第五章 非线性 分析 初步
§5.1 抽象函数的微分和积分
抽象函数是普通函数在 Banach 空间中的推广 .
定义 5.1.1 设 X 是一个 Banach 空间 ， [ , ]ab?? ，我们 称 映射 :[ , ]x a b X? 为 抽象函
数 .
定义 5.1.2 设 :[ , ]x a b X? 是 一个 抽象函数 ， 0 [ , ]t ab? . 如果存在 0yX? , 使得
0 000( ) ( )li m || || 0t x t t x t yt?? ? ? ? ???
，
则称 ()xt 在点 0t 处 可微 ，并 称 0y 为 ()xt 在 点 0t 处 的 导数 ， 记为 0''( )xt ，即有
000 0 ( ) ( )''( ) li mt x t t x txt t?? ? ? ?? ?.
若抽象函数 ()xt 在 [, ]ab 中每一点均可微 （点 a 处 右可微 ,点 b 处 左可微） ，则称 ()xt 在
[, ]ab 上 可微 ，这时， 导函数 ''()xt也是一个从 [, ]ab 到 X 的抽象函数 .
例 5.1 设 1Xl? , 抽象函数
:[ , ]x a b X? ， 12( ) ( ( ) , ( ) , , ( ) , )nx t x t x t x t? ??， [ ]ab? .
如果 ()xt 在点 0t 处 可微 ，则必有
10 1 0 2 0 0''( ) ( ''( ) , ''( ) , , ''( ) , )nx t x t x t x t l????.
例 5.2 对于常函数 0()x t x X??， ()xt 不仅 在 [, ]ab 上可微 ，而 且 ''( )x t X??0 . 反之 ，
若 ()xt 在 [, ]ab 上可微且 ''()xt?0 ， 则 ()xt 是常函数 . 事实上 ， 对每个 fX? ， 由于 f 是
连续线性泛函，故 对任意 [ , ]t ab? ， 有
0 ( ( ) ) ( ( ) )( ( ) ) l i mtd f x t t f x tf x td t t?? ? ? ?? ?
00( ) ( ) ( ) ( )l i m ( ) ( l i m ) ( ''( ) )ttx t t x t x t t x tf f f x ttt? ? ? ?? ? ? ? ? ??????
(5.1.1)
( ) 0f??0 ，
§ 5.1 抽象函数的微分和积分
172 泛函分析讲义 [乌力吉 ]
因此，由数学分析可知 ( ())f xt 是 常 函数 ， 由 Hahn Banach 定理的推论 3.3.13 知， ()xt 是常
函数 .
定义 5.1.3 设 :[ , ]x a b X? 是一抽象函数 ， 对于 [, ]ab 的 分划 ? ：
01 na t t t b? ? ? ? ?? ，
作 Riemann 和
1( , ) ( )
n
iiiS x x t??? ? ??
，
其中 1i i it t t?? ? ? ， 1[ , ]i i itt? ?? ， 1,2, ,in? ? . 记 12m a x { , , , }nt t t? ? ? ? ??，如果存在
IX? ，使对任意 0?? ，存在 0?? ，当 ??? 时，不等式
|| ( , ) ||S x I ?? ? ?
对任何分划 ? 总成立， 则称 ()xt 在 [, ]ab 上是 Riemann 可积 的 ， 并称 I 是 ()xt 在 [, ]ab 上 的
Riemann 积分 ,记为
()baI x t dt?? .
可以证明，若 ()xt 在 [, ]ab 上连续，则 ()xt 在 [, ]ab 上 Riemann 可积 .
抽象函数的 Riemann 积分 与 一元函数的 Riemann 积分 有 许多 相同的性质 . 设抽象函数
( ), ( )xt yt 在 [, ]ab 上 Riemann 可积 ， ,???? 是实数 ，则有
（ 1） ( ( ) ( ) ) ( ) ( )b b b
a a ax t y t d t x t d t y t d t? ? ? ?? ? ?? ? ?
；
（ 2） ( ) ( ) ( )b c b
a a cx t d t x t d t x t d t??? ? ?
，其中 [ , ]c ab? ；
（ 3） | ( ) | | ( ) |bb
aax t dt x t dt???
.
定理 5.1.1 （ Newton Leibniz 公式 ） 如果 ()xt 在 [, ]ab 上连续可微 ， 则 有
''( ) ( ) ( )ba x t dt x b x a??? .
证 当 ()xt 在 [, ]ab 上连续可微 时，从等式 (5.1.1)看到， 对 任意 fX? ， 复合 函数
( ) ( ( ))g t f x t?
在 [, ]ab 上连续可微 且
第五章 非线性分析初步
泛函分析讲义 [乌力吉 ] 173
''( ) ( ( ) ) ( ''( ) )dg t f x t f x tdt??，
因此， ()gt 满足 Newton Leibniz 公式，故有
0 1( ''( ) ) ( l i m ''( ) )
nb
iia if x t dt f x t? ?? ?????
0 1l im ( ''( ) ) ( ''( ) )
n b
ii ai f x t f x t dt? ???? ? ?? ?
( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ( ) )f x b f x a f x b x a? ? ? ?，
即对任意 f X? ，都有
( ''( ) ( ( ) ( ) ) ) 0baf x t d t x b x a? ? ?? ，
从而由 Hahn Banach 定理的推论 3.3.13， 得
''( ) ( ) ( )ba x t dt x b x a??? .
定理 5.1.2 如果 ()xt 在 (, )ab 内可微 ， 在 [, ]ab 上连续 ， 则存在 ( , )ab?? ， 使得
|| ( ) ( ) || ( ) || ''( ) ||x b x a b a x ?? ? ?.
证 对任意 fX? ，函数 ( ) ( ( ))g t f x t? 在 [, ]ab 上满足 Lagrange 中值定理的条件， 特
别地 ， 取 0 fX? ， 满足
0 ( ( ) ( ) ) || ( ) ( ) ||f x b x a x b x a? ? ?
且 0|| || 1f ? ，由 Hahn Banach 定理可知泛函 0 fX? 是存在的 . 于是，由一元函数的 Lagrange
中值定理 和等式 (5.1.1)知， 存在 ( , )ab?? ，使得
00 0| | ( ) ( ) | | ( ( ) ) ( ( ) ) ( ''( ) ) ( ) | | ''( ) | | ( )x b x a f x b f x a f x b a x b a??? ? ? ? ? ? ?.
定理 5.1.3 设 ()xt 在 [, ]ab 上连续， 如果 ( ) ( )t
ay t x s ds??
， 则 ()yt 在 [, ]ab 上可微 ， 且
''( ) ( )y t x t? .
证 对 任意 [ , ]t ab? ， 由 ()xt 的 连续 性知，对任意 0?? ，存在 0?? ，使当 ||t ??? 时 ，
有 || ( ) ( ) ||x t t x t ?? ? ? ?. 因此
§ 5.2 非线性算子的微分
174 泛函分析讲义 [乌力吉 ]
( ) ( ) 1| | ( ) | | | | [ ( ) ( ) ] | |ttty t t y t x t x s x t d stt ??? ? ? ? ? ??? ?
1 || ( ) ( ) ||tt
t x s x t d st ?
??? ? ?? ? ，
这表明 ''()yt存在且有 ''( ) ( )y t x t? .
§5.2 非线性算子的微分
本节介绍非线性算子的 Fréchet 微分和 Gateaux 微分 ， 这是高等数学中多元函数的全
微分与方向导数的概念在 Banach 空间中的推广 . 在后面的讨论中不加注明时，我们默认 X
为 实 Banach 空间 .
§5.2.1 Fréchet 可微和 Gateaux 可微
定义 5.2.1 设 ,XY是两个 Banach 空间 ， GX? 是开集 ， :F G Y? ， 0xG? ， 则
（ 1）如果
0
00|| || 0lim || ( ) ( ) || 0hx h G F x h F x??? ? ? ?
；
则 称 映射 F 在点 0x 处连续 .
（ 2） 如果存在 ( , )T L X Y? ， 满足
0
00|| || 0 || ( ) ( ) ||l im 0|| ||h
x h G
F x h F x T hh
???
? ? ? ?，
则 称 映射 F 在点 0x 处是 Fréchet 可微 的， 此时 ， 称 Th 为 F 在点 0x 处 关于 h 的 Fréchet 微分 ，
记为 0[ ( ) ]dF x h ， 称 有界线性 算子 T 为 F 在点 0x 处 的 Fréchet 导算子 ， 记为 0''( )T F x? .
（ 3） 如果对任意 hX? ， 极限
000 ( ) ( )limt F x th F xt? ??
在 Y 中存在 ， 则 称 映射 F 在点 0x 处是 Gateaux 可微 的， 记其极限为 0[ ( ) ]DF x h . 此时 ， 称
0[ ( ) ]DF x h 为 映射 F 在点 0x 处 沿方向 h 的 Gateaux 微分 . 如果 存在 ( , )T L X Y? ，使得
0[ ( ) ]D F x h Th? ， 则称 映射 F 在点 0x 处 具有有界线性的 Gateaux 微分 ， 并称 有界线性算
子 T 为 Gateaux 导算子 ， 仍记为 0''( )Fx .
第五章 非线性分析初步
泛函分析讲义 [乌力吉 ] 175
例 5.3 设 : nmF ???是 n 元向量值函数 .如果 F 的分量
12( , , , )inF x x x?
在 点 0 0 0 012( , , , )nx x x x? ? 的某邻域内 是连续可微的 , 1,2, ,im? ? ，则 F 在 点 0x 处 是 Fréchet
可微， 并且 Fréchet 导算子 0''( )Fx 正好 是 F 在点 0x 处 Jacobi 矩阵
00 ()() i
j mn
FxJF x x
?
???? ??
???
.
证 对任意 12( , , , ) nnh h h h????， 根据 Taylor 公式的一阶展开式 ， 我们有
0 0 0( ) ( ) ( ) ( || ||) ( || || 0 )TiiF x h F x F x h o h h? ? ? ? ? ?， 1,2, ,im? ? ，
由此可见
0 0 0| | ( ) ( ) ( ) | | ( | | | | ) ( | | | | 0 )F x h F x J F x h o h h? ? ? ? ?，
故 00''( ) ( )F x JF x? .
例 5.4 设 (, )f tx 在 [ , ] ( , )ab? ?? ??上连续 ， 且偏导数 (, )xf tx 在 [ , ] ( , )ab? ?? ??上
也连续 . 定义算子
: [ , ] [ , ]F C a b C a b? ， ( )( ) ( , ( ))Fx t f t x t? ， [ , ]t ab? ，
证明 F 在任意点 00( ) [ , ]x x t C a b?? 处 Fréchet 可微 ， 且 Fréchet 微分 0[ ( ) ]dF x h 为
00[ ( ) ] ( ) ( , ( ) ) ( )xd F x h t f t x t h t? ， ( ) [ , ]h t C a b? .
证 对任意 [ , ]h Cab? ，定义
0( ) ( , ( ) ( ))f t x t h t? ? ???，
()?? 作为 ? 的函数在 [0,1] 上连续 ，在 (0,1) 上连续 可微 ， 且
0''( ) ( , ( ) ( ) ) ( )xf t x t h t h t? ? ???，
对 ()?? 应用 Lagrange 中值定理 ， 有
00(1 ) (0 ) ( , ( ) ( ) ) ( )xf t x t h t h t? ? ?? ? ?， 0 (0,1)? ? .
由于 (, )xf tx 连续 ,因此 ,当 || || 0h? 时 ， 有
§ 5.2 非线性算子的微分
176 泛函分析讲义 [乌力吉 ]
0 0 0m a x | [ ( , ( ) ) ( , ( ) ( ) ) ] ( ) | ( || || ) ( || || 0 )xxa t b f t x t f t x t h t h t o h h??? ? ? ? ?
，
由此得
0 0 0|| ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ( ) ) ( ) ||xF x h t F x t f t x t h t? ? ?
0m a x | ( , ( ) ( ) ) ( , ( ) ) ( , ( ) ) ( ) |xa t b f t x t h t f t x t f t x t h t??? ? ? ?
0 0 0m a x | [ ( , ( ) ) ( , ( ) ( ) ) ] ( ) | ( || || ) ( || || 0 )xxa t b f t x t f t x t h t h t o h h???? ? ? ? ?
，
故有
00[ ( ) ] ( ) ( , ( ) ) ( )xd F x h t f t x t h t? ， ( ) [ , ]h t C a b? .
为了方便起见 ， Fréchet 可微 和 Gateaux 可微分别称为 F 可微 和 G 可微 . 下面我们讨论
这两种微分之间的关系 .
定理 5.2.1 设 ,XY是两个 Banach 空间， GX? 是开集， :F G Y? ， 0xG? ，则
（ 1） 如果 F 在 点 0x 处 F 可微 ， 则 F 在点 0x 处 必有有界线性 G 微分 ， 并且
00[ ( ) ] [ ( ) ]D F x h d F x h? ；
（ 2） 如果 F 在 G 的每一点都有有界线性 G 微分 ， 且 G 导算子 ''( ) : ( , )F x G L X Y? 在
点 0x 处 连续 ，则 F 在点 0x 处 F 可微 .
证 （ 1）设 F 在点 0x 处 F 可微，由于 0''( )Fx 是线性算子，故对任意 hX? ，有
0 0 0( ) ( ) ''( ) ( ) ( 0 )F x th F x tF x h o t t? ? ? ? ?，
因此
0 0 0 000( ) ( ) ''( ) ( ) l i m l i m ''( )ttF x th F x tF x h o t F x htt??? ? ???，
这表明 F 在点 0x 处必有有界线性 G 微分， 且两者导算子相同 .
（ 2）设 F 在 G 的每一点都有有界线性 G 微分，且 G 导算子 ''( ) : ( , )F x G L X Y? 在点
0x 处连续，则 对 任意 0?? ，存在 0?? ，使当 || ||h ?? 时 ， 有
00|| ''( ) ''( ) ||F x h F x ?? ? ?.
由 Hahn Banach 定理的推论 知， 对任意 hX? ， 存在 yY? ， 满足 || || 1y? 且
第五章 非线性分析初步
泛函分析讲义 [乌力吉 ] 177
0 0 0 0 0 0( ( ) ( ) ''( ) ) | | ( ) ( ) ''( ) | |y F x h F x F x h F x h F x F x h? ? ? ? ? ? ?.
定义辅助函数 0( ) ( ( ))t y F x th? ??，由 F 在 G 的每一点都有有界线性 G 微分 易见， ()t? 在
[0,1] 上连续， 在 (0,1) 上连续可微 ， 且
00 00 ( ( ( ) ) ) ( ( ) )''( ) l i m ( ''( ) )t y F x t t h y F x tht y F x th ht? ?? ? ? ? ? ?? ? ??.
从而由 Lagrange 中值定理 知， 存在 (0,1)?? ， 使得
0 0 0( ( ) ) ( ( ) ) ( ''( ) )y F x h y F x y F x h h?? ? ? ?.
注意到 || || || ||hh? ? ，当取 || ||h ?? 时，有 00|| ''( ) ''( ) ||F x h F x??? ? ?， 于是
0 0 0 0 0| | ( ) ( ) ''( ) | | ( ''( ) ''( ) ) | | | |F x h F x F x h y F x h h F x h h??? ? ? ? ? ? ?，
这表明 F 在点 0x 处 F 可微 .
定理 5.2.2 设 ,XY是两个 Banach 空间， GX? 是开集， :F G Y? ，则
（ 1） 如果 0()Fx y? 是常映射， 则 ''( ) ( , )F x L X Y??0 ；
（ 2）如果 ()F x Tx? ， ( , )T L X Y? ， 则 ''( )F x T? ；
（ 3）如果 :H G Y? ， 且对 任意 0xG? ， ,FH均在 点 0x 处 F可微 ， 则对 任意 ,???? ，
算子 FH??? 在点 0x 处也 F 可微， 且 有
0 0 0( ) ''( ) ''( ) ''( )F H x F x H x? ? ? ?? ? ?.
（ 4）设 Z 是 一个 Banach 空间 ， ''GY? 是开集 ， :''H G Z? . 如果 F 在点 0xX? 处
F 可微 ， H 在 点 00()y F x Y??处 F 可微 ， 则复合算子 :F H X Z?? 仍在 点 0xX? 处 F
可微 ， 且
0 0 0( ) ''( ) ''( ) ''( )F H x H y F x?? .
证 根据 F 可微的定义，易见（ 1），（ 2）和（ 3）成立 . 下面 仅证 （ 4） .
由 F 可微的定义知，对任意 hX? ， ''hY? ，有
0 0 0( ) ( ) ''( ) ( || ||)F x h F x F x h o h? ? ? ? (|| || 0)h ? ， （ 5.2.1）
0 0 0( '') ( ) ''( ) '' ( || '' ||)H y h H y H y h o h? ? ? ? (|| ''|| 0)h ? . （ 5.2.2）
§ 5.2 非线性算子的微分
178 泛函分析讲义 [乌力吉 ]
取
0 0 0'' ( ) ( ) ''( ) ( || ||)h F x h F x F x h o h? ? ? ? ?，
并 将这样的 ''h 代入 （ 5.2.2）式， 则当 || || 0h? 时，有
0 0 0 0 0( ( ) ) ( ( ) ) ''( ( ) ) ''( ) ( | | '' | | ) ''( ( ) ) ( | | | | )H F x h H F x H F x F x h o h H F x o h? ? ? ? ? ?，
注意到
0|| '' || || ''( ) || || || ( || ||)h F x h o h? ? ?，
故当 || || 0h? 时，有
0 0 0 0| | ( ( ) ) ( ( ) ) ''( ( ) ) ''( ) | | ( | | | | )H F x h H F x H F x F x h o h? ? ? ?，
这表明 FH? 在 点 0x 处 F 可微 ，且 0 0 0( ) ''( ) ''( ( ) ) ''( )F H x H F x F x?? .
§5.2.2 微分中值定理
定理 5.2.3（中值定理） 设 ,XY是两个 Banach 空间， GX? 是开凸集， 0xG? ，
:F G Y? 具有连续的 F 导算子 . 如果 存在 hX? ，使 得 0x h G?? ，则有
10 0 0 0 00|| ( ) ( ) ''( ) || || [ ''( ) ''( ) ] ||F x h F x F x h F x th F x h d t? ? ? ? ? ??.
证 由于 G 是凸集 且 00,x x h G?? ，故 对一切 [0,1]t? 有 0x th G?? . 定义抽象函数
:[0,1]xY? ， 0( ) ( )x t F x th??， [0,1]t? .
由于 当 | | 0t?? 时，有
0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ''( ) ( | | )x t t x t F x th th F x th F x th h t o t? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，
故 ()xt 在 [0,1] 上 可导 且 导函数 0''( ) ( )x t F x th h??连续 . 由 定理 5.1.1，我们 有
10 0 00( ) ( ) ''( )F x h F x F x th h d t? ? ? ??，
由此得
10 0 0 0 00( ) ( ) ''( ) [ ''( ) ''( ) ]F x h F x F x h F x th F x h d t? ? ? ? ? ??，
于是，在等式两边取范数，得
10 0 0 0 00|| ( ) ( ) ''( ) || || [ ''( ) ''( ) ] ||F x h F x F x h F x th F x h d t? ? ? ? ? ??.
第五章 非线性分析初步
泛函分析讲义 [乌力吉 ] 179
设 ,XY是两个 Banach空间， GX? 是开集，如果 :F G Y? 在 G 中每一点都 F可微 ，
则 导算子 ''()Fx又决定一个算子 '' : ( , )F G L X Y? ，如果 ''()Fx在 点 0x 处 F 可微 ，则 称
''()Fx在点 0x 处 的 F 导算子 0( '')''( )Fx为算子 F 在点 0x 处 的二阶 F 导算子 ， 记为 0''''( )Fx，
根据定义， 0''''( ) ( , ( , ))F x L X L X Y? . 类似 地， 可以定义 算子 F 在点 0x 处的 n 阶导算子
() 0( ) ( , ( ( , ) ) )nF x L X L X L X Y? ??，
其中有 n 对括号， 3,4,n? ? . 对每个 hX? ， 0''''( ) ( , )F x h L X Y? ， 0( ''''( ) )F x h h Y? ，一
般地，对于 n 阶导算子， () 0( ( ( ) )nF x h h Y??? .为了简化记号 ， 我们记
( ) ( )00( ) ( ( ( ( ) ) )n n nF x h F x h h h? ??.
定理 5.2.4（ Taylor 展开式） 设 ,XY是两个 Banach 空间， GX? 是开凸集， 0xG? ，
如果 :F G Y? 具有 直到 n 阶 连续的 F 导算子 ， 且存在常数 0M? ，使得 ()|| ( ) ||nF x M? 对
任意 xG? 成立 ， 则对 任意 0xG? 和 hX? ， 当 0x h G?? 时 ， 有
()0 0 0 0
1
1( ) ( ) ( ) ( , )!n ii
iF x h F x F x h R x hi?? ? ? ??
， （ 5.2.3）
其中 0( , )Rx h 为余项 ， 且
0 1|| ( , ) || || ||! nR x h M hn?
.
证 记
()0 0 0 0
1
1( , ) ( ) ( ) ( )!n ii
iR x h F x h F x F x hi?? ? ? ? ?
，
根据 Hahn Banach 定理的推论 ， 存在 fY? ， 满足 00( ( , )) || ( , ) ||f R x h R x h? 且 || || 1f ? .
令 0( ) ( ( ))t f F x th? ??， 则由 F 在 G 内存在直到 n 阶的连续 F 导算子可知 ， ()t? 是 n 阶
连续可导的函数 ， 且有
( ) ( ) 0( ) ( ( ) )i i it f F x th h? ??， [ ,1]t? ， 1,2, ,in? ? . （ 5.2.4）
由 一元 函数 ()t? 的 Taylor 展开式得知 ， 存在 (0,1)?? ， 使得
§ 5.2 非线性算子的微分
180 泛函分析讲义 [乌力吉 ]
1 ( ) ( )
1
11(1 ) ( 0) ( 0) ( )!!n in
i in? ? ? ? ?
?
?? ? ??
， （ 5.2.5）
把 (5.2.4)式代入 (5.2.5)式，并注意到 00( ( , )) || ( , ) ||f R x h R x h? ，得
()0011| | ( , ) | | ( ( ) ) | | | |!!n n nR x h f F x h h M hnn?? ? ?，
从而定理得证 .
§5.2.3 隐函数与反函数定理
定理 5.2.5（ 隐函数定理 ） 设 ,,XYZ 都 是 Banach 空间 ， ,UV分别是 ,XY的 开集 ，
00( , )x y U V??， :F U V Z??在 UV? 内 连续 . 如果
（ 1） 00( , )F x y ?0 ，
（ 2） 00( , )yF x y (当 x 固定时 ,关于 y 的导算子 )有有界逆算子 100( , )yF x y ? ，
（ 3） ( , )yF xy 在 点 00( , )xy 处连续 ，
则 存在点 0x 和点 0y 的闭球 邻域 0UU? 和 0VV? ， 以及 由方程 ( , )F x y ?0 确定的惟一 连
续算子 00:f U V? ，使得 ( , ( ))F x f x ? 0.
证 记 100|| ( , ) ||yM F x y ?? ，由于 ( , )yF xy 在 点 00( , )xy 处连续 ，故存在点 0x 和点 0y 的
半径相当 小 的 闭球邻域 0UU? 和 0VV? ，当 00( , )x y U V??时 ，就有
00 1|| ( , ) ( , ) || 2yyF x y F x y M??
.
又 因为 0( , )Fxy 关于 x 连续 ， 且 00( , ) 0F x y ? ， 所以，我们认为 0U 的半径足够 小，以至于
当 0xU? 时 ， 有
0|| ( , ) || 2F x y M??
，其中 0?? 是闭球邻域 0VV? 的半径 .
对 任意 固定的 0xU? ，构造 映射
0:T V Y? ， 100( , ) ( , ) ( , )yT x y y F x y F x y??? ， 0yV? ，
由于
100|| ( , ) || || ( , ) ( , ) ||y y yT x y I F x y F x y???
第五章 非线性分析初步
泛函分析讲义 [乌力吉 ] 181
10 0 0 0 1| | ( , ) | | | | ( , ) ( , ) | | 2y y yF x y F x y F x y?? ? ? ?， 0yV? ，
再结合 Taylor 一阶展开式，我们有
0 0 0 0| | ( , ) | | | | ( , ) ( , ) | | | | ( , ) | |T x y y T x y T x y T x y y? ? ? ? ?
0
10 0 0 0su p | | ( , ) | | | | | | | | ( , ) ( , ) | |yyyV T x y y y F x y F x y??? ? ? ?
0
10 0 0 0s u p | | ( , ) | | | | | | | | ( , ) | | | | ( , ) | |yV T x y y y F x y F x y??? ? ? ? ?
22 MM?? ?? ? ?，
这表明 00()TV V? .
另一方面 ， 对 任意 1 2 0,y y V? ， 由 Taylor 一阶展开式知， 存在 (0,1)?? ， 满足
1 2 1 2 1 1 2 1 21| | ( , ) ( , ) | | | | ( , ( ) ) | | | | | | | | | |2yT x y T x y T x y y y y y y y?? ? ? ? ? ? ? ?
，
故 ( , )Txy 是 从 0V 到 0V 的 压缩映射 ， 从而由压缩 映射 定理 知， 存在惟一 0xyV? 使得
( , )xxy T x y? ，故由 T 的定义，有 ( , ) 0xF x y ? . 特别地，当 0xx? 时， 由 xy 的惟一性 知，
0xyy? . 这意味着 存在 映射
00:f U V? ， () xf x y? ， 0xU?
满足 ( , ( )) 0F x f x ? .
对任意 1 2 0,x x U? ， 记 11()y f x? ， 22()y f x? ，则由前面的结论，我们有
1 2 1 1 2 2|| || || ( , ) ( , ) ||y y T x y T x y? ? ?
1 1 2 1 2 1 2 2| | ( , ) ( , ) | | | | ( , ) ( , ) | |T x y T x y T x y T x y? ? ? ?
1 1 2 1 1 21|| ( , ) ( , ) || || ||2T x y T x y y y? ? ? ?
，
由此得
1 2 1 2 1 1 2 1| | ( ) ( ) | | | | | | 2 | | ( , ) ( , ) | |f x f x y y T x y T x y? ? ? ? ?，
由 ( , )Fxy 连续 可知 ( , )Txy 连续 ， 因此， ()fx也 是连续映射 .
定理 5.2.6（反函数定理） 设 ,XY是两个 Banach 空间， U 是 X 的开集， 0xU? ，
:f U Y? 在 U 内连续， 00()y f x? . 如果
§ 5.2 非线性算子的微分
182 泛函分析讲义 [乌力吉 ]
（ 1） f 在 U 内 F 可微；
（ 2） 0''( )fx具有有界逆算子 10''( )fx? , 且 ''()fx在点 0x 处 连续，
则存在点 0x 和点 0y 的闭球邻域 0UU? 和 0VV? ，使得 00:f U V? 的逆映射
1 00:f V U? ? 存在且连续 .
证 令 ( , ) ( )F y x y f x?? , 则 :F Y U Y??在定义域上连续，且 满足
（ 1） 00( , )F y x ?0 ；
（ 2） 110 0 0( , ) ''( )xF y x f x????；
（ 3） ( , ) ''( )xF y x f x?? 在点 00( , )yx 处 连续 .
因此， F 满足定理 5.3.1 的全部条件，从而 存在 闭球 0U 和 0V ， 使对任意 0yV? 有惟一连续
映射 00:g V U? 满足 ( , ( ))F y g y ? 0， 即 ( ( ))y f g y? ， 故 1gf?? .
注 如果 在定理 5.2.5 的条件下 ， 再附加条件 “F 在 UV? 内 F 可微 且 ''( , )F xy 连续 ”， 则
定理 5.2.5 中惟一确定的映射 ()y f x? 也 F 可微 且 ''()fx连续， 这时
1''( ) ( , ) ( , )yxf x F x y F x y?? .
类似地 ，如果 在定理 5.2.6 的条件下，再附加条件 “ ''()fx在 U 内 F 可微且 ''()fx连续 ”，
则逆映射 1f? 也是 F-可微的 且 1()fx? 连续 .
作为 Fréchet 微分的应用，我们 下面 证明 Banach 空间上一般 算子 方程 ()Fx?0 的
Newton 法的局部二阶收敛速率 . Newton 法是 通过 采取 Newton 迭代步
11 ''( ) ( )n n n nx x F x F x?? ?? （ 5.2.6）
来 产生 近似解 序列 来逼近精确解的方法 .
定义 5.2.2 设 X 是一个度量空间， UX? 是开集， :fU?? .
如果存在 0L? ，对任意 ,xy U? ，有
| ( ) ( ) | || ||f x f y L x y? ? ?，
第五章 非线性分析初步
泛函分析讲义 [乌力吉 ] 183
则称 f 在 U 内 （全局） Lipshitz 连续 .
设 0xU? ，如果存在 0 0?? 和 0 0L? ，对任意 0, ( , )x y V x ?? ，都有
0| ( ) ( ) | || ||f x f y L x y? ? ?，
则称 f 在点 0x 处局部 Lipshitz 连续；如果 f 在 U 内每一点都局部 Lipshitz 连续，则称 f 在
U 内 局部 Lipshitz 连续 .
例 5.5 设 X 是 Banach 空间， UX? 是开集， 0xU? . 如果 :F U X? 具有 连续 F
导算子 ''()Fx， 且满足：
（ 1） 10''( )Fx? 存在，且 10|| ''( ) ||Fx ?? ? ， 0|| ( )||Fx ?? ，
（ 2） ''()Fx在 U 内 Lipschitz 连续 ，
则当 ? 比较 小时，可选取 足够 小的正数 r ，使方程 ()Fx?0 在 闭球 0( , )Vx r 内有惟一 的 解 x ，
且 由 Newton 迭代 格式 （ 5.2.6） 产生的点列 收敛于 x ， 并有 误差估计 式 21|| || nnx x r? ??? ，
其中 2
2(1 )MMr??? ?? ?
.
证 根据 推论 3.5.2， 并利用 () 1tft t? ? 在 (0,1) 内单调递增的性质， 我们 有
12 211 00
0 1|| ''( ) || || ''( ) ''( ) |||| ''( ) ''( ) || 1 || ''( ) || || ''( ) ''( ) || 1F x F x F x MF x F x F x F x F x M r???
???
? ?? ? ?? ? ? ?
，
这里要求 1Mr? ? . 由此得
21 1|| ''( ) ||
11MFx M r M r??? ??? ? ? ???
.
由于
11 0 0 0|| || || ''( ) ( ) ||x x F x F x ???? ? ?，
故当 r??? 时，才能保证 10( , )x V x r? . 假设 0( , )kx V x r? ， 2,3, ,kn? ? ， 则有
1 1 1| | ( ) | | | | ( ) ( ) ''( ) ( ) | |k k k k k kF x F x F x F x x x? ? ?? ? ? ?
1 21 1 1 1 1
0 | | ''( ( ) ) ''( ) | | | | | | | | | |2k k k k k k k kMF x t x x F x x x d t x x? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??
，
§ 5.3 凸集与凸泛函
184 泛函分析讲义 [乌力吉 ]
故
1211|| || || ''( ) ( ) || || ||2 ( 1 )k k k k k kMx x F x F x x xMr????? ? ? ??， 2,3, ,kn? ? ，
递推可得
2 1 2 2 11 1 0|| || [ ] || ||2 ( 1 ) k k kkk Mx x x xMr ? ? ?? ??? ? ? ? ??， 2,3, ,kn? ? ，
这里要求 2 1
2(1 )MMr??? ????
. 因此
211 0 1
11| | | | | | | |
knnn k k
kkx x x x r? ? ?
???
??? ? ? ? ???
，
这 表明 0{ } ( , )nx V x r? ， 且由 级数 21
1
k
k ?
? ?
??
收敛 知， {}nx 是 Cauchy 列 ， 故有 0 ( , )x V x r? ,
满足 lim
nn xx?? ?
. 对 Newton 迭代格式 （ 5.2.6） 两边取极限，得 ( ) 0Fx? .
如果 0 ( , )y V x r? 也满足 ( ) 0Fy? ， 则
100|| || || ''( ) ''( ) ( ) ||x y F x F x x y?? ? ?
1 0
0 1| | ''( ( ) ) ''( ) | | | | | | | | | |2F x t y x F x y x d t M r y x??? ? ? ? ? ? ? ??
，
注意到 1Mr? ? ，故 yx? .
为了使上面的估计式 有意义，我们必须取足够小的 ? 和 r 使其满足
2 22M Mr? ? ???，
这时上述几个要求都能满足 .
§5.3 凸集与凸泛函
我们在第四章就已经接触了凸集的概念，本节主要介绍凸集的分离定理 .
§5.3.1 凸集分离定理
定义 5.3.1 设 X 是一个线性空间， 1X 是 X 的子空间，称
0 1 0 1{ | , }L x x x y y X x X? ? ? ? ? ?
第五章 非线性分析初步
泛函分析讲义 [乌力吉 ] 185
为 X 中一个 线性流形 ，又称 仿射集 . 如果 1X 是比 X 仅低一维的线性子空间，则称线性流形
L 为 X 的一个 超平面 .
定理 5.3.1 设 X 是赋范线性空间，一个闭的线性流形 L 是 X 的超平面的充分必要条件
是：存在非零线性泛函 xX? 及某个实数 r?? ，使得 { | ( ) }L x X x x r? ? ?.
证 充分性 . 设充分条件成立，取 0xL? ，则对任意 xL? ，有
00 ( ) ( ) ( ) 0x x x x x x x r r? ? ? ? ? ?.
记 1 K e r { | ( ) 0 }X x y X x y? ? ? ?，则对任意 xL? ，有 01x x X?? ，即 01x x X?? . 反
过来，对任意 1yX? ， 0x y L?? ，于是 01L x X?? . 由于 x 是连续线性泛函，故 1X 是
闭子空间，任取 11\x X X? ，则有 1( ) 0xx? ，故对任意 xX? ，有
11 ( ) ( ) 0 ( )xxx x xxx??
，
即有
111 ( ) ( )xxx x Xxx??
，
这表明 11span{ , }X x X? .
必要性 . 设 01L x X??， 1X 是比 X 低一维的闭线性子空间 .由 Hahn-Banach 定理的推
论 3.3.12，存在非零泛函 xX? ，使得 ( ) 0xx? 对一切 1xX? 成立，令 0( )r x x? ，则
{ | ( ) }L x X x x r? ? ?.
定义 5.3.2 设 X 是一个赋范线性空间， A 和 B 都是 X 中的集合 . 如果存在超平面
( , ) { | ( ) }H x r x X x x r? ? ?，满足
s u p ( ) in f ( )xBxA x x r x x?? ??( s u p ( ) in f ( )xBxA x x r x x?? ??)，
则称超平面 ( , )Hx r 分离（强分离） 集合 A 与 B .
引理 5.3.2 设 X 是实赋范线性空间， CX? 是凸集 . 如果 intC?0 ，则泛函
§ 5.3 凸集与凸泛函
186 泛函分析讲义 [乌力吉 ]
: [0, )PX? ??， ( ) inf { | 0 , }P x x C? ? ?? ? ?， xX?
是满足 ( ) 0P ?0 的次线性泛函 .
证 由于对任意 0?? ，总有 C??0 ，故 ( ) 0P ?0 .
对任意 0?? ，由于 ( ( ) )x P x C???，故对任意 0?? ，有 ( ( ) )x P x C? ? ???，于是
( ) ( )P x P x? ? ????，
由 ? 的任意性知， ( ) ( )P x P x??? .
令 '' 1/??? ， yx?? ，利用 ( '' ) '' ( )P y P y??? ，得 ( ) ( )P x P x??? ，故
( ) ( )P x P x??? .
对任意 ,xy X? 及任意 0?? ，由于 ( ( ) )x P x C???， ( ( ) )y P y C???，故由 C 是凸
集，有
( ) ( )( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2P x P yC C CP x P y P x P y????????? ? ? ?，
因此
( ) ( )( ( ) ( ) 2 ) [ ]( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2P x P yx y P x P y C CP x P y P x P y??? ????? ? ? ? ?? ? ? ?
( ( ) ( ) 2 )P x P y C?? ? ?，
由此得 ( ) ( ) ( ) 2P x y P x P y ?? ? ? ?，再由 ? 的任意性，有 ( ) ( ) ( )P x y P x P y? ? ?.
定理 5.3.3 设 X 是实赋范线性空间， CX? 是凸集，且 intC?? . 如果 0xC? ，则
存在超平面 ( , )Hx r 分离 C 与 0x .
证 设 intcC? ，令 { | }A C c x c x C? ? ? ? ?，则 intA?0 ，且 10x x c A? ? ? .记
1{ | }Mx?????，则 M 是 X 的一维子空间 . 在 M 上定义线性泛函
:fM?? ， 11( ) ( )f x P x??? ， ??? ，
其中 ()Px如引理 5.3.2 中定义 . 显然 f 是 M 上的连续线性泛函，且 ( ) ( )f x P x? ， xM? .
根据 Hahn-Banach 定理， f 可延拓成 X 上连续线性泛函 F ，且保持 ( ) ( )F x P x? ， xM? .
第五章 非线性分析初步
泛函分析讲义 [乌力吉 ] 187
且对任意 xA? ，有
( ) ( ) inf { | 0 , } 1F x P x x A? ? ?? ? ? ? ?；
而由 1xA? 知， 11( ) ( ) 1F x P x??. 令 ( ) ( )x x F x? ， ( ) 1r F c??，则对任意 xC? ，
有
( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( )x x F x F x c F c F c r? ? ? ? ? ? ?，
且
000 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( )x x F x F x c F c F c r? ? ? ? ? ? ? ，
这表明超平面 ( , )Hx r 分离 C 与 0x .
定理 5.3.4 设 X 是实赋范线性空间， FX? 是闭凸集，如果 0xF? ，则存在超平面
( , )Hx r 满足 0( )x x r? 且 sup ( )
xFx x r? ?
.
证 记
0inf || ||xFd x x???
，因 F 是闭集，故 0d? . 令
{ | || || }2xx F x F dG G y X y x??? ? ? ? ??? ，
显然 intG?? ， FG? 且 0xG? . 任给 12,x x G? ，存在 12,y y F? ，使得 || || 2
iidyx??
，
1,2i? ，故对任意 [0,1]?? ，由 F 是凸集知 12(1 ) y y F??? ? ?，因此
1 2 1 2 1 1 2 2| | ( 1 ) ( 1 ) | | ( 1 ) | | | | | | | | 2dx x y y x y x y? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
，
这表明 12(1 )x x G??? ? ?，从而 G 是凸集 .
由定理 5.3.3 知，存在满足 0( )x x r? 且 sup ( )
xGx x r? ?
. 下面证 sup ( )
xFx x r? ?
.
假设不然，取 10 / 2rd?? . 由 X 是实赋范线性空间以及
|| || 1|| || sup | ( ) |hx x h??
，
对给定的 0 0?? 0( || ||)x? ? ，存在 hX? ， || || 1h? ，使得 0 ( ) || ||x h x ???. 而由假设
sup ( )xFx x r? ? ，
§ 5.3 凸集与凸泛函
188 泛函分析讲义 [乌力吉 ]
存在 yF? ，使得
1 ( ) (|| || )x y r r x ?? ? ?，
注意到 1 yy rh G G? ? ? ，且满足
11 ( ) ( ) ( || || )x y r h x y r x r?? ? ? ? ?，
与 sup ( )
xGx x r? ?
矛盾，矛盾表明 sup ( )
xFx x r? ?
.
注 在定理 5.3.4 中，如果取
0 sup ( )xFr x x??
，则定理的结果可以表述成 “存在超平面
( , )Hx r 满足 00( )x x r? 且 0sup ( )
xFx x r? ?
.”
定理 5.3.5 设 X 是实赋范线性空间， ,AB是 X 的两个非空凸集，且 A 是紧集， B 是
闭集 . 如果 AB? ?? ，则存在超平面 ( , )Hx r 强分离 A 与 B .
证 记
{ | , }C A B x y x A y B? ? ? ? ? ?，
易见 C 是凸集，由于 AB? ?? ，故 C?0 .
设 {}nxC? 且 lim
nn xx?? ?
，则有 naA? ， nbB? ，使得 n n nx a b??， 1,2,n? ? . 由
于 A 是紧集，从而 {}na 有收敛子列 {}
kna
满足 lim
knk a a A?? ??
，因此，注意到 B 是闭集，
我们有 lim
knk b a x B?? ? ? ?
，这表明 x a b C? ? ? ．从而 C 是闭集 .
于是，根据定理 5.3.4，存在超平面 1( , )Hx r 满足 10 ( )xr??0 且
1sup ( )xCx x r? ?
. 由
此知，对任意 aA? ， bB? ，有 1( )x a b r??，即 1 ( ) ( )x a x b r??，故
1s u p ( ) i n f ( ) i n f ( )b B b BaA x a x b r x b??? ? ? ?
.
令
1 ( i n f ( ) s u p ( ) )2
bB aAr x b x a? ???
，
则超平面 ( , )Hx r 强分离 A 与 B .
定理 5.3.6（ Eidelheit 定理） 设 ,AB是实赋范线性空间 X 的两个凸集， intB?? . 如
第五章 非线性分析初步
泛函分析讲义 [乌力吉 ] 189
果 int( )BA? ??，则存在超平面 ( , )Hx r 分离 A 与 B .
证 不妨设 A?? ，记 C B A?? ，则 C 是凸集 . 由 intB?? 知，存在 bB? 及其开球
邻域 ( , )Vb? ，满足 ( , )V b B? ? . 取 aA? ，由于开球邻域
( , ) { | || ( ) || } { | || || }V b a x x b a y a y b B a C? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，
故 intC?? .
下面证 intC?0 ，若不然，存在 ( , )VC? ?0 ，故存在 0aA? ， 0bB? ，使得 00ab? ，
且有
0 0 0 0( , ) { | | | | | } { | | | | | }V b a x a x b y y C? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?，
这表明 0( , )V b B? ? ，故 0 intbB? ，但这与 int( )BA? ??矛盾，矛盾表明 intC?0 .
因此，由定理 5.3.3 知，存在超平面 ( , )Hx r ，使得 ( )xr?0 且
intsup ( )xCx x r? ?
.
任取 0 \intx C C? ，取 0 intyC? 且设 0( , )V y C? ? . 由于 C 是凸集，故对任意
[0,1]?? ，有 00(1 )x x y C? ??? ? ? ?，且当 (0,1]? 时，对任意 ( , )x V x? ??? ，有
0 0 0 0( 1 ) 11| | | | | | ( 1 ) | |xx y x x y? ? ? ? ? ?? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?，
这表明
001 ( (1 ) ) ( , )x x V y??? ? ? ?
，从而由 C 的凸性知，
001(1 ) ( (1 ) )x x x x C? ? ??? ? ? ? ? ? ?
.
于是当 (0,1]?? 时， 00(1 ) in tx x y C? ??? ? ? ?，故由 x 的连续性，我们有
0 0 ( ) lim ( )x x x x r?? ???
，
从而， sup ( )
xCx x r? ?
.
类似于定理 5.3.5 的证明，可得 su p ( ) in f ( )
xAxB x x x x?? ?
，即存在超平面 ( , )Hx r 分离 A
与 B .
§ 5.3 凸集与凸泛函
190 泛函分析讲义 [乌力吉 ]
§5.3.2 凸泛函
定义 5.3.3 设 X 是一个线性空间， :fX?? . 如果对任意 ,xy X? 及 (0,1)?? ，不
等式
( (1 ) ) (1 ) ( ) ( )f x y f x f y? ? ? ?? ? ? ? ?， （ 5.6.1）
恒成立，则称 f 为 凸泛函 ，如果对任意 ,xy()xy? ，在 (5.5.1)式中严格不等式成立，则称 f
为 严格凸泛函 .
定理 5.3.7 设 X 是一个线性空间， :fX?? ，则下列各命题等价：
（ 1） f 是凸泛函；
（ 2） f 的 上方 图
e pi { ( , ) | ( ) }f x f x????
是 X?? 中的凸集；
（ 3）对任意 ixX? 及 0i?? ， 1,2, ,in? ? ，
1 1
n
ii ?? ??
，有
11( ) ( )
nn
i i i iiif x f x???????
.
证 （ 1） ? （ 2）设 f 是凸泛函，任给 1 1 2 2( , ), ( , ) e p ix x f?? ?及 (0,1)?? ，由于
1 2 1 2 1 2( ( 1 ) ) ( 1 ) ( ) ( ) ( 1 )f x x f x f x? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?，
故
1 1 2 2 1 2 1 2( 1 ) ( , ) ( , ) ( ( 1 ) , ( 1 ) ) e p ix x x x f? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?，
从而 epif 是凸集 .
（ 2） ? （ 3）设 epif 是凸集，则对任意 ixX? 及 0i?? ， 1,2, ,in? ? ，
1 1
n
ii ?? ??
，
注意到 ( , ( )) epiiix f x f? ， 1,2, ,in? ? ，并利用凸集中有限个点的凸组合仍属于该凸集的
性质，我们有
第五章 非线性分析初步
泛函分析讲义 [乌力吉 ] 191
1 1 1( , ( ) ) ( , ( ) ) e pi
n n n
i i i i i i ii i ix f x x f x f? ? ?? ? ???? ? ?
，
由 上方图 的定义知（ 3）成立 .
（ 3） ? （ 1）显然成立 .
定理 5.3.8 设 X 是一个线性空间， :fX?? 是 F 可微的凸泛函，则对任意 ,xh X? ，
有
( ) ( ) ''( )f x h f x f x h? ? ?.
证 必要性 . 设 f 是凸泛函，则对任给 ,xh X? ，对任意 (0,1)?? ，有
( ( 1 ) ( ) ) ( 1 ) ( ) ( )f x x h f x f x h? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?，
由此得
( ) ( )( ) ( ) f x h f xf x h f x ? ???? ? ?，
令 0? ?? ，得 ( ) ( ) ''( )f x h f x f x h? ? ?.
定理 5.3.9 设 ,XY都是线性空间， ,fg和 if 都是从 X 到 ? 凸泛函， iI? ，则有
（ 1） fg? 是凸泛函；
（ 2）对任意 0?? ， f? 是凸泛函；
（ 3）如果 :T Y X? 是线性算子，则 ( )( ) ( )f T y f Ty?? 是 Y 上的凸泛函；
（ 4）如果 :? ???是单调递增的凸函数，则 f?? 是凸泛函；
（ 5）逐点上确界泛函 sup ( )
iiIfx?
是凸泛函；
（ 6）对任意 ??? ，水平集 ( , ) { | ( ) }S f x X f x??? ? ?是 X 中的凸集 .
证 （ 1），（ 2），（ 4） 和 （ 6） 由凸泛函的定义容易验证 . 下面只证（ 3）和（ 5） .
（ 3）任给 12,y y Y? 及 (0,1)?? ，由 T 线性和 f 是凸泛函，我们有
1 2 1 2 1 2( ( ( 1 ) ) ) ( ( 1 ) ) ( 1 ) ( ) ( )f T y y f T y T y f T y f T y? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?，
故 ( )( ) ( )f T y f Ty?? 是 Y 上的凸泛函 .
§ 5.3 凸集与凸泛函
192 泛函分析讲义 [乌力吉 ]
（ 5）令 ( ) sup ( )
iiIh x f x??
，则
e pi { ( , ) | su p ( ) } { ( , ) | ( ) , } e pii i iiI iIh x f x x f x i I f? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ?，
由任意个凸集的交还是凸集这一性质知， epih 是凸集，从而 sup ( )
iiIfx?
是凸泛函 .
定理 5.3.10 设 X 是一个线性空间， :fX?? 是凸泛函，记
{ | ( ) in f ( ) }xXM x X f x f y?? ? ?，
则 M 是凸集，即 f 达到最小值的点组成的集合是凸集 . 特别地，若 f 是严格凸的，则 M 最
多含有一个点 .
证 记
inf inf ( )xXf f x??
，则对任意 ,xy M? 及 (0,1)?? ，有
i n f i n f( ( 1 ) ) ( 1 ) ( ) ( )f f x y f x f y f? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?，
故 (1 )x y M??? ? ?，这表明 M 是凸集 . 若 f 是严格凸的，则在上述不等式中严格不等式
成立，但这是不可能的，从而 M 最多含有一个点 .
定理 5.3.11 设 ,XY是两个线性空间， :g X Y???是凸泛函，则由泛函
:fX?? ， ( ) inf ( , )yYf x g x y?? ， xX?
也是凸泛函 .
证 对任意 12,x x X? ，由下确界的定义知，对任意 0?? ，存在 12,y y Y? ，满足
1 1 1( , ) ( )g x y f x ???， 2 2 2( , ) ( )g x y f x ???，
由此得，对任意 (0,1)?? ，有
1 2 1 2 1 2( ( 1 ) ) ( ( 1 ) , ( 1 ) )f x x g x x y y? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?
1 1 2 2 1 2( 1 ) ( , ) ( , ) ( 1 ) ( ) ( )g x y g x y f x f x? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?，
故由 ? 的任意性知，
1 2 1 2( (1 ) ) (1 ) ( ) ( )f x x f x f x? ? ? ?? ? ? ? ?，
从而 f 是凸泛函 .
定理 5.3.12 设 X 是一个赋范线性空间， :fX?? 是凸泛函，则下列的两个命题是等
第五章 非线性分析初步
泛函分析讲义 [乌力吉 ] 193
价的 .
（ 1）存在 0xX? ， 0?? 及常数 0M? ，使对一切 0( , )x V x ?? 有 ()f x M? ；
（ 2） f 是局部 Lipshitz 连续泛函 .
证明从略 .
§5.4 泛函的极值问题
§5.4.1 极值存在的条件
对非线性泛函通过微分求极值的方法 一般 称为变分法 . 变分法是泛函分析的起源，也是
泛函分析的重要分支 .
定义 5.4.1 设 ,XY都 是 Banach 空间， UX? 是开集， 0xU? ， :fU?? .
（ 1） 如果 存在 0x 的开球邻域 0( , )V x r U? ， 使当 0( , )x V x r? 时 ， 有
0( ) ( )f x f x? （ 0( ) ( )f x f x? ） ，
则称泛函 f 在点 0x 处 达到 极小值（极大值） ， 极小值与极大值统称为 极值 .
（ 2） 设 :XY? ? ， { | ( ) }M x X x?? ? ? 0，且 设 0xM? ， 如果 存在 0x 的开球邻域
0( , )V x r U? ，使当 0( , )x V x r M??时 ， 有
0( ) ( )f x f x? （ 0( ) ( )f x f x? ），
则称 泛函 f 关于条件 ()x? ?0 在点 0x 处达到 条件极小值（条件极大值） ，条件极小值与条件
极大值统称为 条件极值 .
（ 3） 如果 0''( )fx?0 ， 则 称 点 0x 是泛函 f 的一个 临界点 ，称 0()fx 为 f 的一个 临界
值 .
定理 5.4.1 设 X 是一个 Banach 空间， UX? 是开凸集， :fU?? . 如果 泛函 f 在 U
中每一点都有有界线性的 G 微 分，且 f 在点 0xU? 处达到 极值 ，则点 0x 是泛函 f 的一个
临界点，即有 0''( )fx?0 .
§ 5.4 泛函的极值问题
194 泛函分析讲义 [乌力吉 ]
证 不妨设在点 0x 处 f 取得极小值，则 对任意 hX? ，由有界线性的 G 微分的定义，
有
000 0 ( ) ( )''( ) l i m 0t f x th f xf x h t? ????，
特别地，还有 00''( ) ( ) ''( ) 0f x h f x h? ? ? ?，因此，对任意 hX? ，有 0''( ) 0f x h? . 故由
hX? 的任意性知， 0''( )fx?0 .
例 5.6 在连续可微函数空间 1[ , ]Cab 上 定义范数
|| || m a x | ( ) | m a x | ''( ) |a t b a t bx x t x t? ? ? ???， 1( ) [ , ]x t C a b? .
则 1[ , ]Cab 在此范数下是一个 Banach 空间 . 设 ( , , )Lxut 是 3? 上定义的一个连续可微函数，
求泛函 ( ) ( ( ) , ( ) , )b
aJ x L x s x s s d s? ? ?
达到极值的条件 .
解 对任意 1[ , ]h C ab? ，由于
0
( ) ( )''( ) li m
t
J x th J xJ x h t
?
???
0
[ ( ( ) ( ) , ( ) ( ) , ) ( ( ) , ( ) , ) ]l im ba
t
L x s th s x s th s s L x s x s s d s
t?
? ? ?? ? ???
()ba LLh h dsxx????? ?? ，
若 J 在点 0x 处达到极值， 则 对 任意 1[ , ]h C ab? ， 有 0''( ) 0J x h? ， 即
( ) 0ba LLh h dsxx????? ?? .
这个条件十分不具体，为此，我们进一步假定极值点满足 边界 条件 01()x a y? , 02()x b y? ，
则 对上述条件利用 分部积分 法， 可得
0( ) [ ( ) ] [ ] 0
bb ba
aa
L L L d L Lh h ds hds hx x x ds x x? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ??? ?? ? ?，
由 hX? 的任意性 知 ，我们得到 的 0()xt应该 满足 方程
第五章 非线性分 析初步
泛函分析讲义 [乌力吉 ] 195
0 ( ) 0
L d Lx ds x????? ， 01()x a y? , 02()x b y? ，
这个方程通常称为 Euler-Lagrange 方程 .
注 由定理 5.4.1 知，泛函的极值点一定是它的临界点 ， 但临界点未必一定是极值点，因
此临界点只是泛函极值点的必要条件 . Euler-Lagrange 方程提供了一类泛函极值问题的必要
条件，下面我们探讨泛函极值的存在性问题 .
定义 5.4.2 设 X 是 Banach 空间， UX? ， 0xU? ， :fU?? . 如果对任意 0?? ，
存在 0?? ，使当 0|| ||xx???时，有
0( ) ( )f x f x ???（ 0( ) ( )f x f x ???），
则称 f 在点 0x 处是 下（上）半连续 的 . 如果 f 在 U 的每一点处都下（上） 半连续，则 称 f
在 U 上是 下（上）半连续 的 .
定理 5.4.2 设 X 是一个 Banach 空间， UX? 是紧集 . 如果 :fU?? 是下半连续泛函 ，
则 f 在 U 上 达到最小值 ， 即存在 0yU? ，使得
0( ) min ( )xUf y f x??
.
证 设 inf ( )
xUfx? ??
，可以肯定 ???? . 若不然，对任何自然数 n ，存在 nxU? ，使
得 ()nf x n?? ， 1,2,n? ? . 由 U 的紧性知 ，存在 {}nx 的 子列 {}
knx
，使得
0lim knk x x U?? ??
.
再由 f 的下半连续性 知 ，
0( ) li m i n f ( )knkf x f x??? ? ??
， 矛盾，于是 ???? .
取 nyU? 满足 1()
nfy n???
， 1,2,n? ? ， 再利用 U 的紧性，有 {}ny 的 子列 {}
kny
及
0yU? ，使得 0lim knk y y U?? ??，从而由 f 的下半连续性，有
0( ) lim ( )knkf y f y????? ? ?
，
即
0( ) min ( )xUf y f x??
.
定义 5.4.3 设 X 是 Banach 空间， MX? ， :fM?? . 如果 {}nxM? 且
()wnx x n??? ? ? 蕴含 xM? ，
则 称 M 是 弱序列闭 的 . 如果 M 是弱序列闭集， 如果对任意
§ 5.4 泛函的极值问题
196 泛函分析讲义 [乌力吉 ]
{}nxM? ， ()wnx x n??? ? ? ，总有 ( ) lim in f ( )nnf x f x??? ，
则 称 f 在点 x 处 是 弱序列下半连续 的 . 如果 f 在 M 的每一点都弱序列下半连续，则 称 f 在
M 上弱序列下半连续 .
定理 5.4.3 设 X 是一个自反 Banach 空间， MX? 是弱序列闭的， :fM?? 弱序列
下连续且满足 ：
（ 1）
|| ||lim ( )x fx?? ???
，
（ 2） inf ( )
xMfx? ???
，
则 f 在 M 上达到最小值 .
证 设 inf ( )
xMfx? ??
，则由下确界的定义，存在 nxM? 满足
1()nfx n??? ? ?， 1,2,n? ? .
由条件（ 1）知，存在 0K? ，当 || ||xK? 时，有 ( ) 1fx ???，从而 { } ( , )nx M V K?? 0，
由 X 是自反 Banach 空间可知， ( , )VK0 是弱紧的，从而存在 {}nx 的子列 {}
knx
，使得
0lim ( , )knk x x V K?? ?? 0
. 由于 M 弱序列闭且 {}nxM? ，故 0xM? . 再由 f 的下半连续性
知，
0( ) lim in f ( )knkf x f x????? ? ?
，即
0( ) min ( )xUf x f x??
.
定义 5.4.4 设 ,XY是两个 Banach 空间， UX? 是开集， 0xU? ， :T U Y? 是 F 可
微的 . 如果 T 的 F 导算子 0''( ) :T x X Y? 是满射，则 称 0x 为 T 的一个正则点 .
定理 5.4.4 设 ,XY是两个 Banach 空间， UX? 是开集， :fU?? 和 :T U Y? 都
是 F 可微的， 0xU? 是 f 和 T 的一个正则点 . 如果 0x 是泛函 ()fx满足条件 ()Tx?0 的极
值点，则存在 0yY? ， 使得 0 0 0''( ) ''( )f x y T x??0.
证明从略 .
一般地，我们 称
( , ) ( ) ( )L x y f x y T x??
为 Lagrange 泛函 ， 并记
第五章 非线性分析初步
泛函分析讲义 [乌力吉 ] 197
( , ) ''( ) ''( )L x y f x y T xx? ??? ，
若
00( , ) 0L x yx? ??
， 则称 0x 为 L 关于 0y 的 临界点 ， 称 0y 为 Lagrange 乘子 .
下面给出一个临界点存在定理，为此，首先 定义如下 紧性 条件 .
定义 5.4.5 设 X 是一个 Banach 空间， UX? ， :fX?? 是 F 可微的 . 如果对任意
的 {}nxU? ， { ( )}nfx 有界且 || ''( ) || 0 ( )nf x n? ? ?蕴含 {}nx 必 有 收敛子列，则称 f 在
U 上满足 Palais-Smale 条件，简称为 PS 条件 .
定义 5.4.6 设 X 是一个 Banach 空间， 01,x x X? ，如果函数 :[0,1]xX? 连续，且
0(0)xx? ， 1(1)xx? ，则称 ()xt 为 X 中以 0x 为起点 1x 为终点的 道路 .
定理 5.4.5（山路引理） 设 X 是实 Hilbert 空间， :fX?? 是 F 可微的局部 Lipschitz
连续泛函且满足 PS 条件 . 又设 UX? 是 0x 的一个邻域且 1 cl( )xU? ，并满足
01m a x { ( ) , ( ) } i n f ( )xUf x f x f x???
，
这里 cl( ) \ int( )U U U?? 是 的 边界，记 P 为连结 0x 和 1x 的道路，则
inf max ( )P xPC f x??
是 f 的临界值，即存在 xX? ，使得 ''( ) 0fx? 且 ()f x C? .
证明从略 .
注 山路引理（ Mountain Pass Lemma）又称为爬山引理或山隘引理 . 其几何直观意义为：
从 群山之中的 盆地 出发，欲翻山到山外，当从四周山峰中最低处翻越，这时必经过一个临界
值 .
定理 5.4.6 设 X 是一个 Banach 空间，如果 :fX?? 是 F 可微的凸泛函， 则 f 的每个
驻点 都是 f 达到最小值的点 .
证 设 0xX? 是 f 的 驻点 ，即 0''( ) 0fx? . 则 对任意 hX? ， 由定理 5.6.2， 有
0 0 0 0( ) ( ) ''( ) ( )f x h f x f x h f x? ? ? ?，
§ 5.4 泛函的极值问题
198 泛函分析讲义 [乌力吉 ]
这 表明 0x 是 f 达到最小值的点 .
§5.4.2 最速下降法
最速下降法是无约束最优化问题的基本求解方法，其思想是从当前迭代点出发，沿着
“使 函数值下降 最快 的方向 ”搜索产生下一个迭代点 . 对任意给定的初始点 0xX? ，其迭代
格式为
1n n n nx x h?? ?? ， 0,1,2,n? ? ， （ 5.6.2）
其中 nh 为点 nx 处的最速下降方向，而步长 n? 是
0min ( )nnf x h? ?? ?
的最优解 . 为了确定最速
下降方向，我们在下面进行简单分析 .
设 X 是 Banach 空间， :fX?? 是 F 可微的，记 { | || || 1}S x X x? ? ?，并假设 f 的
F 导算子是连续的 . 对任意 xX? 和 hS? ，由 Taylor 一阶展开式，有
( ) ( ) ''( ) ( )f x th f x tf x h o t? ? ? ?.
由此看到，对任意固定的充分小的 0t? ，那些让 ''( )f xh 取值最小的 hS? 会使 函数值下降
最多 .
定义 5.4.7 设 X 是 Banach 空间， :fX?? 是 F 可微的， 0xX? ， 如果
0 0 0''( ) m in ''( )hSf x h f x h??
,
则 称方向 0hS? 为 f 在点 0x 处 的 最速下降方向 .
定理 5.4.7 设 X 是 Hilbert 空间， 0xX? , :fX?? 是 F 可微的，如果 0''( ) 0fx? ，
则 f 在 点 0x 处的 最速下降方向存在，且恰好是 00''( )/ || ''( ) ||f x f x? .
证 由于 X 是 Hilbert 空间，故对任意 hS? . 由 Schwarz 不等式，有
0 0 0 0''( ) ( ''( ) , ) | | ''( ) | | | | | | | | ''( ) | |f x h f x h f x h f x? ? ? ? ? ?，
且等式成立的充分必要条件为
0
0
''( )|| ''( ) ||fxh fx?? ，
故 00''( )/ || ''( ) ||f x f x? 是 f 在点 0x 处的最速下降方向 .
第五章 非线性分析初步
泛函分析讲义 [乌力吉 ] 199
设 f 是 Banach 空间 X 上的 F 可微泛函， 假设 对每个 xX? 都存在最速下降方向 .
引理 5.4.8 设 X 是 Banach空间， :fX?? 是有 下 界的 F可微 凸 泛函 ， 令 inf ( )
xXfx? ??
.
0xX? ， 如果水平集
0{ | ( ) ( ) }A x X f x f x? ? ?
有界 ， 则由 0x 出发 按迭代格式 (5.6.2)产生的点列 {}nx 满足
( ) || ''( ) ||nnf x f x???? ， （ 5.6.3）
其中 0?? 是常数 .
证 记 { | , }B A A x y x y A? ? ? ? ?，则由 A 有界可知 B 也 有界 . 再 记 sup|| ||
zA z? ??
，
{ | || || }B x X x B? ?? ? ? ?. 对任意 hB?? ，由 定理 5.6.2，有
( ) ( ) ''( )n n nf x h f x f x h? ? ?，
由此得
inf ( ) ( ) inf ''( ) || || inf ''( ) || ''( ) ||n n n n nh B h B h Sf x h f x f x h h f x h f x?? ?? ? ?? ? ? ? ? ?，
其中 { | || || 1}S x X x? ? ?. 另 一方面，由于 nB B A x? ? ? ? ， 故 nA x B??? ，因此
inf ( ) inf ( ) inf ( )nx X h B x Af x f x h f x???? ? ?? ? ? ? ?，
由 此 得 ( ) || ''( ) ||nnf x f x???? 对任意 n 都成立 .
定理 5.4.9 设 X 是 Banach 空间， :fX?? 满足引理 5.6.9 的全部条件， 且 ''()fx是
Lipschitz 连续的 ， 则由 迭代格式 (5.6.2)产生的点列 {}nx 满足
lim ( ) in f ( )nn x Xf x f x? ? ?? .
证 对 任意给定的 0?? ，由 ''()fx的 Lipschitz 连续 性及 {}nhS? ， 有
1 0( ) ( ) ( ) ( ) ''( )n n n n n n n n n nf x f x h f x h f x f x th h d t???? ? ? ? ? ? ? ??
0( ) ''( ) ( ''( ) ''( ) )n n n n n n nf x f x h f x th f x h d t??? ? ? ? ??
0( ) ''( ) || ''( ) ''( ) ||n n n n n nf x f x h f x th f x d t??? ? ? ? ??
§ 5.4 泛函的极值问题
200 泛函分析讲义 [乌力吉 ]
21( ) || ''( ) || 2nnf x f x L??? ? ?.
对于
2 11( ) | | ''( ) | | ( ) ( )2 n n ng L f x f x f x? ? ? ?? ? ? ?，
由于 || ''( ) || / 0nf x L ? ，因此它在 (0, )?? 上非负等价于
212 ( ( ) ( ) ) || ''( ) ||n n nL f x f x f x???. （ 5.6.4）
由于 { ( )}nfx 单调下降且 有下界 ， 故
1lim ( ( ) ( )) 0nnn f x f x ??? ??
，从而 lim || ''( ) || 0
nn fx?? ?
. 根
据引理 5.6.9， 有 lim ( ) in f ( )
nn x Xf x f x? ? ??
.
下面 我们 最速下降法 的收敛 速率 问题 ，首先给出如下引理 .
引理 5.4.10 设 {}na 是正 数列 ，如果 存在常数 0?? ， 使得
21n n na a a????， 1,2,n? ? ，
则 1()
naOn? ()n??
.
证 令 nnb na? ， 1,2,n? ? ，我们只须 证 正数列 {}nb 有界即可 . 由于
2 1
11 1 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 )1 1 1 1 1n n n nnn n nb a a bn n n nab n a n a n n n? ?? ??? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?
，
因此， 如果对某个自然数 n ，有
1 2nb ?? ?
， 则 由上式 ， 得
1
3 111n
n
b nnb n n
?
?? ? ???，
由此推知
1 2 1 2nnb b b b ??? ? ? ? ??
.
于是 ， 对任意自然数 n ，有
1 2max{ , }nbb??
.
定理 5.4.11 设 X 是 Banach 空间， :fX?? 满足定理 5.6.10 的全部条件，则对迭代
第五章 非线性分析初步
泛函分析讲义 [乌力吉 ] 201
格式 (5.6.2)产生的点列 {}nx ， 有
1( ) m in ( ) ( )n
xXf x f x O n???()n??
.
证 令
( ) m in ( )nn xXa f x f x??? ， 1,2,n? ? ，
注意到 {}na 单调下降， 不妨设 所有 0na? . 取
212L? ??
，由不等式（ 5.6.3）和 (5.6.4)知，
正数列 {}na 满足引理 5.6.11 的条件，从而根据引理 5.6.11，我们有
1( ) m in ( ) ( )n
xXf x f x O n???()n??
.
§5.4.3 鞍点定理
定义 5.4.8 设 ,XY是两个线性空间， :f X Y???. 如果存在 ( , )x y X Y??，使
得不等式
( , ) ( , ) ( , )f x y f x y f x y??
对任意 xX? 和 yY? 都成立，则称 ( , )xy 是 ( , )f xy 的 鞍点 .
引理 5.4.12 设 C 是 Banach 空间 X 中的非空凸集 ， :ifC?? 是凸泛函 ， 1,2, ,in? ? .
如果 存在 0?? ，使得
1{ | s u p ( ) }iinC x C f x ???? ? ?
成立， 则必存在 不全为零的 非负数
12, , , n? ? ?? ，使对 一切 xC? ，有
1 ( ) 0
n
iii fx?? ??
.
证 考察 n? 的 如下两个 子集
12{ ( , , , ) | , 1 , 2 , , }niA y y y y i n?? ? ???, 12{ ( ( ) , ( ) , ( ) ) | }nB f x f x f x x C???,
其中 A 显然是凸集，以 co( )B 表示 B 中元素的凸组合全体构成的集合， co( )B 是凸集，一
般 称为 B 的凸包 .
设 z co( )B? ，则由凸包的 定义 ，存在
§ 5.4 泛函的极值问题
202 泛函分析讲义 [乌力吉 ]
12( ( ) , ( ) , , ( ) )i i i n ib f x f x f x? ?， 0it? ， 1,2,in? ? ，
1 1
n
ii t? ??
，
使得
121 1 1 1( ( ) , ( ) , , ( ) )
n n n n
i i i i i i i n ii i i iz t b t f x t f x t f x? ? ? ???? ? ? ??
.
由 C 的凸性知
1
n
iii tx C? ??
， 由此得
1 1sup ( )
n
k i ikn if t x ??? ? ??
， 从而 存在某个 下标 0k ， 使得
0 1()
n
k i iif t x ?? ??
. 又 因
0kf
是凸泛函， 所以
0011( ) ( )
nn
i k i k i iiit f x f t x ???????
，
这表明 zA? ，从而 A co( )B? ??.
根据 Eidelheit 分离定理 ， 存在 12 ( , , , ) ( ) nnnx ? ? ?? ? ?? ? ?，使得
c o ( )11sup sup ( ) inf ( ) inf ( ) inf
nn
i i i ib B b B b Ba A a Aiia x a x b x b b??? ? ?????? ? ? ???
.
如果 某个
0 0i??
， 取 aA? 的第 0i 个分量为 ??? ，其余分量全取 0 ， 则当 ???? 时，有
sup ( )aAxa? ? ??，矛盾，矛盾表明 0i?? ， 1,2,in? ? ，且由 x?0 知，至少有一个分
量大于 0 . 不妨设
0 0i??
，取 aA? 的第 0i 个分量为 2? ，其余分量全取 0 ，则 对任意 xC? ，
有
0 1 1 10 sup inf ( )2
n n n
i i i i i i ibBaA i i ia b f x? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ?
.
引理 5.4.13 设 C 是 Banach 空间 X 中的紧凸集， {}i i If ? 是 C 上定义的一簇下半连续凸
泛函，若不等式组 ( ) 0ifx? ， iI? 在 C 上无解， 则存在 不全为零的非负数 12, , , n? ? ?? 以
及
12( ), ( ), , ( )ni i if x f x f x?
， 12{ , , , }ni i i I?? ，
第五章 非线性分析初步
泛函分析讲义 [乌力吉 ] 203
使对任意 xC? ，有
1 ( ) 0j
n
jij fx?? ??
.
证 对 任意 yC? ，由不等式组 ( ) 0ifx? ， iI? 在 C 上无解可知，存在下标 yiI? ，满
足 ( ) 0
yify?
. 记
{ | ( ) }yy i yU x C f x ?? ? ?(0 ( ))yyify??? ，
显然 yyU? 且
yyCCU???
.
设点列 {}cnxzU? 且 满足 lim
nn zz?? ?
，由下半连续性知，对任意 0?? ，存在自然数 N ，
使当 nN? 时，有 ( ) ( )
yyi i n yf z f z??? ? ?
，由 ? 的任意性知 ()
yiyfz??
，故 cxzU? ，这表
明 yU 是 C 中的开集 .
由于 C 是紧集， 而开集族 {}y y CU ? 是 C 的 一个开覆盖，故由有限覆盖定理知， 存在有
限个 下标 12{ , , , }ni i i I?? ， 满足
1 j
n
ijCU???
，从而根据引理 5.6.13， 存在不全为零的非负
数 12, , , n? ? ?? ，使对 一切 xC? ，有
1 ( ) 0j
n
jij fx?? ??
.
定理 5.4.14（ Von Neumann 定理 ） 设 ,AB分别是 Banach 空间 ,XY的两个非空紧凸集 ，
如果 泛函 :f A B??? 满足：
（ 1）对任意 固定的 yB? ， ( , ) :f y B? ? ? ?是 下 半连续的 凸 函数 ，
（ 2）对任意 固定的 xA? ， ( , ) :f x A???是下半连续的凸函数 ，
则存在鞍点 ( , )x y A B??.
证 因 ( , )f xy 关于 y 是下半连续且凸的， B 是非空紧凸集， 所以 对任意 xA? ，
min ( , )yBf x y? 存在 ， 同理 ，对任意 yB? ， max ( , )xAf x y? 也存在 . 对任意 ( , )x y A B?? ，由
于 m in ( , ) ( , )
yB f x y f x y? ?
，故
s u p m i n ( , ) m a x ( , )yB xAxA f x y f x y? ?? ?
对 任意 yB? 成立，从而
§ 5.4 泛函的极值问题
204 泛函分析讲义 [乌力吉 ]
s u p m i n ( , ) i n f m a x ( , )y B y B xAxA f x y f x y?? ?? ?.
记 in f m ax ( , )
yB xA f x y? ? ??
， 对 任意 0?? 及 xA? ，记
( ) ( , )xg y f x y ??? ? ?，
因为 max ( , )
xA f x y? ??
， 故存在 xA? ，使得
( , )f x y ? ? ?? ? ?， （ 5.6.5）
即 ( ) 0xgy? . 这表明不等式组 ( ) 0xgy? ， xA? 在 B 上无解， 由引理 5.6.14 知，存在不
全为零的非负数 12, , , n? ? ?? 以及 12, , , nx x x A?? ，使对一切 yB? ，有
1 ( ) 0j
n
jxj gy?? ??
，
即有
1 '' ( , )
n
jjj f x y? ? ?? ???
，
1
'' jj n
kk
??
?
?
?? ， 1,2, ,jn? ? .
根据 ( , )f xy? 关于 x 的 凸性 ， 对一切 yB? ，有
11( '' , ) '' ( , )
nn
j j j jjjf x y f x y? ? ? ???? ? ???
，
由此知 m in ( , )
yB f x y ??? ??
，从而有 su p m in ( , )
yBxA f x y ???? ??
， 令 0?? ，我们得
s u p m i n ( , ) i n f m a x ( , )y B y B xAxA f x y f x y?? ?? ?.
再由不等式（ 5.6.5）知，存在 yB? ，使得
( , ) m i n ( , ) s u p m i n ( , ) m i n ( , ) ( , )y B y B y BxAf x y f x y f x y f x y f x y?? ? ??? ? ? ? ?，
即有
m a x m in ( , ) m in ( , ) ( , ) m a x ( , ) m in m a x ( , )y B y B y Bx A x A x Af x y f x y f x y f x y f x y? ? ?? ? ?? ? ? ?，
由此看到，对任意 xA? 和 yB? ，有
( , ) ( , ) ( , )f x y f x y f x y??，
即 ( , )xy 是 ( , )f xy 的 鞍点 .
第五章 非线性分析初步
泛函分析讲义 [乌力吉 ] 205
§5.4.4 Hilbert 空间上的 凸 泛函 极值
设 X 是 一个 Hilbert 空间， :fX?? 是凸泛函 . 称
: fX?? ， ( ) s u p ( ( , ) ( ) )
xXf p p x f x???
， pX?
为 f 的 Fenchel 变换 . 显然 ( )fp是凸泛函 . 同样 可以 定义 f 的 Fenchel 变换 f .
定理 5.4.15 设 X 是 实 Hilbert 空间， :fX?? 是凸泛函 . 如果 f 下半连续，则
ff? .
证 由于 f 是 下半连续 的 ， 故 f 的 上方图 epif 是 X?? 空间中的闭凸子集 ，对任意
()a f x? ，有 ( , ) epix a f? . 于是 ， 由 凸集的强 分离定理 ， 存在
( , ) ( ) p b X X? ? ? ???
及 0?? ， 使对任意 yX? 及 ()fy?? ，有
( , ) ( , )p y b p x ba??? ? ? ?， （ 5.6.6）
如果 0b? ， 则 在不等式 (5.6.6)中， 令 ???? 时不等式将 不成立，故 0b? ，如果 0b? ，
则取 yx? ，不等式 (5.6.6)也不成立， 故 0b? . 因此， 由 不等式 (5.6.6)， 得
( , ) ( ) ( , )ppy f y x ab b b?? ? ? ?，
记 pp b? ， 则由上式知， ( ) ( , )f p p x a??， 即
( , ) ( ) ( )a p x f p f x? ? ?，
由 ()a f x? 的任意性知， ( ) ( )f x f x? .
另一方面， 由 f 的定义知，对任意 ,x p X? ，有 ( ) ( , ) ( )f p x p f x??，由此得
( ) ( , ) ( )f x x p f p??
对任意 pX? 成立，故
( ) s u p ( ( , ) ( ) ) ( )pXf x x p f p f x?? ? ?.
§ 5.4 泛函的极值问题
206 泛函分析讲义 [乌力吉 ]
于是， ( ) ( )f x f x? .
下面给出 Hilbert 空间上泛函极值的正则化方法及变分不等式 . :fX?? 是凸泛函，
定义
21( ) i n f ( ( ) || || )2yXf x f y y x? ??? ? ?， 0?? . （ 5.6.7）
定理 5.4.16 设 X 是实 Hilbert 空间， :fX?? 是凸泛函 . 如果 f 下半连续，则 对 任
意 0?? ，存在惟一的 Jx X? ? ， 使得
21( ) ( ) || ||2f x f J x J x x? ? ??? ? ?， （ 5.6.8）
而且式 （ 5.6.8） 等价于下面的变分不等式
1 ( , ) ( ) ( ) 0J x x J x y f J x f y? ? ?? ? ? ? ? ?， yX? . （ 5.6.9）
证 先证（ 5.6.8）式与（ 5.6.9）式 等价 . 设 x 满足
21( ) ( ) || ||2f x f x x x? ?? ? ?，
则对任意 zX? ， 有
2211( ) || || ( ) || ||22f x x x f z z x??? ? ? ? ?.
令 ()z x y x?? ? ? ， 代入 上式 ，得
2211( ) | | | | ( ( ) ) | | ( ) | |22f x x x f x y x x y x x????? ? ? ? ? ? ? ? ?
2221( 1 ) ( ) ( ) || || ( , ) || ||22f x f y x x x x y x y x???? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，
即
21 ( , ) ( ) ( ) | | | |2x x x y f x f y y x???? ? ? ? ? ?，
令 0?? ， 则我们从（ 5.6.8）式推出 （ 5.6.9）式 . 我们把上述过程 逐步回溯 ，可从（ 5.6.9）
式 得到 （ 5.6.9）式 .
第五章 非线性分析初步
泛函分析讲义 [乌力吉 ] 207
再证式（ 5.6.7）的最小值可达 . 取 p X X??，则 对任意 yX? ，有
( ) ( , ) ( )f y y p f p??，
由此得
( ) ( , ) ( , ) ( )f y p y x x p f p? ? ? ? ? ? ?.
注意到
221| ( , ) | | | | | | | | | | | | | | | | |22p y x p y x p y x? ?? ? ? ? ? ? ?，
我们有
221( ) | | | | ( , ) ( ) | | | |22f y y x x p f p p??? ? ? ? ? ? ? ?，
这表明 ()fx? ??? .
对 每个 自然数 n ，存在 nxX? ，满足
211( ) ( ) || || ( )2nnf x f x x x f x n???? ? ? ? ?. （ 5.6.10）
由平行四边形法则，有
2 2 2 2| | | | 2 | | | | 2 | | | | 4 | | | |2nmn m n m xxx x x x x x x?? ? ? ? ? ? ?
114 ( 2 ( ) ( ) ( ) ) 8 ( ( ) ( ) )2nmnm xxf x f x f x f f xnm???? ?? ? ? ? ? ? ?
1 1 1 14 ( 2 ( ) ( ) ( ) ) 4 ( )2nm nmxxf f x f x n m n m?? ? ? ? ? ? ?,
由此 可见 ， {}nx 是 X 中的 Cauchy 列 ， 故存在 xX? ，使得 lim
nn xx?? ?
，在 （ 5.6.10） 式中
令 n?? ，由 f 的下半连续性 知 ，
21( ) ( ) || ||2f x f x x x? ?? ? ?.
最后证 惟一 性 . 如果还存在 yX? 满足
§ 5.4 泛函的极值问题
208 泛函分析讲义 [乌力吉 ]
21( ) ( ) || ||2f x f y y x? ?? ? ?，
则 由变分不等式得
1 ( , ) ( ) ( ) 0x x x y f x f y? ? ? ? ? ?， 1 ( , ) ( ) ( ) 0y x y x f y f x? ? ? ? ? ?，
两式相加，得
1 ( , ) 0x y x y? ? ? ?，
故 xy? .
推论 5.4.17（ 最佳逼近定理 ） 设 X 是实 Hilbert 空间， 设 FX? 是非空闭 凸 集 ， 则存在
惟一的 Jx F? ，使得
|| || inf || ||yFx Jx x y?? ? ?， （ 5.6.11）
且 （ 5.6.11）式 与下面的变分不等式等价
( , ) 0Jx x Jx y? ? ?， yF? . （ 5.6.12）
证明从略 .
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