二阶常系数线性微分方程特解的微分算子法
常系数线性微分方程是常微分方程中的重点内容之一，其求解方法通常是先求对应的齐次线性方程的通解，再求一特解。前者用特征方程法容易得到，难点是特解的求法。多数教材中采用的是待定系数法求其特解,这不仅要根据非线性项的不同情况做相应的处理,而且计算过程中需要求导运算和求解线性方程组。因此,微分算子法成为求解不同类型的常系数非齐次线性微分方程特的有效方法,基于上述考虑,文章针对非线性项的不同情况,给出微分算子法求
二阶常系数非齐次线性微分方程的特解公式,具有记忆方便,计算简单的特点。
二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式为
，（1）
其中为常数.
为了文中需要，我们给出通常教材中所给出的求特解的待定系数法见下表
形式 条件 所设特解的形式
为次多项式 0不是特征根
0是单特征根
0是重特征根
不是特征根
是单特征根
是重特征根
不是特征根
是特征根
表中为待定的次多项式，,为系数待定的次多项式，.
引入微分算子
则有
于是式（1）可化为
（2）
令
称为算子多项式，则式（2）即为
，
其特解为
这里，称为逆算子.
1．算子多项式
1.1算子多项式的性质
引理设算子多项式如上定义，,为可微函数，则有
(1);
(2)设;
则有
；
(3)设，
则有
.
证明略.
1.2算子多项式的公式
引理设算子多项式如上定义，为任意实数,为二阶可导函数，则有下列结论成立
（1）；
（2）；
；
（3）;
（4）.
证明略.
1.3逆算子多项式的性质
引理设算子多项式如上定义，，,为可微函数，则有
（1）；
（3）设，
则有
.
2.特解公式
利用上述性质，可以得到下面的特解公式。
非线性项是指数函数的情形
定理1设算子多项式如上定义，为任意实数,为二阶可导函数，则有下述结论成立。
(1)逆算子移位原理
；
(2)若，则有；
(3)若，不妨设为的重根()，则有
其中，表示对求阶导数.
证明：（1）（2）由引理1易证，下面只证（3），依题意可令，
其中，则有，故可得
（由逆算子移位原理：此时）
.
例1.
方法1待定系数法
因为特征方程为
，
得特征根为
，
由于2不是特征方程的特征根，故可设特解为
，
代入原方程可得
,
所以
，
故特解为
.
方法2算子法
因为
所以
.
例2
方法1待定系数法
因为特征方程为
得特征根为
,
由于1为特征方程的二重根，故可设特解为
,
,
将代入原方程得
,
比较两边同类项系数得
故特解为
.
方法2算子法
因为
1为的二重根，此时，所以
.
非线性项是三角函数的情形
定理2设算子多项式如上定义，为任意实数，则有下述结论成立;
当时有
,
,
当时有
，
这里，表示对求阶导数.
（3），
，
这里，.
证明：（1）由引理2易证，略.
（2）因为，不妨设则有
.
又
故
.
类似可证第2个等式.
(3)利用（1）（2）和复数的相关性质易证.
例3
方法1待定系数法
因为特征方程为
,
而2i不是特征方程的根，故可设特解为
,
,
将代入原方程得
,
比较两端同类项系数得
.
故特解为
方法2算子法
因为
所以
.
例4
方法1待定系数法
因为特征方程为
得特征根
,
由此可知，原方程的特解可设为
将代入原方程得
,
比较两端同类项系数得
,
即
,
故原方程的一个特解为
.
方法2算子法
因为
所以
2.3非线性项是幂函数以及幂函数与其他函数乘积的情形
定理3设算子多项式如上定义，为任意实数，为二阶可导函数，则
(1)
(2)
其中,表示的次多项式.
证明：（1）因为其中表示余式，两端同乘以可得
,
其中，，最低次幂为，对的运算为零，
所以
.
(2)
.
例5
解因为
所以
例6
解法1因为
所以
解法2用算子移位原理来转而求解的实数部分即为所求.
因为
所以
解法3该方程对应的其次方程为
特征方程为
得特征根
，
由于2i不是特征方程的根，所以设特解
,
,
将代入原方程得
比较两端同类项的系数得
于是求得的一个特解为
通过上例,当二阶常系数微分方程非线性项为或时,可以用三种解法求出其特解,利用微分算子法的两种解法,避免了待定系数法中复杂的求导运算和方程组的求解,计算量比较小,求解过程简单,利于学生的理解和掌握.
3.结束语
从以上三个定理和例子可以看出,微分算子法可以方便快捷的求解二阶常系数线性微分方程的特解,而待定系数法只有当非线性项满足某种特定形式时才可以写出特解的形式,故算子法的应用范围不仅比待定系数法广泛，而且该方法具有计算简单,记忆方便的特点,进而深化了微分方程的理论和方法,开阔了学生的视野,提高了学生的学习兴趣。因此,这种探索与实践对教师和学生是有借鉴意义的。
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