结 束 单位：北京25中 姓名：李贞 一元二次方程的应用 本课内容 本节内容 2.5 一元二次方程在数学和实际生活中有
许多应用，本节来举一些例子． 某省农作物秸秆资源巨大，但合理使用量十分有限，因此该省准备引进适用的新技术来提高秸秆的合理使
用率.若今年的使用率为40%，计划后年的使用率达到90%，求这两年秸秆使用率的年平均增长率（假定该省每年产生的秸秆总量不变）.
今年的使用率×（1+年平均增长率）2 =后年的使用率 你能找出问题中涉及的等量关系吗？ 40%（1+x）2=90%
整理，得 （1+x）2=2.25 解得 x1=0.5=50%， x2=-2.5 答：这两年秸秆使用率的年平
均增长率为50%. 若设这两年秸秆使用率的年平均增长率为x，请你根据等量关系，列出方程： 接下来请你解出此一元二次方程 x2=-2
.5符合题意吗？ （不合题意，舍去） 例1 为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100
元降为81元.求平均每次降价的百分率。 举 例 原价×(1-平均每次降价的百分率)2=现行售价 你能找出问题中涉及的等量关系吗
？ 100（1-x）2=81 解得 x1=0.1=10%, x2=1.9 答：平均每次降价的百分率为10%.
若设平均每次降价的百分率为x，根据等量关系你能列出方程吗？ (不合题意，舍去) 接下来请你解出此一元二次方程 两个
根都符合题意吗？ 例2 某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品.若每件商品的售价为x元，则可卖出（350-10x）件，但物价
局限定每件商品的售价不能超过进价的120％.若该商店计划从这批商品中获取400元利润（不计其他成本），问需要卖出多少件商品，此时的
售价是多少？ 举 例 （售价-进价）×销售量=利润. 你能找出问题中涉及的等量关系吗？ （x-
21)(350-10x）=400 整理，得 x2-56x+775=0 解得 x1=25, x2=3
1. 注意：21×120%=25.2，即售价不能超过25.2元， 所以x=31不合题意，应当舍去.故x=25. 答：该商店需要卖
出100件商品，且每件商品的售价是25元. 你能根据等量关系列出方程吗？ 从而卖出350-10x=350-10×25
=100（件） 你认为运用一元二次方程解实际问题的关键是什么？ 找出问题中的等量关系 说一说 1.审题
,找出问题中的等量关系 2.根据题意，设未知数 3.把等量关系转换成一元二次方程 4.选取适当的方法解方程 5.根据题意对求出的根
的实际意义进行检验 6.答题 运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？ 1.某校图书馆的藏书在两年内从５万册增加到7.2万册
，问平均每年藏书增长的百分率是多少？ 练习 解：设平均每年藏书增长的百分率为x 5（1+x）2 = 7.2 整
理，得 (1+x)2=1.44 解得 x1=0.2=20% , x2=-2.2 (
不符合题意，舍去) 答：平均每年藏书增长的百分率为20%。 2.某品牌服装专营店平均每天可销售该品牌服装20件，每件可盈利44元．
若每件降价1元，则每天可多售出5件．若要平均每天盈利1600元，则应降价多少元？ 解：设应降价x元，则 (44-x)(20+5x)
=1600 整理，得 x2-40x+144=0 解得 x1=36, x2=4 答：应降价
36元或4元。 举 例 例3 如图2-2，一块长和宽分别为40 cm，28 cm的矩 形铁皮，在它的四角截去四个全
等的小正方 形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面 积为364 cm2. 求截去的小正方形的边长. 底面长×
宽 = 底面积 你能找出问题中涉及的等量关系吗？ 若设截去的小正方形的边长为xcm，则无盖长方体盒子的底面
边长分别为(40-2x)cm，(28-2x)cm，根据等量关系你能列出方程吗？ 解得 x1=27，x2=7 ．
因此 原方程可以写成 x2-34x+189=0. 这里 a=1，b=-34，c=189， b2-4ac
=(-34)2-4×1×189=(2×17)2-4×189 = 4(172-189)=4×(289-189
)=400， (40-2x)(28-2x)=364 接下来请你解出此一元二次方程 两个根都符合题意吗？ 如果截去的小正方形
的边长为27 cm，那么左下角和右下角的两个小正方形的边长之和为54 cm，这超过了矩形铁皮的长40 cm. 因此x1=27不合题
意，应当舍去． 答：截去的小正方形的边长为7 cm． 例4 如图2-4，一长为32m、宽为24m的矩形地面上修建有同样宽的道路（
图中阴影部分），余下部分进行了绿化.若已知绿化面积为540m2，求道路的宽. 举 例 分析 虽然“整个矩形的面积-
道路所占面积=绿化面积”，但道路不是规则图形，因此不便于计算。 分析 若把道路平移，此时绿化部分就成了一个新
的矩形了， 问题中涉及的等量关系是什么？ 矩形面积=矩形的长×矩形的宽 若设道路宽为x m，则新矩形的边长为(32-x)m
，宽为(20-x)m，根据等量关系你能列出方程吗？ (32-x)(20-x)=540 整理，得 x2-52x+10
0=0 解得 x1=2 , x2=50 又要问自己一个问题：两个根都符合题意吗？ x2=50＞32 ，不
符合题意，舍去,故 x=2. 答：道路的宽为2米. 举 例 例5 如图2-6所示，在△ABC中，∠C=90°， AC=6cm，B
C=8cm.点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm/s的速度移动，且当其中一点到
达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使△PCQ的面积为9cm2？ 问题中涉及的等量关系是什么？ 两
直角边的乘积的一半 = 直角三角形的面积 S△PCQ=?PC×CQ 你能根据等量关系列出方程吗？ 根据题意得AP
= xcm,PC=(6-x)cm,CQ=2xcm 若设点P，Q出发xs后可使△PCQ的面积为9cm2 整理，得 解得
x1= x2=3 答：点P，Q出发3s后可使△PCQ的面积为9cm2. 练习 3. 如图， 在长为100m、宽为80m
的矩形地面上要修建 两条同样宽且互相垂直的道路，余下部分进行绿化． 若要使绿化面积为7644 m2，则路宽应为多少米？ 解 设修建
的路宽应为x米，则根据题意得 化简，得 解得 （不合题意，舍去） 修建的路宽应为2m. 答： 100m 80m 练习 4.如图，在
Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm.点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AC， BC向终点C移动，它们的速度
都是1cm/s，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半？
答：点P，Q同时出发2s后可使可使△PCQ的面积为 Rt△ABC面积的一半. 整理， 得 则由S△PCQ
= 可得 解得 （不合题意，舍去） 则根据题意得 AP=BQ=xcm，PC=（8-x）cm，CQ=（6-x
）cm. 解 设点P，Q 出发x秒后可使△PCQ的面积为 Rt△ABC面积的一半， 建立一元二次方程模型 实际问题 分析数量关系
设未知数 实际问题的解 解一元二次方程 一元二次方程的根 检 验 小结与复习 中考 试题 例1 （2
012湘潭）如图，某中学准备在校园里利 用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足
可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使 矩形花园的面积为300m2． 解 设AB=xm，则BC=（50﹣2x）m．根据
题意可得， x（50﹣2x）=300 解得： x1=10，x2=15， 当x=10，BC=50﹣
10﹣10=30＞25，故x1=10不合题意舍去. 答：可以围成AB的长为15米，BC为20米的矩形． 中考 试题 例2
（2012济宁）一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买力一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵
售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元，该校
最终向园林公司支付树苗款8800元，请问该校共购买了多少棵树苗？ 解：因为60棵树苗售价为120元×60=7200元＜8800元， 所以该校购买树苗超过60棵，设该校共购买了x棵树苗， 由题意得：x[120﹣0.5（x﹣60）]=8800. 解得： x1=220， x2=80． 当x=220时，120﹣0.5×（220﹣60）=40＜100，故x1=220不合题意，舍去；当x=80时，120﹣0.5×（80﹣60）=110＞100，故x=80. 答：该校共购买了80棵树苗． |
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