高等代数知识结构
一、高等代数知识结构图
二、高等代数知识结构内容
（一）线性代数：
工具：线性方程组
1.行列式：
1行列式的计算设有个数，排成行列的数表，即n阶行列式．这个行列式等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积
⑴的代数和，这里是的一个排列,每一项⑴都按下列规则带有符号：当是偶排列时,⑴带正号；当是奇排列时,⑴带负号．即=，这里表示对所有级排列求和.
a.行列式的性质：
性质1.行列互换，行列式不变。
性质2.一行的公因子可以提出来（或以一数乘行列式的一行就相当于用这个数
乘此行列式。
性质3.如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外与原行列式的对应行一样。
性质4.如果行列式中两行相同，那么行列式为零。（两行相同就是说两行对应元素都相同)
性质5.如果行列式中两行成比例。那么行列式为零。
性质6.把一行的倍数加到另一行，行列式不变。
性质7.对换行列式中两行的位置，行列式反号。
2.矩阵：
a.矩阵的秩：矩阵A中非零行的个数叫做矩阵的秩。
b.矩阵的运算
定义同型矩阵矩阵相等线性运算矩阵的乘法定义数，满足如下关系：
（1）g(x,y)=g(y,x)；
（2）g(x+y,z)=g(x,z)+g(y,z)；
（3）g(kx,y)=kg(x,y)；
（4）g(x,x)>=0，而且g(x,x)=0当且仅当x=0时成立。
这里x,y,z是V中任意向量，k是任意实数。
多项式理论
1.整除理论
整除：若多项式a：“f（x）”除以多项式b：“g（x）”，商为一个多项式，且余数为零多项式。我们就说a能被b整除（或说b能整除a），记作b|a，读作“b整除a”或“a能被b整除”．
1）最大公因式
多项式的最大公因式的定义
定义（公因式与最大公因式）
定义1若既是的因式，又是的因式，则称是与的公因式。
因所以任意两个多项式都有公因式。
2）互素
如果，那么就说，即两个多项式只有零次公因式时，称为互素。
的公因式，就称这两个多项式互素
2.因式分解理论
1）重因式
定义设p(x)为不可约多项式.如果f(x)能被p(x)的k次方整除而p（x）的k+1次方不能,则称p(x)是f(x)的k重因式.
若k=0,则p(x)不是f(x)的因式.
若k=1,则称p(x)是f(x)的单因式.
若k>1,则称p(x)是f(x)的重因式.
也可以定义高阶微商的概念,一阶微商f''(x)的微商称为f(x)的二阶微商,记为f''''(x).一般地,f(x)的k阶微商定义为f(x)的k-1阶微商的微商:
定理如果不可约多项式p(x)是f(x)的k重因式（k≥1),那么它是f''(x)的k-1重因式.
注意:该定理的逆定理一般不成立
推论1：如果不可约多项式p(x)是f(x)的k(k≥1)重因式,那么p(x)分别是f''(x),f''''(x)...f(k-1)(x)的k-1,k-2,...,1重因式,但不是f(k)（x）的因式.
推论2：不可约多项式p(x)是f(x)的重因式的充分必要条件是p(x)为f(x)与f''(x)的公因式.
推论3：多项式f(x)没有重因式的充分必要条件是(f(x),f''(x))=1.
2)唯一性理论
不可约多项式
定义：数域P上次数的多项式p(x)称为不可约多项式，如果p(x)不能表成数域P上的两个次数比p(x)低的多项式的乘积。
唯一性指：数域P上每一个次数1的多项式f(x)均可分解成数域P上一些不可约多项式的乘积。F[x]中任一个次数不小于1的多项式都可以分解为F上的不可约多项式的乘积,而且除去因式的次序以及常数因子外，分解的方法是惟一的。
当F是复数域C时，根据代数基本定理，可证C[x]中不可约多项式都是一次的。因此，每个复系数多项式都可分解成一次因式的连乘积。
当F是实数域R时，由于实系数多项式的虚根是成对出现的，即虚根的共轭数仍是根，因此R[x]中不可约多项式是一次的或二次的。所以每个实系数多项式都可以分解成一些一次和二次的不可约多项式的乘积。实系数二次多项式αx2+bx+с不可约的充分必要条件是其判别式b2-4αс<0。
当F是有理数域Q时，情况复杂得多。要判断一个有理系数多项式是否不可约，就较困难。应用本原多项式理论，可把有理系数多项式的分解问题化为整系数多项式的分解问题。一个整系数多项式如其系数是互素的,则称之为本原多项式。每个有理系数多项式都可表成一个有理数及一个本原多项式的乘积。关于本原多项式有下述重要性质。
行列式的计算
研究范围
线性空间
酉空间
复数域上的正交变换
酉空间的性质
欧式空间
正交变换与正交矩阵
正交化与正交补的求法
欧式空间的性质
线性空间
可对角化及不变子空间
特征值与特征向量
坐标变换与基变换
线性变换
线性空间的性质与同构，
子空间的判定
II-C定理
若尔当典范性
矩阵的可对角化
J矩阵
对称双线性函数
单线性函数
线性函数
正定性，合同
对角化
化为标准型（配方法，
线性方程组法，正交法）
二次型
线性流形
中心课题
线性典范型
向量相关性
线性相关和线性无关
极大线性无关组
工具
线性方程组
线性方程组
线性方程组的解法及判别定理
线性方程组解的结构
矩阵的运算与逆
矩阵的初等变换
矩阵
矩阵的秩
行列式的性质
行列式
高等代数
线性代数
多项式理论
多元多项式/
对称多项式
韦达定理
根的判别式
判定（爱绅斯坦因）
求法
多项式根的理论
有理数域
实数域
复数域
因式分解理论
重因式
因式分解唯一性
互素与同于
最大公因式定理
整除理论
1．公因式:
满足:
2．最大公因式:
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