“分→合→分”——小船渡河问题的三步曲
湖北省恩施高中陈恩谱
在上新课时，“小船渡河”问题是学生普遍感到较为困难的一个问题，教师在讲解时，可能也存在思
路不够清晰的问题，市面上的大部分资料在处理这个问题时的逻辑也是混乱的，笔者根据自己的教学实践，
将“小船渡河”问题按其内在逻辑而分成三个前后连贯的步骤，有效的解决了教学困难，现献丑于大家面
前，并请各位专家批评指正。
一、“分”——两个分运动
小船渡河问题中有两个速度，一个是水流速度，一个船在“静水”中的速度，船的实际速度是这两个
速度的合成。因此，渡河问题的第一要务是搞清楚这两个分运动何以成为小船的分运动的。
(
1、水流速度
v
水
想象一片树叶随水漂流的情形，小船若不采取任何划桨动作，小船就会像树叶一样被水冲击携带，而
具有和水流一样的速度。所以，小船至少拥有一个分运动——随水漂流的运动，这个分运动的速度就是水
流速度： (((
vv
1。
水 (
2、船在“静水”中的速度
v
船
首先想一个问题，什么是“静水”？我们最容易想到的是一片平静的湖水。可是，地球在绕地轴自转，
又在绕太阳公转，所谓“平静的湖水”还是“静水”吗？所谓船在“静水”中的速度，到底是什么意思？
很明显，所谓船在“静水”中的速度，是指认为水处于静止状态时——选水面为参考系，采取划桨动作而
产生的船相对水面的速度。
对于上述分析，或许不会得到一部分同学的认可，下面换一个思路：
设想一条平稳流淌的河流，水面几乎不起波纹，而你正坐在一艘小船上随水漂流（没有划水），你若
是闭上眼，你或许没觉得船在运动，但是看看两岸的花草树木或者天上的云朵，你就会知道河水正在不停
的向下游流淌——逝者如斯。
现在，我们想象着把水面拓宽，河岸向两边推到无穷远处，同时将天空中的云朵清扫一空，你再看向
四周，唯余一片苍茫水色，这时候，你怎么判断你的小船与河水是否在流动？可能你只能认为水面是静止
的，船也就是静止。这个时候，你拿起船桨疯狂的划动，你的动作将导致船产生一个速度，这个速度就是
所谓船在“静水”中的速度。
然后，想象着让河岸退回来，天空的云朵也恢复如初，你会发现，原来河水是在流淌的，你所谓的“静
水”并非不动的，你划桨而产生的所谓船在“静水”中的速度，就只能理解成船相对水面的速度了。
由上述分析可知，当采取划桨动作时，小船还在随水漂流的分运动基础上，附加产生了一个相对水面
(((的分运动，这个分运动的速度就是所谓船在“静水”中的速度：
vv
2。
船
二、“合”——船的实际运动
1、合速度
由上可知，采取划桨动作后，小船实际参与了两个分运动——随水漂流和相对水运动，因此，小船相
对河岸的运动，就是这两个分运动的合运动，小船相对河岸的速度也就是这两个分运动速度的矢量和：
(((((
((((
vvv
v水v
12船
采用平行四边形定则作图，则如下图所示：
v
船 v v
船 v v
船 v
v
水 v
水 v
水 采用三角形定则作图，则如下图所示：
v v
d
vv
船
v
船
θθθ
vv
水
水 v
水 v
船 2、渡河航程
显然，渡河航程就是合运动的实际轨迹线长度，如上图中虚线所示，在河宽d确定的情况下，渡河航
程s只取决于合速度与河岸的夹角θ，有
s( d
sin( 要使渡河航程最短，则就要让θ在0~90°范围内取最大值——若θ能取到90°，则让((90(，若不能
达到90°，则让θ取最大值。
（1）
v船(v的情况
水
((90，则必须有v船(v，如右图所示，此种情况下，最
(
显然，要使
水
d
短渡河航程就是河宽：s((d
min.
sin( v θ v
船 v
水 d （2）船v
v(的情况
水
显然，这种情况下，无法做到
((90(，则要使渡河航程最短，θ应取能取
的最大值。用三角形定则讨论这种情况较为方便——固定水速矢量箭头不动，
将船速矢量箭头绕水速矢量箭头的末端转动，则船速矢量箭头的末端在一个圆
周上移动，则合速度矢量的末端也就在这个圆周上移动，很显然，当v(v
船时，
v
((船
θ取最大值。此时，有sin，则
v
水 d
v
v
v船
水 s
min ( d
sin( ( v
水
v
船 d 三、“分”——两个分运动
s
小船渡河时间，当然可以直接用渡河航程除以实际速度来计算：
t(，但是这样计算较为麻烦，我
v们一般采用将小船的实际速度v分解到垂直河岸（v）和平行河岸（v）
yx
两个方向上来，进而用河宽d和垂直河岸分速度
其中
vv
y
(。
船y v来计算
y
d
t(
v
y v
船 v
y v
v
x v
水 d
显然，要使渡河时间最短，就要使
vy(v最大，这只需要让船速调整到沿垂直河岸方向即可，即船
船y
头正对河岸，如右图所示，此时有 vy(v
max，则
船
t
min ( d
v
ymax ( d
v
船 vv
船
v
水 d 说明：本文收录于陈恩谱老师《物理原来可以这样学》2019年6月第三次修订版。
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