专题23 二次函数定值定点问题

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1．（2021?广元）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别相交于、两点，与轴相交于点，下表给出了这条抛物线上部分点的坐标值：

0 1 2 3 0 3 4 3 0 （1）求出这条抛物线的解析式及顶点的坐标；

（2）是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点在点上方），求的最小值；

（3）如图2，点是第四象限内抛物线上一动点，过点作轴，垂足为，的外接圆与相交于点．试问：线段的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．





【分析】（1）运用待定系数法即可求出抛物线解析式，再运用配方法求出顶点坐标；

（2）如图1，将点沿轴向下平移1个单位得，连接交抛物线对称轴于点，过点作，交对称轴于点，连接，此时，、、三点共线，的值最小，运用勾股定理即可求出答案；

（3）如图2，连接，设，且，可得，，，运用圆内接四边形的性质可得，进而证明，利用，即可求得答案．

【解答】解：（1）根据表格可得出，，，

设抛物线解析式为，

将代入，得：，

解得：，

，

该抛物线解析式为，顶点坐标为；

（2）如图1，将点沿轴向下平移1个单位得，连接交抛物线对称轴于点，

过点作，交对称轴于点，连接，

、关于直线对称，

，

，，

四边形是平行四边形，

，，

在中，，

，

此时，、、三点共线，的值最小，

的最小值为；

（3）线段的长为定值

如图2，连接，

设，且，

轴，

，

，

，，

四边形是圆内接四边形，

，

，

，

，

，

，

，

，

线段的长为定值1．







2．（2021?益阳）已知函数的图象如图所示，点，在第一象限内的函数图象上．

（1）若点，也在上述函数图象上，满足．

①当时，求，的值；

②若，设，求的最小值；

（2）过点作轴的垂线，垂足为，点关于轴的对称点为，过点作轴的垂线，垂足为，关于直线的对称点为，直线是否与轴交于某定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．







【分析】（1）①将时代入相应解析式计算即可；②由且．得，将化为自变量为的二次函数，求出最小值；

（2）设直线交轴于点，连接，由角平分线与平行，可推导出，表示出，，的长度，通过勾股定理得出等式，化简即可解决问题．

【解答】解：（1）①，由且时，

由，

（负值舍），

由，

，

②且．，

且，

，，

，

当时，有最小值为，

（2）如图，设直线交轴于点，连接，



轴，

轴，

，

点与关于对称，

，，

，

，

，

点，在第一象限内的函数图象上．

，，

，

轴，

点的坐标为，，

点与关于轴对称，

点的坐标为，

，，

在中，由勾股定理得：

，

化简得：，

，

，

直线与轴交于一定点，坐标为．





3．（2021?大庆）如图，抛物线与轴交于原点和点，且其顶点关于轴的对称点坐标为．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）抛物线的对称轴上存在定点，使得抛物线上的任意一点到定点的距离与点到直线的距离总相等．

①证明上述结论并求出点的坐标；

②过点的直线与抛物线交于，两点．

证明：当直线绕点旋转时，是定值，并求出该定值；

（3）点是该抛物线上的一点，在轴，轴上分别找点，，使四边形周长最小，直接写出，的坐标．







【分析】（1）求出，，再将点、点、点代入抛物线，即可求解解析式；

（2）①设，，由已知可得，整理得到，因为任意一点到定点的距离与点到直线的距离总相等，所以，即可求坐标；②设过点的直线解析式为，，，，，联立直线与抛物线解析式得，则有，，，，由①可得；

（3）作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接交轴、轴分别于点、，四边形周长，求出，，可得直线的解析为，则可求，，．

【解答】解：（1）顶点关于轴的对称点坐标为，

，

，

将点、点、点代入抛物线，

得到，解得，

；

（2）①设，，

到定点的距离与点到直线的距离相等，

，

整理得，，

距离总相等，

，

；

②设过点的直线解析式为，，，，，





联立，整理得，

，，

，，

到点与点到的距离相等，到点与点到的距离相等，

，

是定值；

（3）作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接交轴、轴分别于点、，

，，

四边形周长，

点是该抛物线上的一点

，

，

，，

直线的解析为，

，，．