高中数学复习讲义第一板块：函数、导数常见的基本初等函数1、（一次函数）；2、（二次函数）3、（三次函数）；4、（反比例函数）；5、（形函数）
；6、（＞0）（对钩函数）；7、；8、＞0且（指数函数）9、＞0且（对数函数）；10、（幂函数）；11、（正弦函数）；12、（余弦
函数）；13、（正切函数）。二、函数的性质（一）函数的单调性判定方法：1、定义法：①且＜；①②③（证明
单调性，主要用于抽象函数）②＜或＞；②③①（解抽象不等式、超越不等式）③在↗或在↘。①③②（利用函数单调性求值域）
；2、复合函数单调性遵循同增异减原则。3、子母同性法（函数在母区间的单调性与子区间的单调性相同）。4、运算法则法（增+增=增，减+
减=减）。5、移缩依旧法（平移变换与伸缩变换不影响函数的单调性）。6、奇函数在其对称区间单调性相同，偶函数在其对称区间单调性相反，
原函数与反函数的单调性一致）。7、导数法：设函数在区间内可导，则有：在↗；在↘。（注意：不恒等于零）。（二）函数的奇偶性1、判定
方法：（1）定义法（前提是函数的定义域必关于原点对称）、是偶函数；、是奇函数。（2）图象法、函数的图象关于轴对称是偶函数；、函
数的图象关于原点对称是奇函数。2、性质：（1）若是奇函数，且有定义，则，。（2）若是偶函数，则。（3）若是奇函数，则在其对称区间单
调性相同；若是偶函数，则在其对称区间单调性相反。（4）奇奇=偶，偶偶=偶，奇偶=奇，奇奇=奇，偶偶=偶。（5）是偶函数；是奇函数
（用换元法，设=）。（6）若是奇函数，则的值域必关于原点对称（奇函数的最大值与最小值同时存在且，或同时不存在）。（三）、函数的周期
性1、定义存在非零常数,对任意的恒有，则称函数为周期函数，为其周期。（注意：①最小正周期，②定义域可能为（-∞，+∞），（-∞，
），（，+∞）之一）2、性质：（1）若函数的最小正周期为，则（）。（2）若对任意的都有，则为周期函数且。（3）若对任意的都有，则
为周期函数且。（4）若函数的图象有两条对称轴：，则为周期函数且。（5）若函数的图象有两个对称中心：,则为周期函数且。（6）若函数的
图象有一条对称轴：，一个对称中心则为周期函数且。（四）函数图象的对称性1、自对称性（就函数图象自身而言，相加取一半）（1）若函数满
足，则的图象关于直线对称。（2）若函数满足，则的图象关于点（，0）对称。2、互对称性（就两个函数图象而言，相等解方程）（1）函数的
图象与的图象关于直线对称。（2）函数的图象与的图象关于点对称。（五）易混淆的问题（1）与前者周期性（），后者对称性（对称轴）。（2
）与，前者周期性（），后者对称性（对称中心）。（3）与，前者平移变换，后者互对称变换（对称轴）(4)与，前者平移对折变换，后者互对
称变换（对称中心）。（七）函数的零点1、定义：是方程的根是函数的图像与轴交点的横坐标是函数的零点。2、零点定理：若函数在开区间上
连续，且，则函数在开区间内至少存在一个零点，即至少，使得。3零点定理的推论：若函数在开区间上连续且单调，且，则函数在开区间内有且仅
有一个零点，即唯一，使得。4、求函数零点的方法：、解方程；、图像法（求函数的图像与轴交点的横坐标）；、运用零点定理或者零点定理的推
论求函数的零点；、运用二分法求函数的零点。三、函数图象的变换：（一）、平移变换（仅改变或中的常数项）1、；2、；（二）、伸缩变换（
仅改变或中的系数，但不变号,）1、；2、（三）对称变换1、；2、3、；4、5、为偶函数。6、四、基本初等函数（一）、二次函数1
、二次函数的解析式：（1）一般式：（其中为抛物线的纵截距）。（2）顶点式：（其中顶点（，），对称轴）（3）零点式：（其中为抛物线与
轴两交点的横坐标，也称为函数的俩个零点，对称轴：直线）。2、二次函数的性质（1）、开口方向：＞0时开口向上；＜0时开口向下；（2）
、其中顶点（，），对称轴：直线；（3）、抛物线与坐标轴的交点：点是抛物线与轴的交点；若＞0，则抛物线与轴交于两点；若，则抛物线与轴
交于一点；若＜0，则抛物线与轴无交点。（4）单调性3、二次函数（1）若（区间在对称轴左侧）,则；（2）若（3）若4、一元二次方程根
的分布二次函数的零点分布：(1)、若方程，则(2)、若方程，则（3）、若方程，则（4）、若方程则（5）、若方程，则（6）、若方程则
。(二)、对钩函数（＞0）1、定义域：；2、值域：；，3、单调性：在；4、奇偶性：（＞0）是奇函数；5、对称性：（＞0）的图象关
于原点对称；（三）、幂函数的性质1、当时，函数的图像恒过点（1,1）；当时，函数的图像横过点（0,0），（1,1）。2、单调性：（
1）当时，在单调递增；（2）当时，在单调递减。3、奇偶性：（1）当为偶数时，为偶函数（图像关于轴对称，分布在第一、二象限）；（2）
当为奇数时，为奇函数（图像关于原点对称，分布在第一、三象限）；（3）当（为最简分数）时：若为偶数，则为非奇非偶函数（图像分布在第一
象限）；若为奇数且为偶数，则为偶函数（图像关于轴对称，分布在第一、二象限）；若为奇数且为奇数，则为奇函数（图像关于原点对称，分布在
第一、三象限）。4、凸凹性：当时，函数的图像在第一象限上凸；当时，函数的图像在第一象限下凹。5、渐近线：当时，函数的图像有两条渐近
线分别是轴与轴，轴为其铅直渐近线），（轴为其水平渐近线）；当时，函数的图像无渐近线。五、导数及应用：（一）、导数的定义：1、函数在
处的导数：；2、函数的导函数：。3、的大小刻划了函数变化快慢的程度，越大则函数的图象越陡，越小则函数的图象越缓。（二）、导数公式及
运算法则：（是常数）1、导数公式：；；（＞0且；（＞0且；；；；；2、运算法则:；；；3、复合函数求导法则：设，，则（（三
）、导数的应用：1、导数的几何意义：曲线在点处得切线的斜率为，切点为。2、导数的物理意义：若物体的位移为，则物体在时刻的瞬时速度
为。3、函数的单调性：①若函数在区间I可导，则；②求函数的单调区间的步骤4、函数的极值：①②求函数极值的步骤5、函数的最值①求函
数在闭区间内的最值的步骤：（1）求函数在开区间内的极值；（2）求区间端点的函数值：；（3）；②求函数在开区间内的最值（函数在开区间
内必为单峰函数，主要用于应用题的最值问题）：；③不等式的恒成立问题：（1）、；（2）、；6、一元高次方程的实数根（重根算一个）个数
判断方法（仅以一元三次方程为例）：设函数，则方程的实根个数的图象与轴的交点个数。即有以下几种情况：（1）方程有3个实数根；（2）方
程有2个实数根；（3）或无极值方程有1个实数根7、三次函数的图象是中心对称图形，其对称中心为的拐点（，其中直线为其导函数的图象的对
称轴。8、用导数证明不等式。第二板块：三角函数一、三角函数有关概念：1、角的定义：负角（），正角，零角，象限角，轴上角。2、角度制
与弧度制的互化：，3、两个计算公式（为扇形所对圆心角的弧度，为扇形的半径）：弧长：；（把扇形看作曲边三角形）。4、三角函数的定义
：、终边定义：设角终边上任一点（异于坐标原点）为，且）则；；；；；。、单位圆定义：设角终边与单位圆交于点，则；；；。、三角
函数值符号二、三角恒等变换公式1、同角三角函数关系公式（作用：由某角的三角函数值求该角的其它三角函数值）。（1）平方关系：；（2）
倒数关系：；（3）商关系：；（4）三者之间的关系（5）齐次分式与齐次方程均可施行弦化切2、诱导公式（作用：化任意角三角函数为锐
角三角函数）（1）转化步骤：负角正角小角锐角。（2）转化法则：奇变偶不变，符号看象限（视为锐角，符号为原函数值的符号）即；；。3、
和（差）角公式（作用：化简求值）（1）；（2）；（3）。4、二倍角公式（作用：升幂与降幂，坚持升幂角减半、降幂角加倍原则）：(1)
；。（2）；；。5、辅助角公式（作用：化同角的正（余）弦和（差）式为某个角的正弦或余弦）若且，则：（1）；（2）。三、三角函数的
图象与性质：（）y=cosxy=tan定义域值域单调性奇偶性奇函数偶函数奇函数周期性对称性对称中心：点对称轴：直线对称中心：点对称
轴：直线对称中心：点函数图象2、的图象与性质：（1）图象可用五点换元法作出，也可以用变换法（平移变换、伸缩变换）作图。（2）主要性
质：①、用换元法求其值域：。②、用换元法求其对称中心与对称轴：③、求最小正周期：。（相邻两对称中心、相邻两对称轴的水平距离均为，
两相邻的对称中心与对称轴的水平距离为。④、判断奇偶性：。⑤、求单调区间：四、解三角形1、正弦定理：在中，若角所对的边分别为；则
（1）、(其中是外接圆的半径，合比性质的运用)。(2)、边角关系互化公式：。（3）三角形面积公式：。2、余弦定理：在中，若角所对的
边分别为；则3、三角形内角和定理：4、解三角形类型：（角多用正弦定理，边多用余弦定理）（1）已知两角及一边（正弦定理）；（2）已知
两边及一边所对角（正弦定理或余弦定理）（3）已知两边及夹角（余弦定理）；（4）已知三边（余弦定理）。5、小结论：在中，若角所对的边
分别为；则（1）；；。（2）；；。五、三角函数主要数学思想方法：1、换元法；2、数形结合思想；3、消除差异思想；4、函数思想；5化
归思想。六、三角函数的高考题模型：1、三角函数的化简与求值：关键是寻找条件角与结论角的关系。2、三角函数的图象与性质：关键是将复杂
的三角函数式转化为某个角的正弦或余弦。3、三角函数与向量交汇：关键是抓好向量的共线、垂直、坐标运算。4、解三角形：关键是灵活运用正
余弦定理、边角互化公式、消除差异思想。5、解三角形的有关范围问题，主要是考查以角为自变量的函数思想。第三板块：数列数列的有关概念：
数列的定义数列的通项公式：（自变量为数列的项数，函数值为数列的项其图象为坐标平面内一群离散的点）。数列的分类按项数的多少（2）按项
的大小4、数列{}的前项和与的关系：（1）（2）等差数列定义：若数列满足，则数列是等差数列，其中常数为其公差。判定方法：（1）数
列是等差数列。（2）数列是等差数列。3、通项公式：（1）；（2）；（3）。4、前项和公式：公式一：；公式二：；公式一：解读
：公式一主要用于选择题、填空题；公式二主要用于前项和的最值问题；公式三主要用于前项和通项相关联问题主要性质：（（1）、（2）、特
殊化：。（3）（4）等差数列的前项和的最值的确定方法：①若；②若。由二次函数的性质求其对称轴，离对称轴最近的自然数即为取得最值时的
自变量值。等比数列1、定义：若数列满足，则数列是等比数列，其中非零常数为其公比。2、判定方法：（1）数列是等比数列；（2）数
列是等比数列。3、通项公式：（1）；（2）；（3）4、前项和公式：5、单调性（1）；（2）；（3）；（4）；（5
）若，；（6）若，。6、主要性质：（（1）、特殊化：。（2）所有奇数项同号，所有偶数项同号。（3）四、递推数列通项公式的
求法：1、（采用迭加法），得。（注：若）2、（采用迭乘法），得。）3、型：通过采用退一相减法消去或者由消去。4、、若则设，求出
得公比为的等比数列。、若则设，求出，得公比为的等比数列。、若：（1）若，设，求出得公比为的等比数列。（2）若，总之，求数列通
项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式五、数列的求和1
、两个重要数列的求和（灵活运用公式求解）；2、型采用分组求和法求和；3、型，采用错位相减法求和；4、型，采用裂项相消法，。常见的拆
项公式有：①②③六、数列主要数学思想：1、函数思想：2、分类讨论思想：等比数列的前项和3、换元思想：如，可设，则有，故数列是等
差数列，其中公差=1，首项为。4、特殊与一般思想：将等差数列、等比数列特殊化为常数列，在选择、填空题中效果比较明显。第四板块：平面
向量、数系的扩充与复数一、平面向量的有关概念：1、把既具有大小又具有方向的量称为向量，其中大小称为向量的模（或向量的长度）。2、把
长度为零、方向任意的向量称为零向量。记作：=（0，0）。3、把长度为1个单位的向量称为单位向量，其中向量是与向量同向的单位向量。（
向量单位化）。4、若，则称的相反向量，记作。5、∥（1）若，则（（2）若，则（二、平面向量的线性运算与数量积：(（一）平面向量的线
性运算1、平面向量的加减法：（1）几何运算加法的三角形法则：首尾顺次相接，首向量的起点到末向量的终点。减法的三角形法则：起点重合，
减向量的起点到被减向量的终点。加法的平行四边形法则：以共起点的两个向量为一组邻边作平行四边形，则与两个向量共起点的对角线向量为两个
向量的和。引申：；（2）代数运算（坐标运算）：。2、平面向量的数乘：（二）平面向量的数量积：1、几何运算：（1）夹角：夹角必须是当
与的起点重合时所成的角，且。（2）投影2、代数运算（坐标运算）（1）、平面向量的数量积：（2）、平面向量的夹角：（3）、平面向量的
模（长度）：（三）平面向量基本定理及推论：1、平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，
有且只有一对实数，使：2、推论1：点三点共线3、推论2：若点分有向线段所成的比为，则该式称为定比分点向量公式。当时，点为线段的中点
，。4、推论3：若点分有向线段所成的比为，且点,点点,则,该式称为定比分点坐标公式。当时，点为线段的中点，则，该式称为线段中点坐
标公式。5、推论4：若且∥,则的值确定如下：若点在两平行直线外且，则；若点在直线上，则；若点在两平行直线之间，则；若点在直线上，则
；若点在两平行直线外且，则。三、向量的运用、与的夹角和两异面直线的夹角的对比：；（二）、在上的投影和点到平面的距离的对比：；
（三）、向量的平行，垂直和直线（平面）的平行，垂直的对比：（1）∥∥（2）（3）若共线、、三点共线（四）、三角形的四心（内心、外
心、重心、垂心）1若，则点的轨迹必过△的内心。2是△的外心3是△的重心4是△的垂心重心：三角形各边中线的交点性质:三中线交
点将中线分为三等分，到顶顶点的距离为到对边中点的2倍内心：三角形内切圆的的圆心，内角平分线的交点外心：三角形外接圆的的圆心，
各边中垂线的交点垂心：三角形三条高的交点四：数系的扩充与复数1、复数的概念⑴虚数单位；⑵复数的代数形式；⑶复数的实部、虚部，虚数与
纯虚数.2、复数的分类复数3、相关公式⑴⑵⑶⑷指两复数实部相同，虚部互为相反数（互为共轭复数）.4、复数运算⑴复数加减法：；⑵复数
的乘法：；⑶复数的除法：（类似于无理数除法的分母有理化虚数除法的分母实数化）5、常见的运算规律设是1的立方虚根，则，6、复数的几何
意义复平面：用来表示复数的直角坐标系，其中轴叫做复平面的实轴，轴叫做复平面的虚轴.第五板块：解析几何一、直线1、直线的倾斜角，当直
线与轴平行或者重合时。2、若直线的倾斜角为，同时直线经过两点，则直线的斜率为，（，）。3、直线方程的几种形式：（1）已知直线过一点
及直线的走向：点斜式：（表示过点且斜率为的直线，不宜表示斜率不存在的直线）。斜截式：（表示斜率为且纵截距为的直线，不宜表示斜率不
存在的直线）。倒斜式：（表示斜率为且横截距为的直线，不宜表示斜率为零的直线）。点法式：（表示过点且法向量为直线）。（2）已知直线过
两点：两点式：（表示过点两点的直线，不宜表示与坐标轴垂直的直线）。截距式：（表示过点两点的直线，即表示横、纵截距分别为的直线，不宜
表示与坐标轴垂直的直线以及不宜表示过坐标原点的直线）。（3）一般式：（，直线的法向量为，方向向量为）。注：直线方程的两种重要形式：
斜截式、一般式。4、两直线的位置关系的判断：（1）若两直线，则∥，。（2）若两直线,则法向量分别为,于是∥∥；。5、距离：（1）、
点到直线的距离为。特别地，点到直线的距离为；点到直线的距离为。（2）两平行直线,间的距离为。二、圆的方程：1、圆的标准方程：，表示
圆心为，半径为的圆。2、圆的一般方程：，表示圆心为,半径为的圆。3、点与圆：的位置关系：若，则；；。三、直线与圆的位置关系：1、法
1：若直线，圆：，且直线到圆的距离为，则（1），弦长（为两交点）。（2），产生圆的切线。（3）。法2：若直线，圆：，由消去得关于的
一元二次方程：，，则（1），弦长（为两交点）。（2），产生圆的切线。（3）。2、圆的切线：（1）过已知圆上一点的圆的切线有且仅有一
条。若点在圆上，且点为过点的圆的切线上任意一点，则可由求出过点的圆的切线方程：即。（2）过已知圆外一点的圆的切线有两条，注意运用
切线长定理。①若点在圆外，则可由待定系数法求出过点的圆的切线方程：即。②若点在圆外，过点可作圆的两条切线，切点分别为(为切点弦)
,设点为上任意一点,则可由求出切点弦所在直线的方程：即。四、圆与圆的位置关系：若圆，圆，且，，则1、；2、；3、；4、；5、。
五、椭圆1、椭圆定义（1）第一定义：若，且为顶点，则点的轨迹是以两定点为焦点的椭圆，两焦点间的距离为椭圆的焦距，即。注意：若，则的
轨迹是以为端点的线段，若，则点的轨迹不存在。（2）第二定义：若且为定点，为定直线，则点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的椭圆。2、椭
圆的图象与性质焦点位置焦点在轴上焦点在轴上图象标准方程的关系焦点坐标，，顶点坐标，，准线方程离心率，越大椭圆越扁平。范围；，；对称
性对称中心：坐标原点；对称轴：坐标轴通径长垂直于焦点所在坐标轴的焦点弦称为椭圆的通径，其长为。弦长公式(中点弦)若直线与椭圆交于，
两点，点为弦的中点，则(1)（2），（3）可求出直线的点斜式方程（点差法）焦点三角形（张角）的面积取得最大值，张角取得最大值（可用
余弦定理，均值定理，椭圆定义进行证明）。点与椭圆的位置关系，则；；六、双曲线1、双曲线定义（1）第一定义：若，且为顶点，则点的轨迹
是以两定点为焦点的双曲线，两焦点间的距离为双曲线的焦距，即。注意：若，则的轨迹是分别以为端点的两条射线，若，则点的轨迹不存在。（2
）第二定义：若且为定点，为定直线，则点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的双曲线。2、双曲线的图象与性质焦点位置焦点在轴上焦点在轴上图
象标准方程的关系焦点坐标，，顶点坐标准线方程渐近线渐近线渐近线方程为：的双曲线的方程可设为：的取值范围；；对称性对称中心：坐标
原点；对称轴：坐标轴离心率，e越大，开口越阔。当时，，称为等轴双曲线通径长垂直于焦点所在坐标轴的焦点弦称为双曲线的通径，其长为。弦
长公式(中点弦)若直线与双曲线：交于，两点，点为弦的中点，则(1)（2），（3）可求出直线的点斜式方程（点差法）点与双曲线的位置关
系，；；直线与圆锥曲线的位置关系由，（2）七、抛物线1、抛物线定义：若且为定点，为定直线，则点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物
线。2、抛物线的性质（仅以为例）（1）的几何意义：焦点到准线的距离为；（2）焦点坐标，准线方程，顶点坐标（注意：焦点在抛物线方程中
一次项对应的坐标轴上，一次项系数为正（负），则焦点在对应坐标轴的正（负）半轴上，焦点坐标为一次项系数的；（3）对称性：抛物线为轴对
称图形，焦点所在坐标轴为其对称轴；（4）通径长=；（5）弦长（中点弦问题）可仿椭圆、双曲线的方法求解；（6）点与抛物线的位置关系：
第六板块：立体几何问题一：空间几何体1、空间几何体的结构⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。
⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。⑶棱台：用一
个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。2、空间几何体的表面积与体积⑴圆柱侧面积；；⑵圆锥侧面
积：⑶圆台侧面积：。⑷体积公式：；；⑸球的表面积和体积：.3、空间几何体的三视图把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的
投影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。三视图的画法要求：（长方体模型）、在画三视图时，
重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线，尺寸线用细实线标出．?(2)、三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、
正上方观察几何体画出的轮廓线．画三视图的基本要求是：正俯同长，俯侧同宽，正册同高．?由三视图想象几何体特征时要根据“长对正、宽相等
、高平齐”的原则作出判断．??（3）、要切实弄清常见几何体(圆柱、圆锥、圆台、棱柱、棱锥、棱台、球)的三视图的特征，熟练运用长方体
模型将三视图还原成空间几何体。、若三视图中有圆，则该几何体必为旋转体；、若三视图中至少有两个三角形，则该几何体必为锥体；、若三视
图中至少有两个矩形，则该几何体必为柱体；、若三视图中有回形，则该几何体必为棱台。二：点、直线、平面之间的位置关系1、公理1：如果一
条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面（三个推论）。3、公理3：如
果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。4、公理4：平行于同一条直线的两条直线平行。5、公理5：平行
于同一个平面的两个平面平行。5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。6、线线位置关系：平行、相交、异
面。7、线面位置关系：直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交。8、面面位置关系：平行、相交。9、线面平行：⑴判定1：平面外一
条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行（线线平行线面平行）。判定2：如果两个平面平行，那么一个平面内任一直线与另一平
面平行（面面平行线面平行）。⑵性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行（线面平行线线平行）。
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行（线面平行面面平行）。10、面面平行：⑴判定1：一个平面内的两条相交直
线与另一个平面平行，则这两个平面平行（线面平行面面平行）。判定2：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条直线平行，则这两
个平面平行（线线平行面面平行）。⑵性质1：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行（面面平行线线平行）。性质2：如
果两个平面平行，那么一个平面内任一直线与另一平面平行（面面平行线面平行）。11、线面垂直：⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任
意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。⑵判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直（线线垂直线面垂
直）。⑶性质1：垂直于同一个平面的两条直线平行。性质2：垂直于同一条直线的两个平面平行。12、面面垂直：⑴定义：两个平面相交，如果
它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。⑵判定：若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直（线面垂直面面垂直
）。⑶性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面（面面垂直线面垂直）。13、三垂线定理（一面四线）（1）
定理：若，,，且，则。（2）推论：若，,，且，则。14、三棱锥与平行六面体（1）棱锥三棱锥正三棱锥正四面体；棱柱四棱柱平行六面体长
方体正四棱柱正方体。（2）三棱锥内接于平行六面体（正四面体内接于正方体），三棱锥的棱是平行六面体的面对角线。（3）平行六面体的四条
体对角线交于一点且被该点平分（长方体的四条体对角线相等，并交于一点且被该点平分，故交点为长方体的外接球球心）。（4）特殊三棱锥的外
接球的直径的求法：、若,且，则三棱锥内接于一长方体，且。、若，则三棱锥内接于一长方体，且。（若正四面体的棱长为，则正四面体内接于一
正方体，且）。（5）三棱锥底面的几心问题：（在三棱锥中，点在底面的射影为点）。、点是的外心。、点到底面各边的距离相等侧面与底面所成
的角相等点是的内心。、点是的垂心（三条侧棱互相垂直推出对棱垂直，对棱垂直等价于是的垂心）。、正三棱锥的侧棱相等，侧棱与底面所成的
角相等（外心性质）；正三棱锥的顶点到底面各边的距离相等，侧面与底面所成的角相等（内心性质）；正三棱锥的对棱垂直（垂心性质）。三：立
体几何问题的空间向量解法（坐标运算）（一）建系一般情况下先抓题眼：垂直（线线垂直、线面垂直、面面垂直）。（1）三条直线两两垂直可直
接建系；（2）线面垂直建系：将平面的垂线（或垂线的平行线）作为一条坐标轴，然后在该平面内构作两条互相垂直且与其垂线（或垂线的平行线
）相交于一点的直线分别作为另外两条坐标）；（3）面面垂直可转化到线面垂直建系。（二）求直线的方向向量（平面的法向量）的坐标首先运用
已知信息求出与坐标轴重合的线段的长度（若未知线段长度，则可设其长度），然后求出所需点的坐标，最后求直线的方向向量（平面的法向量）的
坐标。(1)若点在坐标轴上：则轴上；轴上；轴上。(2)若点在坐标平面内：则平面内；平面内；平面内。(3)若点既不在坐标轴上也不在坐
标平面内，一般运用以下几个公式求点的坐标：ⅰ、中点公式：若点为线段的中点，且，,则点()。ⅱ、定比分点公式：若且,，则点()。ⅲ
、重心公式：若点为三角形的重心，且，，，则点()（4）求直线的方向向量（终点坐标减起点坐标）。（5）求平面的法向量的坐标。①求非特
殊平面的法向量的坐标的步骤：首先根据平面内部不共线三点坐标求出该平面内两条相交直线的方向向量，然后利用三阶行列式求。如；,则平面
的法向量；其中，，，或者与向量共线的非零向量也可作为平面的法向量（称为两个向量的外积，其结果为向量）。②求特殊平面的法向量：若已知
直线与平面垂直，则已知直线的方向向量即为平面的法向量；若平面与（三）通过空间向量的坐标运算解决立体几何的三大问题（设平面的法向量为
；平面的法向量为）1．位置关系的证明（1）∥∥(线线平行)（2）⊥⊥(线线垂直)（3）?=0⊥∥平面（线面平行）（4）（线面垂直）
（5）（6）2、空间角的求法：（1）设与两异面直线的夹角为，则。（2）设直线与平面所成的角为，则。（3）设平面与平面所构成的二面角
为则（正负视为其锐角、钝角而定）。（二面角）3、空间距离的求法：（1）设点到平面的距离为，平面的一个法向量为，则。（2）直线到与它
平行的平面的距离，两平行平面间的距离均可转化为点到平面的距离求解。第七板块：排列与组合、概率与统计一、计数板块1、两个计数原理（
重点）（1）分类计数原理（或加原理）：分类完成，一次解决，不重不漏（互不相容）。（2）分步计数原理（且乘原理）：分步完成，几步解决
，互不影响（相互独立）。2、排列：从个不同元素中任取个元素按一定顺序排成一列叫做从个不同元素中任取个元素的一个排列，所有排列种数为
===。。主要特点：元素具有“互异性”与“有序性”。3、组合：从个不同元素任取个元素并成一组叫做从个不同元素中任取个元素的一个组
合，所有组合种数为==。（1）、组合数的性质：；；（2）主要特点：元素具有“互异性”与“无序性”。4、主要计数问题类型（1）、特殊
位置:优先处理；特殊元素：优先处理。（2）、相邻问题:捆绑处理（先捆绑视为一个元素再与其它元素排列）；不相邻问题：插空处理（先排其
它元素再用不相邻的元素插空）。（3）、定序问题：除法处理（先排再定序，个元素排列，若有个元素序一定，则排列种数为=）。（4）、分排
问题:直排处理（主要用于合影、站队等问题）。（5）、涂色问题:图分区域分类处理。（6）、正难则反：正面困难反面处理（排课程表问题）
。（7）、摸球问题：不放回逐次摸球共摸几次排列处理（不重复有序）；放回摸球分步计数处理（重复有序）；一次摸几球组合处理。（8）、分
类分步综合问题：先分类再分步处理。（9）、不同类元素排列问题：先选后排处理。（10）、不同类元素抽取问题:平等无序分步抽取。（11
）摸鞋配对问题：先摸双再抓只处理（无序）。（12）、元素分配问题、相同元素的分配问题：隔板法处理。个完全相同的小球放入个不同的盒子
里，若允许空盒，则放法种数为；若不允许空盒，则放法种数为。（常见模型：分指标）、不同元素的分配问题：先打包再分配处理。（常见模型：
分球入盒）、若个不同的小球放入个不同的盒子里运用鹊巢模型处理。鹊巢模型：若只喜鹊入住个巢中，则有种分配方式(所有喜鹊可以入住同一个
巢)。、若个不同的小球按不同的个数放入个不同的盒子里。则按“先将小球打包，再分配给盒子”的步骤进行。注：打包（无序）——首先确定
有几类打包方法；然后用分步计数原理表示各类打包方法，若平均分成包，则打包方法等于分步计数结果除以；若非平均打包，则打包方法等于分步
计数结果。分配（有序）——用排列解决分配问题。（13）、错位排列公式处理：个元素的错位排列数为=。（14）、传球问题公式处理：个
人传球，球首先由某个人传出，经过次传球，球又回到该人手中的不同传球方式种数为=[]。二、概率板块概率论是研究随机事件的必然规律，
是偶然与必然的相对统一，主要解决摸球、掷硬币、掷骰子、射击、投篮、比赛、投保险、电路等问题。（一）、有关概念：必然事件，随机事件
，不可能事件，频率，概率，随机试验，基本事件。1、随机试验的特点：（1）、试验可以在相同条件下重复进行；(2)、试验的所有可能结果
是明确的，且不止一个；(3)、每次试验只可能出现一个结果，是随机的，每次试验之前却不能肯定该试验会出现哪一种结果。2、基本事件：随
机试验的每一个可能的结果称为基本事件。3、和事件：，指两个事件至少有一个发生。4、积事件：，指两个事件同时发生。5、互斥事件：若事
件与事件不可能同时发生，则称与为互斥事件。（集合解释：互斥）6、对立事件：若事件与事件互斥且必有一个发生，则称与为对立事件。（集合
解释：若且全集，则对立）7、互斥事件至少有一个发生的概率:、若与互斥，则；若事件彼此互斥，则；、。（二）、主要概型1、古典概型：
（1）、特点；（2）、公式。（3）、解读：、其中指随机试验的基本事件总数（所有可能发生的结果总数）；、指事件中包含的基本事件个数
（所有使事件发生的结果总数）；、古典概型的基础是两个记数原理（即、一般用两个记数原理与排列组合表示）。、分母与分子必须保持一致（若
分母有序，则分子也必须有序；若分母无序，则分子也必须无序；若分母用（排列）组合表示，则分子也必须用（排列）组合表示；若分母取个元素
，则分子也必须取个元素）。（4）、性质（5）、具体模型：；摸鞋配对模型；开锁模型(排列)；鹊巢模型。2、几何概型：（1）、特点
：、在某个区域内随机取一点（或在某个角内以角的顶点为端点随机作一条射线）视为一个基本事件，所有基本事件有无限多个。、每个基本事件发
生的可能性相等。（2）、公式（3）、解读：、若在一条线段上取点，则测度为线段的长度；若在一个二维平面区域内取点，则测度为二维平
面区域的面积；若在一个三维立体区域内取点，则测度为三维立体区域的体积；若在某个角内以角的顶点为端点随机作一条射线，则测度为角的大小
或者角所对的弧长。、事件的发生可以视为恰好取到区域(角)内的某个小区域（角）内的点（射线）。、事件的发生的概率等于区域与区域的测度
之比,与区域的形状及位置无关。、随机事件的概率可为1和0，并非必然事件与不可能事件的概率才为1和0。3、条件概型：（1）条件概率定
义：在已知事件发生的条件下，事件发生的条件概率为。(2)概率的乘法公式：对任意两个事件若，则有，。（3）若事件与互斥，则。
4、独立概型：相互独立事件：若事件发生与否不影响事件发生的概率，且事件发生与否不影响事件发生的概率，即，则称事件与事件相互独立。
（注：相互独立必有序；若事件与事件相互独立，则）（1）相互独立事件同时发生的概率：若事件与事件相互独立,则；若事件彼此独立，则。（
2）相互独立事件至少有一个发生的概率：若事件彼此独立，则。（3）具体模型：电路问题；射击问题；投篮问题；单循环比赛问题。5、次独立
重复试验概型（贝努利试验概型）：若一次随机试验中有两种可能结果，即事件发生与事件不发生两种结果,且每次试验都有,，则进行次独立试验
，事件恰好发生次的概率为：（）。称该试验为次独立重复试验。具体模型：有放回逐次摸球（有放回逐次抽检产品）问题；当产品个数比较多时，
任何方式抽检产品问题视为独立重复试验概型；比赛；射击；投篮；掷硬币；掷骰子；投保险；几局几胜制等问题。（三）、离散型随机变量的分
布列：1、求离散型随机变量的分布列的步骤（1）确定离散型随机变量的所有可能取值；（2）分别求出的所有可能取值发生的概率；（
3）列表。2、离散型随机变量的分布列的性质（1）；（2）（3）离散型随机变量的期望反映了的平均取值水平，记作。（4）离散型随
机变量的方差反映了的波动（稳定）程度，记作=（5）；。3、重要分布：（1）二项分布：若，则称随机变量服从二项分布。记作～，其
中，。（独立重复试验背景）（2）两点分布：若～，则称随机变量服从两点分布。其中，。（独立重复试验背景）（3）超几何分布：若，且
，则称随机变量服从超几何分布。（不放回摸球一把抓属超几何分布）4、正态分布（连续型随机变量的分布列）（1）、若函数其中实数和为参
数。则称函数的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线。（2）、若，且随机变量满足，则称随机变量服从正态分布，记作～（因正态分布完全
由参数和确定）。其中，。（3）、若～，则称随机变量服从标准正态分布。（3）正态曲线的特点：1、曲线位于轴上方，与轴不相交；2、曲线
是单峰曲线，关于直线对称；3、曲线在处达到最高点；4、曲线与轴围成的面积为1；5、越小，曲线越“廋高”，表示总体的分布越集中；越大
，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散。三、统计1、相关概念：个体、总体、样本、样本容量。2、随机抽样属于不放回抽样。3、随机抽
样方式：（1）、简单随机抽样：某个指定的个体被抽到的概率为(指总体个数，指样本容量，适用于总体数量较少的抽样)。（2）、分层抽样
：某个指定的个体被抽到的概率为=（指总体个数，指样本容量，指第层的个体总数，指第层所抽取的个体数，适用于总体由差异比较明显的几个部
分组成的抽样)，或。（3）系统抽样（等距抽样）：某个指定的个体被抽到的概率为（适用于总体数量较大的抽样）。系统抽样的步骤：1、先将
总体的个个体编号。2、确定分段间隔，对编号进行分段，（是样本容量）。3、在第一段用简单随机抽样确定第一个个体编号。4、按照一定的规
则抽取样本。通常第个个体编号为，依次进行下去，直到获取整个样本。5、用样本的频率分布去估计总体的频率分布。①样本的分布直方图（小矩
形的面积为该组的频率）。②茎叶图6、用样本的众数、中位数、期望（平均数）、方差、标准差分别去估计总体的众数、中位数、期望（平均数）
、方差、标准差。①在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图面积应该相等，由此可以估计中位数的值。②样本的期望（或者样本的期
望的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和）。③样本的方差④样本的标准差.（6）线性回归分析
与独立性检验的基本思想及应用。1、回归分析回归直线方程，回归直线过样本点中心（）。其中；相关系数：2、独立性检验y1y2总计x1a
ba+bx2cdc+d总计a+cb+da+b+c+d假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分另为{x1,x2}和{y1,y2}，
其样本频数22列联表为：若要推断的论述为H1：“X与Y有关系”，可以利用独立性检验来考察两个变量是否有关系，并且能较精确地给出这种
判断的可靠程度。具体的做法是，由表中的数据算出随机变量的值（注：都必须大于5）。，其中为样本容量，K2的值越大，说明“X与Y有关系
”成立的可能性越大，关系越强；反之，越弱。时，X与Y无关；时，X与Y无关；时，X与Y有95%可能性有关；时X与Y有99%可能性有关
.第八板块：不等式一、不等关系与不等式1、不等式的基本性质①（对称性）②（传递性）③（可加性）（同向可加性）（异向可减性）④（可积
性）⑤（同向正数可乘性）（异向正数可除性）⑥（平方法则）⑦（开方法则）⑧（倒数法则）二、几个重要不等式1、,（当且仅当时取号）.
变形公式：2、（基本不等式）,（当且仅当时取到等号）.变形公式：用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），
要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.3、4、绝对值三角不等式5、将分子或分母放大（缩小），如等.6、一元二次不等式的解法
求一元二次不等式解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.
五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.7、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标
在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.8、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：
规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.9、含参数的不等式的解法，解形如且含参数的不等式时，要对参
数进行分类讨论，分类讨论的标准有：⑴讨论与0的大小；⑵讨论与0的大小；⑶讨论两根的大小.10、线性规划问题（常见的目标函数的类型）
：①“截距”型：②“斜率”型：或③“距离”型：或或在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使
问题简单化.第九板块：极坐标与参数方程1、平面直角坐标系中的伸缩变换设点是平面直角坐标系中的任意一点，在变换的作用下，点对应到点，
称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。2、极坐标系的概念在平面内取一个定点，叫做极点；自极点引一条射线叫做极轴；再选定
一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。点的极坐标：设是平面内一点，极点
与点的距离叫做点的极径，记为；以极轴为始边，射线为终边的叫做点的极角，记为。有序数对叫做点的极坐标，记为.注：极坐标与表示同一个
点。极点的坐标为.若,则,规定点与点关于极点对称，即与表示同一点。如果规定，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标表示（即一一对
应的关系）；同时，极坐标表示的点也是唯一确定的3、极坐标与直角坐标的互化设是平面内任意一点，它的直角坐标是，极坐标是，从图中可以
得出：????cos?x??sin?y222???yx)0(tan??xxy???????????????yyxOMHN（直极互化
图）4、简单曲线的极坐标方程⑴圆的极坐标方程①以极点为圆心，为半径的圆的极坐标方程是；（如图1）②以为圆心，为半径的圆的极坐
标方程是；（如图2）③以为圆心，为半径的圆的极坐标方程是；（如图4）⑵直线的极坐标方程①过极点的直线的极坐标方程是和.（如图1
）②过点，且垂直于极轴的直线l的极坐标方程是.化为直角坐标方程为.（如图2）③过点且平行于极轴的直线l的极坐标方程是.化为直角
坐标方程为.（如图4）5、参数方程的概念在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数并且对于的每一个允许值，由
这个方程所确定的点都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数的变数叫做参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直
接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。7、常见曲线的参数方程（1）圆的参数方程为（为参数）；（2）椭圆的参数方程为（为参数）；椭圆的参数方程为（为参数）；（3）双曲线的参数方程（为参数）；双曲线的参数方程（为参数）；（4）抛物线参数方程为参数，）；参数的几何意义：抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.（6）过定点、倾斜角为的直线的参数方程（为参数）.8、参数方程与普通方程之间的互化在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中，必须使的取值范围保持一致.参数方程化为普通方程的关键是消参数，并且要保证等价性。若不可避免地破坏了同解变形，则一定要通过。根据t的取值范围导出的取值范围。第十板块:算法初步一：算法1、算法的三种基本结构：顺序结构、条件结构、循环结构⑴顺序结构示意图：满足条件？语句1语句2是否语句n+1语句n满足条件？语句是否⑵条件结构示意图：①IF-THEN-ELSE格式：②IF-THEN格式：⑶循环结构示意图：满足条件？循环体是否①当型（WHILE型）循环结构示意图：②直到型（UNTIL型）循环结构示意图：满足条件？循环体是否4、基本算法语句：①输入语句的一般格式：INPUT“提示内容”；变量②输出语句的一般格式：PRINT“提示内容”；表达式③赋值语句的一般格式：变量＝表达式（“=”有时也用“←”）.④条件语句的一般格式有两种：IF—THEN—ELSE语句的一般格式为：IF—THEN语句的一般格式为：⑤循环语句的一般格式是两种：当型循环（WHILE）语句的一般格式：直到型循环（UNTIL）语句的一般格式：IF条件THEN语句ENDIF（图3）IF条件THEN语句1ELSE语句2ENDIFDO循环体LOOPUNTIL条件WHILE条件循环体WEND⑹算法案例：①辗转相除法—结果是以相除余数为0而得到利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：ⅰ）：用较大的数m除以较小的数n得到一个商和一个余数；ⅱ）：若＝0，则n为m，n的最大公约数；若≠0，则用除数n除以余数得到一个商和一个余数；ⅲ）：若＝0，则为m，n的最大公约数；若≠0，则用除数除以余数得到一个商和一个余数；……依次计算直至＝0，此时所得到的即为所求的最大公约数。②更相减损术—结果是以减数与差相等而得到利用更相减损术求最大公约数的步骤如下：ⅰ）：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用2约简；若不是，执行第二步。ⅱ）：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。③进位制十进制数化为k进制数—除k取余法；k进制数化为十进制数。更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝或者beikehere备课宝出品1更多精品讲义请关注微信公众号：备课宝或者beikehere |
|
