《數理精蘊》之“勾股弦總和較相求法”之二上傳書齋名：瀟湘館112XiāoXiāngGuǎn112何世強HoSaiKeung提
要：勾股之術，始於《周髀》。至於勾股弦和較相求之法，《數理精蘊》共有六十法，本文介紹其中五法，此五法皆舊有。關鍵詞：勾股弦總和
長闊較長方積勾﹝或作“句”﹞股之術，始於《周髀》，其後《九章算術》卷九有〈句股〉章，此章即《周髀》句股術之延伸也。清?《御製數
理精蘊》﹝簡稱為《數理精蘊》﹞亦有勾股之問，除勾股連比例外，尚涉及勾股弦和較相求之法；此類相求之法錯綜變換複雜，《數理精蘊》增之為
六十法，《御製數理精藴?下編?卷十二?勾股弦和較相求法》簡介曰：勾股弦和較相求之法，錯綜變換，共有六十。舊算書所有者八，按舊法可以
變通者三十有四，舊法所無，今創立者一十有八。據《數理精蘊》所云，舊算書所有者八法，依舊法而變通者有三十四法，《數理精蘊》又新創十八
法，故新舊變通共六十法。筆者有文名為〈《御製數理精蘊》勾股法之勾股積與勾股弦和較相求法〉，本文乃其補充。本文數學題取材自《御製數理
精藴?下編?卷十三?面部三》，其分題為：勾股弦和較相求法下。本文以下各題均有其解題要點，先掌握其要點，列出方程式﹝多為一元二次方程
式﹞，其一般形式如下：p2–pr+s=0r為p之係數，稱為“長闊較”，常數為s，稱為“長方積”﹝係數和常數符號
須調整﹞。解以上方程式即可解出x、y或z其中之一之未知數，其餘兩未知數可相繼得出。解一元二次方程式用“??縱較數開方法”﹝“
??”同“帶”﹞，方程式之根是為“闊”。以下為勾股圖﹝股必長於勾，所有題皆合用，x、y、z皆為未知數﹞：y﹝股﹞15z﹝弦﹞17x
﹝勾﹞8〈第三題〉設如有股弦較二尺，勾股弦總和四十尺。求：勾、股、弦各幾何？﹝第三十六﹞解：題意指有一直角三角形，已知其股弦較﹝即
股弦差﹞，又知其勾股弦三邊之總和，求勾、股與弦之長。已知股弦較2尺為q，其勾股弦三邊之總和40尺為t。以下為代數解法，
即：z–y=q-----------------------------------------------------
---(1)x+y+z=t--------------------------------------------
---------(2)(2)–(1)得x+2y=t–q--------------------------
--------(3)x+2y是為“兩股一勾之共數”。(3)式左右平方得x2+4xy+4y2=t2+q2
–2tq-------(4)(2)+(1)得2z+x=t+q---------------------
-------------(5)2z+x是為“兩弦一勾之共數”。(5)式左右平方得4z2+4zx+x2=t2
+q2+2tq-------(6)(6)–(4)﹝此乃關鍵之步驟﹞得：4z2+4zx–4y2–4xy
=4tq約去4得z2+zx–y2–xy=tqx2+zx–xy=tq﹝以勾股定理化簡﹞x2+
x(z–y)=tqx2+xq=tq﹝以(1)代入﹞x2+xq–tq=0﹝此乃關鍵之方程式﹞x=
﹝以公式解，取正號﹞。得x後其他兩數亦可得。因為(3)式x+2y=t–q，移項得2y=t–q–
xy=t–q–﹝以上式之x代入﹞==y=。因為(1)式z–y=q，即：z=q+y=q+﹝
以y之上式代入﹞==。今以q=2及t=40代入，可得：x=====8。從(3)可知2y=
t–q–x=40–2–8=30。y=15。又從(2)可知z=40–15–8=1
7。以下為《數理精蘊》之算法﹝括號內文字乃小字注文﹞：法以勾股弦總和四十尺，內減股弦較二尺，餘三十八尺﹝即40–2=38﹞
，為兩股一勾之共數﹝盖勾股弦總和為一勾一股一弦之共數內減股弦較，是於弦內減股弦較即又得一股矣，故為兩股一勾也。﹞自乗得一千四百四十
四尺﹝即382=1444﹞。又以勾股弦總和四十尺與股弦較二尺相加得四十二尺為兩弦一勾之共數﹝即40+2=42﹞﹝葢
勾股弦總和為一勾一股一弦之共數，今加股弦較，是於股數加股弦較即又得一弦矣，故為兩弦一勾也。﹞自乗得一千七百六十四尺﹝即422=
1764﹞。兩數相減餘三百二十尺﹝即1764–1444=320﹞，四歸之得八十尺﹝“四歸”即除以4，即320/4=
80﹞為長方積，乃以股弦較二尺為長闊較，用??縱較數開方法算之得闊八尺為勾﹝見上式及下式﹞。以下為其式：x2+2x–80
=(x–8)(x+10)=0，取x=8，即勾長8尺。於勾股弦總和四十尺內減勾八尺，餘三十二尺為股弦和﹝即
40–8=32﹞，減股弦較二尺餘三十尺，折半得十五尺為股﹝即(32–2)/2=15﹞。加股弦較二尺得十七尺，為弦
也﹝即15+2=17﹞。答：勾8尺，股15尺，弦17尺。〈第四題〉設如有勾股和二十三尺，弦與勾股較之較十尺。求
：勾、股、弦各幾何？﹝第三十七﹞解：已知勾股和23尺為q，弦與勾股較之較﹝可簡稱為“弦較較”，見以下(2)式﹞10尺
為t。以下為代數解法，即：x+y=q-----------------------------------------
--------------(1)z–(y–x)=z–y+x=t-------------------
------------------(2)(2)+(1)得2x+z=t+q-----------------
----------------(3)(3)是為兩勾一弦之共數。(1)自乘得x2+2xy+y2=q2-----
----------------------------(4)(3)自乘得4x2+4xz+z2=t2+2tq
+q2--------------------(5)(5)–(4)得3x2+4xz+z2–2xy–y
2=t2+2tq化簡得4x2+4xz–2xy=t2+2tq4x2+2x(2z–y)=t2+
2tq--------------------------------------(6)因為(3)+(2)得3x+
2z–y=2t+q移項得2z–y=2t+q–3x所以(6)式可寫成4x2+2x(2t+
q–3x)=t2+2tq4x2+2x(2t+q)–6x2=t2+2tq2x(2t+q)–
2x2=t2+2tq2x2–2x(2t+q)+(t2+2tq)=0x====﹝以公式解，取負
號﹞。將q=23及t=10代入上式得：x=====8。從(1)得x+y=q=
23，將x=8代入得：8+y=23y=15。從(2)得z–y+x=t=10，將x=
8及y=15代入得：z–15+8=10z–15+8=10+7=17。以下為《數理精蘊》之
算法﹝括號內文字乃小字注文﹞：法以勾股和二十三尺自乗，得五百二十九尺﹝即232=529﹞。又以勾股和二十三尺與弦與勾股較之較
十尺相加得三十三尺，為兩勾一弦之共數﹝即23+10=33﹞﹝葢弦與勾股較之較為一勾一股弦較之共數，與勾股和相加則得兩勾一
股一股弦較，而股加股弦較即弦，故為兩勾一弦之共數也﹞。自乗得一千零八十九尺﹝即332=1089﹞。兩自乗數相減﹝即1089
–529=560﹞餘五百六十尺，折半得二百八十尺﹝即560/2=280﹞為長方積。乃以弦與勾股較之較十尺與兩勾一弦之
共數三十三尺相加，得四十三尺為長濶和﹝即10+33=43﹞，用??縱和數開方法算之得闊八尺為勾。即得方程式x2–4
3x+280=(x–8)(x–35)=0，取x=8，即勾長8尺。x=35不合用。於勾股和二十三
尺內減勾八尺，餘十五尺為股﹝即23–8=15﹞，又於股十五尺內減勾八尺，餘七尺為勾股較﹝即15–8=7﹞，與弦
與勾股較之較十尺相加，得十七尺為弦也﹝即10+7=17﹞。算法又可參閱上文。答：勾8尺，股15尺，弦17尺。〈
第五題〉設如有勾股和二十三尺，弦與勾股較之和二十四尺。求：勾、股、弦各幾何？﹝第三十八﹞解：已知勾股和23尺為q，弦與勾股較
之和﹝可簡稱為“弦較和”，見以下(2)式﹞24尺為t。以下為代數解法，即：x+y=q--------------
---------------------------------------------------(1)z+(y–x
)=z+y–x=t-----------------------------------------------
(2)(1)自乘得x2+2xy+y2=q2------------------------------------
----(3)(2)自乘得z2+y2+x2–2xy–2xz+2zy=t2---------------
------(4)(3)+(4)﹝此乃關鍵之步驟﹞得3z2–2xz+2zy=t2+q2-----(5)(
2)×2得2z+2y–2x=2t--------------------------------------
---(6)(5)可寫成2z2–2xz+2zy+z2=t2+q2又可寫成z(2z+2y–2x)
+z2=t2+q2，以(6)式代入得：z2+2tz=t2+q2z2+2tz–(t2+q2)
=0z==–t+√(t2+t2+q2)=–t+√(2t2+q2)﹝以公式解，取正號﹞。將q=2
3及t=24代入上式得：z=–24+√(2×242+232)=–24+√(1152+529)=
–24+√1681=–24+41=17。從(2)得z+y–x=t即17+y–x=
24，即y–x=7。因為(1)式y+x=23，所以y==15，x===8。以下為《數
理精蘊》之算法：法以勾股和二十三尺自乗，得五百二十九尺﹝即232=529﹞。又以弦與勾股較之和二十四尺自乗得五百七十六尺﹝即
242=576﹞。兩數相加得一千一百零五尺為長方積﹝即529+576=1105﹞。乃以弦與勾股較之和二十四尺倍之得
四十八尺﹝即24×2=48﹞為長闊較，用??縱較數開方法算之得十七尺為弦﹝以上之說可參閱上文之代數式﹞。即z2+48
z–1105=(z–17)(z+65)=0，取z=17，即弦長17尺。於弦與勾股較之和二十四尺內減弦
十七尺，餘七尺為勾股較﹝即y–x=7﹞於勾股和二十三尺內減勾股較七尺餘十六尺﹝即23–7=16﹞，折半得八尺為
勾﹝即16/2=8﹞；加勾股較七尺，得十五尺為股﹝即8+7=15﹞也﹝以上之說亦可參閱上文之代數式﹞。答：勾8尺
，股15尺，弦17尺。〈第六題〉設如有勾弦和二十五尺，弦與勾股和之較六尺。求：勾、股、弦各幾何？﹝第三十九﹞解：已知勾弦和
25尺為q，弦與勾股和之較﹝可簡稱為“弦和較”，見以下(2)式﹞6尺為t。以下為代數解法，即：x+z=q
--------------------------------------------------------(1)(y+
x)–z=y+x–z=t-------------------------------------(2)(1
)自乘得x2+2xz+z2=q2-------------------------------(3)(1)+
(2)得y+2x=t+q----------------------------------(4)(4)式是
為兩勾一股之共數。(4)×(1)得xy+2x2+zy+2xz=qt+q2--------------
-(5)(5)–(3)得xy+x2+zy–z2=qt﹝此乃關鍵之步驟﹞以勾股定理化簡得：xy+zy
–y2=qty(x+z)–y2=qt以(1)式代入並移項得：y2–yq+qt=0﹝此乃關鍵之方
程式﹞y=﹝以公式解，取正號﹞。將q=25及t=6代入上式得：y======15。從(
2)式得15+x–z=6z–x=9。從(1)得z+x=25，很明顯從和差式可知z==
=17。x===8。以下為《數理精蘊》之算法﹝括號內文字乃小字注文﹞：法以勾弦和二十五尺自乗得六百二十五尺﹝即
252=625﹞。又以勾弦和二十五尺與弦與勾股和之較六尺相加得三十一尺﹝即25+6=31﹞為兩勾一股之共數﹝葢勾弦和
為一勾一弦之共數，今於弦數內加弦與勾股和之較即為勾股和，是為兩勾一股之共數矣﹞。與勾弦和二十五尺相乗得七百七十五尺﹝即31×
25=775﹞。兩數相減餘一百五十尺﹝即775–625=150﹞為長方積，乃以勾弦和二十五尺為長濶和，用??縱和數開
方法算之得長十五尺為股﹝見上式及下式﹞。即y2–25y+150=(y–15)(y–10)=0，取y=
15，即股長15尺，股長10尺不合。於股十五尺內減弦與勾股和之較六尺，餘九尺，為勾弦較，與勾弦和二十五尺相加得三十四尺，
折半得十七尺為弦﹝見以上之和差式﹞；內減勾弦較九尺，餘八尺為勾也。〈第七題〉設如有勾弦和二十五尺，弦與勾股較之和二十四尺。求：勾、
股、弦各幾何？﹝第四十﹞解：已知勾弦和25尺為q，弦與勾股較之和﹝可簡稱為“弦較和”，見以下(2)式﹞24尺為t。
以下為代數解法，即：x+z=q---------------------------------------------
----------(1)(y–x)+z=y–x+z=t-----------------------
--------------(2)(1)自乘得x2+2xz+z2=q2----------------------
--------(3)(1)+(2)得y+2z=t+q--------------------------
-------(4)(4)式是為兩弦一股之共數。(4)自乘得y2+4yz+4z2=t2+2tq+q2--
---------------(5)(3)+(5)得x2+2xz+z2+y2+4yz+4z2=t
2+2tq+q2+q2化簡得2xz+4yz+6z2=t2+2tq+2q2---------------
----(6)(4)×2得2y+4z=2(t+q)----------------------------
---(7)(1)+(7)得2y+4z+x+z=2(t+q)+q即2y+5z+x=
2t+3q-------------------------------------(8)(8)移項得2y+x
=2t+3q–5z--------------------------(9)(6)可寫成2z(x+2y)+
6z2=t2+2tq+2q22z(2t+3q–5z)+6z2=t2+2tq+2q22z(2t+3
q)–10z2+6z2=t2+2tq+2q24z2–2z(2t+3q)+(t2+2tq+2q2)
=0z=={2t+3q–√[(2t+3q)2–4(t2+2tq+2q2)]}﹝以公式解，取負號﹞=2
t+3q–√(4tq+q2)]。求得弦，勾股即可求。將q=25及t=24代入上式：2t+3q+√
(4tq+q2)]=48+75–√(252+4×25×24)]=123–√(625+2400)]
=123–√3025)=123–55)=×68=17。從(1)得x+z=q，以z=17代
入得x+17=25，x=8。又從(2)得y–x+z=t，將已知數代入得：y–8+17=
24，y=15。以下為《數理精蘊》之算法﹝括號內文字乃小字注文﹞：法以勾弦和二十五尺自乗得六百二十五尺﹝即252=625﹞。又以勾弦和二十五尺與弦與勾股較之和二十四尺相加得四十九尺﹝即25+24=49﹞為兩弦一股之共數﹝葢勾弦和加弦與勾股較之和則得兩弦一勾一勾股較，而勾加勾股較即股，故為兩弦一股也﹞。自乗得二千四百零一尺﹝即492=2401﹞。兩自乗數相加得三千零二十六尺﹝即2401+625=3026﹞為長方積。乃以兩弦一股之共數倍之得九十八尺﹝即2×49=98﹞為四弦二股之共數。與勾弦和相加得一百二十三尺﹝即98+25=123﹞為長濶和。用??縱和數開方法算之，得濶三十四尺，折半得十七尺為弦﹝筆者注：筆者直接算出弦長為17尺，見上式﹞。即q2–123q+3026=(q–34)(q–89)=0，取q=34，折半得17尺為弦。於勾弦和二十五尺內減弦十七尺，餘八尺為勾﹝即25–17=8﹞。又於弦與勾股較之和二十四尺內減弦十七尺，餘七尺為勾股較﹝即24–17=7是為勾股較﹞。與勾八尺相加得十五尺﹝即7+8=15﹞，為股也。答：勾8尺，股15尺，弦17尺。以下為《御製數理精蘊》原文：(1) |
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