中考数学高频考点之图形运动中的计算说理问题突破与提升策略一.计算说理题型的共性:计算说理是通过计算得到结论;说理计算侧重说理,说理之后进行
代入求值.压轴题中的代数计算题,主要是函数类题.二.常见计算说理题型:1.函数计算题必考的是待定系数法求函数的解析式,按照设、列、
解、验、答五步完成,一般来说,解析式中待定几个字母,就要代入几个点的坐标.2.代数计算和说理较多的一类题目,是确定直线与抛物线的交
点个数.联立直线和抛物线的解析式组成方程组,消去y,得到关于x的一元二次方程,然后根据Δ确定交点的个数.3.还有一类计算题,就是从
特殊到一般,通过计算寻找规律.三.例题解析:1.如图,已知直线y=x+1与x轴交于点A,抛物线y=x2-2x-3与直线y=x+1交
于A、B两点,求点B的坐标的代数方法,就是联立方程组,方程组的一个解是点A的坐标,另一个解计算点的坐标.几何法是这样的:设直线
AB与y轴交于C,那么tan∠CAO=1.作BE⊥x轴于E,那么=1.设B(x,x2-2x-3),于是?????????????
?+??=1.请注意,这个分式的分子因式分解后,=1.这个分式能不能约分,为什么?因为x=-1的几何意义是点A,由于点B与点A不重
合,所以x≠-1,因此约分以后就是x-3=1.这样的题目一般都是这样,已知一个交点求另一个交点,经过约分,直接化为一元一次方程,很
简便.四.真题反馈:1.在平面直角坐标系中,点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2,y2),且x1≠x2,y1≠y2
,若P、Q为某个矩形的两个顶点,且该矩形的边均与某条坐标轴垂直,则称该矩形为点P、Q的“相关矩形”.图为点P、Q的“相关矩形
”的示意图.(1)已知点A的坐标为(1,0),①若点B的坐标为(3,1),求点A、B的“相关矩形”面积;②点C在直线x
=3上,若点A、C的“相关矩形”为正方形,求直线AC的表达式;(2)☉O的半径为??,点M的坐标为(m,3),若在☉O上存在
一点N,使得点M、N的“相关矩形”为正方形,求m的取值范围.解析:1.“相关矩形”的形状、大小是由对角线的两个端点确定的.2.
“相关矩形”是正方形,那么对角线与坐标轴的夹角为45°.2.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+与y轴相交于点A,点B与点
O关于点A对称.(1)填空:点B的坐标是;?(2)过点B的直线y=kx+b(其中k<0)与x轴相交于点C,过点C作直线l平
行于y轴,P是直线l上一点,且PB=PC.求线段PB的长(用含k的式子表示),并判断点P是否在抛物线上,说明理由;(3)在(2)
的条件下,若点C关于直线BP的对称点C''恰好落在该抛物线的对称轴上,求此时点P的坐标.解析:1.用含k的式子表示点C的坐标,再设
点P的纵坐标为m,根据PB=PC列关于k、m的方程,得到m关于k的关系式.2.第(3)题:先说理四边形C''BCP是菱形.3.已
知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过原点,顶点为A(h,k)(h≠0).(1)当h=1,k=2时,求抛物线的解析式;(
2)若抛物线y=tx2(t≠0)也经过A点,求a与t之间的关系式;(3)当点A在抛物线y=x2-x上,且-2≤h<1时,求a的
取值范围.解析:1.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点A(h,k),可以写出顶点式.2.已知抛物线y=ax2+b
x+c(a≠0)经过原点,可以用h、k表示a.3.将点A(h,k)代入y=tx2,结合y=a(x-h)2+k,消去k,就得到
a、t的关系式.4.第(3)题:先用h表示a,再讨论a随h变化的取值范围.4.抛物线L:y=-(x-t)(x-t+4)(常数
t>0)与x轴从左到右的交点为B、A,过线段OA的中点M作MP⊥x轴,交双曲线y=????(k>0,x>0)于点P,且OA·M
P=12.(1)求k的值;(2)当t=1时,求AB的长,并求直线MP与L对称轴之间的距离;(3)把L在直线MP左侧部分的图象
(含与直线MP的交点)记为G,用t表示图象G最高点的坐标;(4)设L与双曲线有个交点的横坐标为x0,且满足4≤x0≤6,通过L位
置随t变化的过程,直接写出t的取值范围.解析:1.由抛物线的交点式可以写出A、B两点的坐标,AB=4为定值.2.第(3)题:
按照对称轴与直线MP的位置关系,分两种情况讨论最高点.3.第(4)题:分三步,先根据双曲线的解析式求x=4和x=6时的两个交点坐
标,再代入到抛物线的解析式解关于t的方程,最后讨论t的范围.5.抛物线的解析式为y=ax2,过点B1(1,0)作x轴的垂线,交抛
物线于点A1(1,2);过点B2作x轴的垂线,交抛物线于点A2;…;过点Bn?????????,??(n为正整数)作x轴的垂
线,交抛物线于点An.连结AnBn,Bn,得Rt△AnBn????+??.(1)求a的值;(2)直接写出线段AnBn,Bn
Bn+1的长(用含n的式子表示);(3)在系列Rt△AnBnBn+1中,探究下列问题:①当n为何值时,Rt△AnBnBn+1是
等腰直角三角形?②设1≤k在,求出其相似比;若不存在,请说明理由.解析:1.第(2)题如果错了,第(3)题就没有办法做对了.2.第(3)题的等腰直角三角
形根据直角边相等,列关于n的方程,没有什么障碍.3.第(3)题中,讨论两个直角三角形相似分三步.第一步说理斜边不平行,因此不存在
同位角相等的情形;第二步列关于k、m的方程,得到k+m=6;第三步分两种情况计算相似比,(k,m)存在(1,5)和(2,4
)两种情况.6.如图1,在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AC=8cm,AD⊥BC于D.点P从点A出发,沿A→C方向
以cm/s的速度运动到点C停止.在运动过程中,过点P作PQ∥AB交BC于点Q,以线段PQ为边作等腰直角三角形PQM,且∠PQM=9
0°(点M、C位于PQ异侧).设点P的运动时间为x(s),△PQM与△ADC重叠部分的面积为y(cm2).(1)当点M落在AB
上时,x=;?(2)当点M落在AD上时,x=;?(3)求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围.图1备用图
解析:1.由点P引发的全部动态线段的长,都可以用x表示出来.2.第(1)、(2)题的结果,就是第(3)题分段函数的临界值.7.
如图,把函数y=x的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍,横坐标不变,得到函数y=2x的图象;也可以把函数y=x的图象上各点的横坐标变
为原来的????倍,纵坐标不变,得到函数y=2x的图象.类似地,我们可以认识其他函数.(1)把函数y=的图象上各点的纵坐标变为原
来的倍,横坐标不变,得到函数y=的图象;也可以把函数y=????的图象上各点的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,得到函数y=的图
象.?(2)已知下列变化:①向下平移2个单位长度;②向右平移1个单位长度;③向右平移个单位长度;④纵坐标变为原来的4倍,横坐标
不变;⑤横坐标变为原来的????倍,纵坐标不变;⑥横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变.(i)函数y=x2的图象上所有的点经过④→②
→①,得到函数的图象;?(ii)为了得到函数y=-(x-1)2-2的图象,可以把函数y=-x2的图象上所有的点().A.①
→⑤→③B.①→⑥→③C.①→②→⑥D.①→③→⑥(3)函数y=的图象可以经过怎样的变化得到函数y=-????+?????
?+??的图象?(写出一种即可)解析:1.第(1)题有陷阱,其实函数y=和x=的变换是相同的.2.第(2)题中,上下平移不影响
横坐标或纵坐标缩放的.3.第(3)题中,要先对解析式进行变形,分离出系数k.8.如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线
y=ax2+bx+5经过点M(1,3)和点N(3,5).(1)试判断该抛物线与x轴的交点情况;(2)平移这条抛物线,使平移
后的抛物线经过点A(-2,0),且与y轴交于点B,同时满足以A、O、B为顶点的三角形是等腰直角三角形,请你写出平移过程,并说
明理由.解析:1.待定两个系数,已知两个点的坐标,列关于a、b的方程组.2.等腰直角三角形AOB存在两种情况.3.抛物线平
移的过程中,二次项系数不变.9.已知抛物线C:y=x2-2x+1的顶点为P,与y轴的交点为Q,点F??,????.(1)求点P
、Q的坐标;(2)将抛物线C向上平移得到抛物线C'',点Q平移后的对应点为Q'',且FQ''=OQ''.①求抛物线C''的解析式;②
若点P关于直线Q''F的对称点为K,射线FK与抛物线C''相交于点A,求点A的坐标.解析:1.抛物线上下平移,二次项系数、一次项系数
不变,只是常数项变化.2.求点A的坐标,关键的一步是确定点K的坐标.点K可以由Q''K=Q''P和FK=FP两个条件确定.10.抛物
线y=ax2+c与x轴交于A、B两点,顶点为C,点P在抛物线上,且位于x轴下方.(1)如图1,若P(1,-3)、B(4,
0).①求该抛物线的解析式;②若D是抛物线上一点,满足∠DPO=∠POB,求点D的坐标.(2)如图2,已知直线PA、PB与
y轴分别交于E、F两点.当点P运动时,是否为定值?若是,试求出该定值;若不是,请说明理由.图1图2解析:1.按照点D与O
P的位置关系,点D存在两种情况.一种情况是内错角相等,两直线平行;另一种情况是等角对等边.2.第(2)题中,作PH⊥x轴于H,由
OE∥HP∥OF就得到两组三角形相似,结合根与系数的关系进行推算.11.对于平面直角坐标系中的点P和图形M,给出如下定义:若在图形
M上存在点Q,使得P、Q两点间的距离小于或等于1,则称P为图形M的关联点.(1)当☉O的半径为2时.①在点P1????,?
?、P2????,????、P3中,☉O的关联点有;?②点P在直线y=-x上,若P为☉O的关联点,求点P的横坐标的取值范围
;(2)☉C的圆心在x轴上,半径为2,直线y=-x+1与x轴、y轴分别交于点A、B,若线段AB上的所有点都是☉C的关联点,直接
写出圆心C的横坐标的取值范围.解析:1.第(1)题①:分别以P1、P2、P3为圆心,1为半径画圆,如果这个圆和☉O有公共点
,那么☉O上存在点Q到这个点的距离小于或等于1,圆心就是☉O的关联点.2.第(1)题②:先容易找到两个点Q、Q'',就是直线y
=-x与☉O的两个交点.3.第(2)题中,线段AB是确定的,线段AB上的每个点到☉C上某个点的距离小于或等于1,☉C有四个临界位
置.12.在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c的开口向上,且经过点A??,????.(1)若此抛物线经过点B,且与x轴
交于点E、F.①填空:b=(用含a的代数式表示);?②当EF2的值最小时,求抛物线的解析式;(2)若a=????,当0
≤x≤1,抛物线上的点到x轴距离的最大值为3时,求b的值.解析:1.第(1)①题:将A、B两点代入抛物线的解析式,列关于a、
b、c的方程组,c的值是确定的,可以用a表示b.2.第(1)②题要用到根与系数的关系及配方法.3.本题没有图示,但是处处需
用数形结合.第(2)题数形结合,其实就是将点A和点(1,3)代入y=????x2+bx+c,求b的值.还有另一种情况:点A和点(
1,-3).13.有这样一个问题:探究同一平面直角坐标系中系数互为倒数的正、反比例函数y=????x与y=(k≠0)的图象与性质
.小明根据学习函数的经验,对函数y=x与y=????,当k>0时的图象性质进行了探究.(1)如图1所示,设函数y=x与y=的图象
的交点为A、B,已知点A的坐标为(-k,-1),则点B的坐标为.?(2)若点P为第一象限内双曲线上不同于点B的任意一点.①
设直线PA交x轴于点M,直线PB交x轴于点N.求证:PM=PN.证明过程如下:设P??,????,直线PA的解析式为y=ax+b
(a≠0).则?????+??=???,????+??=????.解得??=,??=.所以直线PA的解析式为.?请你把上
面的过程补充完整,并完成余下的证明.②当点P的坐标为(1,k)(k≠1)时,判断△PAB的形状,并用k表示出△PAB的面积.
图1备用图解析:1.点A与点B关于原点中心对称.2.求证PM=PN,只要证明点P在MN的垂直平分线上就可以了.3.已
知A、B、P三点的坐标,用勾股定理的逆定理证明△PAB是直角三角形比较简便.14.在平面直角坐标系中,设二次函数y1=(x+a
)(x-a-1),其中a≠0.(1)若函数y1的图象经过点(1,-2),求函数y1的表达式;(2)若一次函数y2=ax+b的
图象与y1的图象经过x轴上同一点,探究实数a、b满足的关系式;(3)已知点P(x0,m)和Q(1,n)在函数y1的图象上,若m0).(1)当a=1时,求抛物线与x轴的交点坐标及对称轴;(2)①试说明无论a为何值,抛物线C1一定经过两个定点,并求出这两个定点的坐标;②将抛物线C1沿这两个定点所在直线翻折,得到抛物线C2,直接写出C2的表达式;(3)若(2)中抛物线C2的顶点到x轴的距离为2,求a的值.备用图解析:1.抛物线C1的解析式暗含了两个确定的因素:与y轴的交点和对称轴.2.抛物线C2与C1关于一条水平直线对称,那么开口相反,二次项系数互为相反数. |
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