《九章算术》〈粟米〉交易之简单比例上传书斋名：潇湘馆112XiāoXiāngGuǎn112何世强HoSaiKeung提要：《
九章算术?卷二》之题为〈粟米〉。〈粟米〉指谷物之交易，或以某种谷物换等价之他种谷物。本文主要谈及谷物之交换。谷物之交换涉及简单之比
例，《九章》以粟率50为标准，以交易其他之谷物量。关键词：粟米粟率米率粝米《九章算术?卷二》之题为〈粟米〉﹝《九章算术》
简称为《九章》﹞，指谷物之交易，或以某种谷物换等价之他种谷物。本文主要谈及谷物之交换。谷物之交换涉及简单之比例，属初等数学范畴。《
九章》以粟率50为标准，以交易其他之谷物量，其他谷物量之率则于卷二之首注明，《九章》称之为“粟米之法”。谷物之交换可能为汉时之
一种商业行为，至于是否流行，则不得而知。盖《九章》之问，多与当时日常生活有关者也。《九章》曰〔括号内文字乃刘徽注文〕：粟米以衘交质
变易。〔凡此诸率相与大通，其时相求，各如本率。可约者约之。别术然也。〕粟米之法：粟率五十---粝米三十；粺米二十七；糳米二十
四；御米二十一；小?十三半；大?五十四；粝饭七十五；粺饭五十四；糳饭四十八；御饭四十二；菽、荅、麻、麦各四十五；稻六十；豉六十三；
飧九十；熟菽一百三半；櫱一百七十五。“粟米之法”以粟率50交换“菽、荅、麻、麦”各45，注意此处之“荅”与“答”不同，“荅”
是一种小豆。汉魏晋时菽、荅、麻、麦四种农作物经常相提并论。《晋书?志第六?律历上》曰：《九章?商功法》程粟一斛，积二千七百寸；米一
斛，积一千六百二十七寸；菽荅麻麦一斛，积二千四百三十寸。因为同量之“菽、荅、麻、麦”有相同之体积，故有相同之交换率，亦因此而相提并
论。附带一提，《晋书》引用《九章》文字，显然《九章》之成书年代絶不迟于晋世，但注者刘徽乃魏晋时人，故《九章》成书于汉世乃合理之推测
。《九章算术?卷二》又曰：今有术曰：以所有数乘所求率为实，以所有率为法，实如法而一。“今有之”公式。注意以下之公式：今有之=
×所求率=。以上即《九章》所谓：今有术曰：以所有数乘所求率为实。以所有率为法。“为实”即被除数，“为法”即除数。“今有之”公
式其实是最简单之比例数，即a﹝所有率﹞：b﹝所求率﹞=c﹝所有数﹞：x﹝今有之﹞，x为未知数，即x=。刘徽
注曰：据粟率五、粝率三，是粟五而为一，粝米三而为一也。…粟五升为粝米三升；以分言之知，粟一斗为粝米五分斗之三，以五为母，三为子。
以粟求粝米者，以子乘，其母报除也。然则所求之率常为母也。以上注文指粟率：粝率=50：30可化简为5：3。亦可写成5升：
3升或5斗：3斗=1斗：斗，若有粟c，则有粝米c。淳风等按：“宜云所求之率常为子，所有之率常为母。”今乃云“
所求之率常为母”知脱错也。李淳风之说正确。以下各题以x为未知数，即“今有之”，依比例计算而得。〈第一题〉今有粟一斗，欲为粝米。
问：得几何？答曰：为粝米六升。术曰：以粟求粝米，三之，五而一。解：粝米，糙米也。《韩诗外传?卷二?第二十五章》曰：曾子褐衣缊绪，未
尝完也；粝米之食，未尝饱也。又《韩诗外传?卷九?第二十七章》曰：士褐衣缊着，未尝完也，粝荅之食，未尝饱也，世俗之士即以为羞耳。依《
韩诗外传》所云，粝米乃贫寒之人所食。本题指以一斗粟换粝米，求粝米之量。其他题相若。从粟米之法可知：粟率50：粝米30。10x依
比例可知粝米x==6﹝升﹞。李淳风称此术为“都术”。答：为粝米6升。〔淳风等按：都术：以所求率乘所有数，以所有率为法
。此术以粟求米，故粟为所有数。三是米率，故三为所求率。五为粟率，故五为所有率。粟率五十，米率三十，退位求之，故惟云三、五也。〕今有
之x===6﹝升﹞。“退位求之”指约去10，即50：30=5：3，即x==6﹝升﹞。“三之，五而一”
指乘以3及除以5。其他相若。〈第二题〉今有粟二斗一升，欲为粺米。问：得几何？答曰：为粺米一斗一升五十分升之十七。解：术曰：以
粟求粺米，二十七之，五十而一。〔淳风等按：粺米之率二十有七，故直以二十七之，五十而一也。〕“粺米”之“粺”古同“稗”，细舂之精米也
。从粟米之法可知：粟率50：粺米27。21x依比例可知粺米x===11﹝升﹞=1斗1升。答：为粺米1
斗1升。〈第三题〉今有粟四斗五升，欲为糳米。问：得几何？答曰：为米二斗一升五分升之三。解：《说文解字?毇部》：糳，?米一斛舂为
九斗曰糳。《广韵》：糳，精细米也。术曰：以粟求米，十二之，二十五而一。〔淳风等按：米之率二十有四，以为率太繁，故因而半之。半所求之
率，二乘之，二十五而一也。〕从粟米之法可知：粟率50：糳米24。45x依比例可知糳米x=====21﹝升
﹞=2斗1升。率减半指粟率50：糳米24=粟率25：糳米12。即以2约简。答：为糳米2斗1升。〈第四
题〉今有粟七斗九升，欲为衘米。问：得几何？答曰：为衘米三斗三升五十分升之九。解：衘米，最精之米，朝廷食用之米。北宋?李籍《音义》曰
：精于糳也，供王膳之米也。衘米乃比糳米更精之米。术曰：以粟求衘米，二十一之，五十而一。从粟米之法可知：粟率50：御米21。79
x依比例可知糳米x===33﹝升﹞=3斗3升。答：为衘米3斗3升。〈第五题〉今有粟一斗，欲为小?。问：得几
何？答曰：为小?二升一十分升之七。解：北宋?李籍《音义》释曰：小?大?，音敌。麦屑也，细曰小?；麤曰大?。“麤”同“粗”。术曰：以
粟求小?，二十七之，百而一。〔淳风等按：小?之率十三有半。半者二为母，以二通之，得二十七，为所求率。又以母二通其粟率，得一百，为
所有率。凡本率有分者，须即乘除也。他皆仿此。〕从粟米之法可知：粟率50：小?13?。10x粟率50：小?13?=粟率
100：小?27。为避去小数，两率各自乘以2：依比例可知小?x===2﹝升﹞。答：为小?2升。〈第六题〉今有
粟九斗八升，欲为大?。问：得几何？答曰：为大?一十斗五升二十五分升之二十一。解：术曰：以粟求大?，二十七之，二十五而一。〔淳风等按
：大?之率五十有四。因其可半，故二十七之，亦如粟求糳米，半其二率。〕从粟米之法可知：粟率50：大?54。98x粟率50：大?
54=粟率25：大?27。用2约简之率计算，如粟求糳米，见前：依比例可知大?x===105=10斗
5﹝升﹞。答：为大?10斗5升。〈第七题〉今有粟二斗三升，欲为粝饭。问：得几何？答曰：为粝饭三斗四升半。解：粝饭指以粝米所
造之饭。术曰：以粟求粝饭，三之，二而一。〔淳风等按：粝饭之率七十有五，粟求粝饭，合以此数乘之。今以等数二十有五约其二率，所求之率得
三，所有之率得二，故以三乘二除。〕从粟米之法可知：粟率50：粝饭75。23x粟率50：粝饭75=粟率2：粝饭3。用
25约简之率：依比例可知粝饭x===34升=3斗4升。答：为粝饭3斗4升。〈第八题〉今有粟三斗六
升，欲为粺饭。问：得几何？答曰：为粺饭三斗八升二十五分升之二十二。解：粺饭指以粺米所造之饭。术曰：以粟求粺饭，二十七之，二十五而一
。〔淳风等按：此术与大?多同。〕从粟米之法可知：粟率50：粺饭54。36x粟率50：粺饭54=粟率25：粺饭27。用
2约简之率：依比例可知粺饭x===38升=3斗8升。答：为粺饭3斗8升。〈第九题〉今有粟八斗
六升，欲为糳饭。问得几何？答曰：为饭八斗二升二十五分升之一十四。解：糳饭指以糳米所造之饭。术曰：以粟求饭，二十四之，二十五而一。〔
淳风等按：糳饭率四十八。此亦半二率而乘除。〕从粟米之法可知：粟率50：糳饭48。86x粟率50：糳饭48=粟率25：糳
饭24。用2约简之率：依比例可知糳饭x===82升=8斗2升。答：为糳饭8斗2升。〈第十题
〉今有粟九斗八升，欲为衘饭。问：得几何？答曰：为衘饭八斗二升二十五分升之八。解：衘饭指以衘米所造之饭。术曰：以粟求衘饭，二十一之，
二十五而一。〔淳风等按：此术半率，亦与糳饭多同。〕从粟米之法可知：粟率50：衘饭42。98x粟率50：衘饭42=粟率2
5：衘饭21。用2约简之率：依比例可知衘饭x===82升=8斗2升。答：为衘饭8斗2升。〈第
十一题〉今有粟三斗少半升，欲为菽。问：得几何？答曰：为菽二斗七升一十分升之三。解：三斗少半升=3斗升=3升。“菽”
，豆类也。《诗经?第三卷?豳风?七月》：“六月食郁及薁，七月亨葵及菽。”“亨”同“烹”。从粟米之法可知：粟率50：菽45。3
x粟率50：菽45=粟率10：菽9。用5约简之率：依比例可知菽x===2斗=2斗升=
2斗7升。答：为菽2斗7升。〈第十二题〉今有粟四斗一升太半升，欲为荅。问得几何？答曰：为荅三斗七升半。解：四斗一升太半
升=4斗1升=4斗。为太半。从粟米之法可知：粟率50：荅45。4x粟率50：荅45=粟率10：荅9
。用5约简之率：依比例可知荅x===3斗=3斗升=3斗升=3斗7升。答：为荅3斗7
升。〈第十三题〉今有粟五斗太半升，欲为麻。问：得几何？答曰：为麻四斗五升五分升之三。解：五斗太半升=5斗升=5斗。从
粟米之法可知：粟率50：麻45。4x粟率50：麻45=粟率10：麻9。用5约简之率：依比例可知麻x=
===4斗=4斗升=4斗5升。答：为麻4斗5升。〈第十四题〉今有粟一十斗八升五分升之二，欲为麦。问
：得几何？答曰：为麦九斗七升二十五分升之一十四。解：10斗8升=10斗。术曰：以粟求菽、荅、麻、麦，皆九之，十而一。从粟米
之法可知：粟率50：麦45。10x粟率50：麻45=粟率10：麦9。用约简之率：依比例可知麦x===
=9斗=9斗7升。答：为麦9斗7升。〔淳风等按：四术率并四十五，皆是为粟所求，俱合以此率乘其本粟。术欲从省，先以
等数五约之，所求之率得九，所有之率得十，故九乘十除，义由于此。〕李淳风之注说明粟率：麦=10：9，用此率较简。〈第十五题〉
今有粟七斗五升七分升之四，欲为稻。问：得几何？答曰：为稻九斗三十五分升之二十四。解：七斗五升七分升之四=7斗5升=7
斗。术曰：以粟求稻，六之，五而一。指以6乘及5除。从粟米之法可知：粟率50：稻60。7x粟率50：稻60=
粟率5：稻6。用10约简之率：依比例可知稻x====9斗=9斗升=9斗升。答：为稻9
斗升。〔淳风等按：稻率六十，亦约二率而乘除。〕意指即将二率约简方作乘与除。〈第十六题〉今有粟七斗八升，欲为豉。问：得几何？答曰
：为豉九斗八升二十五分升之七。解：豉为一种以熟之黄豆或黑豆经发酵后制成。七斗八升=7斗。术曰：以粟求豉，六十三之，五十而一。
从粟米之法可知：粟率50：豉63。7x无约简之率。依比例可知稻x====9斗=9斗升=9斗
8升。答：为豉9斗8升。〈第十七题〉今有粟五斗五升，欲为飧。问：得几何？答曰：为飧九斗九升。解：飧，《玉篇》曰：“水和饭也。
”又五斗五升=5?斗。术曰：以粟求飧，九之，五而一。从粟米之法可知：粟率50：飧90。5?x粟率50：飧90=
粟率5：飧9。用10约简之率：用约简之率，依比例可知飧x====9斗=9斗9升。答：为飧9
斗9升。〔淳风等按：飧率九十，退位，与求稻多同。〕“退位”指约去10。〈第十八题〉今有粟四斗，欲为熟菽。问：得几何？答曰
：为熟菽八斗二升五分升之四。解：熟菽，已熟之一种豆。术曰：以粟求熟菽，二百七之，百而一。从粟米之法可知：粟率50：熟菽103
?。4x粟率50：熟菽103?=粟率100：熟菽207。用扩大成整数之率：依比例可知熟菽x===8斗
=8斗升=8斗2升。答：为熟菽8斗2升。〔淳风等按：熟菽之率一百三半。半者，其母二，故以母二通之。所求之率既被二乘，所有之率随而俱长，故以二百七之，百而一。〕其意指50：103?=100：207，用整数较方便。〈第十九题〉今有粟二斗，欲为糵。问：得几何？答曰：为糵七斗。解：糵，酿酒之酵母。《礼记?礼运》曰：故礼之于人也，犹酒之有糱也。术曰：以粟求糵，七之，二而一。从粟米之法可知：粟率50：糵175。2x粟率50：糵175=粟率2：糵7。用25约简之率：依比例可知糵x==7斗。答：为糵7斗。〔淳风等按：糵率一百七十有五，合以此数乘其本粟。术欲从省，先以等数二十五约之，所求之率得七，所有之率得二，故七乘二除。〕以上意指50：175以25约之，得2：7。(1) |
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