动态分离问题的解题技巧
湖北省恩施高中陈恩谱
动态分离问题既属于动态问题又属于临界问题，是高中物理中一个较难的题型；因为对动态分离问题
的特点、动态分离的条件不理解不熟练，致使很多同学在练习中不能敏锐识别动态分离问题，把握不住动
态分离的条件。
下面以2009年武汉市二月调考理综考试卷第24题为例来说明动态分离问题的特
点和动态分离的条件。
[题目]如图所示，一质量为m的物块A与劲度系数为k原长为l0的竖直轻弹簧
的上端连接，弹簧的下端固定在地面上，一质量也为m的物块B叠放在A的上面（未
粘连），A、B处于静止状态。现用一竖直向上的恒力F=3mg/2作用在B上，试求当A
与B恰要分离时弹簧的长度。
[分析]原来未施加力F时，AB整体静止，A、B间存在相互作用的弹力，弹簧处于压缩状态，设压
缩量为x0，则对AB整体由平衡条件，有：kx0－2mg＝0
（1）施加力F后瞬间，AB不会分离——假设分离，则A具有向上的加速度aA和B具有的向上的加
速度aB分别为： kx
0mgg
(F(mg
aA((g(a((
B
mm2 A kx0 B F mgmg
即A比B运动快，会挤压B，假设不成立。
（2）施加力F后一段时间内，AB不会分离，A、B间存在相互作用的弹力，设为FN，则由牛顿第二
定律，有（AB共同加速度为a）：
Akx－mg－FN＝ma………①
BF＋FN－mg＝ma………②
ABF＋kx－2mg＝2ma………③ A
FN kx
mg FN
B F
mg F
AB kx
2mg
随着AB向上运动，弹簧压缩量x减小，由方程③可知，a减小，则由方程②可知，FN减小——注意，
AB未分离时，AB始终具有相同的加速度。
（3）当FN减小到FN=0时，此前AB一直具有相同的加速度，故此时AB还是具有相同的加速度，设
kx1F为a0，则由牛顿第二定律，有：
Akx1－mg＝ma0………④
ABBF－mg＝ma0………⑤
mgmg
（4）此后，AB分离——假设此后不分离，AB具有相同的加速度，则由方程③可知，a继续减小，由
方程②可知，将有FN＜0，即A对B存在向下的拉力，这与题意不符（AB未粘连），假设不成立。
FN=0后B受力不变以加速度a0作匀加速运动，而随弹簧继续伸长（x减小），A加速度将减小（aA＜
a0），AB分离。
（5）方程④⑤联立，解得A与B恰要分离时弹簧压缩量为：x0＝l0－l＝3mg/2k
则此时弹簧的长度为：l＝l0－3mg/2k
[小结]由上述分析可知，此过程中弹簧弹力、A、B间存在相互作用的弹力FN、AB整体的加速度a
都在随时间发生改变，此即所谓“动态”；AB最终分离时，A、B间存在相互作用的弹力FN=0，且分离前一
直到分离瞬间AB始终具有相同的加速度，此即“动态分离的条件”。
动态分离问题及动态分离的条件：
动态——两物体接触时，物体的受力、加速度一直随时间发生改变，相互作用的弹力一直减小，直到
减为零；
动态分离条件——①就要分离瞬间两物体的相互作用的弹力FN=0，②分离前一直到分离瞬间二者沿
垂直接触面方向运动相同。[例1]如图所示，在轻质弹簧下吊一物体，静止后弹簧的伸长量为△L，现有一水平
木板将物体托起，使弹簧恢复到自然长度L，并保持静止，然后，让木板由静止开始以加
速度a(a＜g)匀加速下降，直到物体与木板开始分离。这一过程经历的时间为多少？
[解]设物体质量为M，弹簧的劲度系数为k。
最初物体静止时，由平衡条件有：k△L－Mg＝0………①
当物体随木板一起作匀加速运动时，其受力如图所示，则由牛顿第二定律， M kx m a M 有：
Mg
Mg－kx－FN＝Ma………②
由方程②可知，随着物体的下降，弹簧伸长量为x增加，FN减小。当FN减小到FN=0时，物体与木板
开始分离，设此时弹簧伸长量为x0，则由牛顿第二定律，有：
kx0
Mg－kx0＝Ma………③
x(((
ga
①③联立，解得：L
0………④①③联立，解得：L
g
1
设这一过程经历的时间为t，则有：x(at2………⑤
02
④⑤联立，解得：t(2(g(a)(L/ga M Mg [易错点提示]很多同学认为物体与木板分离时处于平衡状态（a=0），即Mg－kx＝0，解得x＝△L，则
1
x(g(a(由L(at2。实际上，早在L
(解得t(2(La
（＜△L）时FN已经减为零，物体与木板就
2g
已经分离，而且分离时物体加速度并不等于0，而是a——分离前一直到分离瞬间物体与木板始终一起运
动，加速度相同，分离后加速度才不相同。
[例2]质量为m、带电量为+q的小球，从倾角为θ的光滑绝缘斜面上由静止开
始下滑，整个斜面置于方向水平向外的匀强磁场中，其磁感强度为B，如图所示。试
求小球沿斜面下滑的最大距离和时间。
[解]小球沿斜面下滑过程中受力如图所示，则在垂直斜面方向，由平衡条件，有:
qvB＋FN－mgcos(＝0………①
设小球沿斜面方向运动的加速度为a，则由牛顿第二定律，有:
mgsin(＝ma………② qvB FN mg
由方程②可知，小球沿斜面作匀加速运动；由方程①可知，随着小球下滑速度v的增加，斜面对小球
的支持力FN减小。
当FN减小到FN=0时，小球将脱离斜面，设此时小球的速度为vm，代入方程①，有
qvmB－mgcos(＝0………③
mgcos(
解得：
v
m(………④
qBqvmB
设小球沿斜面运动最大距离为s，时间为t，则有
vm2－0＝2asvm＝at………⑤ mg ②④⑤联立，解得： mgcos(
22
s(，
2qBsin(
22 t( mcos(
qBsin( [易错点提示]很多同学认为小球脱离斜面，是在洛仑兹力的竖直方向分量增加到等于重力时，即
mgmgcos(mgcos(
v(（＞
qvmBcos(－mg＝0，解得脱离时小球速度为vm(
）。实际上，小球在
mqBcos(qB
qB
对斜面的压力FN即已经减为FN=0，小球此时就要脱离斜面；此时小球的加速度仍为a＝gsin(沿斜面向下，
小球速度v继续增加，洛仑兹力超过重力垂直斜面向下的分力（qvmB＞mgcos(），小球脱离斜面。
本题中小球就要脱离斜面时，在垂直斜面方向与斜面的运动相同，即小球在垂直斜面方向加速度为零，
处于平衡状态，此即方程③的依据。[针对训练1](2016·四川成都诊断)(多选)如图，在光滑水平面上放着紧靠在一起的A、B两物体，B
的质量是A的2倍，B受到水平向右的恒力FB＝2N，A受到的水平向右的变力FA＝(9－2t)N，t的单位是
s。从t＝0开始计时，则()
A．A物体在3s末时刻的加速度是初始时刻的5
倍
11
B．t>4s后，B物体做匀加速直线运动
C．t＝4.5s时，A物体的速度为零
D．t>4.5s后，A、B的加速度方向相反
[答案]ABD
[易错点提示]
F
[针对训练2]如图所示，一个弹簧放在水平地面上，Q为与轻弹簧上端连在一起的秤盘，
盘内放一个物体P处于静止，P的质量M=10.5kg，Q的质量m=1.5kg，弹簧的劲度系数k=800N/m
PQ 质量不计。现在给P施加一个竖直向上的力F，使P从静止开始向上做匀加速直线运动，已知
在t=0.2s内F是变力，在0.2s以后F是恒力，g=10m/s2,求F的最大值和最小值。
[答案]168N，72N
[易错点提示]①以为弹簧初态处于原长——初态弹簧处于压缩状态；②不列出P运动过程中的动力学方程，从而无法分
析P运动过程中各力的变化情况；③把握不住分离条件——认为PQ分离时，Q受力平衡，即mg－kx＝0，加速度计算出
错。
[针对训练3]如图所示，A和B是两个点电荷，电量均为q，A固定在绝缘架上，B放在它的正上方很
远距离的一块绝缘板上，现手持绝缘板使B从静止起以加速度a（a
的质量为m，静电力常量为k，求：
（1）B刚开始脱离绝缘板时离A的高度h． B P（2）如果B、A起始高度差为第(1)问中高度的3倍，则B在脱离绝缘板前的运动过
程中，电场力和板的支持力对B做功的代数和为多少？
[答案]⑴
h ( kq
2
m(g(a) ⑵(2qkm(g(a) A [易错点提示]①把握不住分离条件——认为B与绝缘板分离时，B受力平衡；②未注意重力的功，功能关系不熟练——
本题可从动能定理角度处理。
[针对训练4]如图所示，空间有一垂直纸面向外的磁感应强度为0.5T的匀强磁场，一质量为0.2kg且
足够长的绝缘木板静止在光滑水平面上，在木板左端无初速放置一质量为0.1kg、电荷量q=+0.2C的滑块，
滑块与绝缘木板之间的动摩擦因数为0.5，滑块受到的最大静摩擦
力可认为等于滑动摩擦力.现对木板施加方向水平向左，大小为
0.6N的恒力，g取10m/s2.则
A.木板和滑块一直做加速度为2m/s的匀加速运动2 F B B.滑块开始做匀加速运动，然后做加速度减小的加速运动，最后做匀速直线运动
C.最终木板做加速度为2m/s2的匀加速运动，滑块做速度为10m/s的匀速运动
D.最终木板做加速度为3m/s2的匀加速运动，滑块做速度为10m/s的匀速运动
[答案]BD
[易错点提示]①认为一开始滑块就受到了滑动摩擦力——对动力学临界问题不熟练；②不画受力分析图，不写方程，
从而无法定量分析动态过程中力的变化和运动变化。(2016·四川成都诊断)(多选)如图12，在光滑水平面上放着紧靠在一起的A、B两物体，B的质量是A的2
倍，B受到水平向右的恒力FB＝2N，A受到的水平向右的变力FA＝(9－2t)N，t的单位是s。从t＝0开始
计时，则()
图12
A．A物体在3s末时刻的加速度是初始时刻的5
倍
11
B．t>4s后，B物体做匀加速直线运动
C．t＝4.5s时，A物体的速度为零
D．t>4.5s后，A、B的加速度方向相反
解析对于A、B整体据牛顿第二定律有FA＋FB＝(mA＋mB)a，设A、B间的作用力为F，则对B据牛顿第
二定律可得F＋FB＝mBa，
FA＋FB16－4t
解得F＝mB－FB＝
mA＋mB3 N。 当t＝4s时，F＝0，A、B两物体开始分离，此后B做匀加速直线运动，而A做加速度逐渐减小的加速运
动。当t＝4.5s时，A物体的加速度为零而速度不为零；t>4.5s后，A所受合外力反向，即A、B的加速度
FA＋FB
方向相反。当t<4s时，A、B的加速度均为a＝。综上所述，选项A、B、D正确。
mA＋mB
答案ABD
说明：本文收录于陈恩谱老师《物理原来可以这样学》2019年6月第三次修订版。
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