第四章 Hilbert 空间
§4.1 内积空间的定义及其性质
定义 4.1.1 设 X 是 数域 K 上 的 线性空间 ，如果 有泛函 ( , ) : X X K? ? ? ? 满足如下 内积
公理 ：
（ 1） 正定性 ：对任意 xX? ， 有 ( , ) 0xx? ， ( , ) 0xx? 当且仅当 x?0 ，
（ 2） 共轭对称性 ：对任意 ,xy X? ， 有
( , ) ( , )x y y x? ，
其中 (, )yx 表示 (, )yx 的共轭 ，
（ 3） （ 关于 第一变元 ） 可加性 ：对任意 12,,x x y X? ， 有
1 2 1 2( , ) ( , ) ( , )x x y x y x y? ? ?，
（ 4） （ 关于 第一变元）齐次性 ： 对任意 ,xy X? , K?? , 有
( , ) ( , )x y x y??? ，
则称 (, )xy 为 x 与 y 的 内积 ， 定义 了内积的线性空间 X 称为 内积空间 ，当 K 为实数域 ?（ 或
复数域 ? ），称 X 为 实（或复）内积空间 .
由 定义不难看出， 内积运算关于第一变元是线性的 . 如果 X 为 实 内积空间，内积关于
第二个变元也是线性的 . 如果 X 为复内积空间，则对任意 12,,x y y X? , 12, K??? , 有
1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )x y y y y x y x y x x y x y? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?.
在后面的 讨论中不加注明时， 我们默认 X 为复内积空间 .
引理 4.1.1（ Schwarz 不等式） 设 X 为内积空间，对任意 ,xy X? ，不等式
2| ( , ) | ( , )( , )x y x x y y?
恒成立
第四章 Hilbert 空间
132 泛函分析讲义 [乌力吉 ]
证 如果 y?0 ，则不等式显然成立 . 设 y?0 ，则对任意 K?? ，有
0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )x y x y x x x y x y y y? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?，
特别取 ( , )
( , )xyyy???
，代入上式，得 2| ( , ) | ( , )( , )x y x x y y? .
定理 4.1.2 设 X 为内积空间， 对 任意 xX? ，令 || || ( , )x x x? ，则 ||||x 是 x 的范数 .
证 对于 || || ( , )x x x? ， 范数 公理的非负性和正齐次性 由内积 公理 立刻 推出，我们 下面
验证它满足 次可加性 . 对任意 ,xy X? ，由 Schwarz 不等式，我们有
2| | | | ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )x y x y x y x x x y y x y y? ? ? ? ? ? ? ?
2 2 2| | | | 2 | | | | | | | | | | | | ( | | | | | | | | )x x y y x y? ? ? ? ? ?，
故 || || || || || ||x y x y? ? ?. 从而 || || ( , )x x x? 确实定义了内积空间 X 上的一个范数 .
注 我们 通常 称 || || ( , )x x x? 为 由 内积导出的范数 ，于是内积空间按此范数成为一个
赋范线性空间 . 在此意义下 ， 关于赋范线性空间的有关内容都适用于内积空间 .
特别当内积空间 X 按由内积导出的范数完备 时 ， 我们 称 X 为 Hilbert 空间 .
下面 介绍几个常用的 Hilbert 空间的例子 .
例 4.1 以 nK 表示（实或复） n 维向量 空间， 定义内积
1( , )
n
iiixy ?????
， 12( , , , )nx ? ? ?? ? ， 12( , , , )ny ? ? ?? ? ，
不难验证 ， nK 在此内积下 成为一个 内积 空间 . 由于该内积导出的范数就是我们以前给出的
范数，因此， nK 还是 Hilbert 空间 .
例 4.2 2l 空间 . 对任意 12( , , , , )nx ? ? ?? ??, 212( , , , , )nyl? ? ?????，定义内积
1( , ) iiixy ??
?
???
，
由 赫尔德 不等式知 2l 上这样定义的内积有意义，且容易 验证 满足内积的四条公理，因此 2l 是
内积空间 . 由于该内积导出的范数就是我们以前给出的 2l 范数，故 2l 是 Hilbert 空间 .
§ 4.1 内积空间的定义及其性质
泛函分析讲义 [乌力吉 ] 133
例 4.3 2[ , ]Lab 空间 . 对 任意 2( ), ( ) [ , ]f x g x L a b? ，定义内积
( , ) ( ) ( )baf g f x g x dx? ? ，
不难验证 2[ , ]Lab 是 Hilbert 空间 .
定理 4.1.3 设 X 为内积空间，则有
（ 1）内积 ( , ) : X X K? ? ? ? 是连续泛函；
（ 2） （极化恒等式） 对任意 ,xy X? ， 当 X 为复内积空间时， 等式
2 2 2 21( , ) ( | | | | | | | | | | | | | | | | )4x y x y x y i x iy i x iy? ? ? ? ? ? ? ? (4.1.1)
恒成立 ；当 X 为实内积空间时， 等式
221( , ) ( || || || || )4x y x y x y? ? ? ? (4.1.2)
恒成立 .
（ 3） （ 中线公式 ） 对任意 ,xy X? ，等式
2 2 2 2|| || || || 2 || || 2 || ||x y x y x y? ? ? ? ? (4.1.3)
恒成立 .
证 （ 1）设 , , ,nnx x y y X? ( 1,2,n? ? )满足 lim
nn xx?? ?
， lim
nn yy?? ?
，则由 Schwarz 不
等式，我们有
| ( , ) ( , ) | | ( , ) ( , ) | | ( , ) ( , ) |n n n n n nx y x y x y x y x y x y? ? ? ? ?
| ( , ) | | ( , ) |n n nx x y x y y? ? ? ?
| | | | | | | | | | | | | | | | 0 ( )n n nx x y x y y n? ? ? ? ? ? ? ? ?，
故 (, )xy 关于 x 和 y 连续 .
（ 2） 当 X 为复内积空间时， 由 内积和范数的定义，有
22|| || || || 2 ( , ) 2 ( , ) 2 [ ( , ) ( , ) ] 4 R e ( , )x y x y x y y x x y x y x y? ? ? ? ? ? ? ?，
22|| || || || 2 [ ( , ) ( , ) ] 2 [ ( , ) ( , ) ] 4 I m ( , )i x iy i x iy i x iy iy x i i x y i x y x y i? ? ? ? ? ? ? ? ?，
两式相加，得到极化恒等式 (4.1.1). 由上述 第一个 等式易见，当 X 为实内积空间时， 极化恒
等式 (4.1.2)成立 .
第四章 Hilbert 空间
134 泛函分析讲义 [乌力吉 ]
（ 3） 对任意 ,xy X? ，由内积和范数的定义，有
2 2 2 2| | | | | | | | 2 | | | | ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 2 | | | |x y x y x x y y x x y y x y? ? ? ? ? ? ? ? ?
222 || || 2 || ||xy??.
注 中线公式又 称为 平行四边形公式 ，这是因为 在平面 2? 中， 该公式揭示了 平行四边
形的对角线长度的平方和等于四条边的长度平方和 这一事实 . 事实上 ，可以证明中线公式是
内积空间中由内积导出的范数的特征性质，即当 X 为赋范线性空间时，若 对任意 ,xy X? ，
中线公式 （ 4.1.3）总成立 ， 则 通过在 X 中 定义内积 (, )xy 如等式 (4.1.1)，使 X 成为内积空
间，且 X 的 范数 是 由此内积导出 的范数 . 也就是 说， 一个赋范线性空间 是由 内积空间 导出
的充分必要 条件是其范数要满足中线公式 .
因此， 我们可以通过中线公式 的成立与否 来判断一个赋范线性空间是否由一个内积空间
导出 . 例如， 当 1p? 且 2p? 时， 取
(1,1, 0 , , 0 , ) pxl????， (1, 1, 0 , , 0 , ) pyl? ? ???
则 1/|| || || || 2 pxy??，且 || || || || 2x y x y? ? ? ?，显然 pl ( 2)p? 的范数不满足中线公式，从
而 pl ( 2)p? 不是内积空间 .
§4.2 Hilbert 空间的 正交系
§4.2.1 正交 投影
定义 4.2.1 设 X 为内积空间， 且 ,xy X? ， 如果 ( , ) 0xy? ， 则 称 x 与 y 正交 ，记为 xy? ；
设 xX? ,MX? ， 如果 x 与 M 中的 每个 向量 正交 ，则称 x 与 M 正交 ，记为 xM? ；设
MX? ,NX? ，如果任意 xM? 和 yN? ，都有 xy? ， 则称 M 与 N 正交 ，记为 MN? ；
设 MX? ，我们称集合 { | }M x X x M? ? ? ?为 M 的 正交 补 .
由 上述 定义， 我们 可以得到正交 如下性质 ：
（ 1）零 向量 0 与 X 中每个 向量 x 正交 ；
（ 2） 对任意 MX? ，如果 M?0 ，则 MM?? ?? ； 如果 M?0 ，则 {}MM???0 ；
§ 4.2 Hilbert 空间的正交系
泛函分析讲义 [乌力吉 ] 135
（ 3） 如果 ,xy X? 正交 ，则勾股公式 2 2 2|| || || || || ||x y x y? ? ?成立 ；
（ 4）如果 M 是 X 的一个稠密子集，且 xM? ，则必有 x?0 ；
（ 5） 对任意 MX? ， M? 是 X 的闭子空间 .
证 由内积和正交的定义易见（ 1），（ 2）和（ 3） . 下面我们证明（ 4）和（ 5） .
（ 4）设 M 是 X 的一个稠密子集， 且 xM? ， 则存在点列 {}nxM? ，满足 lim
nn xx?? ?
，
利用内积的连续性，我们得到
( , ) ( l i m , ) l i m ( , ) 0nnnnx x x x x x?? ??? ? ?，
故 x?0 .
（ 5）对任意 1 2 1 2, , ,y y M K?????，由于 有
121 1 2 2 1 2( , ) ( , ) ( , ) 0x y y x y x y? ? ? ?? ? ? ?，
故 M? 是 X 的线性子空间 .
设点列 {}nyM?? ， 且 满足 lim
nn yy?? ?
，由正交补的定义及内积的连续性，对任意
xM? ，有
( , ) ( , l im ) l im ( , ) 0nnnnx y x y x y? ? ? ?? ? ?，
故 yM?? ，从而 M? 为闭集 . 综上， M? 是 X 的闭子空间 .
定义 4.2.2 设 M 是内积空间 X 的一个线性子空间 ， xX? ， 如果 存在 yM? ,zM?? ，
使得 x 有正交分解
x y z??，
则称 y 为 x 在 M 上的 正交 投影 ， 简称为 投影 .
注 （ 1） 在 一般情况 下 ， 一个 向量 x 在 X 的某个空间 M 上不一定存在投影 . 但当投影
存在时 ，由正交的性质（ 2）易见， 投影 是 惟一 的 .
（ 2）表达式 x y z??有时也称为 x 的 正交分解 .
定义 4.2.3 设 M 是度量空间 X 的一个非空子集， xX? ，我们 称 inf ( , )
yM xy??
为 x 到 集
合 M 的距离 ， 记为 ( , )xM? . 如果 存在 yM? ，使得 ( , ) ( , )x y x M??? ，则称 y 为 x 在 M
第四章 Hilbert 空间
136 泛函分析讲义 [乌力吉 ]
中 最佳逼近元 .
设 M 是线性空间 X 的一个非空子集，如果对任意 ,xy M? ， [0,1]?? ，都有
(1 )x y M??? ? ?，
则称 M 是 X 的 凸集 . 如果凸集 M 又是闭集，则称 M 是 闭凸集 .
定理 4.2.1 设 M 是 Hilbert 空间 X 中的 闭凸集， 则 对 任意 xX? ， 在 M 中 必存在 惟一
的 最佳逼近元 .
证 令 ( , )d x M?? ，则 由 ( , )xM? 的定义知， 存在 {}nyM? ，使得 lim || ||
nn y x d?? ??
.
由于 M 是凸集， 故对任意 ,nm，有 ( ) / 2nmy y M??， 从而 必有
|| ||2nmyyxd???.
于是，由中线公式，我们有
2 2 2 2| | | | 2 | | | | 2 | | | | 4 | | | |2nmn m n m yyy y y x y x x ?? ? ? ? ? ? ?
2 2 22 || || 2 || || 4 0 ( , )nmy x y x d n m? ? ? ? ? ? ? ?，
这 表明 {}ny 是 X 中的 Cauchy 列，由于 X 是完备的，故存在 yX? ，使得 lim
nn yy?? ?
. 再
注意到 M 是闭集且 {}nyM? ，故 yM? ，且
|| || || l i m || l i m || ||nnnnx y x y x y d?? ??? ? ? ? ? ?，
这表明 y 是 x 在 M 中的最佳逼近元 .
如果 zM? 也是 x 在 M 中的最佳逼近元，则 由中线公式 ，有
2 2 2 20 | | | | 2 | | | | 2 | | | | 4 | | | | 02yzy z y x z x x ?? ? ? ? ? ? ? ? ?，
即 zy? . 这表明 x 在 M 中的最佳逼近元是惟一的 .
定理 4.2.2 （投影定理） 设 M 是内积空间 X 的完备线性子空间，则 对 任意 xX? ， 在
M 中 必 存在 惟一 的 投影 y ，且 y 就是 x 在 M 中的最佳逼近元 .
§ 4.2 Hilbert 空间的正交系
泛函分析讲义 [乌力吉 ] 137
证 由于完备线性子空间是闭凸集，故 由定理 4.2.1 可知 ， x 在 M 中有惟一的最佳逼近
元 yM? . 由最佳逼近元的定义及 M 是线性子空间知，对任意 zM? ， K?? ，有
2 2 2 2 2|| || || ( ) || || || ( , ) ( , ) | | || ||x y x y z x y x y z z x y z? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，
取 z?0 ， 2( , )/ || ||x y z z? ?? ， 代入 上述不等式 ，得
2| ( , ) | 0x y z? ? ?，
由此 得 ( , ) 0x y z??，这表明 x y M??? ， 从而
()x y x y? ? ? ， yM? ， x y M??? ，
即 x 在 M 中存在投影 y ， 投影的惟一性由定义 4.2.2 的注得证 .
注 若 X 为 Hilbert 空间，则 在任意闭 子空间 MX? 上 投影定理成立 ，这时，我们可
以把 X 写成 X M M??? ， 即 把 X 表示为两个 正交 子空间的直和， 并称为 X 的 正交 分解 ，
因此，投影定理有时也称为 正交分解定理 .
作为投影定理的应用，我们可以把最小二乘法、最佳逼近及最佳估值中有关命题加以统
一处理，抽象成如下形式的命题 .
例 4.4 设 X 是内积空间， 12, , , nx x x? 是 X 中的 n 个向量 ， 则对任意 xX? ，存在
12, , , n K? ? ? ?? ，使得
111|| || i n f || ||i
nn
i i i iKiiinx x x x????????? ? ???
. （ 4.2.1）
证 如果 12, , , nx x x? 线性相关， 则 我们取其 极大 无关组 来讨论 . 故不妨 设 12, , , nx x x?
是线性无关的 . 记 12s p a n { , , , }nM x x x? ?，则 M 是 X 的 n 维线性子空间， 由数域 K 的完
备性知， M 是 X 的完备子空间 . 因此， 由投影定理 知 ，对 任意 xX? ，必 存在 惟一 的
1
n
iiiy x M?????
，使得 || || inf || ||
zMx y x z?? ? ?
，故等式（ 4.2.1）成立 .
下面 我们 讨论 求解 最佳逼近元 y 的方法 . 设
1
n
iiiyx????
是 x 在 M 中的投影， 由于
第四章 Hilbert 空间
138 泛函分析讲义 [乌力吉 ]
kxM? ， 1,2, ,kn? ? ，故 由投影定理，我们有
11( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0
nn
k i i k k i i kiix y x x x x x x x x????? ? ? ? ? ???
， 1,2, ,kn? ? ，
由投影 y 的存在惟一性知，上述 线性方程组有惟一解 12( , , , )n? ? ?? .
推论 4.2.3 设 M 是 Hilbert 空间 X 的真闭线性子空间 ， 则 M? 中必有非零 向量 ，且有
()MM??? .
证 由 于 MX? ， 故 存在 \x X M? ， 由投影定理知，存在 yM? ， zM?? ，使得
x y z??，其中 z 必不为 0 ，若不然 x y M?? 与 \x X M? 矛盾 ，从而 M? 中必有非零
向量 .
由正交补的定义易见 ()MM??? . 由内积的性质（ 5）知， ()M?? 是 X 的闭子空间 因
X 完备， 故 M 和 ()M?? 都是 X 的完备子空间 . 任取 ()xM??? ，由投影定理知，存在
yM? ， zM?? ，使得 x y z??，由此得
0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , )x z y z z z z z? ? ? ?，
这表明 z?0 ， 故 x y M?? ，从而有 ()MM??? . 综上， ()MM??? .
§4.2.2 正交 系
定义 4.2.4 设 M 是内积空间 X 中一个不含 零向量 的子集， 如果 M 中任意两个不同 向
量 都 正交 ，则称 M 为 X 的一个 正交 系 ；如果正交系 M 中每个 向量 的范数都为 1，则称 M 为
标准 正交 系 .
例 4.5 在 n 维 Euclid 空间 nK 中 ，标准基
1 (1, 0, 0, , 0, 0)e ? ? ， 2 (0 ,1, 0, , 0, 0)e ? ? ， ? ， (0 , 0, 0, , 0,1)ne ? ?
是 一个标准 正交 系 .
例 4.6 在内积空间 2l 中 ，
(0 , , 0,1, 0, )ne ? ??， 1,2,n? ? ，
§ 4.2 Hilbert 空间的正交系
泛函分析讲义 [乌力吉 ] 139
是其一个标准正交系 ，其中 ne 是 第 n 个分量 为 1，其余分量 均为 0 的向量 .
定义 4.2.5 设 1{}nne ?? 是内积空间 X 的 一个标准 正交 系 ， 对 任意 xX? ， 称
(, )nxe
为 x 关于 1{}nne ?? 的 Fourier 系数 ， 称 形式级数
1 ( , )nnn x e e
?
??
为 x 关于 1{}nne ?? 的 Fourier 级数 .
注 一般情况下， Fourier 级数
1( , )nnn x e e
?
??
不一定收敛 ，即使
1 ( , )nnn x e e
?
??
收敛，也不
一定收敛于 x . 如果
1 ( , )nnnx x e e
?
???
，
则称 x 可以展成 关于 1{}nne ?? 的 Fourier 级数 .
x 展成关于 1{}nne ?? 的 Fourier 级数的充分必要条件是
1|| ( , ) || 0( )
n
kkkx x e e n?? ? ? ??
.
定理 4.2.4 设 1{}nne ?? 是内积空间 X 一个标准正交系， 记
12s p a n { , , , }nnX e e e? ?， 1,2,n? ? ，
则 对任意 xX? ， x 在 nX 上的投影 为
1 ( , )
n
n i iiy x e e???
.
证 对任意给定的 n ，由于 nnyX? ，而 x 可写成 ()nnx y x y? ? ? ， 故只须证明
nnx y X??? . 由于
11( , ) ( ( , ) , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0
nn
n k i i k k i i kiix y e x x e e e x e x e e e??? ? ? ? ? ???
， 1,2, ,kn? ? ，
第四章 Hilbert 空间
140 泛函分析讲义 [乌力吉 ]
而 12s p a n { , , , }nnX e e e? ?，故 nnx y X??? .
定理 4.2.5 （ Bessel 不等式） 设 1{}nne ?? 是内积空间 X 的一个标准正交系， 则对任意 xX? ，
Bessel 不等式
22
1 | ( , ) | || ||ii x e x
?
? ??
恒成立 .
证 由定理 4.2.4 知， ()nny x y?? ，这里
1 ( , )
n
n i iiy x e e???
， 1,2,n? ? . 由勾股定理
得
2 2 2 2 2
11| | | | | | | | | | | | | | ( , ) | | | ( , ) |
nn
n n i i iiix y x y x e e x e??? ? ? ? ???
, 1,2,n? ? ，
令 n?? ，可得 Bessel 不等式 .
注 由 Bessel 不等式 可知， 向量 x 在每个 ne 上 的 投影 ( , )nnxe e 的范数平方 之 和不大于 x
的范数 平方 .
推论 4.2.6 设 1{}nne ?? 是 Hilbert 空间 X 的一个标准正交系，则对任意 xX? ， x 的 Fourier
级数
1 ( , )nnn x e e
?
??
在 X 中收敛 .
证 对任意 xX? ，令
1 ( , )
n
n i iiy x e e???
， 1,2,n? ? ，由于级数 2
1| ( , )|nn xe
?
??
收敛，故
对任意自然数 ,nm()mn? ，有
2 2 2
1 1 1| | | | | | ( , ) ( , ) | | | ( , ) | 0( , )
n m m
n m i i i i ii i i ny y x e e x e e x e n m? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?
，
从而 {}ny 是 X 的一个 Cauchy 列 . 由 X 的完备性可知，存在 yX? 满足 lim
nn yy?? ?
，即有
11( , ) l i m ( , ) l i m
n
i i i i nnniix e e x e e y y X
?
? ? ? ???? ? ? ???
.
注 在推论 4.2.6 的证明 中 ，向量 y 并不一定等于向量 x .
§ 4.2 Hilbert 空间的正交系
泛函分析讲义 [乌力吉 ] 141
例 4.7 在实内积空间 2[ , ]L ??? 中，三角函数系 1
2?
， 1 cost
?
， 1 sint
?
， ? ，
1 cosnt? ， 1 sinnt? ， ? 是一个标准正交系 .
对任意 2[ , ]xL???? ， 其 Fourier 系数为
0 1 ()2a x t dt??? ?? ?
,
1 ( ) c o sna x t ntd t?
?? ?? ?
, 1 ( ) s in
nb x t ntd t??? ?? ?
, 1,2,n? ?
则由推论 4.2.6 知，三角函数级数
20
1
1 ( c os s i n ) [ , ]2 nn
n
a a nt b nt L ???? ?
?? ? ? ??
.
设 1{}nne ?? 是内积空间 X 的一个标准正交系，则对任意 xX? ， 由 Bessel 不等式可知，
其对应的 Fourier 系数构成 点列 212( , , , , )nc c c l???，其中 ( , )nnc xe? ， 1,2,n? ? . 定义
映射
2:T X l? ， 12( , , , , )nTx c c c? ??， xX? ，
则 不难 验证 T 是 X 到 2l 的 线性映射 .
定理 4.2.7 设 1{}nne ?? 是 Hilbert 空间 X 的一个标准正交系， 则对任意
212( , , , , )nc c c l???，
存在 惟一 的 xX? ， 使得 ( , )nnc xe? ， 1,2,n? ? ，且 满足
22
1 | | || ||n ncx
?
? ??
.
证 令
1
n
n i iiy ce???
， 1,2,n? ? ， 由于级数 2
1||nn c
?
??
收敛， 故 对 任意自然数 ,nm()mn? ，
有
22 2
1 1 1| | | | | | | | | | 0( , )
n m m
n m i i i ii i i iny y c e c e c n m? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?
，
第四章 Hilbert 空间
142 泛函分析讲义 [乌力吉 ]
从而 {}ny 是 X 的一个 Cauchy 列 . 而由 X 的 完备 性可知， 存在 xX? 满足 lim
nn yx?? ?
，且
有
( , ) ( l im , ) l im ( , )k n k n k knnx e y e y e c? ? ? ?? ? ?， 1,2,k? ? ，
以及
2 2222
11| | | | | | l im | | l im | | | | l im | | | |i
n
nnn n n i iix y y c c
?
? ? ? ? ? ? ??? ? ? ???
.
如果 存在 yX? ，也 满足 ( , )nnc y e? ， 1,2,n? ? ， 2
1
2| | || ||n
n cy
?
? ??
， 则 由
22|| || || lim ||nny x y y??? ? ?
2 2 2
11
2l im | | | | l im | | | | l im ( | | | | | | ) 0nnn i inn
i iniy y y c e y c? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ???
可知， 只能是 yx? .
定义 4.2.6 设 1{}nne ?? 是内积空间 X 的一个标准正交系，如果 仅当 x?0 时，才有
( , ) 0nxe? ， 1,2,n? ? ，
则 称 1{}nne ?? 是 完全的 标准正交系 .
定理 4.2.8（ Riesz Fisher 定理） 设 1{}nne ?? 是 Hilbert 空间 X 的一个标准正交系， 则 下列
各 命题等价 .
（ 1） 1{}nne ?? 是完全的；
（ 2）对任意 xX? ， Parseval 等式
22
1|| || | ( , ) |iix x e
?
???
恒 成立；
（ 3）对任意 xX? ，有
1 ( , )nnnx x e e
?
???
；
（ 4）对任意两个 向量 ,xy X? ， 有
§ 4.2 Hilbert 空间的正交系
泛函分析讲义 [乌力吉 ] 143
1( , ) ( , ) ( , )nnnx y x e y e
?
?? ?
.
证 （ 1） ? （ 2） 设 1{}nne ?? 是完全的，对任意 xX? ，记
( , )nnc xe? ， 1,2,n? ? ，
则由定理 4.2.7 知 ， 212( , , , , )nc c c l???， 且存在 惟一 的 yX? ，使得
( , )nnc y e? ， 1,2,n? ? ， 2
1
2| | || ||n
n cy
?
? ??
，
由此得 ( , ) 0nx y e??， 1,2,n? ? . 由于 1{}nne ?? 是完全的， 故 xy? ， 从而有
2 2 2
1|| || || || | ( , ) |iix y x e
?
????
.
（ 2） ? （ 3） 设命题（ 2）成立， 对任意 xX? ，令
1 ( , )
n
n i iiy x e e???
， 1,2,n? ? ，
则有
2 2 2 2
11| | | | | | ( , ) | | | | | | | ( , ) | 0( )
nn
n i i iiix y x x e e x x e n??? ? ? ? ? ? ? ???
，
故 命题（ 3）成立 .
（ 3） ? （ 4）设命题（ 3）成立， 对任意 ,xy X? ，由于
1lim ( , )
n
iin ix x e e?? ?? ?
，
1lim ( , )
n
jjn jy y e e?? ?? ?
， 1,2,n? ? ，
故由内积的连续性知，
11( , ) ( l i m ( , ) , l i m ( , ) )
nn
i i j jnnijx y x e e y e e? ? ? ???? ??
1 1 1 1l i m ( ( , ) , ( , ) ) l i m ( , ) ( , )( , )
n n n n
i i j j i j i ji j i jx e e y e e x e y e e e?? ??? ? ? ???? ? ? ?
11l im ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
n
i i i in iix e y e x e y e
?
?? ??????
，
即命题（ 4）成立 .
第四章 Hilbert 空间
144 泛函分析讲义 [乌力吉 ]
（ 4） ? （ 1）设命题 （ 4） 成立， 如果存在 xX? ，使得
( , ) 0nxe? ， 1,2,n? ? ，
则对任意 yX? ， 有
1( , ) ( , ) ( , ) 0nnnx y x e y e
?
????
，
即 xX? ，故 x?0 ， 从而 命题（ 1）成立 .
定理 4.2.9 设 1{}nne ?? 是 Hilbert 空间 X 的一个标准正交系， 如果 Parseval 等式在 X 的某
个 稠密子集 M 上成立，则 1{}nne ?? 是完全的 .
证 令 01cl( sp an{ } )nnXe??? ，则 0X 是 X 的闭线性子空间 . 任给 xM? ， 则由假设 知，
22
1|| || | ( , ) |iix x e
?
???
，
而 由定理 4.2.8 的证明可知，
1lim ( , )
n
iin ix x e e?? ?? ?
，
故 0xX? ，这表明 0MX? . 由于 0X 是闭集， M 在 X 中稠密，故 0c l( )X M X X? ? ?，
即 0XX? . 故 由 0X 的 定义， 对任意 0x X X?? ，有
1lim ( , )
n
iin ix x e e?? ?? ?
，
于是， 由定理 4.2.8（ 3） 知， 1{}nne ?? 是完全的 .
类似于 线性代数 标准正交化过程，我们 对内积空间 X 中已知的线性无关 点列 1{}nnx ?? ，
也可以实施 Gram Schmidt 标准 正交 化过程 ，从而 获得一个标准 正交 系 . 其具体过程为：
（ 1）取 1 1 1/ || ||e x x? ，显然
11span{ }=span{ }ex；
（ 2） 记 11span{ }Xe? ，则 2x 在 1X 上的投影为 2 1 1( , )x e e ， 取
2 2 2 1 1( , )y x x e e?? ，
§ 4.2 Hilbert 空间的正交系
泛函分析讲义 [乌力吉 ] 145
则 由投影定理 知 ， 21ye? . 由于 21,xe线性无关， 故 2y?0 ，令 222/ || ||e y y? ， 不难看出 ，
1 2 1 2s p a n { , } = s p a n { , }e e x x；
（ 3） 记 2 1 2span{ , }X e e? ，由定理 4.2.4 知 ， 3x 在 2X 上的投影为 3 1 1 3 2 2( , ) ( , )x e e x e e? ，
记
3 3 3 1 1 3 2 2( , ) ( , )y x x e e x e e? ? ?，
则由投影定理知， 3 iye? ， 1,2i? . 再由 3 1 2,,x e e 线性无关 知 3y?0 ，令 3 3 3/ || ||e y y? ，
易知
1 2 3 1 2 3s p a n { , , } = s p a n { , , }e e e x x x；
?
（ n） 记 1 1 2 1s p a n { , , , }nnX e e e??? ?，同样由定理 4.2.4 知， nx 在 1nX? 上 的投影为
1
1 ( , )
n
iii x e e
?
??
，
记
1
1 ( , )
n
n n i iiy x x e e
?
????
，
由投影定理知 ，则 niye? ， 1, 2, , 1in??? . 又因为 11, , ,nnx e e ?? 线性无关， 所以
/ || ||n n ne y y? ，易知
1 2 1 2s p a n { , , , } = s p a n { , , , }nne e e x x x??；
?
上述 程序无限进行下去， 我们就得到 一个标准 正交 系 1{}nne ?? .
例 4.8 我们将多项式 21( ) [ ( 1 ) ]2! n n
n nndP t tn dt??
称为 n 阶勒让德（ Legendre） 多项式，
可以证明
21( ) ( )2nnne t P t?? ， 1,2,n? ?
是 实内积空间 2[ 1,1]L? 的一个完全的标准正交系 . 它是通过对线性无关的函数列 { ()}nxt 实
第四章 Hilbert 空间
146 泛函分析讲义 [乌力吉 ]
施 Schmidt 标准正交化过程而得到，其中 () nnx t t? ， 1,2,n? ? .
定理 4.2.10 设 X 是 Hilbert 空间 ， 我们有如下命题 .
（ 1） 若 X 是可分的，则 X 必有至多可列的完全的标准 正交 系；
（ 2） 设 X 是无限维的可分空间，则 X 的每个完全的标准 正交 系都是可列集 .
证 （ 1） 由于 X 存在至多可列个 向量 {}kx ， 使得 cl(span{ })kXx? ，不妨设 {}kx 为线
性无关 向量的 集合 . 利用 Gram Schmidt 标准 正交 化程序， 我们可以 构造出标准 正交 系 {}ke ，
使得 span{ } span{ }kkxe? . 故 cl(span{ })kXe? .而在 span{ }ke 上 Parseval 等式显然成立，
故由定理 4.2.9 知，标准正交系 {}ke 是完全的 .
（ 2） 任取 X 的 一个完全标准 正交 系 M ， 则对任意 ,ije e M? ， ijee? ，都有
2|| || 2ijee??，
记
1{ | || || }2iiS x X x e? ? ? ?， 1{ | || || }2jjS x X x e? ? ? ?，
则 ijSS? ?? . 由于 X 中存在可列稠密子集 {}kx ， 故 存在 iixS? ， jjxS? ， 且 ijxx? ，
于是 M 的 势 不 大于 {}kx 的势 ，这表明 M 必 为 可列集 .
定义 4.2.7 设 ,XY是两个内积空间， :T X Y? 是同构映射， 如果对任意 ,xy X? ，
总有
( , ) ( , )Tx Ty x y? ，
则称 X 与 Y 是 酉同构 的 .
定理 4.2.11 任意可分的 Hilbert 空间 X 都是与 n? （ n? ）或 2l 是酉同构的 .
证 有限维的情形留作练习，读者自己完成 . 下面我们证明无限维的情形 .
由定理 4.2.10 知， X 必有可列的完全的标准正交系 1{}nne ?? . 定义映射
2:T X l? ， 12( , , , , )nTx c c c? ??， xX? ，
其中
§ 4.3 Hilbert 空间的有界线性算子
泛函分析讲义 [乌力吉 ] 147
( , )nnc xe? ， 1,2,n? ? ，
前面已经说明 T 是由 X 到 2l 的线性映射， 由定理 4.2.7 知， T 是满射 .
任取 ,xy X? ，由定理 4.2.8 知，
11( , )n n n nnnx x e e a e
??
??????
，
11( , )n n n nnny y e e b e
??
??????
，
故 12( , , , , )nTx a a a? ??， 12( , , , , )nTy b b b? ??，因此， 由定理 4.2.8，我们有
11( , ) ( , ) ( , ) ( , )nn n nnnT x T y a b x e y e x y
??
??? ? ???
，
特别地，当取 yx? 时，有 || || || ||Tx x? ，即 T 是等距映射，从而是单射 . 因此，由上式知 X
与 2l 是酉同构的 .
§4.3 Hilbert 空间 的有界线性算子
§4.3.1 自 共轭空间 与共轭算子
定理 4.3.1（ Riesz 定理 ） 设 X 是 Hilbert 空间，则对任意 fX? ， 存在 惟一 的 yX? ，
使得
( ) ( , )f x x y?
对 任意 xX? 都成立， 且有 || || || ||fy? .
证 存在性 . 当 fX??0 时， 取 yX??0 即可 . 故不妨 设 f?0 ，令
{ | ( ) 0}M x X f x? ? ?
为 f 的零空间 . 由 f 是连续线性泛函 知， M 是 X 的闭子空间 ，而由 f?0 知 ， M 必为 X
的真子空间 . 因此， 由投影定理，必定有 非零向量 zM?? ，即有 ()fz?0 .
任取 xX? ， 由于 ()( ) 0
()fxf x zfz??
，即 ()
()fxx z Mfz??
，故
第四章 Hilbert 空间
148 泛函分析讲义 [乌力吉 ]
()( , ) 0()fxx z zfz??，
由此得
22( ) ( )( ) ( , ) ( , )|| || || ||f z f zf x x z x zzz??
.
令
2()|| ||fzyzz?
，则有 ( ) ( , )f x x y? 对任意 xX? 都成立 .
惟一性 . 如果还有 ''yX? ，使得 ( ) ( , '')f x x y? ， xX? ，则有 ( , '') 0x y y??对任意
xX? 都成立，从而 ''yy? .
保范性 . 当 y?0 时 ， 显然有 || || 0 || ||XX??00. 故 设 y?0 ，取 xy? ，则有
| ( ) | | ( ) | ( , )|| || s u p || |||| || || || || ||
x
f x f y y yfyx y y
?? ? ? ?0
，
另一方面， 由 Schwarz 不等式 ， 有
| ( ) | | ( , ) | || || || ||f x x y y x? ? ?， xX? ，
故 || || || ||fy? ，于是，我们得 || || || ||fy? .
注 定理 4.3.1 说明， Hilbert 空间 X 上的任一连续线性泛函都可用内积的形式惟一地表
示出来 .
事实上，其逆命题也成立 . 即对任意 yX? ，定义 泛函
:yf X K? ， ( ) ( , )yf x x y? ， xX? ，
不难验证， :yf X K? 是有界线性泛函，再由定理 4.3.1 知， || || || ||yfy? .
因此，我们定义映射
:T X X? ， yTy f? ， yX? ，
从前面的讨论可知， :T X X? 是双射，且 || || || || || ||yTy f y??. 对任意 12,y y X? ，
12, K??? ，有
1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( , ) ( , ) ( , )T y y x y y x y x y T y T y? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?,xX? ，
§ 4.3 Hilbert 空间的有界线性算子
泛函分析讲义 [乌力吉 ] 149
即映射 :T X X? 是可加且共轭齐次的，我们称这样的映射 T 为 复 共轭线性映射 ， 由于 T
是一个等距映射 ， 故称映射 T 为 X 到 X 上的 复共轭等距映射 .
如果 X 和 X 之间存在等距共轭线性的满射（等距已经保证了单射），则称 X 和 X 是
自共轭同构 的， 在这种意义下， 我们把 X 和 X 看作同一个空间 ， 记为 XX? ，称为 自
共轭空间 .
定义 4.3.1 设 X 和 Y 是两个内积空间 ， :T X Y? 是一个有界线性算子 ， 又设
:T Y X? 是有界 线性 算子 . 如果 对任意 xX? ， yY? ，都有
( , ) ( , )Tx y x T y? ，
则称 T 是 T 的 共轭算子 或 伴随算子 .
注 在复空间情况下，关于赋范线性空间 中 所引进的共轭算子与定义 4.3.1 所陈述的共轭
算子并不完全一致 . 设 有 12, ( , )T T L X Y? 及复数 12,??，按第 三 章所述定义 和定义 4.3.1， 分
别 有
1 1 2 2 1 1 2 2( ) T T T T? ? ? ?? ? ? 和 1 1 2 2 1 1 2 2( ) T T T T? ? ? ?? ? ?，
当然， 在实空间情况下两者完全一致 .
例 4.9 设 n? 和 m? 是两个 复 Euclid 空间 ， 对于有界线性算子
: nmT ???， Tx Ax? ， nx?? ，
其中 ()ijAa? 为 mn? 复矩阵，我们来考察其共轭算子 T .
任取 12( , , , ) nnx ? ? ?????， 12( , , ) mmy ? ? ????，则有
1 1 1 1( , ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( , )
m n n m T
i j i j i j j ij i i jT x y A x y a a x A y x T y? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?
，
由此看到， 共轭算子 TT x A x? ，其中 TA 是矩阵 A 的共轭转置矩阵 .
更一般地， 如果 X 是 n 维（实或复）内积空间， 12, , , ne e e? 是 其一个标准 正交 基， Y
是 m 维（实或复）内积空间， 12, , , mf f f? 是 其一个标准 正交 基 .
设 :T X Y? 是一个线性算 子 ，从而 T 一定有界 . 令
第四章 Hilbert 空间
150 泛函分析讲义 [乌力吉 ]
1
m
j ij iiTe a f???
， 1,2, ,jn? ? ，
则 对 任意
1
n
jjjx e X?????
， 有
1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )
n n n m m n
j j j j j ij i ij j ij j j i i jT x T e T e a f a f? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?
，
故对任意
1
m
iiiy f Y?????
，有
1 1 1 1 1 1( , ) ( ) ( ) ( )
m n n m n m
iiij j ij j ij i ji j j i j iT x y a a a? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?
，
由此得
11 ( )
nm
ij i jjiT y a e???? ??
.
因此， 线性算子 :T X Y? 由一个 mn? 矩阵 ()ijAa? 所决定 ，而 T 的共轭算子 :T Y X?
由 A 的转置共轭矩阵 TA 决定 .
定理 4.3.2 设 X 是 Hilbert 空间 ， Y 是内积空间 ， 则对任意有界线性算子 :T X Y? ， 必
存在 惟一 的 共轭算子 :T Y X? .
证 对任意 yY? ， 在 X 上 定义 线性泛函 ( ) ( , )yf x Tx y? ， xX? . 由 Schwarz 不等式
知
| ( ) | | ( , ) | || || || || || || || || || ||yf x Tx y Tx y T y x? ? ? ? ? ?， xX? ，
故 yfX? ，且
|| || || || || ||yf T y??.
由 Riesz 定理， 存在 惟一 的 zX? ，使得 ( , )yf x z? ，即有
( , ) ( , )Tx y x z? .
于是， 我们得到了算子
:T Y X? ， T y z? ，
§ 4.3 Hilbert 空间的有界线性算子
泛函分析讲义 [乌力吉 ] 151
使对任意 xX? ， yY? ， 有
( , ) ( , )Tx y x T y? .
下面 证明 :T Y X? 是 有界线性算子 . 任给 12,y y Y? 及 复数 12,??， 由于
1 1 2 2 1 1 2 2( , ) ( , ) ( , )T x y y T x y T x y? ? ? ?? ? ?
1 1 2 2 1 1 2 2( , ) ( , ) ( , )x T y x T y x T y T y? ? ? ?? ? ? ?，
故
1 1 2 2 1 1 2 2 ( ) T y y T y T y? ? ? ?? ? ?，
即 T 是线性 算子 . 再由 T 的定义，对任意的 yY? ，有
|| || || || || || || || || ||yT y z f T y? ? ? ?，
故 || || || ||TT? ， 即 T 为有界线性算子 . 而 T 的惟一性 易见 .
例 4.10 设 2[ , ]X L a b? ， (, )Kts 是矩形区域 [ , ] [ , ]D a b a b??上平方可积函数，则由
核 (, )Kts 定义了空间 2[ , ]Lab 上的有界线性算子 22: [ , ] [ , ]T L a b L a b? 如下：
( ) ( ) ( , ) ( )baTx t K t s x s ds? ? ， 2[ , ]x L ab? ，
T 是一个 Fredholm 型积分算子 . 下面 求 T 的共轭算子 .
对任意 2, [ , ]x y L a b? ， 由 Fubini 定理，我们 有
( , ) ( , ) ( ) [ ( , ) ( ) ]bbaax T y Tx y y t K t s x s d s d t?? ??
( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( )b b b ba a a ax s K t s y t d td s x s K t s y t d td s??? ? ? ?，
故有 ( ) ( ) ( , ) ( )b
aT y s K t s y t d t? ?
， 即 T 是以 (, )Kts 为核的 Fredholm 型积分算子 .
我们 从例 4.9 看到 ， 共轭算子是转置共轭矩阵概念的推广，因此它必然具有许多类似转
置共轭矩阵的性质 .
定理 4.3.3 设 ,XZ是 Hilbert 空间， Y 是内积空间 . , ( , )T S L X Y? ， ( , )R L Z X? ，
??? ，则 下列 命题成立 ：
（ 1） ( ) TT??? ；
第四章 Hilbert 空间
152 泛函分析讲义 [乌力吉 ]
（ 2） ( ) T S T S? ? ?；
（ 3） ( )TT? ；
（ 4） 22|| || || || || || || ||T T T T T T? ? ?；
（ 5） ( ) TR R T? ；
（ 6） T 存在有界线性逆算子的 充分必要 条件是 T 存在有界线性逆算子， 且 有
11( ) ( )TT??? ；
（ 7） ( ) { | ( )}TT? ? ? ???.
证 （ 1） 对任意 xX? ,yY? ， 有
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ( ) )x T y x T y T x y T x y x T y? ? ? ? ?? ? ? ?，
故 ( ) TT??? .
（ 2） 对任意 xX? , yY? ，有
( , ( ) ) ( ( ) , ) ( , ) ( , )x T S y T S x y Tx y Sx y? ? ? ? ?
( , ) ( , ) ( , ) ( , ( ) )x T y x S y x T y S y x T S y? ? ? ? ? ?，
故有 ( ) T S T S? ? ?.
（ 3） 对任意 xX? , yY? ，由于 ( , ) ( , )Tx y x T y? ， 故 有
( , ) ( , ) ( , ( ) )y T x T y x y T x??，
故由 ,xy的任意性知， ( )TT? .
（ 4）由定理 4.3.2 的证明知 || || || ||TT? ，因此 也有
|| || || ( ) || || ||T T T??，
于是 || || || ||TT? .对任意 xX? ,由于
|| || || || || || || || || || || ||T T x T T x T T x? ? ? ? ?，
故有
2|| || || || || || || ||T T T T T? ? ?.
§ 4.3 Hilbert 空间的有界线性算子
泛函分析讲义 [乌力吉 ] 153
另一方面， 我们有
22|| || 1 || || 1 || || 1 || || 1|| || s u p || || s u p ( , ) s u p ( , ) s u p || || || || || | |x x x xT Tx Tx Tx x T Tx x T Tx T T? ? ? ?? ? ? ? ? ?，
故 2|| || || ||T T T? ，利用性质（ 3）可得 2|| || || ||TT T? .
（ 5）由假设知 ( , )TR L Z Y? ，对任意 zZ? , yY? ， 由于
( , ( ) ) ( , ) ( , ) ( , )z T R y T Rz y Rz T y z R T y? ? ?，
故由 ,zy的任意性知， ( ) TR R T? .
（ 6） 充分性 . 设 T 存在有界线性逆算子 1T? ，则 1 XT T I? ? ， 1 YTT I? ? ，利用性质（ 5）
可得 ，
1 ( ) ( )XXT T I I? ??， 1( ) ( )YYT T I I? ??，
因此 ， 1( )T? 是 T 的逆算子 ， 即 11( ) ( )TT??? .
必要性 . 设 T 存在有界线性逆算子， 则由 ( )TT? 及充分性的证明可知， T 存在有
界线性逆算子 ，且有 11( ) ( )TT??? .
（ 7） 由性质（ 6）知 ， IT?? 存在有界线性逆算 子 当且仅当 ( ) I T I T??? ? ?存在
有界线性逆算子，即 ()T??? 当且仅当 ( )T??? ，注意到 ()T? 和 ( )T? 分别是 ()T? 和
( )T? 的补集，故有 ( ) { | ( )}TT? ? ? ???.
§4.3.2 自共轭算子 与投影算子
自共轭算子是线性代数中 对称矩阵概念 的一般化，因此，具有很多良好的性质 .
定义 4.3.2 设 X 是 Hilbert 空间， ( , )T L X X? . 如果
TT? ，
则称 T 为 自共轭算子 或 自伴算子 .
定理 4.3.4 设 X 是 Hilbert 空间， 12, , ( , )T T T L X X? ， 则 下列命题 成立：
（ 1） 当 X 是复空间时， T 为自共轭算子 的充分必要条件是： 对 任意 xX? ， ( , )Txx 是
实数 .
第四章 Hilbert 空间
154 泛函分析讲义 [乌力吉 ]
（ 2）若 12,TT均为 自共轭算子，则对 任意 ,???? ， 12TT??? 也 是自共轭算子 .
（ 3） 若 12,TT均为自共轭算子 ， 则 12TT 为 自共轭算子的 充分必要 条件是 1 2 2 1TT TT? .
证 （ 1） 充分性 . 设 对任意 xX? ， ( , )Txx 是实数，则有
( , ) ( , ) ( , ) ( , )Tx x x Tx x Tx T x x???,
故 (( ) , ) 0T T x x??， xX? . 令 S T T?? ， 则对任意 ,xy X? ，有
( ( ) , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0S x y x y Sx x Sy x Sx y Sy y? ? ? ? ? ? ?，
( ( ) , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0S x iy x iy Sx x i Sy x i Sx y Sy y? ? ? ? ? ? ?，
注意到 ( , ) ( , ) 0Sx x Sy y??，从上述等式解得 ( , ) 0Sx y ? ，故由 ,xy X? 的任意性知 S?0 ，
从而 TT? .
必要性 . 设 TT? ， 则
( , ) ( , ) ( , ) ( , )Tx x x Tx x T x Tx x? ? ?，
这表明 ( , )Txx 是实数 .
（ 2） 设 12,TT均为自共轭算子，则对任意 ,???? 及任意 xX? ，内积
1 2 1 2( ( ) , ) ( , ) ( , )T T x x T x x T x x? ? ? ?? ? ?
是实数， 故由性质（ 1）知， 12TT??? 是自共轭算子 .
（ 3） 如果 1 2 2 1TT TT? ， 则 由共轭算子的性质知 ，
1 2 2 1 2 1 1 2( ) T T T T T T T T? ? ?，
即 12TT 是 自共轭 算子；如果 12TT 是自共轭算子，则有
1 2 1 2 2 1 2 1( ) T T T T T T T T? ? ?.
定理 4.3.5 设 X 是 Hilbert 空间， ( , )T L X X? 是自共轭算子，则 T 的零空间 ker( )T 是
T 的值域 ()TX的正交补，即 ker( ) ( )T T X ?? .
证 任取 ker( )xT? ，则对任意 yX? ，有
( , ) ( , ) ( , ) 0x T y T x y y? ? ?0，
§ 4.3 Hilbert 空间的有界线性算子
泛函分析讲义 [乌力吉 ] 155
这表明 ker( )T 与 ()TX 正交，故 ker( ) ( )T T X ?? . 反过来，任取 ()x T X ?? ，则对任意
yX? ，有
( , ) ( , ) 0Tx y x Ty??，
由 yX? 的任意性知， Tx?0 ，即 ker( )xT? ，从而 ( ) ker( )T X T? ? . 综上，得
ker( ) ( )T T X ?? .
定理 4.3.6 设 X 是 Hilbert 空间， , ( , )nT T L X X? ， 1,2,n? ? ，且 {}nT 是自共轭算
子 列 . 如果对任意 xX? ， 都有 ()nT x Tx n? ? ?， 则 T 是自共轭算子 .
证 对 任意 ,xy X? ， 由 定理的条件 及内积的连续性 ，我们有
( , ) ( l im , ) l im ( , ) l im ( , ) ( , l im ) ( , )n n n nn n n nT x y T x y T x y x T y x T y x T y? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?，
故 T 是自共轭算子 .
定理 4.3.7 设 X 是 Hilbert 空间，如果 ( , )T L X X? 是 自共轭算子 ，则 T 的 每个谱点都
是实数 .
证 设 T 是自共轭算子， i? ? ??? ( 0)?? ，下面证明 ()T??? .
令 S I T???， 由于
|| || || ( ) || || || || || ( | | || || ) || ||Sx I T x x T x T x? ? ?? ? ? ? ? ?，
故 ( , )S L X X? . 由前面的假设知， 对 任意 xX? ，有
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )S x x x Tx x x x Tx x x x Tx x i x x? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?， （ 4.3.1）
由此得
2 2 1 / 2 2| | | | | | | | | ( , ) | { [ ( , ) ( , ) ] [ ( , ) ] } | | | | | |S x x S x x x x T x x x x x? ? ?? ? ? ? ? ? ?，（ 4.3.2）
即当 x?0 时，有 || || | | || ||Sx x???， 这表明 算子 S 是 单射 .
设 { } ( )ny S X? , lim
nn yy?? ?
， 则存在 {}nxX? ，使得 nny Sx? ， 1,2,n? ? . 由 等式
(4.3.2)知，
|| || | | || ||n m n my y x x?? ? ? ?
第四章 Hilbert 空间
156 泛函分析讲义 [乌力吉 ]
对 任意 ,nm成立，因此， {}nx 是 X 中的 Cauchy 列 .由 X 的 完备 性知， 存在 xX? ， 使得
lim nn xx?? ? . 于是，由 S 的连续性 ， 有
lim nny Sx Sx????，
故 ()y S X? . 这表明 ()SX 是 X 的闭子空间 .
任给 yX? ，则由投影定理， y u v?? ， ()u S X? ， ()v S X ?? ，故由等式 (4.3.1)有
0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , )Sv v v v T v v i v v??? ? ? ?，
这意味着 0v? ， ()y u S X?? ，从而 ()S X X? .
综上所述， ( , )S L X X? 是 X 上的双射， 由 Banach 逆算子定理 知， 1 ( , )S L X X? ? ，
从而 ()T??? .
定理 4.3.8 设 X 是 Hilbert 空间， ( , )T L X X? 是自共轭算子， 令
|| || 1inf ( , )xm Tx x??
，
|| || 1sup( , )xM Tx x??
，
则有如下结论：
（ 1） || || m a x{ | |, | |}T m M? ；
（ 2） ( ) [ , ]T m M? ? 且 , ( )m M T?? .
证 （ 1）对于 || || 1x? ，有
| ( , ) | || || || ||Tx x Tx T??.
令 m ax{ | |, | |}K m M? ，则有 || ||KT? . 另一方面， 任取 0?? ， 利用 T 的 自共轭性 ，我
们有
2 1 1 1 1 1| | | | [ ( ( ) , ) ( ( ) , ) ]4T x T x T x x T x T x T x x T x? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?
2 2 2 2 221 1 1 1 1( | | | | | | | | ) ( | | | | | | | | )42K x T x x T x K x T x? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?，
不妨 设 x?0 ， 特别取 2 || ||
|| ||Txx? ?
， 则有
§ 4.3 Hilbert 空间的有界线性算子
泛函分析讲义 [乌力吉 ] 157
2|| || || || || ||Tx K Tx x??，
故 || ||TK? ，因此 || ||TK? .
（ 2）当 m?? 时， 则对任意 xX? ，有
( ( ) , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( )I T x x x x Tx x x x m? ? ?? ? ? ? ?，
完全 仿定理 4.3.7 的证明 ， 可得 ()T??? . 同理， 当 M?? 时，亦 可得 ()T??? . 于是
( ) [ , ]T m M? ? .
注意到
|| || 1 || || 1 || || 1i n f ( ( ) , ) i n f [ ( , ) ] s u p( , )xx xm I T x x m T x x m T x x m M?? ?? ? ? ? ? ? ?
,
|| || 1|| || 1 || || 1s u p( ( ) , ) s u p [ ( , ) ] i n f ( , ) 0xxxm I T x x m T x x m T x x???? ? ? ? ? ?
,
我们得到 || ||mI T M m? ? ?. 在 X 的单位球上取点列 {}nx ，使得
( ( ) , ) ( )nnm I T x x m M n? ? ? ? ?， || || 1nx ? ， 1,2,n? ? .
由于
2|| ( ) || ( , )n n n n nM I T x M x Tx M x Tx? ? ? ?
( ( ) ( ) , ( ) ( ) )n n n nM m x m I T x M m x m I T x? ? ? ? ? ? ?
22( ) 2 ( ) ( ( ) , ) || ( ) ||n n nM m M m m I T x x m I T x? ? ? ? ? ? ?
22 ( ) 2 ( ) ( ( ) , ) 0 ( )nnM m M m m I T x x n? ? ? ? ? ? ? ?，
故 MI T? 不存在有界线性逆算子，若不然，则 有
111 || || || ( ) ( ) || || ( ) || || ( ) || 0 ( )n n nx M I T M I T x M I T M I T x n??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，
矛盾 ，故 ()MT?? . 同理可证 ()mT?? .
定理 4.3.9 设 X 是 Hilbert 空间，如果 ( , )T L X X? 是紧自共轭算子，则 T 有特征值 .
证 不妨 设 T?0 且 || || | |TM? ， M 如 定理 4.3.8 定义，此时 必有 0M? .在 X 的单位球
上取点列 {}nx ，使得
( , ) || || ( )nnT x x M T n? ? ? ?.
第四章 Hilbert 空间
158 泛函分析讲义 [乌力吉 ]
因 T 是紧算子， 故 {}nTx 有收敛子 列 . 设 ()
knTx y k? ? ?
， 则有
2 2 2|| || || || 2 ( , )k k k k kn n n n nT x M x T x M T x x M? ? ? ?
22 2 ( , ) 0 ( )kknnM M T x x k? ? ? ? ?，
由此得 Ty My? . 由于 || || 1
knx ?
， 1,2,k? ? ，故 y?0 ， 因此， M 是 T 的特征值 .
定义 4.3.3 设 M 是 Hilbert 空间 X 的一个 非空 闭子空间，则对 任意 xX? ， 存在惟一的
正交 分解 x u v?? , uM? ， vM?? . 我们称 算子
:P X M? ， Px u? ， xX?
为由 X 到 M 上的 投影算子 ，有时也记为 MP .
由 定义易见， Px x? ， xM? ； Px?0 ， xM?? . 且由 uv? ，有勾股定理
2 2 2|| || ( , ) || || || ||x u v u v u v? ? ? ? ?.
定理 4.3.10 设 M 是 Hilbert 空间 X 的一个 非空 闭子空间，则
（ 1）投影算子 P 是有界线性算子 .
（ 2） P 是自共轭算子 .
（ 3）当 {}M? 0 时， || || 1P? .
（ 4） 2PP? ， 即 P 是幂等算子 .
证 （ 1） 对任意 12, K??? 及任意 12,x x X? ，有
1 1 1x Px v??， 2 2 2x Px v??，
其中 12,Px Px M? ， 12,v v M?? . 由于 ,MM? 都是线性子空间， 故有
1 1 2 2Px Px M????， 1 1 2 2v v M?? ???，
且满足
1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( )x x P x P x v v? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?，
因此 ，
1 1 2 2 1 1 2 2()P x x P x P x? ? ? ?? ? ?，
即 P 是线性算子 . 另一方面， 对任意 xX? ，由
§ 4.3 Hilbert 空间的有界线性算子
泛函分析讲义 [乌力吉 ] 159
2 2 2 2|| || || || || || || ||x P x v P x? ? ?
知 || || || ||Px x? ，这表明 P 是有界 算子，且 || || 1P? .
（ 2） 对任意 ,xy X? ，有
1x Px v??， 2y Py v??， ,PxPy M? ， 12,v v M?? .
由此得
21( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )P x y P x P y v P x P y P x v P y x P y? ? ? ? ? ?，
这表明 PP? ，即 P 是自共轭算子 .
（ 3）设 {}M? 0 ，由性质（ 1）知， || || 1P? ；另一方面， 取 0xM? , 0|| || 1x ? ， 则 由 P
的定义 知 00Px x? ， 由此得
00|| || 1|| || s u p || || || || || || 1xP P x P x x?? ? ? ?
.
综上 || || 1P? .
（ 4） 由投影算子的定义易见 .
定理 4.3.11 设 X 是 Hilbert 空间， ( , )P L X X? ，则 P 是投影算子的充分必要条件 为
P 是 幂等的 自共轭算子 .
证 必要性由定理 4.3.9 立刻得到 . 下面证明充分性 .
记 ()M P X? ， 由于 P 是线性算子 ， 故 M 显然是 X 的子空间 . 任给 {}nyM? 满足
0lim nn yy?? ?
，取 nxX? ，使得 nny Px? ， 1,2,n? ? ， 由于 P 是幂等算子 ，故有
2 ()n n n n ny P x P x P P x P y? ? ? ?， 1,2,n ? ，
于是，利用 P 的连续性， 我们 得 00y Py M??. 这表明 M 是 X 的闭子空间 .
对 任意 ,xy X? ， 由定理的充分条件 ， 我们得
( , ) ( ( ) , ) ( , )x P x P y P x P x y P x P x y? ? ? ? ? ? 0，
这表明 x Px M??? ，特别 地， x Px Px??且 ()x Px x Px? ? ? . 因此， P 是由 X 到 M 的
投影算子 .
第四章 Hilbert 空间
160 泛函分析讲义 [乌力吉 ]
推论 4.3.12 设 X 是复 Hilbert 空间，则 ( , )P L X X? 是投影算子的充分必要条件是 等式
2|| || ( , )Px Px x?
对 任意 xX? 都成立 .
证 必要性 . 设 P 是投影算子，则对任意 xX? ，有
22|| || ( , ) ( , ) ( , )P x P x P x P x x P x x? ? ?.
充分性 . 设对任意 xX? ，都有 2|| || ( , )Px Px x? ，故由定理 4.3.4（ 1）知， P 是自共轭
算子 . 因此，
2( , ) ( , ) ( , )P x x P x P x P x x??
对 任意 xX? 成立，即 2(( ) , ) 0P P x x??对任意 xX? 成立 . 注意到 2PP? 是自共轭算子，
由定理 4.3.8 知， 2|| || 0PP??，故 2PP? .
对于 投影算子 ， 利用定理 4.3.11， 我们 不难证明 如下 的代数运算 性质 .
（ 1） 设 11:P X M? , 22:P X M? 是两个投影算子，则 12P P P??是 投影算子的 充分
必要 条件 为 12MM? ，此时 P 是 由 X 到 12MM? 的投影算子 .
（ 2）设 11:P X M? , 22:P X M? 是两个投影算子， 则 12P PP? 是 投影算子的 充分必
要 条件是 1 2 2 1PP PP? ，此时 P 是 由 X 到 12MM? 的投影算子 .
§4.3.3 正算子
正算子是线性代数中 半 正定矩阵的一般化 .
定义 4.3.4 设 X 是 Hilbert 空间 ， ( , )T L X X? 是自共轭算子 . 若 对 任意 xX? ，都有
( , ) 0Tx x ? ，
则称 T 为 正算子 ， 记为 T?0 .
有了 正算子的 概念 ， 我们可以在自共轭算子类中引进一种序关系，设 12,TT是两个自共
轭算子，如果 12TT??0 ，则记 12TT? .
由正算子的定义，我们不难证明如下性质：
§ 4.3 Hilbert 空间的有界线性算子
泛函分析讲义 [乌力吉 ] 161
（ 1） 对 X 上 的任何有界线性算子 T ， TT 和 TT都是正算子，这是因为 对任意
xX? ， 都有
( , ) ( , ) 0T T x x T x T x??， ( , ) ( , ) 0T T x x T x T x??.
（ 2） 如果 ,TS是正算子， ,??是两个非负实数，则 TS??? 也是正算子 .
（ 3）如果 1 2 1 2,T T S S??， ,??是两个非负实数，则 1 1 2 2T S T S? ? ? ?? ? ?.
（ 4）如果 T 是正算子，则 kT 也是正算子， 1,2,k? ? . 这是因为 ：
当 2km? 时，对任意 xX? ，有 2( , ) ( , ) ( , ) 0k m m mT x x T x x T x T x? ? ?；
当 21km??时，对任意 xX? ，有 21( , ) ( , ) ( ( ) , ) 0k m m mT x x T x x T T x T x?? ? ?.
（ 5）投影算子 P 是正算子 . 这是因为对任意 xX? ，有
2( , ) ( , ) ( , ) 0P x x P x x P x P x? ? ?.
（ 6） 如果 T 是正算子，则广义 Schwarz 不等式
2| ( , ) | ( , )( , )Tx y Tx x Ty y?
对任意 ,xy X? 都成立 .
证 设 T 是正算子，则对任意 K?? 和 ,xy X? ，有
20 ( ( ) , ) ( , ) ( , ) ( , ) | | ( , )T x y x y Tx x Ty x Tx y Ty y? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?，
如果 ( , ) 0Ty y ? ，则取 ( , )
( , )Tx yTy y???
，并代入上述不等式， 可得广义 Schwarz 不等式 . 如
果 ( , ) 0Ty y ? ，则 由 推论 4.3.15 可知， Ty?0 ， 从而广义 Schwarz 不等式仍成立 .
定理 4.3.13 设 X 是 Hilbert 空间， { } ( , )nT L X X? 为自共轭算子 列，如果 1nnTT?? ，
1,2,n? ? ， 且有常数 0M? ， 满足 sup|| ||n
n TM?
，则存在自共轭算子 T ， 使得 {}nT 强收
敛于 T ，即 对任意 xX? ， 有 lim
nn T x Tx?? ?
.
证 由定理的条件知，对任意自然数 ,nm()mn? ，有
( , ) ( , ) ( ( ) , ) 0m n m nT x x T x x T T x x? ? ? ?，
且
第四章 Hilbert 空间
162 泛函分析讲义 [乌力吉 ]
2( , ) || || || || || ||nnT x x T x x M x? ? ?， 1,2,n? ? ，
故 {( , )}nTxx 是单调 递增 的有界数列 从而有极限 .
由 正算子的广义 Schwarz 不等式 ，对任意 ,xy X? 及自然数 ,nm()mn? ，有
22| ( ( ) , ) | ( ( ) , ) ( ( ) , ) || || ( ( ) , )m n m n m n m nT T x y T T x x T T y y M y T T x x? ? ? ? ? ?，
由此得
22| | | | 1| | | | su p | ( ( ) , ) | ( ( ) , )m n m n m nyT x T x T T x y M T T x x?? ? ? ? ?
，
由于 {( , )}nTxx 收敛， 故 {}nTx 是 Cauchy 列， 从而由 X 的 完备性知 {}nTx 收敛 . 定义 映射
:T X X? ， lim n
nTx T x???
， xX? ，
易见 T 是线性算子，且
|| || s u p || || || ||nnT x T x M x??，
故有 ( , )T L X X? . 再 内积的连续性，有
( , ) ( l i m , ) l i m ( , ) l i m ( , ) ( , l i m ) ( , )n n n nn n n nT x y T x y T x y y T x y T x y T x?? ?? ?? ??? ? ? ? ?，
这表明 T 是自共轭算子 .
注 定理 4.3.13 的结论 对单调 递减 算子 且有下界的算子列也 成立 .
定义 4.3.4 设 X 是 Hilbert 空间， ( , )T L X X? 是正算子， 如果存在 正算子 ( , )S L X X? ，
使得 2TS? ，则称 S 是 T 的 正 平方根算子 ，记为 1/2T .
定理 4.3.14 设 X 是 Hilbert 空间， ( , )T L X X? 是正算子， 则必存在 惟一的 正 平方根算
子 S .
证 因正算子满足 0 ( , ) || || ( , )Tx x T x x?? ，设 T?0 ，则有
0 ( , ) ( , )|| ||T x x x xT??.
因此，我们不妨设 TI??0 . 如果 T 存在 正 平方根算子 S ，则由 2TS? 得到恒等式
22 ( ) ( )I S I T I S? ? ? ? ?. (4.3.3)
记 B I T? ? ?0 ，利用等式 (4.3.3)构造迭代 格式
§ 4.3 Hilbert 空间的有界线性算子
泛函分析讲义 [乌力吉 ] 163
2011, ( )2nnA A B A ?? ? ?0 ， 1,2,n? ? . (4.3.4)
下面用数学归纳法 证明 {}nA 是单调 递增 的 正 算子 列， 且 || || 1nA ? ， 1,2,n? ? .
当 1n? 时， 显然 0 1 1 0,,A A A A? 都是正算子 B 的非负系数多项式，故它们都是正算子，
且
1 11|| || || || (1 || ||) 122A I T T? ? ? ? ?
，
并有 0 1 1 0AA AA? .
假设 结论对 nk? 成立 ， 即 11,,k k k kA A A A??? 都是正算子 B 的非负系数多项式， 且
|| || 1kA ? ， 并有 11k k k kA A A A??? .
当 1nk??时， 有
221 11| | | | | | | | ( | | | | | | | | ) 122k k kA B A B A? ? ? ? ? ? ，
且
2 2 2 21 1 1 1 11 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2k k k k k k k k k kA A B A B A A A A A A A? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，
由归纳假设可知， 1kkAA?? 和 1kkAA?? 都是正算子 B 的非负系数多项式，故 1kkAA? ? 是正
算子 B 的非负系数多项式，从而 1kA? 也是正算子 B 的非负系数多项式 . 且 kA 和 1kA? 都作为
正算子 B 的非负系数多项式，有 11k k k kA A A A??? .
这样 ，我们得到了是单调递增的正算子列 {}nA ，且 || || 1nA ? ， 1,2,n? ? . 故 由定理
4.3.13 知 ，存在自共轭算子 A ， 使得 {}nA 强收敛于 A ，显然 || || 1A? . 并 对任意 xX? ， 当
n?? 时， 有
|| ( ) ( ) || 0nA Ax A Ax??， || ( ) || || ( ) || 0nnA A x A x A x A x? ? ? ?，
故
lim || ( ) || 0nnn A A A A x?? ??.
因此， 对 任意 xX? ，有
22|| || || ( ) ( ) || || ( ) ||n n n n nA x A x A A A A x A A A A x? ? ? ? ? ?
2 | | ( ) | | | | ( ) | | 0 ( )n n nA A x A A A A x n? ? ? ? ? ? ?，
第四章 Hilbert 空间
164 泛函分析讲义 [乌力吉 ]
故 2{}nA 强收敛于 2A . 对任意 xX? ， 在
2 11 ()2nnA x Bx A x???
两 边 取极限， 得
21 ()2Ax Bx A x??，
由 x 的任意性知，
21 ()2A B A??，
令 S I A?? ，并注意到 B I T?? ，则得 2ST? ， 且对任意 xX? ，有
( , ) ( , ) ( , ) ( 1 || || ) ( , ) 0S x x x x A x x A x x? ? ? ? ?，
这样我们就 证明了 正 平方根 算子 的存在性 . 且从证明过程中看到，所有与 T 可交换的算子都
与 S 可交换 .
下面证惟一性 . 如果还 有正算子 R ， 使得 2TR? ，显然 R 与 T 可交换， 从而 R 与 S 可
交换 . 对任意 xX? ， 令 ()y S R x?? ，则 有
0 ( , ) ( , ) ( ( ) , ) ( ( ) , ) 0Sy y R y y T SR x y T SR x y? ? ? ? ? ? ?，
由此知 ( , ) ( , ) 0Sy y Ry y??. 又 S 是正算子， 故 存在 正 算子 U ， 使得 2SU? ，于是
220 ( , ) ( , ) || ||S y y U y y U y? ? ?，
即 Uy?0 ，从而 Sy?0 . 同理 可得 Ry?0 . 因此，我们有
2|| || ( ( ) , ) ( , ( ) ) 0y S R x y x S R y? ? ? ? ?，
这表明 y?0 ， 从而 由 xX? 的任意性知， RS? .
推论 4.3.15 设 X 是 Hilbert 空间， ( , )T L X X? 是正算子，如果存在 yX? ，使得
( , ) 0Ty y ? ，则 Ty?0 .
证 由于 T 是正算子，故存在正算子 S ，使得 2TS? . 因此
20 ( , ) ( , ) ( , )T y y S y y S y S y? ? ?，
这表明 Sy?0 ，从而 2 ()Ty S y S Sy? ? ? 0.
§ 4.3 Hilbert 空间的有界线性算子
泛函分析讲义 [乌力吉 ] 165
推论 4.3.16 设 X 是 Hilbert空间， 12, ( , )T T L X X? 都是正算子，如果 1 2 2 1TT TT? ，则 12TT
也是正算子 .
证 由于 12,TT是正算子，故存在正算子 12,SS，使得 221 1 2 2,T S T S??. 由于 12,TT可交换，
故 12,SS也可交换 ，因此，对任意 xX? ，有
221 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0T T x x S S x x S S S S x x S S x S S x? ? ? ?，
故 12TT 是正算子 .
最后简单 介绍 一下 Hilbert 空间上的一类等距同构算子 —— 酉算子 .
定义 4.3.5 设 X 是 Hilbert 空间， :T X X? 是线性算子 . 如果 T 为满射且对任意
xX? ，有
|| || || ||Tx x? ，
则称 T 是 酉算子 .
定理 4.3.17 设 X 是 Hilbert 空间， :T X X? 是线性算子，则 T 为酉算子的 充分必要
条件是
T T TT I??.
证 必要性 . 设 T 为酉算子 ，对任意 ,xy X? ， 由极化恒等式 ， 得 ( , ) ( , )Tx Ty x y? ，故
( , ) ( , )T Tx y x y? ，
由 ,xy X? 的任意性知 T T I? . 又 因 T 是 双射， 由逆算子定理 知 1T? 存在 ， 故 1TT?? ，
从而 TT I? .
充分性 .由 TT I? 知 T 是满射 . 而由
( , ) ( , ) ( , )x x T Tx x Tx Tx??
知 || || || ||Tx x? .
我们还可以证明：
（ 1） 当 {}X?0 时 ， 酉算子 T 的范数 || || 1T? .
（ 2） 设 {}nT 是一 个 酉算子 列，如果 {}nT 一致收敛于 T ， 则 T 也是酉算子 .
第四章 Hilbert 空间
166 泛函分析讲义 [乌力吉 ]
习题四
泛函分析讲义 [乌力吉 ] 167
习题四
1. 设 X 为内积空间， 12,v v X? ， 若对一切 wX? 均有 12( , ) ( , )v w v w? ， 则
12vv?
.
特别地，若对所有 wX? 均有 ( , ) 0vw? ，则 v?0 .
2. 设 1 2 1 2 1 2{ ( , ) , } , ( , )X C x X? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?， 定义 X 上 的 范 数
12x ???? .问该范数是否为内积导出的范数 ?
3. 证明 ? ?,Cab 不成为内积空间 .
4. 设 ??nx 是内积空间 X 中的点列， lim
nn xx?? ?
，且对一切 yH? ，有
( , ) ( , )( ),nx y x y n? ? ?
证明 lim
nn xx?? ?
.
5. 设 ,XY是实内积空间， ,xy是 X 中的非零元，证明： x y x y? ? ? 的 充分必
要 条件是存在 0?? ，使得 yx?? .
6. 1）设 X 和 Y 均为内积空间， :T X Y? 是有界线性算子，则 T?0 的充分必要条
件是对任意 ,x X y Y??， 有 ( , ) 0Tx y ? .
2）设 X 为复内积空间 ， :T X X? 是有界线性算子 ， 若 对任意 xX? ，有 ( , ) 0Tx x ? ，
则 T?0 . 若 X 是实内积空间，此结论不成立，试举例说明 .
7. 设 12, , , ,nX X X??是一列内积空间，令
? ? 21,n n n nnX x x X x????? ? ? ??????
对于 ? ? ? ?,nnx y X? ，定义
? ? ? ? ? ?n n n nx y x y? ? ? ?? ? ?， ? ? ? ?? ?
1, ( , )n n n nnx y x y
?
?? ?
，
证明 X 是内积空间，并且当每个 nX 都是 Hilbert 空间时， X 也是 Hilbert 空间 .
8. 设 X 为内积空间， yX? ， X 上的泛函 yf 定义为 ( ) ( , )yf x x y? ， xX? .
第四章 Hilbert 空间
168 泛函分析讲义 [乌力吉 ]
证明 yf 是 X 上的连续线性泛函，且
yfy?
.
9. 设 X 是 Hilbert 空间 ， T 是从 X 到 X 的线性算子， ()DT X? ，且满足
( , ) ( , )Tx y x Ty? ， ,xy X? . 证明 T 是 X 上的有界线性算子 .
10. 设 M 和 N 是内积空间 X 中的非空集合，则
1）若 MN? ，则 NM??? ， MN?? ?? ;
2） MM??? ;
3） MM? ???? ;
4）若 x M M??? ，则 x?0 ;
5） ?? X??0 ， ??X?? 0 ;
6）若 M 是 X 中稠子集，则 ??M?? 0 ;
7） MM??? ;
8）若 MN? ，则 MN?? ， NM?? .
11. 设 M 是 Hilbert 空间 X 中的线性子空间，则
1） MM???
2） ??M?? 0 ? M 在 X 中稠密 .
12. 设 M 是 Hilbert 空间 X 的线性子空间 . 若对 任意 xX? 在 M 上的投影 0x 存在，则
M 是 X 的闭子空间 .
13. 对于内积空间，下列条件等价
1） xy? 2） ,x y x C??? ? ? ? 3） ,x y x y C? ? ?? ? ? ? ?
14. 设 X 和 Y 是 Hilbert 空间 的线性子空间， 则 ()X Y X Y? ? ?? ? ?.
15. 设 M 和 N 是 Hilbert 空间 X 的子空间， ,M N L M N? ? ?，证明： L 是闭子空
间的充分必要条件是 ,MN均为闭子空间 .
习题四
泛函分析讲义 [乌力吉 ] 169
16. 设 X 是 Hilbert 空间 ， ??nx 是 X 中正交集，则下列条件等价：
1）
1 nn x
?
??
收敛 2）
1( , )nn xy
?
??
收敛， yX?? 3） 2
1 nn x
?
??
收敛
17. 设 ??1n ne ?? 是内积空间 X 中的标准正交系，证明对 任意 ,xy X? ，有
1 ( , ) ( , )nnn x e y e x y
?
? ??
18. 设 X 是 Hilbert 空间 ， ??1n ne ?? 和 ? ?1n nf ?? 是 X 中 两 个 标 准 正 交 系 ， 并 且
2
1 1nnn ef
?
? ???
，证 明：如果 ??ne 和 ??nf 中之一是完备的，则另一个也完备 .
19. 试求下列在 2( , )L ???? 上定义的线性算子的共轭算子
1） ( )( ) ( )Tx t x t h??，其中 h 是给定的实数 ；
2） ，（ 是有界可测函数， 是给定的实数）；
3） ? ?1( )( ) ( ) ( )2Tx t x t x t? ? ?
20. 设 X 和 Y 是 Hilbert 空间 ， T 是 X 到 Y 中的线性有界算子，则
1） ( ) ( )N T R T??? 2) ( ) ( )R T N T???
3） ( ) ( )R T N T??? 4) ( ) ( )N T R T???
21. 设 T 为 Hilbert 空间 X 上的有界线性算子，且 1T? ,则 ? ? ? ?x Tx x x T x x?? ? ?.
22. 设 ? ? ? ?22: 0,1 0,1T L L? ，由 ( ) ( )Tx t tx t? 定义 . 证明 T 是自共轭的和正的，并找
出其正平方根 .
23. 设 22:T l l? ，由 1 2 3 4( , , ) (0 , 0 , , , )? ? ? ????定义 . 试问： T 有界吗 ? 是自共轭
的吗 ? 是正的吗 ?并求 T 之一平方根 .
24. 设 T 为 Hilbert 空间 X 上的有界线性算子 . 则 ( ) ( )N T N TT??? ， ( ) ( )R T R TT??
25. 设 T 为复 Hilbert 空间 X 上的有界线性算子，证明： xX?? ，有
R e ( , ) 0T x x T T ?? ? ? ?
( )( ) ( ) ( )Tx t a t x t h??()at h
第四章 Hilbert 空间
170 泛函分析讲义 [乌力吉 ]
26. 设 T 为 Hilbert 空间 X 上的有界线性算子， ??ne 为 X 中完备的标准正交系，
若对任何 ,mn，有 ( , ) ( , )n m m nTe e Te e? ，则 T 是自共轭的 .
27. 设 P 和 Q 是 Hilbert 空间 X 上的投影算子，证明以下命题等价 .
1） PQ? 是投影算子 2） 0PQ? （或 0QP? ） 3） ( ) ( )R P R Q?
28. 设 P 和 Q 是 Hilbert 空间 X 上的投影算子，证明以下命题成立
1） PQ? 是投影算子 2） PQQ? （或 QPQ? ） 3） ( ) ( )R Q R P?
29. 设 P 和 Q 是 Hilbert 空间 X 上的投影算子，则 PQ 是投影算子 充分必要条件是
PQ QP?
30. 设 U 是 Hilbert 空间 ? ?2 0,2L ? 中如下定义的算子：
? ?2( ) ( ) ( ) , 0 , 2itU f t e f t f L ???,
证明 U 是 酉算子 .
31. 试求下列定义在 上的线性算子的共轭 算子 .
1） ;
2） , 其中 是有界数列 ;
3） , 其中 是给定的 ;
4） , 其中 是有界数列 ， 是给定的 .
2l
},,,0{},,{ 2121 ??????? xxxxT
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},0,,,,{},,{ 2121 ?????????? nxxxxxT n
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习题四
泛函分析讲义 [乌力吉 ] 171
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