第3章交流电路3.1正弦交流电的基本概念3.2正弦量的相量表示法3.3单一参数的交流电路3.4简单的正弦交流电路3.5复杂正弦交流电路的分
析与计算3.6正弦交流电路的功率3.7正弦交流电路中的谐振3.8三相交流电路本章要求1.理解正弦量的特征及其各种表示方法；
2.理解电路基本定律的相量形式及阻抗；熟练掌握计算正弦交流电路的相量分析法，会画相量图。3.掌握有功功率和功率因数的计
算,了解瞬时功率、无功功率和视在功率的概念；4.了解正弦交流电路的频率特性，串、并联谐振的条件及特征；iu++?uuRR?
____3.1正弦交流电的基本概念正弦量：随时间按正弦规律做周期变化的量。+_正弦交流电的优越性：便于传输；易于变换便于
运算；有利于电器设备的运行；.....正半周负半周iIm0?初相角：决定正弦量起始位置角频率：决定正弦量变化快
慢幅值：决定正弦量的大小设正弦交流电流：幅值、角频率、初相角成为正弦量的三要素。（Hz）频率f：（rad/s）i角频率：OT
电网频率：我国50Hz，美国、日本60Hz高频炉频率：200~300kHz中频炉频率：500
~8000Hz无线通信频率：30kHz~30GMHz3.1.1周期、频率与角频率周期T：变化一周所需的时间
（s）幅值必须大写,下标加m。均方根值则有有效值必须大写同理：3.1.2幅值与有效值幅值：Im、Um、Em有效值：与交
流热效应相等的直流定义为交流电的有效值。交流直流iO?给出了观察正弦波的起点或参考点。?:注意：交流电压、电流表测量数据为有
效值交流设备名牌标注的电压、电流均为有效值3.1.3初相位与相位差相位：反映正弦量变化的进程。初相位：表示正弦量在t=0时的
相位角。如：uiui若0ωt?相位差?：两同频率的正弦量之间的初相位之差。电压超前电流?电流滞后电压?电流超前电压?电流
超前电压uiuiuuiiOOωtωt?90°电压与电流反相电压与电流同相uuiiuuiiOωtωtOO?t注意:①两同
频率的正弦量之间的相位差为常数，与计时起点的选择无关。②不同频率的正弦量比较无意义。uO必须小写相量重点3.2正弦量的相量
表示法１.正弦量的表示方法波形图瞬时值表达式设正弦量:yωO0x若:有向线段长度=有向线段与横轴夹角=初相位有向线段
以速度按逆时针方向旋转ω2.正弦量用旋转有向线段表示u0则:该旋转有向线段每一瞬时在纵轴上的投影即表示相应时刻正弦量的瞬时值
。可得:+j(1)代数式bAr式中:=a+jbA+1a0由欧拉公式:3.正弦量的相量表示实质：用复数表示正弦量设A为复数
，其表示形式有:复数的模复数的辐角(2)三角式(3)指数式(4)极坐标式=b1+jb2=a1+ja2BA复数的
四则运算=b1+jb2=a1+ja2BA复数的四则运算复数的加减要用复数的代数形式。复数的乘除用代数形式比较麻烦，用指数形
式或极坐标形式就比较简单。例1:已知A1=10+j5,A2=3+j4.求A1·A2和。解：方法一例1:
已知A1=10+j5,A2=3+j4.求A1·A2和。解：方法二+j+jA1+A2A1+A2A2A
2A1A1OO+1+1复数的加减可以在复平面上用平行四边形来进行。前面例题的相量图见下面左图，右图是另一种画法。右图的画法更为简捷
，当有多个相量相加减时会显得很方便。或：电压的幅值相量设正弦量:相量的模=正弦量的最大值相量辐角=正弦量的初相角相量:表示正弦量
的复数称相量相量表示:相量的模=正弦量的有效值相量辐角=正弦量的初相角电压的有效值相量相量式:=注意:①相量只是表示正弦量，而不
等于正弦量。？②只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不能用相量表示。③相量的两种表示形式相量图:把相量表示在复平面的图形如：已
知则或④只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。可不画坐标轴，参考相量画在水平方向。⑤相量的书写方式?模用最大值表示，
则用符号：?实际应用中，模多采用有效值，符号：+j设相量相量乘以，将逆时针旋转90°，得到+1o相
量乘以，将顺时针旋转90°，得到⑥“j”的数学意义和物理意义旋转90°因子：3.已知：？？？4.
已知：？2.已知：?？？正误判断1.已知：相量?j45?瞬时值有效值负号最大值+j+1超前落后？落后于例1:将u1、u2用
相量表示解:(1)相量式(2)相量图例2:已知求：解:有效值I=16.8AA++–N-N–+–B–+C图示电路是
三相四线制电源，已知三个电源的电压分别为：例3:试求uAB，并画出相量图。解:(1)用相量法计算：由KVL定律可知(2
)相量图iì1212iSi1i2ìSì1ì2(a)(b)例4:电路如图(a)所示,已知试求电流i(t),画出相量图。
解：将电流的瞬时值形式写成相量形式根据相量形式画出相量形式的电路图，见图(b)12ììSì1ì2(b)列出图(b)中相量形式的
KCL方程解得由相量形式写成瞬时值表达式画出相量图，见图（c)或图(d)。+j+jì1ì2ì1ììO+1O+1(d)ìì212
(c)ìSì1ì2(b)画出相量图，见图(c)或图(d)。瞬时值形式和相量形式是同一个电流的两种表达式，但二者不是相等的关系ù
112ù2ùSù33图(a)根据瞬时值写出相量，或者根据相量写出瞬时值都是比较简单的。所以，作为已知条件可以直接给出相量形式，最
后答案给出相量形式也就可以了。例4:电路如图(a)所示，试求电压源电压相量ùS，画出相量图。已知解：对于图(a)中的回路
，沿顺时针方向，列出的相量形式KVL方程+jùSù2ù1Où3+1其相量图如图(a)和图(b)所示。+jù1+ù2ù2ùSO
ù3ù1+1(b)(a)解得+根据欧姆定律:uR设_相量图相位差：3.3单一参数的交流电路3.3.1.电阻元件的交
流电路1.电压与电流的关系①频率相同相量式：②大小关系：③相位关系：u、i相位相同iuiuωtOpωtO结论:（耗能元件
）,且随时间变化。2.功率关系(1)瞬时功率p：瞬时电压与瞬时电流的乘积小写p+uR_ppωtOP(2)平均功率(有功功率)P
瞬时功率在一个周期内的平均值大写单位:瓦（W）注意：通常铭牌数据或测量的功率均指有功功率。解法一：对于图3-15中电阻电路，由
P=UI得ì+ùR_电压与电流同相位，故由ù=Rì得例1:如图所示电路，ù=220∠00V,P=200W,求
电流ì和电阻R。解法二：对于图3-15中电阻电路，ì+ùR_由ù=Rì得例1:如图所示电路，ù=220∠0
0V,P=200W,求电流ì和电阻R。+-eLL设：+-uiuiωtO相位差3.3.2电感元件的交流电路1.电压
与电流的关系基本关系式：①频率相同②U=I?L③电压超前电流90?有效值:或定义：则:f=0,XL=0，电感
L视为短路直流：XL交流：f感抗(Ω)?电感L具有通直阻交的作用O根据：超前则：相量图感抗XL是频率的函数可得相量式：电感
电路复数形式的欧姆定律2.功率关系(1)瞬时功率(2)平均功率L是非耗能元件分析：瞬时功率：uioiiii--++uu
uu--++pp<0p<0++op>0p>0结论：纯电感不消耗能量，只和电源进行能量交换（能量的吞吐)。可逆的能量转换过
程?电感L是储能元件。储能放能储能放能瞬时功率：例1:把一个0.1H的电感接到f=50Hz,U=10V的正弦电源上，求
I，如保持U不变，而电源f=5000Hz,这时I为多少？(3)无功功率Q用以衡量电感电路中双向能量交换的规模。用瞬时功
率达到的最大值表征，即单位：var解：(1)当f=50Hz时（2）当f=5000Hz时所以电感元件具有通低频阻高
频的特性一只L=20mH的电感线圈，通以的电流。求：(1)感抗XL;(2)线圈两端的电压u;(3)有功功率和无功功
率。例2：解：i+u基本关系式：C_设：则：uiui3.3.3电容元件的交流电路1.电流与电压的关系电流与电压的变化率成正比
。①频率相同②I=U?C③电流超前电压90?相位差或直流：XC，电容C视为开路交流：fXC有效值定义：容抗（Ω）则:所以
电容C具有隔直通交的作用由O超前则：相量图容抗XC是频率的函数可得相量式电容电路中复数形式的欧姆定律i+uC_由2.功率关系(1
)瞬时功率(2)平均功率ＰC是非耗能元件iu,iuoi+iiiu--+-uuu-++pp<0p<0++op>0p>
0瞬时功率：结论：纯电容不消耗能量，只和电源进行能量交换（能量的吞吐)。所以电容C是储能元件。充电放电充电放电为了同电感电路
的无功功率相比较，这里也设则：(3)无功功率Q同理，无功功率等于瞬时功率达到的最大值。单位：var(2)当f=106H
z时解：(1)当f=50Hz时例：把一个电容C=318.5×10－6F,接到f=50Hz,ù=220∠00
V的正弦电源上，试求(1)求电容电流ì;(2)如保持ù不变，而电源f=106Hz,这时ì为多少？在电阻电路
中：在电感电路中：在电容电路中：【练习】指出下列各式中哪些是对的，哪些是错的？××√×××√√√√√×√√×相量图相量式基本关系阻
抗参数RLC单一参数电路中的基本关系小结单一参数正弦交流电路的分析计算小结阻抗电压、电流关系功率基本关系电路参数电路图(参考方
向)瞬时值相量图相量式有效值有功功率无功功率设i+Ru则0-u、i同相设i+L0则u-u领先i90°设i+C则0u-u落
后i90°++R_+L设：_+C__讨论交流电路、与参数R、L、C、?间的关系如何？3.4简单的正弦交流电路直流电路两电
阻串联时RLC串联交流电路中?U=IR+IXL+IXC++R_+L_设：+C则__为同频率正弦量3.4.1
RLC串联的交流电路1.电流、电压的关系(1)瞬时值表达式根据KVL可得：++（参考相量）R设_则+jXL_+-jXC__(
2)相量法1)相量式总电压与总电流的相量关系式令则根据阻抗复数形式的欧姆定律Z的模∣Z∣表示u、i的大小关系，辐角（阻抗角
）?为u、i的相位差。注意Z是一个复数，不是相量，上面不能加点。阻抗模：阻抗角：当XL>XC时，?>0，
u超前i呈感性当XLi同相呈电阻性?由电路参数决定。电路参数与电路性质的关系：++R_+jXL_+-jXC__2)相量图参考相量XLXL>XC(?>0感性)(?<0容性)XL=XC电压三角形(?=0阻性)由阻抗三角形：2)相量图由电
压三角形可得:电压三角形阻抗三角形设：++R_+L_+C__(1)瞬时功率2.功率关系耗能元件上的瞬时功率储能元件上的瞬时功率
在每一瞬间,电源提供的功率一部分被耗能元件消耗掉,一部分与储能元件进行能量交换。cos?称为功率因数，用来衡量对电源的利用程度
。(2)平均功率P（有功功率）单位:Wu与i的相位差总电流总电压电阻消耗的电能电感和电容与电源之间的能量互换根据电
压三角形可得：(3)无功功率Q根据电压三角形可得：单位：varu与i的相位差总电压总电流?P、Q、S都不是正弦量，不能
用相量表示。(4)视在功率S电路中总电压与总电流有效值的乘积。单位：V·A注：SN＝UNIN称为发电机、变压器等
供电设备的容量，可用来衡量发电机、变压器可能提供的最大有功功率。SQPR阻抗三角形、电压三角形、功率三角形将电压三角形的有效值同除
I得到阻抗三角形将电压三角形的有效值同乘I得到功率三角形例1：在RLC串联交流电路中，已知:求:(1)电流的有效值I与瞬时值
i;(2)各部分电压的有效值与瞬时值；(3)作相量图；(4)有功功率P、无功功率Q。解：方法1：(1)(2)而是或方法1：
通过计算可看出：(3)相量图(4)(4)呈容性或解：方法2：相量计算?设？??？?？？？？?？？？？？？？？正误判断：在RLC串联
电路中，++-+--通式:一般注意：+-3.4.2阻抗的串联与并联1.阻抗的串联分压公式：有两个阻抗例1:它们串联接在的
电源;++和并作相量图。求:-+--解：同理：++-+--注意：或利用分压公式：相量图++30V6?3?6VV2V1V1V28?
40V4?8V__(a)(b)??U=14V两个阻抗串联时,在什么情况下:U=70V成立。思考下列各图中给定的电路电压、阻抗是否
正确？+-通式:+注意：对于阻抗模一般-2.阻抗并联分流公式：有两个阻抗它们并联接在的电源上;+和并作相量图。求:-例2:解:
同理：注意：或相量图4A4A4A4A4?4?4?A2A1A2A14?(c)(d)??I=8A两个阻抗并联时,在什么情况下:
I=8A成立。思考下列各图中给定的电路电流、阻抗是否正确？+-3.导纳复阻抗的倒数称为复导纳，简称导纳。当并联支路较多时，
应用导纳计算比用阻抗计算要简单。可见复导纳的模与复阻抗的模互为倒数，复导纳的辐角是复阻抗辐角的负数。复导纳并联时ììRìLìC
ùRCL例：图中R=10Ω,XL=15Ω，XC=8Ω,电路端电压ù=120∠00V,求（1）电流ìR，ìL，ì
C和ì；（2）画出相量图；（3）电路的等效阻抗和等效导纳。解：电路阻抗ìììCìRìRìLìCùùìLRCL（2）画出相量
图。画相量图时可以只画出参考相量，不画出坐标轴。以电压作为参考相量，见右图。（3）电路的等效阻抗和等效导纳。ìììCìRìRì
LìCùùìLRCL若正弦量用相量表示，电路参数用复数阻抗（)表示，则直流电路中介绍的基本定律、定理及各种分析方法
在正弦交流电路中都能使用。电阻电路纯电感电路纯电容电路一般电路3.5复杂交流电路的分析和计算相量（复数）形式的欧姆定律相量
形式的基尔霍夫定律一般正弦交流电路的解题步骤1、根据原电路图画出相量模型图(电路结构不变)2、根据相量模型列出相量方程式或画相量图
3、用相量法或相量图求解4、将结果变换成要求的形式+-已知:例1：求:分析题目：已知电源电压和电路参数，电路结构为串并联。求
电流的瞬时值表达式。一般用相量式计算:+-解：用相量式计算+-同理：已知Zab为感性负载。求:-jXCa+bZabR–c例2
：解：图示电路中，已知例3:++--同直流电路一样，支路电流法、结点电压法、叠加原理、戴维宁等方法也适用于计算复杂交流电路。所
不同的是电压和电流用相量表示，电阻、电感、和电容及组成的电路用阻抗或导纳来表示，采用相量法计算。试用支路电流法求电流I3。++-
-解之，得：解：应用基尔霍夫定律列出相量表示方程代入已知数据，可得：解:(1)当单独作用时=同理（2）当单独作用时+-+++
--+-应用叠加原理计算上例。例4:解：(1)断开Z3支路，求开路电压(2)求等效内阻抗+++---++--(3)例5:应用戴维宁
计算上例。ì1ì3ì2L2L1Rù1ù2例6图中R=10Ω,X1=12.5Ω，X2=50Ω,电压源ù1=ù2
=220∠00V,求各支路电流。解：用支路电流法。列出一个KCL方程和二个KVL方程。代入数据并整理，得解得3.6正弦交流
电路的功率有功功率P=UIcos?cos?称为功率因数有功功率等于电路中各电阻有功功率之和，或各支路有功功率之和。单位
W或无功功率Q=UIsin?无功功率等于电路中各电感、电容无功功率之和，或各支路无功功率之和。单位Var或SQφP视
在功率S=UI电压有效值与电流有效值的乘积称为视在功率，单位伏安(V·A)可以看出，平均功率，视在功率和无功功率三者之间三
者之间构成一个直角三角形，称为功率三角形。ìì1ì2+ù－R1R2jXL－jXC可以证明，在电路中平均功率是守恒的，无功功率也
是守恒的，而视在功率是不守恒的。这由下面的例题可以看出来。例：图中电路，U=240V,R1=28Ω,XL=96Ω
，R2=48Ω,XC=64Ω。求个支路及总的平均功率，无功功率和视在功率。解：各支路阻抗为ìì1ì2+ù－R1R2
jXL－jXC各支路电流及总电流对于支路1ìì1ì2+ù－R1R2jXL－jXC对于支路1对于支路2ìì1ì2+ù－R1
R2jXL－jXC电路总功率讨论：可以看出串联谐振：L与C串联时u、i同相并联谐振：L与C并联时u、i同相3.
7正弦交流电路中的谐振谐振的概念：在同时含有L和C的交流电路中，如果总电压和总电流同相，称电路处于谐振状态。此时电路与电
源之间不再有能量的双向交换，电路呈电阻性。研究谐振的目的，就是一方面在生产上充分利用谐振的特点，(如在无线电工程、电子测量技术等
许多电路中应用)。另一方面又要预防它所产生的危害。++R_+L或：_+C__1.串联谐振发生在RLC串联电路中的谐振。若电路处于
谐振状态，阻抗应为纯电阻，必须满足(1)谐振条件：谐振时的角频率阻抗最小a)或：(2)谐振频率可得谐振频率为：或电路发生
谐振的方法：1)电源频率f一定，调参数L、C使fo=f；2)电路参数LC一定，调电源频率f，使f=fo(3)
串联谐振特怔c)同相电容、电感电压：电路呈电阻性，能量全部被电阻消耗，和相互补偿。即电源与电路之间不发生能量
互换。b)电流最大当电源电压一定时：d)电压关系电阻电压：UR=IoR=U大小相等、相位相差180?令：当
时：由于可能会击穿线圈或电容的绝缘，因此在电力系统中一般应避免发生串联谐振，但
在无线电工程上，又可利用这一特点达到选择信号的作用。有：品质因数，表征串联谐振电路的谐振质量UC、UL将大于电源电压U谐振时:
注意与相互抵消，但其本身不为零，而是电源电压的Q倍。如Q=100,U=220V,则在谐振时所以串联谐振又称为电压谐振。相量图：所以
电力系统应避免发生串联谐振。CìRùRùLùLùC例:图中电路，R1=10Ω,L=0.26×10－3H，C=238×1
0－12F。求(1)谐振频率f0；（2）该电路的品质因数Q；（3）若输入f=640×103Hz、U=10×10－3
V的信号电源，求电路电流I和电感电压UL的有效值。(4)若输入f=960×103Hz、U=10×10－3V的信号电源，求电路电流
I和电感电压UL的有效值。解：谐振频率为CìRùRùLùLùC（2）该电路的品质因数Q；（3）信号源频率f=640×103H
z等于电路的谐振频率，因此（4)f=960×103Hz时CìRùRùLùLùC（4)f=960×103Hz时ììRìLìCù
CRL2.并联谐振发生在RLC并联电路中的谐振称为并联谐振。若电路处于谐振状态，电流与电压同相位，阻抗应为纯电阻，必须满足(1)
谐振条件：(2)谐振频率并联谐振电路主要的特点是（1）电流与电压同相位，电路呈现电阻性。（2）并联阻抗最大，电流最小，由
于Z=R，故电流为（3）电感电流与电容电流大小相等相位相反，之和为零补偿，电路总电流等于电阻电流。（4）谐振时电感电流与总电
流之比称为品质因数，用Q表示（前面用同样的符号Q表示了无功功率）ììL+ù－ìCLCR例1：图为并联谐振电路，试计算其谐振频率。
解：图中电流并联谐振时电流与电压同相位，上式中虚部等于零，即ììL+ù－ìCLCR并联谐振时电流与电压同相位，上式中虚部等于
零，即解出谐振角频率谐振频率定子U1V2W2S转子+_++NW1V1+U23.8三相交流电路1.三相电压的产生（1）电磁转矩的
产生用右手定则判断转子绕组中感应电流的方向（磁生电）用左手定则判断转子绕组受到的电磁力的方向（电磁力）电磁力→电磁转矩T电磁转矩
T与旋转磁场转向同方向。三相交流电机示意图工作原理：动磁生电铁心（作为导磁路经）匝数相同三相绕组电机结构空间排列互差120
?定子转子:转子切割磁感线三相电压瞬时表示式相量表示三相电压瞬时表示式u.U3u1u2u3120°.U1120°120°24
0°360°O?2?120°.U2相量表示波形图相量图最大值相等频率相同相位互差120°称为对称三相电动势三个正弦交流电动势满足
以下特征对称三相电动势的瞬时值之和为0三相交流电到达正最大值的顺序称为相序。供电系统三相交流电的相序为L1L2L3U1L
1+–+–NN––V1W1–+L2+–++L33.8.1三相电源(1)联接方式端线(相线、火线)中性线(零线、地线)在低
压系统,中性点通常接地，所以也称地线。中性点相电压：端线与中性线间（发电机每相绕组）的电压Up线电压：端线与端线间的电压UlL
1–++–N–––+L2+++–L3(2)线电压与相电压的关系相量图30°根据KVL定律由相量图可得同理三相负载：需三相电源同时
供电三相电动机等单相负载：只需一相电源供电照明负载、家用电器负载对称三相负载：Z1=Z2=Z3如三相电动机3.8.2
三相交流电路的负载1.三相负载分类三相负载不对称三相负载：不满足Z1=Z2=Z3如由单相负载组成的三相负载三相负
载的联接三相负载也有Y和?两种接法，至于采用哪种方法，要根据负载的额定电压和电源电压确定。Y:三相三线制Y0：三相四
线制+Z1Z2Z3–NN''––++负载星形联结的三相电路(1)联结形式结论：负载Y联结时，线电流等于相电流。N电源中性点N
′负载中性点相电流：流过每相负载的电流线电流：流过端线的电流Y联结时：+Z3Z1Z2–NN''––++(2)负载Y联结三相电路的
计算1)负载端的线电压＝电源线电压2)负载的相电压＝电源相电压3)线电流＝相电流4)中线电流负载Y联结带中性线时,可将各相分
别看作单相电路计算例1：一星形联结的三相电路，电源电压对称。设电源线电压
。负载为电灯组，若R1=R2=R3=5?，求线电流及中性线电流IN;
若R1=5?,R2=10?,R3=20?,求线电流及中性线电流IN。L1+R1–N?N–R2R3+L3L2–+L1+解：已知：R1–N?N(1)线电流–R2R3三相对称+L3L2–+中性线电流(2)三相负载不对称（R1=5?、R2=10?、R3=20?）分别计算各线电流中性线电流i1L1–+Z23Z12Z31i2–L2+i3+–L3相电流:流过每相负载的电流、、线电流:流过端线的电流负载三角形联结的三相电路1.联结形式i1L1–+Z23Z12Z31i2–L2+i3+–L3相电流：线电流：2.分析计算(1)负载相电压=电源线电压即:UP=Ul一般电源线电压对称，因此不论负载是否对称，负载相电压始终对称,即U12=U23=U31=Ul=UP(2)相电流线电流不等于相电流3131122330°122323为此线电流也对称，即。(3)线电流负载对称时,相电流对称，即相量图由相量图可求得线电流比相应的相电流滞后30?。应作?联结负载的额定电压=电源线电压应作Y联结三相电动机绕组可以联结成星形，也可以联结成三角形，而照明负载一般都联结成星形(具有中性线)。三相负载的联接原则应使加于每相负载上的电压等于其额定电压负载的额定电压=电源的线电压三相功率无论负载为Y或△联结，每相有功功率都应为Pp=UpIpcos?p相电压与相电流的相位差当负载对称时：P=3UpIpcos?p对称负载Y联结时：对称负载?联结时：所以同理 |
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