第二节函数的定义域与值域（最值）
考纲解读 会求―些简单函数的定义域和值域?
命题趋势探究 考查重点是求解函数的定义域和值域
知识点精讲
函数的定义域
求解函数的定义域应注意：（1）分式的分母不为零；
（2）偶次方根的被开方数大于或等于零：
（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；
（4）零次幂或负指数次幂的底数不为零；
（5）三角函数中的正切的定义域是且；
（6）已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同；
（7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域.
函数的值域
求解函数值域主要有以下十种方法：（1）观察法；（2）配方法；（3）图像法；（4）基本不等式法，（5）换元法；（6）分离常数法；（7）判别式法；（8）单调性法，（9）有界性法；（10）导数法.
需要指出的是，定义域或值域的结果必须写成区间或集合的形式.
题型归纳及思路提示
题型13 函数定义域的求解
思路提示 对求函数定义域问题的思路是：（1）先列出使式子有意义的不等式或不等式组；（2）解不等式组；（3）将解集写成集合或区间的形式.
给出函数解析式求解定义域
例2.函数的定义域为（ ）．
A.(-4,-1) B.(-4,1) C.(-1,1) D.(-1,1]
变式1 函数 的定义域为（）
A.(0，1) B[0，1） C.(0，1] D[0，1]
变式2求函数 的定义域.
抽象函数定义域
已知的定义域求的定义域，或已知的定义域求的定义域，或已知的定义域求的定义域.
解题时注意：（1）定义域是指自变量的取值范围；（2）在同一对应法则∫的作用下括号内式子的范围相同.
例2.11 （1）已知函数的定义域为（0，1）求的定义域
（2）已知函数的定义域为（2，4）求的定义域
（3）已知函数的定义域为（1，2）求的定义域.
评注 定义域是对自变量而言的，如的定义域为（1，2）指的是x的范围而非的范围.
变式1 已知函数 的定义域是［0，1］，求的定义域．
变式2设，则的定义域为（）
A(-4,0)U(0，4) B C. D
三、实际问题中函数定义域的求解
例2.12 如图2-3所示，用长为1的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆形的框架，若半圆半径为x，求此框架围成的面积y与x的函数式y＝，并写出其定义域.
分析 在求实际问题函数的定义域时，应注意根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义城.
评注 求实际问题函数的定义域时，除考虑函数的解析式有意义外、还要考虑使实际问题有意义，如本题中要根据各种度量的存在性来确定函数的定义域
题型14函数定义域的应用
思路提示 对函数定义域的应用，是逆向思维问题，常常转化为恒成立问题求解，必要时对参数进行分类讨论.
例2.13若函数 的定义域为R，则实数a的取值范围为_____.
变式1 若函数的定义域是R，求则实数a的取值范围是（）
A. B. C. D.
变式2 函数 的定义域是R,求a的取值范围.
变式3若函数 的定义域为R，求实数a的取值范围.
题型15 函数值域的求解
思路提示 函数值域的求法主要有以下几种
(1)观察法:根据最基本函数值域（如≥0,及函数的图像、性质、简单的计算、推理，凭观察能直接得到些简单的复合函数的值域.
（2）配方法：对于形如的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点，结合二次函数的定义城求出函数的值域.
（3）图像法：根据所给数学式子的特征，构造合适的几何模型.
（4）基本不等式法：注意使用基本不等式的条件，即一正、二定、三相等.
（5）换元法：分为三角换元法与代数换元法，对于形的值城，可通过换元将原函数转化为二次型函数.
（6）分离常数法：对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简化内便于分析.
（7）判别式法：把函数解析式化为关于x的―元二次方程，利用一元二次方程的判别式求值域，一般地，形如 ，或的函数值域问题可运用判别式法（注意x的取值范围必须为实数集R）.
(8) 单调性法：先确定函数在定义域（或它的子集）内的单调性，再求出值域.对于形如或的函数，当ac>0时可利用单调性法.
（9）有界性法：充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域.因为常出现反解出y的表达式的过程，故又常称此为反解有界性法.
(10) 导数法：先利用导数求出函数的极大值和极小值，再确定最大（小）值，从而求出函数的值域.
一 观察法
例 2.14 求函数的值域.
变式1 函数的值域是 .
变式2 函数的值域是 .
二 配方法
例 2.15 求函数的值域.
.
变式1 求函数的值域.
变式2 求的值域.
变式3 设函数的定义域为D，若所有点构成一个正方形区域，则a的值为（ ）.
A -2 B -4 C -8 D 不能确定
三 图像法（数形结合）
例 2.16 求函数的值域.
评注 本题中也可看着动点P（x,0）与两定点A1(-1,1),B1(1,1)的距离之和，同理利用数形结合思想，|PA1|+|PB1|，则|PA1|+|PB1|的最小值为.
变式1 求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.
变式2 函数的值域是（ ）.
A B C D
变式3 函数的值域是（ ）.
A B
C D
四 基本不等式法
例2.17 已知x>2,求函数的值域.
变式1 求函数的值域.
五、换元法（代数换元与三角换元）
【例2.18】求函数的值域.
变式1：求函数的值域.
变式2：求函数的值域.
分离常数法
【例2.19】求的值域.
变式1：求函数的值域.
变式2：求函数的值域.
判别式法
【例2.20】求函数的值域.
变式1：已知函数的值域为，求的值.
变式2：已知函数的定义域为R，值域为，求的值.
单调性法
【例2.21】求函数的值域.
变式1：求函数的值域.
变式2：函数的值域是_______________.
变式3：求函数的值域.
变式4：求函数的值域.
有界性法
【例2.22】求函数的值域.
变式1：已知函数，求函数的值域.
变式2：已知函数，若有，则的取值范围为（ ）
【例2.23】已知，求函数的值域.
评注 本题也可以用数形结合思想求解，设，则的几何意义为点与点所确定直线的斜率，其中为单位圆在轴左侧部分.变式1：已知，求函数的值域.
导数法
【例2.24】求函数的值域.
评注 对于三次函数以及复杂的函数求值域一般都用导数法求解，此类解法在第三章导数中有更为系统的介绍.
变式1：若函数在区间及上都是增函数，而在上是减函数，求此函数在上的值域.
最有效训练题5（限时45分钟）
已知，则下列函数中定义域和值域都可能是R的是（ ）
若函数的定义域为R，则实数的取值范围是（ ）
定义域为R是函数的值域为，则函数的值域是（ ）
函数的值域是（ ）
设函数，，则的值域是（ ）
对任意两实数，定义运算“”如下：，函数的值域为（ ）
函数的定义域是________________.
函数的值域为________________.
若函数的值域为，则函数的值域是____________.
已知函数，定义域为，值域为，则的取值范围是_________________.
求下列函数的定义域.
；
；
；
；
；
；
已知函数的定义域是，求的定义域；
已知函数的定义域为，求的定义域.
求下列函数的值域.
；
；
；
；
；
；
；
.【
A
B
C
D
图 2-3
|
|
