v-t图象的理解与应用
湖北省恩施高中陈恩谱
v-t图象是最重要的运动图象，也是高考考查的热点，深入的理解v-t图象，并灵活的应用v-t图象，
是每一个高中理科生必须做到的。结合多年的教学经验，笔者对v-t图象的理解和应用有如下总结，供大
家参考。
一、v-t图象的理解
1、速度信息及其直观表示
v-t图象上某点（t，v）表示t时刻物体的瞬时速度为v，v的正负表示物体的速度与规定正方向相同或
者相反，显然，v-t图象只能用于表示直线运动的规律。
物体速度信息的提取，除了看图象上的点的纵坐标v之外，还可以采用如右
图所示的箭头来直观表示，v大于0，箭头指向规定的正方向，v小于0，箭头指 v v 向规定的正方向的反方向。这样表示，就不至于把减速运动看成是反向运动了，
同时也较方便将图象转译成实际的运动过程。
2、图象的斜率 O t t (v
v-t图象的斜率k
(就是物体的加速度a，斜率的大小表示加速度的大小，
(t
斜率的正负表示物体的加速度方向与规定的正方向相同或者相反。
注意，不要把v-t图象的斜率k
(v
(与图线与横轴的夹角α的正切tanα简单
(t
的等同——当横轴或纵轴的标度取得不一样时，加速度相同，图线与横轴的夹角
α却会不一样，比如横轴上用相同的长度表示更长的时间，则加速度不变的情况
下，图线与横轴的夹角α会增大。 3
2
1
O
3
2
1
O v/m·s-1
a=1m/s2
123t/s
v/m·s-1
a=1m/s2
246t/s 3、图象与横轴所围的面积
一段时间内物体的v-t图象与横轴所围的面积表示这段时间内物体发生的位 v 移，横轴以上的面积为正，表示物体的位移方向与规定的正方向相同，横轴以下
的面积为负，表示物体的位移方向与规定的正方向相反。如右图图所示，物体做
匀变速往返运动，在t1~t2内物体的位移是上下两部分面积的代数和（或面积大小 O t1 t2 t
的差值）。
由v-t图象与横轴所围的面积的变化可以直观的了解物体位移的变化情况。 v 如右图所示，物体从坐标原点出发向正方向做匀加速直线运动，则0~t1时间内物
体的位移为图中的面积s1，t1~t2内的位移为图中的面积s2，0~t2时间内物体的位
移为图中的面积s1+s2，t2~t3内的位移为图中的面积s3，0~t3时间内物体的位移为 O s1s
2s3
t1t2t3 t4
s4 t 图中的面积s1+s2+s3，t3~t4内的位移为图中的面积s4，0~t4时间内物体的位移为图
中的面积s1+s2+s3+s4=s1+s2+s3-|s4|……
二、v-t图象的应用
1、直观的展示运动过程
【例1】一个质点做方向不变的直线运动，加速度的方向始终与速度的方向相同，但加速度大小先保持
不变，再逐渐减小至零，则在此过程中()
A.速度先逐渐增大，然后逐渐减小，当加速度减小到零时，速度达到最小值
B.速度先均匀增大，然后增大得越来越慢，当加速度减小到零时，速度达到最大值
C.位移逐渐增大，当加速度减小到零时，位移将不再增大
D.位移先逐渐增大，后逐渐减小，当加速度减小到零时，位移达到最小值 v 【解析】加速度方向与速度方向同向，速度应增大，当加速度不变时，速度
均匀增大，v-t图象的斜率保持不变；当加速度减小时，速度仍增大，但增大得越
来越慢，v-t图象的斜率逐渐减小；当加速度为零时，速度达到最大值并保持不变， O t1t2 t v-t图象的斜率变为0，与横轴平行。由上述分析可知，选项A错误，B正确；因质点速度方向不变化，始
终向前运动，最终做匀速运动，所以位移一直在增大，选项C、D均错误。
故本题选B。
【例2】一电荷量为q(q＞0)、质量为m的带电粒子在匀强电场的作用下，在
t＝0时由静止开始运动，场强随时间变化的规律如图所示。不计重力。求在t＝0
到t＝T的时间间隔内，
(1)粒子位移的大小和方向；
(2)粒子沿初始电场反方向运动的时间。
T、T～T、T～3T、3T
【解析】(1)带电粒子在0～～T时间间隔内做匀变速运动，设加速度分别为a1、
442244a2、a3、a4，由牛顿第二定律得
qE0qE0qE0qE0
a1＝，a2＝－2×，a3＝2×，a4＝－
。
mmmm
由此得带电粒子在0～T时间间隔内运动的a—t图像如图甲所示，对应的v—t图像如图乙所示，其中
T＝qE0T
v1＝a1×
44m
T
由图乙可知，带电粒子在t＝0到t＝T的时间间隔内位移大小为s＝v1
4qE0
解得s＝T2，方向沿初始电场正方向。
16m
35
(2)由图乙可知，粒子在t＝T到t＝T内沿初始电场的反方向运动，总的运动时间t为
8853T
t＝T－T＝。
884
2、不同过程的定性比较
【例3】一辆警车在平直的公路上以40m/s的速度行驶，现在要到达前方某地时的速度也为40m/s，有
三种行进方式：a一直匀速直线运动；b先减速再加速；c先加速再减速，则
A．a种方式先到达B．b种方式先到达
C．c种方式先到达D．条件不足，无法确定
【解析】作出三种方式的v—t图象，由于到达出事地点时三种方式的位移大
小（图象与横轴所围的面积）相等、速度大小相等，由图象看出c种方式所用时
【解析】作出三种方式的v—t图象，由于到达出事地点时三种方式的位移大
小（图象与横轴所围的面积）相等、速度大小相等，由图象看出c种方式所用时
小（图象与横轴所围的面积）相等、速度大小相等，由图象看出c种方式所用时
间最短，则c种方式先到达．
故选C。 O v c
a b tcta tb t 【例4】甲乙两地相距s(1.6km，摩托车的加速度为a1(1.6m/s2，减速时的加速度为a1(6.4m/s2
摩托车从甲地往乙地所用最短时间为多少？运动过程中的最大速度为多少？
【解析】建立如图1所示的图象，图象中梯形的“面积”即为甲乙两地的距离，在保证“面积”不变的情
况下要使运动时间变小，只有把梯形变成三角形。
v(t(t)
s,
(mat(at，
12
1122
2
t(t(t
12
联立以上三式得：最短时间为t=50s，最大速度为vm=64m/s。
3、物体的相对运动问题 v
vm t 两个物体在同一条直线上运动，若将两物体的v-t图象画在同一个坐标系内，则一段时间内两物体的
图象与横轴所围的面积之差——也就是这段时间内两图象之间所围的面积，表示两物体在这段时间内的位移的差值；注意，这个面积之差未必是两者之间的距离，这要看两者初始位置是
否相同，如果初始位置相同，则这个面积之差表示两者的距离，如果初始位置不
同，则这个面积之差仅仅表示两物体的位移的差值。
由两物体v-t图象与横轴所围的面积之差的变化，可以直观的了解两物体位移
差值的变化情况。如右图所示，0~t1时间内两物体的位移之差为图中的面积s1，t1~t2
内两物体的位移之差为图中的面积s2，0~t2时间内两物体的位移之差为图中的面
积s1+s2，t2~t3内两物体的位移之差为图中的面积s3，0~t3时间内两物体的位移之差为图中的面积s1+s2+s3，
t3~t4内两物体的位移之差为图中的面积s4，0~t4时间内两物体的位移之差为图中的面积s1+s2+s3-s4……
【例5】a、b两个物体从同一地点同时出发，沿同一方向做匀变速直线运动，若初速度不同，加速度
相同，则在运动过程（）
A.a、b的速度之差保持不变
B.a、b的速度之差与时间成正比
C.a、b的位移之差与时间成正比vA
D.a、b的位移之差与时间的平方成正比B
【解析】将a、b两个物体的v—t图象画在同一幅图上，由图可知两物体的 v1 速度之差保持不变，故A正确，B错误；两图线之间的面积即两物体的位移之差，
由图可知两物体的位移之差随时间成正比增加，故C正确，D错误。 v2
O t故本题选AC。
【例6】在水平直轨道上有两列火车A和B相距x，A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀
减速直线运动，而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同。要使两车
不相撞，求A车的初速度v0应满足什么条件。
【解析】利用v-t图象求解，先作A、B两车的v-t图象，如图所示，设经过时间t两车刚好不相撞，
则对A车有vA＝v′＝v0－2at
对B车有vB＝v′＝at
v0
以上两式联立解得t＝
3a
经时间t两车发生的位移之差为原来两车间距离x，可用图中的阴影面积表示，
12
1v0＝v
0
由图像可知x＝v0·t＝v0·
223a6a
所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0≤6ax。
【例7】质量为m的子弹以某一初速度v0击中静止在粗糙水平地面上质量为M的木块，并陷入木块
一定深度后与木块相对静止，甲、乙两图表示了这一过程开始和结束时子弹和木块可能的相对位置，设地
面粗糙程度均匀，木块对子弹的阻力大小恒定，则下列说法中正确的是
甲图：木块对地位移小于木块长度乙图：木块对地位移大于木块长度
A．若M较大，则可能是甲图所示情形；若M较小，则可能是乙图所示情形
B．若v0较小，则可能是甲图所示情形；若v0较大，则可能是乙图所示情形
C．地面较光滑，则可能是甲图所示情形；地面较粗糙，则可能是乙图所示情形
D．无论m、M、v0的大小和地面粗糙程度如何，都只可能是甲图所示的情形
【解析】将子弹和木块的v-t图象画在一幅图上，如右图所示，图中S2表示
整个过程中木块的位移，S1代表子弹相对木块的位移，由图易得，S1＞S2，子弹
未击穿木块，则有木块长度L＞S1，故有L＞S2，即无论m、M、v0的大小和地面
粗糙程度如何，都只可能是甲图所示的情形。
故本题选D。
【拓展】本题还可以用平均速度法轻松解决：设子弹与木块相对静止时的共v(vv
同速度为v，则这一过程中，子弹的位移为x0t
(，木块的位移为xt
2(，则子弹陷入木块的深度1
22v
为td
dxx0
(1((，设木块长度为L，则有L((x；无论m、M、v0的大小和地面粗糙程度如何，
22
2前述分析都成立，故D正确。
【例8】(多选)如图所示，水平传送带A、B两端相距s＝3.5m，工件与传送带间的动摩擦因数μ＝0.1。
工件滑上A端瞬时速度vA＝4m/s，到达B端的瞬时速度设为vB，则(g取10m/s2)()
A.若传送带不动，则vB＝3m/s
B.若传送带以速度v＝4m/s逆时针匀速转动，vB＝3m/sC.若传送带以速度v＝2m/s顺时针匀速转动，vB＝3m/sD.若传送带以速度v＝2m/s顺时针匀速转动，vB＝2m/s【解析】若传送带匀速转动，物块滑上传送带后，首先是加速或减速到与传送带速度相等，然后随传
送带相对静止一起运动。
若传送带不动，设工件能滑到B端，则由匀变速运动规
律可知v2B－v2A＝－2as，a＝μg，代入数据解得vB＝3m/s，其
与传送带的v-t图象关系如图1所示。
当满足选项B、C、D中的条件时，工件其与传送带的
v-t图象关系如图2所示，工件速度减为3m/s时还未达到与 4
3
2
1
O v/m·s-1
1 t/s 4
3
2
1
O v/m·s-1
1 t/s
传送带相对静止，就已经到达了B端，故选项A、B、C正确，D错误。
-4-4
故本题选ABC。
【拓展】根据前述分析，若传送带的速度取其他的值，工件到达B端的速度的情况，也可以用v-t图象来分析，如下所示：
v/m·s-1v/m·s-1v/m·s-1
4
3
2
1
O v/m·s-1
1 4
3
2
1
O
t/s v/m·s-1
1 4
3
2
1
O
t/s v/m·s-1
1 4
3
2
1
O
t/s 1 2323
44
33
22
11
OO
t/s1t/s 1 t/s -4-4-4-4-4-4
图中23m/s是工件一直加速到B端的速度，若传送带的速度大于
vB/m·s-1
23m/s，则工件一直加速到B端也还没有与传送带相对静止。vB随传
送带速度v的变化规律如右图所示。
对v-t图象在两个物体相对运动中的应用，更加全面、深入的讨论，
请参看本书《叠加体问题的分析技巧》一节。 23
4
3
2
1 三、v-t图象的拓展
1、分速度-时间图象 O 3 23v/m·s
-1 某个方向上的分速度-时间图象的斜率表示这个方向上物体的加速度，图象与横轴所围的面积表示这个
方向上物体的位移。
【例8】如图甲所示，轻杆一端与一小球相连，另一端连在光滑固定轴上，可在竖直平面内自由转动。
现使小球在竖直平面内做圆周运动，到达某一位置开始计时，取水平向右为正方向，小球的水平分速度vx
随时间t的变化关系如图乙所示。不计空气阻力。下列说法中正确的是()A．t1时刻小球通过最高点，图乙中S1和S2的面积相等B．t2时刻小球通过最高点，图乙中S1和S2的面积相等
C．t1时刻小球通过最高点，图乙中S1和S2的面积不相等D．t2时刻小球通过最高点，图乙中S1和S2的面积不相等【解析】由机械能守恒可知，小球通过最低点时速度最大，此速度是水平的，即图乙中的最低点，由
小球运动的周期性和对称性可知，t1时刻小球通过最高点。根据题意知，题图乙中S1面积表示小球从最低点经过四分之一圆周的水平位移，S2面积表示再经过四分之一圆周到最高点的水平位移大小，可知S1和S2的面积相等，故A正确。
本题选A。【拓展】小球过最高点后，水平速度有可能增大，也有可能减小，这取决于杆中弹力的方向（重力是
竖直的，不改变水平分速度），若小球在最高点速度较大，杆对小球的弹力为向下的拉力，其水平分量与
水平分速度方向相反，则小球的水平分速度减小，若小球在最高点速度较小，杆对小球的弹力为向上的支持力，其水平分量与水平分速度方向相同，则小球的水平分速度增大，由图乙可知，本题属于后面这种情
况。
2、速率-时间图象
(v
由
a(
(可知，速率-时间图象的斜率表示物体沿轨迹切向方向的加速度分量（投影），由(s(v(t
(t
可知，速率-时间图象与横轴所围表示物体在对应时间内发生的路程。
【例9】如图6所示，两物体由高度相同、路径不同的光滑斜面由静止下滑，物体通过两条路径的长
度相等，通过C点前后速度大小不变，且到达最低点B、D时两点的速度大小相等，
则下列说法正确的是
A．物体沿AB斜面运动时间较短
B．物体沿ACD斜面运动时间较短
C．物体沿两个光滑斜面运动时间相等
D．无法确定
【解析】由于两斜面光滑，且物体通过C点前后速度大小不变，两物体到达斜面最低点的速度大小相
等，而且两物体运动路程相等，故可利用速率—时间图象进行分析比较．从图中可以
看出，沿ACD运动时，起始阶段加速度较大，故其速率—时间图象起始阶段斜率较大，
且二者末速度相等，为了保证最后速度大小一样且包围的面积(路程)一样，可以看到
通过AB的时间t1大于通过ACD的时间t2，所以沿ACD斜面运动时间较短，故B正
确．
本题选B。
针对训练：
1、如图所示，t＝0时，质量为0.5kg的物体从光滑斜面上的A点由静止开始下滑，经过B点后进入水平
面(经过B点前后速度大小不变)，最后停在C点。每隔2s物体的瞬时速度记录在下表中，重力加速度g
＝10m/s2，则下列说法中正确的是()
t/s0246v/(m·s－1)08128
A．t＝3s的时刻物体恰好经过B点
B．t＝10s的时刻物体恰好停在C点
C．物体运动过程中的最大速度为12m/s
D．A、B间的距离小于B、C间的距离
解析：选BD根据图表中的数据，可以求出物体下滑的加速度a1＝4m/s2和在水平面上的加速度a2
＝－2m/s2。根据运动学公式：8＋a1t1＋a2t2＝12，t1＋t2＝2，解出t1＝410
s，知经过s到达B点，到达B
3340
点时的速度v＝a1t＝m/s。如果第4s还在斜面上的话，速度应为16m/s，从而判断出第4s已过B点，
3
是在2s到4s之间经过B点。所以最大速度不是12m/s，故A、C均错误。第6s末的速度是8m/s，0－8
到停下来还需的时间t′＝s＝4s，所以到C点的时间为10s，故B正确。根据v2－v02＝2ax，求出AB
－2
段的长度为200400
m，BC段长度为m，则A、B间的距离小于B、C间的距离，故D正确。
99
2、[多选]甲、乙两车在一平直公路上同向运动，其v-t图像如图所示，图中△OPQ、△OQT
的面积分别为s1、s2(s2>s1)。初始时，甲车在乙车前方s0处。则()
A．若s0＝s1＋s2，两车不会相遇B．若s0
解析：选ABC由题图可知甲的加速度a1比乙的加速度a2大，在达到速度相等的时间T内两车相对位移为s1。若s0＝s1＋s2，速度相等时乙车还没有追上，此后甲车比乙车快，不可能追上，A对；若s0
＝s2(s2>s1)，两车速度相等时乙车还没有追上甲车，并且甲车快，之后更追不上，D错。
3、[多选](2016·全国卷Ⅰ)甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其中v-t图像如图所示。已知两车在t＝3s
时并排行驶，则()
A．在t＝1s时，甲车在乙车后
B．在t＝0时，甲车在乙车前7.5m
C．两车另一次并排行驶的时刻是t＝2s
D．甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40m
[解析]由题图知，甲车做初速度为0的匀加速直线运动，其加速度a甲＝10m/s2。
1
乙车做初速度v0＝10m/s、加速度a乙＝5m/s2的匀加速直线运动。3s内甲、乙车的位移分别为：x甲＝a
甲
2
1
t32＝45m，x乙＝v0t3＋a乙t32＝52.5m。由于t＝3s时两车并排行驶，说明t＝0时甲车在乙车前，Δx＝x
乙
2
－x甲＝7.5m，选项B正确；t＝1s时，甲车的位移为5m，乙车的位移为12.5m，由于甲车的初始位置超
前乙车7.5m，则t＝1s时两车并排行驶，选项A、C错误；甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向
的距离为52.5m－12.5m＝40m，选项D正确。
[答案]BD
4、跳伞运动员做低空跳伞表演，当直升飞机悬停在离地面224m高时，运动员离开飞机作自由落体运动．运
动5s后，打开降落伞，展伞后运动员匀减速下降．为了运动员的安全，要求运动员落地速度最大不得超过
5m/s．g=10m/s2．求：
（1）运动员展伞时，离地面的高度为多少？
（2）求匀减速下降过程中的加速度大小至少是多少？（3）运动员在空中运动的最短时间为多少？
解：（1）伞打开前运动员自由下落t0=5s，根据自由落体知识知运动员下落高度为：h= 1
2 gt02=125m 所以此时运动员离高度为：H=224-125m=99m
（2）伞打开时运动的速度为：v=gt0=50m/s，落地速度为：v′=5m/s
伞打开后运动员在下落H的过程中由速度位移关系有：v′2-v2=2aH
所以运动员下落的加速度为：a=(v''2?v2)/2H==-12.5m/s2，负号表示加速度方向与速度方向相反。
（3）根据速度时间关系为：v′=v+at伞打开后运动员运动时间为：t=(v''?v)/a=3.6s所以运动员运动的最短时间为：t总=t0+t=8.6s
5、如图所示，有一内壁光滑的闭合椭圆形管道，置于竖直平面内，MN是通过椭圆中心O点的水平线。
已知一小球从M点出发，初速率为v0，沿管道MPN运动，到N点的速率为v1，所需时间为t1；若该小球
仍由M点以初速率v0出发，而沿管道MQN运动，到N点的速率为v2，所需时间为t2。则()
A．v1＝v2，t1＞t2B．v1＜v2，t1＞t2C．v1＝v2，t1＜t2D．v1＜v2，t1＜t2
[解析]由于椭圆形管道内壁光滑，小球不受摩擦力作用，因此小球从M到N
过程机械能守恒，由于M、N在同一水平高度，根据机械能守恒定律可知，小球在M、
N点的速率相等，B、D项错误；小球沿MPN运动的过程中，速率先减小后增大，而
沿MQN运动的过程中，速率先增大后减小，两个过程运动的路程相等，到N点速率
都为v0，根据速率随时间变化关系图像(如图)可知，由于两图像与时间轴所围面积相
等，因此t1>t2，A项正确，C项错误。
[答案]A
6、如图甲所示，轻杆一端与质量为1kg、可视为质点的小球相连，另一端可绕光滑固定轴在竖直平面内自
由转动．现使小球在竖直平面内做圆周运动，
经最高点开始计时，取水平向右为正方向， v/(m·s-1) 小球的水平分速度v随时间t的变化关系如图
乙所示，A、B、C三点分别是图线与纵轴、
横轴的交点、图线上第一周期内的最低点，
该三点的纵坐标分别是1、0、-5．g取10m/s2，
不计空气阻力．下列说法中正确的是（）
A．轻杆的长度为0.5m
B．小球经最高点时，杆对它的作用力方 5
4
3
2
A
·
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6 B
·
0.40.81.21.62.02.42.83.2
·
C t/s 向竖直向下
C．B点对应时刻小球的速度为3m/s 甲乙 D．曲线AB段与坐标轴所围图形的面积为0.6m
【答案】D
【解析】A、设杆的长度为L，小球从A到C的过程中机械能守恒，得： 11
mv2(mgL(mv2
2
AC
22 所以： v(v
22
LCA0.6m
((，故A错误；
4g B、若小球在A点恰好对杆的作用力是0，则： v
2
0
L (mg，临界速度： v(gL(ms(v(ms
06A1
由于小球在A点的速度小于临界速度，所以小球做圆周运动需要的向心力小于重力，杆对小球的作用力的
方向向上，是竖直向上的支持力，故B错误；
11
mv2(mgL(mv2，所以：
C、小球从A到B的过程中机械能守恒，得：
AB
22
v(v2(2gL(13ms，故C错误；
BA
D、由于y轴表示的是小球在水平方向的分速度，所以曲线AB段与坐标轴所围图形的面积表示A到B的过程小球在水平方向的位移，大小等于杆的长度，即0.6m，故D正确。
7、如图所示，水平传送带沿顺时针方向以恒定速率v0匀速转动，传送带的右侧上方固定一挡板。在t＝0
时刻，将一滑块轻轻放在传送带的左端。当滑块运动到挡板所在的位置时，与挡板
发生碰撞，已知碰撞时间极短，不计碰撞过程中的能量损失。某同学画出了滑块从
t＝0时刻到与挡板第二次碰撞前的v－t图像，其中可能正确的是()
解析传送带沿顺时针方向匀速率转动，滑块轻放在传送带上，滑块先向右做初速度为零的匀加速直线运动，如果传送带足够长，滑块加速到与传送带的速度相同，即v0，然后与传送带一起做匀速直线运动，
与挡板碰撞后滑块以初速度v0向左做匀减速直线运动，当速度减为零后再向右做初速度为零的匀加速直线
运动，与挡板发生第二次碰撞时速度为v0，滑块在传送带上做变速运动时加速度大小相等，故A正确。
答案A
8、如图甲所示，倾斜的传送带正以恒定速率v1沿顺时针方向转动，传送带的倾角为37°。一物块以初速度v0从传送带的底部冲上传送带并沿传送带向上运动，其运动的v－t图象如图乙所示，物块到传送带顶端时
速度恰好为零，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10m/s2，则()
A.传送带的速度为4m/s
B.传送带底端到顶端的距离为14m
1
C.物块与传送带间的动摩擦因数为
8
D.摩擦力方向一直与物块运动的方向相反
解析如果v0小于v1，则物块向上做减速运动时加速度不变，与题图乙不符，因此物块的初速度v0
一定大于v1。结合题图乙可知物块减速运动到与传送带速度相同时，继续向上做减速运动，由此可以判断
1
传送带的速度为4m/s，选项A正确；传送带底端到顶端的距离等于v－t图线与横轴所围的面积，即×(4
21
＋12)×1m＋×1×4m＝10m，选项B错误；0～1s内，gsinθ＋μgcosθ＝8m/s2，1～2s内，gsinθ－μgcosθ
2
＝4m/s2，解得μ＝1
，选项C错误；在1～2s内，摩擦力方向与物块的运动方向相同，选项D错误。
4答案A
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