多体多过程动量守恒问题
湖北省恩施高中陈恩谱
名师指路
【例1】（2013·山东卷）如图所示，光滑水平轨道上放置长坂A（上表面粗糙）和滑
块C，滑块B置于A的左端，三者质量分别为mA=2kg、mB=1kg、mC=2kg。开始时C静止，
A、B一起以v0=5m/s的速度匀速向右运动，A与C发生碰撞（时间极短）后C向右运动，
经过一段时间A、B再次达到共同速度一起向右运动，且恰好不再与C碰撞。求A与C发
生碰撞后瞬间A的速度大小。
B
AC
思维导引：多体多过程动量守恒问题，其实就是多个一体、二体问题的组合，而每一个
分阶段涉及的过程都是动量问题中的基本模型。因此，清晰的物理过程和研究对象的准确选
择，是多体多过程动量守恒问题解决的关键。
【名师指路】A、C碰撞是一个什么性质的碰撞？再就是A、C碰撞过程中，是否应该
将B扯进来？而题目中“（AB）且恰好不再与C碰撞”内涵的挖掘，更是本题答题的关键。
突破上述问题，并将过程分析清楚，才能够顺利地完成本题。
解法1：分阶段分析法
【名师指路】这种方法的基本套路是按照事物发展的先后顺序，一个阶段一个阶段的
处理，分析过程中要注意不同阶段衔接点的速度——前一阶段的末速度即为下一阶段的初
速度。
【名师指路】第一个问题是，A、C碰撞过程中，是否应该将B扯进来？第一个问题，
A、C碰撞过程时间极短，A、C间相互作用的内力远大于B给A的摩擦力，因此在碰撞这
一过程中，A、C动量守恒；另一方面，由于碰撞时间极短，B的速度也来不及发生明显改
变，即A、C碰撞结束时，B的速度仍为v0。
【名师指路】第二个问题是，A、C碰撞是一个什么性质的碰撞（弹性的？完全非弹性
的？），题目没做任何明示或者暗示，因此应该做最一般的假设，即两者速度不相同。
【解析】因碰撞时间极短，A与C碰撞过程动量守恒，设碰后瞬间A的速度为vA，C的
速度为vC，由动量守恒定律得
mv(mv(mv
A0AACC
【名师指路】此时B的速度是原来的v0，而A的速度因为与C碰撞必然减小了，所以
接下来B将减速而A将加速，直到AB共速，这个过程中A一直没有没有与C碰撞。
A与B在摩擦力作用下达到共同速度，设共同速度为vAB，由动量守恒定律得
mv(mv0((m(m)v
AABABAB
【名师指路】“（AB共速时）且恰好不再与C碰撞”这句话说明了什么？如果vAB大
于vC，A一定会与C发生第二次碰撞；而
v(v就能保证A不再与C碰撞，因此，“恰
ABC
好”的含义应该是是指
v(v。
ABC
A与B达到共同速度后恰好不再与C碰撞，应满足
v(v
ABC
三式联立，代入数据，解得：v(2m/s
A解法2：全过程分析法
【名师指路】这种方法的套路，是直接分析全过程、全体研究对象作为一个整体是否
满足动量守恒条件，并直接从全过程的初态到全过程的末态进行分析。
【名师指路】如前分析，“（AB共速时）且恰好不再与C碰撞”意味着最终AB的共
同速度
v(v；而对A、B、C系统而言，水平方向一直不受力，因此系统动量守恒。
ABC
【解析】A、B、C系统水平方向一直不受力，因此系统动量守恒，设A、B、C三者最
终的共同速度为v，则有
(m(m)v((m(m(m)v
AB0ABC
【名师指路】题目要求的是A与C发生碰撞后瞬间A的速度大小，而我们已知了碰后
C的速度为v，则对A、C碰撞过程用动量守恒，就可以算出A与C发生碰撞后瞬间A的速
度大小。
因碰撞时间极短，A与C碰撞过程动量守恒，设碰后瞬间A的速度为vA，C的速度为vC，
由动量守恒定律得
mv(mv(mv
A0AAC
两式联立，代入数据，解得：
v(2m/s。
A
解后反思
分阶段分析法是按事物发展先后顺序分析，过程清晰，思维难度低；全过程分析法的分
析过程不再按事物发展先后顺序进行，这种方法，大多数情况下思路要简洁一些，但对综合
分析能力提出了较高的要求，这种能力是需要通过多见识来培养提高的。
【例2】（2013·新课标卷2）如图，光滑水平直轨道上有三个质量均为m的物块A、
B、C。B的左侧固定一轻弹簧（弹簧左侧的挡板质最不计）。设A以速度v０朝B运动，压
缩弹簧；当A、B速度相等时，B与C恰好相碰并粘接在一起，然后继续运动。假设B和
C碰撞过程时间极短。求从A开始压缩弹簧直至与弹簧分离的过程中，
（1）整个系统损失的机械能；
（2）弹簧被压缩到最短时的弹性势能。
v0
ABC
思维导引：本题涉及到了完全非弹性碰撞模型和弹簧模型，涉及了弹性势能的变化的计
算，而过程也多达3个阶段——对这种多过程复杂问题，要有对过程的清晰把握，就需要分
阶段画好过程草图，并将不同阶段相互作用的物体是那几个要弄清楚，从而才可能正确选取
研究对象和确定清楚研究对象的初末态，进而正确列出方程求解。
【名师指路】整个过程分为几个阶段？每个阶段是那几个物体在相互作用？弹簧的长
度在怎样变化着？什么叫做机械能的损失？整个运动过程中，在哪个阶段存在机械能损
失？是A、B相互作用阶段，还是B、C碰撞时？弹簧压缩最短时，是A、B速度相等时
吗？这几个问题的正确回答是解决本题的前提。很多同学因为无法正确分析过程和不很清
楚机械能损失的含义（以为是动能的损失就是机械能的损失），从而导致解题时答非所问。
【名师指路】按事物发展的先后顺序，一步一步的画好过程草图，然后再答题。如下：v0
①ABC
v1v1
②ABC
v1v2v2
③ABC
v3v3v3
ABC④
①→②：A、B相互作用，压缩弹簧，达到共同速度v1；
②→③：B、C完全非弹性碰撞，结为一体，具有共同速度v2（＜v1），此时A的速度
仍为v1；
③→④：A向右继续压缩弹簧，A减速，BC加速，至三者达到共同速度v3（＞v2）。
【名师指路】机械能包含哪几种能量？重力势能、弹性势能和动能。①→②过程，是A、
B整体的动能减少转化为弹簧弹性势能，A、B、弹簧系统机械能是守恒的，不存在机械能
损失；同理，③→④过程也没有机械能损失；有机械能损失的是B、C完全非弹性碰撞过程
——B、C整体的动能减少转化为内能。所以，第一问计算整个系统机械能的损失，就是计
算B、C完全非弹性碰撞过程的机械能损失。
【名师指路】B、C完全非弹性碰撞过程的机械能损失如何计算呢？这需要先将B的初
速度v1和B、C碰后的共同速度v2算出来后才能进行。这就要分两个阶段用动量守恒来处
理。
【解析】（1）从A压缩弹簧到A与B具有相同速度v1时，对A、B与弹簧组成的系统，
由动量守恒定律得
mv(mv
021
此时B与C发生完全非弹性碰撞，设碰撞后的瞬时速度为v2，损失的机械能为ΔE。对
B、C组成的系统，由动量守恒和能量守恒定律得
mv(mv
122
11
mv2((E(mv2
(2)
12
22
1
联立三式，解得(E(mv2
0
16
【名师指路】弹簧被压缩到最短是哪个时候？是A、B速度相等为v1时吗？根据先前
的过程分析可以看出，显然不是。弹簧被压缩到最短应该是A、B、C三者达到共同速度v3
时。
（2）由于
v(v，A将继续压缩弹簧，直至A、B、C三者速度相同，设此时速度为
21
v3，此时弹簧被压缩至最短，其弹性势能为Ep。由动量守恒，得
mv(mv
033
【名师指路】接下来的问题是：弹簧被压缩到最短时的弹性势能是③→④过程A、B、C三者动能的损失吗？好多同学以为是这样，其实不是，因为③图状态时，弹簧已经有一个
压缩量了——已经储存有一定的弹性势能Ep1了，③→④过程A、B、C三者动能的损失对应
的实际上是弹簧的弹性势能的增加量。
111
由能量守恒，有2(2)2(3)2
mv(mv((E(mv
12p3
222
其中 (E(E(E
ppp1 【名师指路】接下来的问题是：选哪个阶段来计算Ep1呢？注意，②→③过程（B、C
完全非弹性碰撞），弹簧的压缩量并没有变化，因此，③图状态时的弹性势能Ep1就是②图
状态时的弹性势能，而这个弹性势能，就是①→②过程中A、B相互作用压缩弹簧时，A、B
整体的动能减少量。
从A压缩弹簧到A与B具有相同速度v1时，对A、B与弹簧组成的系统，由能量守恒，
11
有mv2((2m)v2(E
01p1
22
13
联立解得：E(mv2
p0
48解后反思
从前面的分析计算可以看出，对多体多过程问题，分阶段画好过程草图，从而将过程清
晰的展现出来，是正确答题的基础。因此，希望同学们能够养成这个良好答题习惯。同时，
对于弹簧的状态，一定要分析清楚初态和末态；而对能量问题，一定要注意应该选相互作用
的系统为研究对象。
本题在计算弹簧压缩最短时的弹性势能时，还可以全过程列式求解——从最开始A以
速度v０朝B运动到最终三者具有共同速度v3，A、B、C三者动能的损失只有两个去向——
一是碰撞过程的损失（转化为内能），二是转化为弹性势能。而第（1）问已经算出了碰撞
过程的机械能损失，因此全过程用能量守恒就很容易求解弹簧压缩最短时的弹性势能了。
11
mv2((E((3m)v2(E
03
22 p 而且这回避了Ep1的计算，使分析、计算过程大大简化。当然，这同样需要一个较高的
全局意识，这种意识是需要注意培养的。
解题高手
1、（2014·银川一中一模）如图所示，在光滑水平面上有一块长为L的木板B，其上
表面粗糙．在其左端有一个光滑的圆弧槽C与长木板接触但不连接，圆弧槽的下端与木板的
上表面相平，B、C静止在水平面上．现有可视为质点的滑块A以初速度v0从右端滑上B并
v
以0
2 的速度滑离B，恰好能到达C的最高点．A、B、C的质量均为m，试求： ①木板B上表面的动摩擦因数μ.
②1/4圆弧槽C的半径R.
【解析】（1）A在B上滑动时，ABC整体动量守恒，设A滑离B时BC整体的速度为v
v1，则有mv0(m(0(2mv1
2
11v1
由能量守恒定律，有mv2(m(0)2(2mv2(Q
01
2222其中：Q((mgL
15v
2
联立解得：vv(
(，(
010
416gL
（2）A在C上滑动时，A、C系统在水平方向上不受外力，因此A、C系统在水平方向
上动量守恒，设A到达C的最高点时，A、C的共同速度为v2，则有
v
m(0(mv(mv
122
2
1v11
由机械能守恒定律，有m(0)2(mv2(2mv2(mgR
12
2222
联立解得： R( v
2
0
64g 2、（2013·广东卷）如图，两块相同平板P1，P2置于光滑水平面上，质量均为m。P2
的右端固定一轻质弹簧，左端A与弹簧的自由端B相距L。物体P置于P1的最右端，质量
为2m且可看作质点。P1与P以共同速度v0向右运动，与静止的P2发生碰撞，碰撞时间极
短，碰撞后P1与P2粘连在一起。P压缩弹簧后被弹回并停在A点（弹簧始终在弹性限度内）。
P与P2之间的动摩擦因数为μ。求
（1）P1、P2刚碰完时的共同速度v1和P的最终速度v2；
（2）此过程中弹簧的最大压缩量x和相应的弹性势能Ep。
vP
0
P
1 L
AB
P
2 【解析】（1）P1和P2碰撞动量守恒：mv0=(m+m)v1①
1
得出：
v(v
10
2
P在P2上滑行过程P1、P2、P系统动量守恒：2mv0+2mv1=4mv2②
3
得出：
v(v
20
4(2)解法一：
P1、P2、P第一次等速弹簧最大压缩量最大，由能量守恒得
111
((2mg(L(x)(E((2m)v((2m)v((4m)v③
222p012
222
P刚滑上P2到P被弹回并停在A点（P1、P2、P第二次等速，速度也为v2），由
能量守恒得
111
((2mg(2L(2x)((2m)v((2m)v((4m)v④
222
012
222
由③④得： v
2
x((L
0
32( E(
p mv
2
0
16 解法二：
P1、P2、P第一次等速弹簧最大压缩量最大，由能量守恒得111
((2mg(L(x)(E((2m)v((2m)v((4m)v⑤
222p012
222
此后P被弹回并停在A点（P1、P2、P第二次等速，速度也为v2），由能量守恒得
11
(4m)v2(E((4m)v2(((2mg(L(x)⑥
2p2
22
vmv
22
由⑤⑥得：
x(0(LE(0
3216
(p
练习
1、一质量为MB＝6kg的木板B静止于光滑水平面上，物块A质量MA＝6kg，停在B
的左端．质量为m＝1kg的小球用长为l＝0.8m的轻绳悬挂在固定点O上，如练图14－1
－4所示．将轻绳拉直至水平位置后，静止释放小球，小球在最低点与A发生碰撞后反弹，
反弹所能达到的最大高度h＝0.2m．物块与小球可视为质点，A、B达到共同速度后A还在
木板上，不计空气阻力，g取10m/s2.求从小球释放到A、B达到共同速度的过程中，小球及
A、B组成的系统损失的机械能．
[答案]4.5J
2、装甲车和战舰采用多层钢板比采用同样质量的单层钢板更能抵御穿甲弹的射击。通
过对以下简化模型的计算可以粗略说明其原因。质量为2m、厚度为2d的钢板静止在水平
光滑的桌面上。质量为m的子弹以某一速度垂直射向该钢板，刚好能将钢板射穿。现把钢
板分成厚度均为d、质量为m的相同的两块，间隔一段距离平行放置，如图所示。若子弹
以相同的速度垂直射向第一块钢板，穿出后再射向第二块钢板，求子弹射入第二块钢板的深
度。设子弹在钢板中受到的阻力为恒力，且两块钢板不会发生碰撞。不计重力影响。
m
2m
mmm
1
2
[答案] (1+ 3
2 )d 说明：本文收录于陈恩谱老师《物理原来可以这样学》2019年6月第三次修订版。
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