第2章 一元二次方程 一元二次方程 第2章 一元二次方程的解法 本课内容 一元二次方程 2.2 一元二次 方程的解法 2.2.
3 因式分解法 返回 问题1：因式分解的意义是什么？因式分解的方法有哪些？ 一、复习回顾： 因式分解主要方法: (1)提取公
因式法 (2)公式法: 平方差公式a2－b2=(a + b) (a－b) 完全平
方公式 a2±2ab+b2=(a±b)2 把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做分解因式. 问题2：请你试利用因式分解的
方法解下列方程，并说明你的解法的依据是什么？ 例1 解方程： 动脑筋 例1 解方程： 动脑筋 上面这样的方程可
以用什么方法来解呢？ 这个方程可以用公式法来解，也可以用配方法来解。可是好像用配方法时，一次项系数的一半是个分数，计算比较
麻烦。公式法相对简单些，而且c等于0。再想一想还有没有更简单的方法呢？ 像上面这样， 利用因式分解来解一元二次方程
的方法叫作因式分解法. 例1 解方程： 观察这个方程的左侧，发现可以因式分解为x(x-3)，所以原方程可化为： x(x-
3)=0 x(x-3)=0 若a·b=0，则a=0或b=0 x=0 或 x-3=0 即 x1=0， x2=3.
利用因式分解法解一元二次方程的实质也是将一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程. 做一做 练习 用因式分解法解
下列方程： （1） x (x – 5 ) = 3x ； （2） 2x( 5x – 1) = 3( 5x – 1)； （3） (3
5－2x )2 – 900 = 0. 解：把方程因式分解， 得 x （ x - 8 ） = 0， 由此得 x =
0 或 x - 8 = 0. 解得 x1 = 0 ， x2 = 8. （1） x (x – 5 )
= 3x （2） 2x( 5x – 1) = 3( 5x – 1) 解：原方程可化为 2x (5x – 1) – 3( 5x –
1) = 0， 把方程左边因式分解， 得 (5x – 1)( 2x – 3) = 0， 由此得
5x - 1 = 0或2x - 3 = 0. 解得 x1 = ,
x2 = （3） (35－2x )2 – 900 = 0 解: 原方程可化为(35 - 2x )2 - 302 = 0. 把
方程左边因式分解， 得 (35－2x + 30)(35 - 2x – 30) = 0. 由此得 65 - 2x = 0 或
5 - 2x = 0. 解得 x1 = 32.5， x2 = 2.5. 例8 用因式分解法解下列方程： x2
- 10x + 24 = 0. 解 配方， 得x2 - 10x + 52 - 52 + 24 = 0， 因而
(x - 5 )2 - 12 = 0， 把方程左边因式分解， 得 (
x - 5 + 1 )( x - 5 – 1) = 0， 即 (x – 4)(x
– 6) = 0， 由此得 x - 4 = 0 或 x - 6 = 0.
解得 x1 = 4， x2 = 6. 举 例 从例8可以看
出， 我们能把方程 x2 - 10x + 24 = 0 的左边因式分解后， 写成 x2 - 10x + 24 = (x - 4 )
(x – 6)= 0， 则4和６就是原方程的两个根. 一般地， 若我们能把方程x2 + bx + c = 0的
左边进行因式分解后， 写成 x2 + bx + c = (x - d )(x – h)= 0， 则d和h就是方程 x2 + bx
+ c = 0 的两个根. 反过来，如果d和h是方程 x2 + bx + c = 0 的两个根，则方程的左边可以
分解成 x2 + bx + c = (x - d )(x – h)= 0， 我们已经学习了用配方法、公式法和因式分
解法解一元二次方程，在具体的问题中，我们要根据方程的特点，选择合适的方法来求解. 下列方程用哪种方法求解较简便？ 说说你的理由.
（1） （3） 议一议 议一议 议一议 选择合适的方法解下列方程： （1） （2） （3） 举 例 把方程左边因式分解得 解
由此得 或 （1） 解得 所以 ，
因此， 原方程的根为 （2） 因而
， 这里a = 5，b = -4， c = -1. 解 （3） 由此得 x + 1 = 2 或 x
+ 1 = -2, 解得 解 原方程可化为 即 说一说 如何选择合适的方法来解一元二次方程呢？ 公
式法适用于所有一元二次方程. 因式分解法（有时需要先配方）适用 于所有一元二次方程. 配方法是为了推导
出求根 公式，以及先配方，然后用因 式分解法. 解一元二次方程的基本思路都是：将一元二次方程转化为一元一次方程，即
降次， 其本质是把ax2 + bx + c = 0（ a≠0 ）的左端 的二次多项式分解成两个一次多项式的乘积，即ax2 + bx
+ c =a（x-x1）（x-x2）， 其中 x1和x2是方程 ax2 + bx + c = 0的两个根. 结论 小结： 1.因
式分解法是一种比较简单的解方程的方法，我们是如何通过因式分解把一元二次方程降次的呢？ 2. 利用因式分解法解一元二次方程的主要步
骤有哪些？ 中考 试题 例 （南充2012）方程x(x-2)+x-2=0的解是（?? ） ? （A）2? （B）-2,1?
（C）－1? （D）2,－1? 考点： 解一元二次方程-的解法因式分解法。 ?分析： 先利用提公因式因式分解，再化为两个一元一次方程，解方程即可． ?解答： 解：x(x﹣2)+(x-2)=0， ?∴(x-2)(x+1)=0， ?∴x-2=0，或x+1=0， ?∴x1=2，x2=-1． D 结 束 单位：北京171中 姓名：王芳 |
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