8-6位移电流电磁场基本方程的积分形式8-6位移电流电磁场基本方程的积分形式一.位移电流恒定磁场的安培环路定理：表
明：恒定磁场的安培环路定理不能直接推广用于变化磁场！右图中没有电流穿过！2.位移电流的电流密度（证明略）：
说明：位移电流的本质是变化的电场，不伴有电荷！！一.位移电流1.假设：变化的电场在其周围产生磁场，就象电流在其周围产生磁场
一样！故变化的电场可等效为一种电流，这种电流称为“位移电流”！（麦克斯韦假设）8-6位移电流电磁场基本方程的积分形式
方向：从b到c！方向：与三角形ObcO的方向相同，即逆时针！又因为：所以：例3:设半径为R的无限长直螺线管
中的均匀磁场以恒定的变化率增加，求：（2）将一导体杆如图放置，求杆上bc段上的感生电动势。（2
）求bc段上的电动势8-2动生电动势和感生电动势注意区分以下概念：电动势2.感应电动势3.动生电动势4.
感生电动势8-2动生电动势和感生电动势8-3自感和互感8-3自感和互感一.自感说明：根据棱次定律，
自感电动势总是阻碍回路自身电流的变化，力图使回路保持原来的状态，所以有时称自感为“电磁惯性”。例1：电键闭合后，图中灯泡A
2需要更长的时间才能达到亮度稳定。1.定义：回路自身电流的变化在回路上引起的电磁感应。一.自感例2：电键断开后，
图中灯泡A还可以发光一段时间。说明：根据棱次定律，自感电动势总是阻碍回路自身电流的变化，力图使回路保持原来的状态，所以有时称
自感为“电磁惯性”。1.定义：回路自身电流的变化在回路上引起的电磁感应。8-3自感和互感2.自感系数：L一.
自感推导：电流I的磁场：电流I的磁场对回路的磁通量：8-3自感和互感2.自感系数：L3.自感电动势：
自感系数的物理意义：回路“电磁惯性”大小的量度！一.自感8-3自感和互感解：（1）设螺绕环通以电流I。管内磁场
与电流成右螺旋。由于螺绕环为细螺绕环，管内磁场可认为是大小处处相等，且易知为8-3自感和互感说明：当只考虑自感而不考虑互
感时，通常选取适当的曲面方向以使磁通量为正，从而自感系数也为正！例3：一细螺绕环截面半径为r，环中心圆半径为R,总匝数为N
。（1）求其自感系数；（2）若在环中充满相对磁导率为的介质，再求其自感系数，并和原来的自感系数比较；（3）分析自感系
数变化的原因。8-3自感和互感例3：一细螺绕环截面半径为r，环中心圆半径为R,总匝数为N。（1）求其自感系数；（
1）8-3自感和互感例3：一细螺绕环截面半径为r，环中心圆半径为R,总匝数为N。（1）求其自感系数；（2）若在环中
充满相对磁导率为的介质，再求其自感系数，并和原来的自感系数比较；（2）易知管内磁场的方向不变，大小变为8-3
自感和互感例3：一细螺绕环截面半径为r，环中心圆半径为R,总匝数为N。（1）求其自感系数；（2）若在环中充满相对磁导率为
的介质，再求其自感系数，并和原来的自感系数比较；（2）原来的自感系数：即自感系数变为原来的倍！
说明：铁磁质的相对磁导率比一般介质的大得多，故常用铁磁质来扩充自感系数！8-3自感和互感例3：一细螺绕环截面半径为r
，环中心圆半径为R,总匝数为N。（3）分析自感系数变化的原因。（3）螺绕环通电。管内建立起磁场。介质磁化，出现磁化电流。
思考：欲使用金属丝绕制的电阻没有自感，应该怎样绕？磁化电流的磁场与传导电流的磁场叠加，管内磁场变为原来的倍！通过螺
绕环的磁链变为原来的倍，故自感系数变为原来的倍！解：自感要求导线是闭合的！试问此时的两直导线如何理解成“
闭合导线”？答：两直导线在上方无穷远处相连接，在下方无穷远处也相连接，从而构成一闭合回路！但弯曲电流由于距所关心区域较远，其磁场
可忽略。此时两无限长直电流的磁场即为整个闭合电流的磁场，两直电流可替代整个闭合电流！为什么不求整个回路而求单位长度（或有限长度）
上的自感？例4：如图，求两无限长直导线构成的闭合回路单位长度上的自感。设。8-3自感和互
感答：那样两无限长直电流模型就不再适用了！由于，可忽略穿过导线自身的磁通量！在两导线之间,
设回路通以电流I。例4：如图，求两无限长直导线构成的闭合回路单位长度上的自感。设。8-3
自感和互感由于，可忽略穿过导线自身的磁通量！在两导线之间,设回路通以电流I。例4：
如图，求两无限长直导线构成的闭合回路单位长度上的自感。设。注意：x的变化范围：二.互感1.
定义：一回路电流的变化在另一回路上引起的电磁感应。说明：有时把两回路之间的这种相互影响叫做“耦合”8-3自感和互感
2.互感系数：M可以证明：所以：二.互感易知：3.互感电动势：8-3自感和互感互感系数的物理意义：两回路
之间“耦合”作用大小的量度！解：若设小线圈载流I，则其磁场对大线圈的磁通量不易求出。故设大线圈载流I，其在小线圈圆心处的磁
感应强度为：例5：如图，两共轴圆形线圈半径分别为R和r，且R>>r，圆心相距为a。求二回路的互感系数。因小线
圈半径较小，其所围小圆板上的磁场可近似看成是均匀的，则大线圈的磁场对小圆板的磁通量：8-3自感和互感说明：当只考虑互感而
不考虑自感时，通常选取适当的曲面方向以使磁通量为正，从而互感系数也为正！例5：如图，两共轴圆形线圈半径分别为R和r，且
R>>r，圆心相距为a。求二回路的互感系数。互感系数：8-3自感和互感例6：如图，无限长直导线和矩形线圈共
面，求二回路间的互感系数。解：互感要求两部分电流都是闭合的！试问此时的“无限长直导线”如何理解成闭合回路？答：设想一闭合电流，
其中一部分为直线，若其它部分距离我们所关心的磁场区域足够远，则其它部分的磁场可以忽略，此时直线电流的磁场即为整个闭合电流的磁场，直
线电流可替代整个闭合电流！！8-3自感和互感若设矩形线圈载流I，则其磁场对直导线的磁通量不易求出。故设直导线载流I
，其磁场为例6：如图，无限长直导线和矩形线圈共面，求二回路间的互感系数。穿过矩形平板的磁通量：8-3自感和互感
例6：如图，无限长直导线和矩形线圈共面，求二回路间的互感系数。穿过矩形平板的磁通量：互感系数：8-3自感和互感例
7：如图，两线圈的自感系数的绝对值分别为L1和L2，它们之间的互感系数的绝对值为M0。证明：（1）当二者顺串联，
即2、3端相连，1、4端接入电路时，二者的等效自感为
；（2）当二者反串联，即2、4端相连，1、3端接入电路时，二者的等效自感为
。8-3自感和互感证明：（1）当如图连接好后，两线圈的磁场同向！例7：如图，两线圈的自感系
数的绝对值分别为L1和L2，它们之间的互感系数的绝对值为M0。证明：（1）当二者顺串联，即2、3端相连，1、4端
接入电路时，二者的等效自感为；8-3自感和互感
说明：当既考虑自感又考虑互感时，通常选取适当的曲面方向以使自感磁通量为正（此时互感磁通量不一定为正），从而自感系数也为正（此时互感
系数不一定为正）！证明：（1）当如图连接好后，两线圈的磁场同向！证毕！例7：如图，两线圈的自感系数的绝对值分别为L1
和L2，它们之间的互感系数的绝对值为M0。证明：（1）当二者顺串联，即2、3端相连，1、4端接入电路时，二者的等效
自感为；8-3自感和互感证明：（2）当如图连接
好后，两线圈的磁场反向！例7：如图，两线圈的自感系数的绝对值分别为L1和L2，它们之间的互感系数的绝对值为M0。
证明：（2）当二者反串联，即2、4端相连，1、3端接入电路时，二者的等效自感为
。证毕！说明：在本题中互感系数为代数量，且不论二线圈如何连接，二线圈的等效自感系数均为：例7
：如图，两线圈的自感系数的绝对值分别为L1和L2，它们之间的互感系数的绝对值为M0。证明：（1）当二者顺串联，即2
、3端相连，1、4端接入电路时，二者的等效自感为；（
2）当二者反串联，即2、4端相连，1、3端接入电路时，二者的等效自感为
。8-3自感和互感思考：自感电动势和互感电动势是动生电动势还是感生电动势？8-38
-48-4RL电路课外阅读！答：都是感生电动势。8-5磁场的能量磁场能量密度8-5磁
场的能量磁场能量密度一.磁场具有能量（磁能分布于磁场之中）例如：电键断开后，图中灯泡A还可以发光一段时间，其能量可
认为来自线圈的储能。二.线圈的能量（证明略）8-5磁场的能量磁场能量密度对比电容器的能量：1.定义：磁场中
单位空间内所蕴含的能量。三.能量密度2.计算公式（证明略）：对比电场能量密度的计算公式：3.利用能量密度计算某空间
区域内的能量8-5磁场的能量磁场能量密度例1:一无限长圆截面直载流线，总电流为I，均匀分布于截面上。证明：
单位长度的导线内所贮藏的磁能与截面半径无关。证明：如图建立柱坐标系线内磁场：8-5磁场的能量磁场能量密度例1
:一无限长圆截面直载流线，总电流为I，均匀分布于截面上。证明：单位长度的导线内所贮藏的磁能与截面半径无关。证毕！8-5
磁场的能量磁场能量密度8-1电磁感应定律8-1电磁感应定律一.电磁感应定律说明：1）穿过以
闭合回路为边界的任一曲面的磁通量都相等，不论磁场恒定还是变化（证明略）！：任一闭合回路上的电动势定律：：穿过以闭合回路为边界
的任一曲面的磁通量。说明：3）：赝矢，其方向和回路曲线的方向相同；一.电磁感应定律8-1电磁感应定律说明：
2）：代数量。说明：4）：已包含楞次定律在内（证明略）。例如：图中磁场增大时，由楞次定律可知感应电动势为顺时针方向
。8-1电磁感应定律即感应电动势的方向为顺时针（因已选闭曲线方向为逆时针），与根据楞次定律判断的结果相同！如图选取闭曲
线的方向和平板的方向，则磁通量为正，且磁场增大时，磁通量也在增大，说明：5）：当线圈为多匝线圈时，线圈可看成由各匝线圈串联而成，
其上电动势为各匝线圈上电动势之代数和：一.电磁感应定律：磁链8-1电磁感应定律例1：如图，长为L的
导体杆以速度在导轨上滑行，整个装置处于均匀磁场之中，磁场方向如图所示。求杆和导轨构成的回路上的感应电动势。解
：设矩形回路的方向为顺时针，则矩形板的方向垂直屏幕向里。8-1电磁感应定律感应电动势方向：逆时针，因已选回路方向为顺时针
。8-2动生电动势和感生电动势8-2动生电动势和感生电动势感应电动势按其产生原因可分为：1.动生电动势：磁场
不变，导体运动。2.感生电动势：磁场变化，导体静止。一.动生电动势现象中的非静电力非静电力：非静电场：二.动生电动
势的计算非静电场：8-2动生电动势和感生电动势1.一般情形下（磁场不均匀，导线非直线，导线运动非平动，且导线各部分运动
方向和磁场方向不垂直）：：所在处的磁场：的速度二.动生电动势的计算1.一般情形下（磁场不均匀，导线非直线，导
线运动非平动，且导线各部分运动方向和磁场方向不垂直）：2.电磁感应定律：8-2动生电动势和感生电动势例1:如图，均
匀磁场水平向右，长为a的金属细杆垂直于屏幕，并整体以速度运动，速度与磁场的夹角为。求细杆上的动生电动
势。方向：与细杆的方向相同，即为垂直屏幕向里。解：取细杆方向垂直屏幕向里。8-2动生电动势和感生电动势此即中学学过的
动生电动势公式！本例表明中学学过的动生电动势公式其实是一特例，只适用于磁场均匀、导线为直线且导线作平动的情形！！解：方法一，选杆
的方向为坐标轴的正向。例2:如图，长为a的导体杆以角速度绕过O点且与屏幕垂直的轴转动，均匀磁场垂直屏幕向里
。求杆上的动生电动势。8-2动生电动势和感生电动势动生电动势方向：坐标轴负向，因已选杆的方向为坐标轴正向。解：方法二，
设想存在闭合回路OEDCO，设其方向为顺时针，则其包围的扇形方向垂直屏幕向里。例2:如图，长为a的导体杆以角速度
绕过O点且与屏幕垂直的轴转动，均匀磁场垂直屏幕向里。求杆上的动生电动势。8-2动生电动势和感生电动势电动势方向
：逆时针，因已选闭合回路为顺时针。例2:如图，长为a的导体杆以角速度绕过O点且与屏幕垂直的轴转动，均匀磁场
垂直屏幕向里。求杆上的动生电动势。8-2动生电动势和感生电动势又因为OC段，CDE段静止，其上没有电动势，故回路
上的电动势就是导体杆上的电动势，且杆上电动势的方向为从E到O。课外作业：洛伦兹力是动生电动势的非静电力，驱动正、负电荷分
别到电源的正、负两极，似乎洛伦兹力作功了，试就一种特例（磁场均匀、导线为直线、导线作平动且导线运动方向和磁场方向垂直）说明在动生电
动势现象中“洛伦兹力其实仍不作功”，然后再把这一说明推广到一般情形！8-2动生电动势和感生电动势三.感生电场1.
定义：变化的磁场在其周围激发的有旋电场。（麦克斯韦假设）2.性质：8-2动生电动势和感生电动势2.性质：三.
感生电场说明：第2个性质实为电磁感应定律的推论！因：8-2动生电动势和感生电动势3.两种电场（依产生原因分）：
1）电荷产生的电场：2）变化磁场产生的电场：总场：8-2动生电动势和感生电动势3.两种电场（依产生原因分）：证
明其中的第1式：证毕！8-2动生电动势和感生电动势总场：三.感生电场四.感生电动势的计算1.2.
电磁感应定律：8-2动生电动势和感生电动势解：（1）无限长螺线管内部为均匀磁场，外部磁场为零。显然感生电场具有轴对称性。
例3:设半径为R的无限长直螺线管中的均匀磁场以恒定的变化率增加，求：（1）空间的感生电场；
（2）将一导体杆如图放置，求杆上ab段和bc段上的感生电动势。如图，设积分闭曲线为某一半径为r的圆周，方向为逆时针，
则其包围的圆板的方向垂直屏幕向外。另设感生电场的方向为逆时针。8-2动生电动势和感生电动势例3:设半径为R的无限
长直螺线管中的均匀磁场以恒定的变化率增加，求：（1）空间的感生电场；设积分闭曲线为某一半径为r
的圆周，方向为逆时针，则其包围的圆板的方向垂直屏幕向外。另设感生电场的方向为逆时针。
8-2动生电动势和感生电动势当
时：8-2动生电动势和感生电动势例3:设半径为R的无限长直螺线管中的均匀磁场以恒定
的变化率增加，求：（1）空间的感生电场；当时：8-2动生电
动势和感生电动势例3:设半径为R的无限长直螺线管中的均匀磁场以恒定的变化率增加，求：（1）空
间的感生电场；例3:设半径为R的无限长直螺线管中的均匀磁场以恒定的变化率增加，求：（1）空间
的感生电场；场值为正，表明感生电场的实际方向为逆时针（如图所示），因已选感生电场的虚拟方向为逆时针。8-2
动生电动势和感生电动势例3:设半径为R的无限长直螺线管中的均匀磁场以恒定的变化率增加，求：
（2）将一导体杆如图放置，求杆上ab段上的感生电动势。（2）求ab段上的电动势，用以下公式：选闭曲线OabO的方向为
逆时针，则其包围的等边三角形板的方向垂直屏幕向外。8-2动生电动势和感生电动势例3:设半径为R的无限长直螺线管中的
均匀磁场以恒定的变化率增加，求：（2）将一导体杆如图放置，求杆上ab段上的感生电动势。8-2
动生电动势和感生电动势例3:设半径为R的无限长直螺线管中的均匀磁场以恒定的变化率增加，求：（2）将一导体杆如图放置，求杆上ab段上的感生电动势。方向：与等边三角形OabO的方向相同，即逆时针！又因为：所以：方向：从a到b！同理：8-2动生电动势和感生电动势例3:设半径为R的无限长直螺线管中的均匀磁场以恒定的变化率增加，求：（2）将一导体杆如图放置，求杆上bc段上的感生电动势。选闭曲线ObcO的方向为逆时针，则其包围的三角形板的方向垂直屏幕向外。8-2动生电动势和感生电动势（2）求bc段上的电动势，用以下公式：例3:设半径为R的无限长直螺线管中的均匀磁场以恒定的变化率增加，求：（2）将一导体杆如图放置，求杆上bc段上的感生电动势。8-2动生电动势和感生电动势（2）求bc段上的电动势例3:设半径为R的无限长直螺线管中的均匀磁场以恒定的变化率增加，求：（2）将一导体杆如图放置，求杆上bc段上的感生电动势。（2）求bc段上的电动势8-2动生电动势和感生电动势 |
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