高等数学II练习题
________学院_______专业 班级 姓名______ ____学号_______
反常积分、定积分应用（一）
1、求无穷限积分 （）。
(过程略)
2、求瑕积分。
3、求由曲线与所围成图形的面积。
求由曲线和直线，所围成的平面图形的面积。
或
（请自己画草图，体会两种不同的求法）
5、抛物线与其在点和处的切线所围成的图形的面积。
解：
过点的切线方程为 ，而过处的切线方程为
故求的两切线交点为 ，则所要求图形的面为：
6、设椭圆的参数方程为，求椭圆的面积。
解：由椭圆的对称性，椭圆的面积可表示为：
（简单的计算过程略，希望同学们自行补充完成）
7、在上给定函数，问取何值时，右图中曲边三角形OACO与ADBA的面积之和最小？何时最大？
高等数学II练习题
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定积分应用（二）
求由曲线和围成的图形绕轴旋转所得的旋转体的体积。
解：
分别求由曲线,及轴所围成的图形绕轴、轴旋转而成的旋转体的体积。
解：
绕轴旋转而成的旋转体的体积
绕轴旋转而成的旋转体的体积
求由曲线和直线、所围成的平面图形分别绕轴和轴旋转的旋转体的体积。
解：
图形绕轴旋转而成的旋转体的体积
图形绕轴旋转而成的旋转体的体积
4、求曲线所围成的图形绕轴旋转的旋转体体积。
（参考课本第214页（4） 的（6.37）的做法，注意是按圆环体来分隔）
解：
图形绕轴旋转的旋转体体积
5、已知一抛物线过轴上的两点：
（1）求证：两坐标轴与该抛物线所围图形的面积等于轴与该抛物线所围图形的面积。
（2）计算上述两个平面图形绕轴旋转一周产生的两个旋转体的体积。
略。（由于没给出抛物线二次项的系数a，本题大家可以随意选个非零的a来做）
求由曲线,，所围成的图形绕直线旋转而成的旋转体的体积。
解：
（注意旋转体界面圆的半径是）
设某产品的边际成本（万元/台）其中表示产量，固定成本为（万元），边际收益（万元/台），求：（1）总成本函数和总收益函数；（2）获得最大利润时的产量；（3）从最大利润时的产量又生产了4台，总利润的变化。
解：
总成本函数为
总收益函数为；
由（1），利润函数为
当可求得驻点为 ，而，因此当产量x=6台时，获得最利润；
（略）
高等数学II练习题
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定积分综合
一、选择题
1、设函数在[]上连续，则曲线与直线所围成的平面图形的面积等于
（ ）
（A） （B） （C）（D）
设，，，则
（A） （B） （C） （D）
设连续，，则
（A） （B） （C） （D）
（B）
（C） （D）
5、设，则在上 ( B )
（A） 单调增加 （B）单调减少 （C）有增有减 （D）无界
6、设是连续函数，则= ( A )
（A）0 （B）1 （C） （D）
若是连续函数且为奇函数，则是 ( B )
（A）奇函数 （B）偶函数 （C）非奇非偶函数 （D）既奇既偶函数
8、下列反常积分发散的有 ( C )
（A） （B） （C） （D）
9、下列反常积分收敛的有 ( D )
（A） （B） （C） （D）
10、由曲线，（，）及直线，所围图形绕 轴旋转而成立体的体积是 ( B )
（A） （B）
（C） （D）
二、填空题
1、利用定积分的几何意义，填写下列定积分的结果：
(1)= (2) -4
2、利用定积分的性质，填写下列各题：
(1) 6 51 (2)
3、设，则= 。
4、已知在上连续，且，且设，则 -2 。
5、设由所确定，则= 。
6、设为连续函数且满足，则 。
7、求下列定积分
(1)= (2)
(3) 13 (4)
(5) 0 (6)
(7)= 0 (8)= 2
8、若反常积分收敛， > 1 。
9、某厂生产的边际成本函数，且固定成本，则总成本函数 ;当产量由2个单位增至4个单位时，总成本的增量是 。
高等数学II练习题
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一阶微分方程
1、求的通解。
解：原方程可化为
积分，得 （其中C’为任意常数）
令，不难看出C为任意常数，
故，方程的通解为 （C为任意常数）
求微分方程，满足的特解。
解：原方程可化为
积分得 (其中C’为任意常数) 即
，令，不难看出C为任意常数，故原微分
方程通解可表示为： ，其中C为任意常数， 当时，
故满足条件的方程的特解为
3、求微分方程的通解。
解：方程可化为：
所以
微分方程的通解。
解：当x>0时，原微分方程可等价为齐次微分方程
设则有
对应的通解为
即（其中C为任意常数）
当x<0,易得原微分方程的通解为同样的形式。综上所述，
微分方程的通解为
（其中C为任意常数）
求微分方程，满足的特解。
解：令，则原微分方程变为
积分得
即（其中C为任意常数）
由初始条件 ，代入上式，可求得 C=2，所以原微分方程在此初始条件下的
特解为
求微分方程的通解。
解：易知原微分方程对应的齐次微分方程可表示成
其通解为
（其中C为任意常数）
由常数变易法，令原微分方程的通解形式为，则，代入
原微分方程，得
，积分得 (其中C为任意常数)。
于是，所求微分方程的通解为
（其中C为任意常数）
设为连续函数，由所确定，求。
解：对积分方程两边求导数得 ，
即 且
当时，代入上方程得
故
8、巳知生产某产品的固定成本是，生产单位的边际成本与平均单位成本之差为：，且当产量的数值等于时，相应的总成本为，求总成本与产量的函数关系。
高等数学II练习题
二阶微分方程
1、求方程的通解。
解：特征方程为 ，得特征根为
所以方程的通解
2、求微分方程的通解，其中常数。
解：特征方程为：，求得特征根
所以方程的通解
3、求方程，，的特解。
解：特征方程为 ，解得特征根为
所以方程的通解为
把 ， 代入上二式，得
故 所求方程满足条件的解为
4、求微分方程的一个特解。
5、求微分方程的通解。
6、设函数求微分方程 满足初始条件的特解。
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微分方程综合
一、选择题
1、下列各微分方程中为一阶线性微分方程的是 （ B ）
（A） （B） （C） （D）
2、满足方程的解是 （ B ）
（A） （B） （C） （D）
3、已知，是方程的解，则 (为
任意常数) （B ）
（A）是方程的通解 （B）是方程的解，但不是通解
（C）是方程的一个特解 （D）不一定是方程的解．
4、具有特解，的二阶常系数齐次线性方程是 （ B ）
（A） （B）
（C） （D）
5、微分方程，，的特解是 （ C ）
（A） （B）
（C） （D）
6、微分方程的一个特解应具有形式（式中为常数） （ D ）
（A） （B） （C） （D）
7、微分方程的特解应设为 （ D ）
（A） （B）
（C） （D）
8、设微分方程有特解，则它的通解是 （ A ）
（A） （B）
（C） （D）
二、填空题
1、微分方程的通解是
2、微分方程，满足的特解为
3、微分方程的通解为
4、微分方程的通解是
5、微分方程的通解是
6、具有特解和的二阶常系数齐次线性方程为
7、设为某方程的通解，其方程为
8、方程的特解可设为 .
9、方程的特解可设为 .
10、方程的特解可设为 .
11、方程的特解可设为 .
注意: 特解的表达式里面出现的常数，可说成“其中。。。。为常数”或者“其中。。。。为待定常数”两者都可以。
高等数学II练习题
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空间解析几何、多元函数概念和性质
一．选择题
1、方程表示 （ D ）
（A）平面 （B）柱面 （C）球 （D）抛物面
2、函数的定义域 （ C ）
（A） （B） （C） （D）
3、设，且当时，则= （ D ）
（A） （B） （C） （D）
4、若，则= （ B ）
（A） （B）
（C） （D）
二．填空题
1、方程表示 表示空间的准线是xOy平面上的半径为，原点为圆心的圆，母线平行于Oz轴的圆柱面
2、若一球面以点为球心且过原点，则其方程为
3、球面：的球心是点___________，半径 _____4_____；
4、的定义域
5、设函数，则
6、已知，则=
7、已知，则
三．计算题
1、
解：
当时，
则原式＝2
2、
解：
原式＝
3、
解：
原式＝
＝ (注意：如何应用变量替换法，把二元函数的极限转化为一元函数的情形，利用一元函数的常见的等价无穷小来计算！考虑下什么情形下是安全的！)
高等数学II练习题
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多元函数导数及微分
1、设函数，求。
解：
求函数的全微分。
解：
由全微分公式
则
3、设，而，，求。
解：由链式法则，
（注意，最后的答案应写成u,v的形式，因要求的表达式默认是u，v的函数！）
设，求及。
解：由已知z=z(x,y), 原方程两边对x求偏导数
对y求偏导数
整理可求得
因此
故z的全微分可表示为：
＝
设，而，，求。
解：
(要特别注意上面式子z在不同地方表示不同自变量的函数，如t的函数，x,y的函数；这是把原来z是t的一元函数表示成z是二元函数的复合函数的情形)
设，求，其中有二阶偏导数。
解：
（注：下标1,2的表示对应的偏导数，参见课本p251例7.25）
7、设，求。
解法一：方程两边对x求偏导数
整理得
上式两边对x求偏导数
8、设由所确定的函数，求。
解：方程两边对x求偏导
整理得
因此
高等数学II练习题
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多元函数极值和最值
求函数的驻点。
解： 解方程
得驻点
求函数 的极值点。
解：由
得驻点，,,
求二阶偏导数
对点:
故(1/3,1/3)为极大值点。
对点: ， 不是极值点.
对点(0,1)和点(1,0)，，故(0,1)和(1,0)都不是极值点；
3、求的极值。
解法1）：由
得驻点
计算二阶偏导数
对应地，
，
，
故(0,0)是极大值点，极大值为
(2,2)是极小值点，极小值为.
解法2）：
解： 驻点为
在处，，为极大值点，
在处，不是极值点
在处，不是极值点
在处，，为极小点，
4、设生产某种产品需要甲、乙两种原料，已知甲种原料的价格为2，乙种原料的价格为1，而用单位的甲种原料和y单位的乙种原料可生产产品数量为，若该产品的单位价格为5，试求最大利润．
解：收入 成本
利润＝
，，，，故最大利润为
5、工厂的同一种产品分销两个独立市场．两个市场的需求情况不同，设价格函数分别为
，，厂商的总成本函数为，, 工厂以最大利润为目标，求投放每个市场的产量，并确定此时每个市场的价格．
解：总收入：
总利润：
＝
，不难验证(8,2)为最大利润对应的极值点
某厂为促销产品需作两种手段的广告宣传．当广告费分别为，时，销售量，若销售产品所得利润，两种手段的广告费共25(千元)，问如何分配两种手段的广告费才能使利润最大？
解：作函数
求偏导 得
两种广告分别为15（千元）和10（千元）的时候使得利润最大
高等数学II练习题
二重积分
1、设区域D由所围成，求。
解：
原式(X型累次积分)＝
＝
原式(Y型累次积分)＝
2、设是由直线，及所围成的平面区域，求。
解：
原式（X型）＝
3、设区域由轴与曲线（）所围成，求。
解：
原式（Y型）＝
4、设，为正方形：，计算。
解：原式(矩形区域)＝
=
5、求积分。
解：
把原式Y型的累次积分转化为X型
即原式＝
6、设积分区域由，及所围成，求。
解：
原式＝
＝
＝
7、设积分区域为，求。
解：令
原式＝
＝＝
8、计算，其中由，所围成。
解：令
原式＝
高等数学II练习题 多元函数微积分综合
一、选择题
1、设，则= （ B ）
（A） （B）
（C） （D）
2若，则等于 （ ）
（A） （B）
（C） （D）
均为可微函数，则 （ C ）
（A） （B） （C） （D）
4、设积分区域是，则= （ B ）
（A）1 （B）2 （C）4 （D）8
由与两坐标轴所围成，若，
，，则它们之间的大小顺序为 （ C ）
（A） （B） （Ｃ） （Ｄ）
是以为顶点的梯形所围成的有界闭区域，是区域上的连续函数，则二重积分 （ B ）
（A） （B）（C） （D）的另一种积分次序是 （ A ）
(A)(B）(C) (D)
8、的值等于 （ A ）
（A） （B） （C） （D）
9、积分 （ C ）
（A） （B） （C） （D）积不出
二、填空题
1、设，则=
2、设，则
3、设，则=
4、设，则=
5、设，而，，则=
6、设，则
7、设是由与围成的平面区域，若，则 ；若积分区域是，则= .
8、若区域由，围成，则二重积分化成先对，后对的二次积分为 .
9、 = .
10、设区域由，所确定，则= 0 .
11、改换积分的次序=
12、化二次积分为极坐标的二次积分=
高等数学II练习题
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常数项级数
1、求级数的和。
解：
级数的部分和
，
此级数的和即 .
2、判断级数的敛散性。
3、判断级数的敛散性。
4、判断级数的敛散性。
5、判断级数的敛散性。
6、判断级数的敛散性，并求.
7、判断级数的敛散性。（若收敛是绝对收敛还是条件收敛）
解：由
8、判断级数的敛散性。（若收敛是绝对收敛还是条件收敛）
高等数学II练习题
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幂级数和函数的幂级数展开
1、求级数的收敛域。
求级数的收敛域。
解：
故级数收敛半径为 即
当时，级数为，发散
故级数收敛域为
3、求级数的收敛域和和函数。
解：由比值判别法可知当，即时，
级数收敛，当或时，易知级数的收敛域
为； 又，逐项求导到
4、求级数的收敛域和和函数。
解：
故级数收敛半径为 即
当，级数为，发散；
当，级数为，收敛；
故级数的收敛域为
而由
得
5、将函数展开为麦克劳林级数。
6、将在点处展开为幂级数。
7、将函数展开为的幂级数。
解：
8、将函数展开为的幂级数。
高等数学II练习题
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级数综合
一、选择题
1、若级数收敛，记，则 （ B ）
（A） （B）存在 （C）可能不存在 （D）为单调数列
2、若收敛，则 （ B ）
（A）与必同时收敛 （B）与可能同时收敛，也可能同时发散
（C）必收敛 （D）收敛，发散
3、若级数收敛于，则收敛于 （B ）
（A） （B） （C） （D）
4、下列级数中，收敛的是 （ A ）
（A） （B）
（C） （D）
5、级数的收敛范围是 ( D )
（A） （B） （C） （D）
6、下列级数中，收敛的是 （ D ）
（A） （B） （C） （D）
7、在下列级数中，发散的是 （D ）
（A） （B） （C） （D）
8、下列级数中，收敛的是 （ D ）
（A） （B） （C） （D）
9、下列级数中发散的是 （ C ）
（A） （B） （C） （D）
10、设，则下列级数中肯定收敛的是 （ D ）
（A） （B） （C） （D）
11、下列级数中条件收敛的是 （ C ）
（A） （B） （C） （D）
12、设常数，则级数 （ B ）
（A）绝对收敛 （B）条件收敛 （C）发散 （D）收敛性与的取值有关
13、若级数收敛，则下列结论中成立的是 （ A ）
（A）必收敛 （B）必收敛,
（C）必收敛 （D）必发散
14、设幂级数在处收敛，则该级数在处必定 （ C ）
（A）发散 （B）条件收敛 （C）绝对收敛 （D）收敛性不能确定
15、幂级数的收敛域是 （ C ）
（A） （B）(,2) （C） （D）[,2]
16、设级数在处收敛，在处发散，则其收敛半径= （ C ）
（A） 1 （B） （C）3 （D）4
17、设，则级数的收敛半径 （ D ）
（A） （B） （C） （D）
18、已知，则的幂级数展开式为 （ D）
（A） （B）
（C） （D）
二、填空题
1、设级数收敛，则 3 。
2、已知，则 3 。
3、若级数收敛，则满足 S<0 。
4、当正数满足 0< a<3 时，级数收敛。
5、级数，当 时级数绝对收敛；当 时级数条件收敛；当 时级数发散。
6、若为单调递减数列，且，又收敛，则 收敛 。
7、幂级数的收敛半径为 ____________。
8、设幂级数的收敛半径为3，则幂级数的收敛区间为
9、若已知幂级数的收敛域为，则幂级数的收敛域为
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