数图象上点的坐标特征可以
求得点F的坐标，所以根据两点间的距离公式可以求得线段BF的长度，即AD的长度．【详解】∵点A的坐标为（0，6）点B的坐标为（2，4
），△OAB沿x轴向右平移后得到△EDF，∴点D的纵坐标是6，点F的纵坐标是4．又∵点B的对应点F是直线上的一点，∴，解得x＝7．
∴点F的坐标是（7，4），∴BF＝5．∴根据平移的性质知AD＝BF＝5，∴点A的对应点D点的坐标为（5，6）．故答案为：（5，6）
．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、坐标与图形变化一一平移，根据平移的性质得到AD=BF是解题的关键．18．1【解析】
【分析】计算的值，观察各数值，推导出一般性规律，然后计算求解即可．【详解】解：∵∴…∴每3次运算结果循环一次∴∵∴故答案为：1．【
点睛】本题考查了数字规律的探究．解题的关键在于推导出一般性规律．19．【解析】【分析】去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x
的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】方程两边乘，得：，解得：，检验：当时，．?∴是原分式方程的解．【点睛】本题考查了解分式方
程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．20．【解析】【分析】先通分，因式分解，然后作除法运算得到化简结果，将a的值代入求解即
可．【详解】解：当a＝1时，原式．【点睛】本题考查了分式的化简求值．解题的关键在于正确的通分和利用完全平方公式化简．21．证明见解
析【解析】【分析】由题意知，，∠ODF＝∠OBE，证明△DOF≌△BOE（AAS），有DF＝BE，AF＝EC，进而可说明四边形A
ECF为平行四边形．【详解】证明：由题意知，∴∠ODF＝∠OBE在△DOF和△BOE中∵∴△DOF≌△BOE（AAS）∴DF＝B
E∴AD﹣DF＝BC﹣BE即AF＝EC∴四边形AECF为平行四边形．【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，三角形全等．解题的关
键在于对知识的灵活运用．22．(1)见解析(2)（﹣1，3）；（2，﹣2）【解析】【分析】(1)根据旋转的性质先将△OAB绕原点O
逆时针旋转90°，得到，再根据对称的性质作出，使它与关于原点成中心对称；(2)结合(1)即可写出点的坐标，点的坐标．(1)如图，△
OA1B1，△OA2B2即为所求；(2)点A1的坐标（﹣1，3）；点B2的坐标（2，﹣2）．故答案为：（﹣1，3）；（2，﹣2）．
【点睛】本题考查旋转变换作图，根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取
相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．23．(1)9；45%(2)估计该校七年级80名教师中竞赛成绩达到8分及以
上的人数为68人(3)八年级的教师学习党史的竞赛成绩更优异【解析】【分析】（1）根据扇形统计图可知第10、11个数均为9，可求得中
位数，根据七年级竞赛成绩，查出9分以上的可算出优秀率（2）用样本估计总体，计算出20人中8分以上占比多少，再用80乘以这个百分比即
可（3）平均数一样，用中位数、众数，优秀率比较．(1)解：∵八年级教师竞赛成绩中9分以下的占：5%+10%+30%＝45%，故从小
到大排列第10、11个数均为9，∴a＝9，；故答案为：9；45%；(2)解：该校七年级80名教师中竞赛成绩达到8分及以上的人数为：
（人）；(3)解：根据表中可得，七八年级的平均数一样，但八年级的中位数、众数，优秀均高于七年级，因此八年级的教师学习党史的竞赛成绩
更优异．【点睛】本题考查中位数，众数，用样本估计总体等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键．24．(1)证明见解析(2)【解析】
【分析】（1）由于旋转，得到△ABC≌△ADE，由全等性质去证明∠DAB＝∠EAC，便可证明△AEC≌△ADB，从而得到结论；（2
）根据四边形ADFC是平行四边形，根据平行四边形的性质以及题目所给条件可以得到∠ABD＝∠BAC＝45°，又因为旋转的性质，可以得
到∠ADB＝∠ABD＝45°，从而得到的度数，再根据勾股定理以及△AEC≌△ADB，即可得到答案．(1)证明：由旋转的性质得：△A
BC≌△ADE，且AB＝AC，∴AE＝AD，AC＝AB，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠BAE＝∠DAE+∠BAE，即∠CAE＝
∠DAB，在△AEC和△ADB中，，∴△AEC≌△ADB（SAS）；(2)解：∵四边形ADFC是平行四边形，∴，∴∠ABD＝∠BA
C＝45°，又∵，∴∠ADB＝∠ABD＝45°，∴∠DAB＝90°，由勾股定理得，∵△AEC≌△ADB，∴EC＝DB＝．【点睛】本
题考查了三角形全等的性质和证明过程，以及四边形的相关知识，直角三角形的应用，熟悉这些知识点是解题的关键．25．(1)甲种水果的进价
是10元/千克，乙种水果的进价为15元/千克(2)超市购进甲种水果75千克，乙种水果25千克时第二次获得最大利润，最大利润是350
元【解析】【分析】（1）根据题意，先设出甲、乙两种水果的单价，然后根据超市所进甲种水果比所进乙种水果多10kg，可以列出相应的分式
方程，然后求解即可，注意分式方程要检验；（2）根据题意，可以写出利润和购买甲种水果数量的函数关系式，然后根据甲种水果的质量不少于乙
种水果质量的3倍，可以得到甲种水果数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到利润的最大值．(1)设甲种水果的进价是x元/千克，
则乙种水果的进价为1.5x元/千克，根据题意得，﹣＝10，解得x＝10，经检验：x＝10是原分式方程的解，∴1.5x＝15，答：甲
种水果的进价是10元/千克，乙种水果的进价为15元/千克；(2)设购进甲种水果a千克，则购进乙种水果（100﹣a）千克，利润为w元
，由题意可得：w＝（13﹣10）a+（20﹣15）（100﹣a）＝﹣2a+500，∴w随a的增大而减小，∵甲种水果的质量不少于乙种
水果质量的3倍，∴a≥3（100﹣a），解得a≥75，∴当a＝75时，w取得最大值，此时w＝350，100﹣a＝25，答：超市购进
甲种水果75千克，乙种水果25千克时第二次获得最大利润，最大利润是350元．【点睛】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用，解答本
题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的分式方程，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．26．(1)证明见解析(2)
EF＝4【解析】【分析】（1）由题意知，，，AB为△EMN的中位线，有，，得到，，进而可证明四边形MFCD为平行四边形；（2）如图
，连接AF，BF，则AF是△MNE的中位线，由AF∥EB，AF＝EB，可证四边形AFBE是平行四边形，故有OF＝OE＝2，进而可求
EF的长．(1)证明：由题意知，，，AB为△EMN的中位线∴，∴∴，∴四边形MFCD为平行四边形；(2)解：如图，连接AF，BF，
则AF是△MNE的中位线∴AF∥EB，AF＝EB∴四边形AFBE是平行四边形∴OF＝OE＝2∴EF＝4．【点睛】本题考查了中位线，
平行四边形的判定与性质．解题的关键在于熟练掌握中位线的性质．27．（1）①△BAM≌△CAN，CN+CM＝CB；②MB2+MC2＝
2MA2；证明见解析；（2）PC＝【解析】【分析】（1）①先证明△BAM≌△CAN，可得从而可得答案；②先证明∠ACN＝∠B＝45°，可得∠BCN＝90°，证明CN2+MC2＝MN2，而在R△MAN中，MN2＝MA2+AN2＝2MA2，从而可得结论；（2）由旋转可得△BAP≌△CAQ，证明PA＝QA＝2，∠PAQ＝∠BAC＝90°，CQ＝BP＝3，可得PQ2＝PA2+QA2＝22+22＝8，再利用勾股定理可得答案.【详解】解：（1）①∵△ABC和△AMN都是等腰直角三角形，∠BAM+∠MAC＝90°，∠CAN+∠MAC＝90°，∴∠BAM＝∠CAN，在△BAM和△CAN中：，∴△BAM≌△CAN（SAS），∴BM＝CN，∵BM+CM＝CB，∴CN+CM＝CB，故答案为：△BAM≌△CAN，CN+CM＝CB；②MB2+MC2＝2MA2；证明如下：∵△ABC和△AMN都是等腰直角三角形，同理①可证△BAM≌△CAN，∴∠ACN＝∠B＝45°，即∠BCN＝90°，∴CN2+MC2＝MN2，在R△MAN中，MN2＝MA2+AN2＝2MA2，∴MB2+MC2＝2MA2；（2）由旋转知△BAP≌△CAQ，∴PA＝QA＝2，∠PAQ＝∠BAC＝90°，CQ＝BP＝3，∴△PAQ为等腰直角三角形，∴PQ2＝PA2+QA2＝22+22＝8，∵∠PQC＝90°，∴PC2＝PQ2+QC2＝8+32＝17，∴PC＝．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理的应用，证明△BAM≌△CAN是解本题的关键..... |
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