第五章 信号的相关函数及应用本章内容确定性信号的相关函数的定义相关函数的性质典型应用举例 目的与方法通过相关运算，研究两个信号的相似性，或一
个信号经过延迟后与原信号的相似性。实现对信号的检测、识别与信息提取。 5.1 互相关函数和自相关函数信号 和
的互相关函数： 相关与卷积的运算关系：将y(n)翻转变成y(-n)，再调用卷积程序计算，则得到x(n)和y(n)的互
相关函数。 信号 自相关函数：自相关函数表示了信号与其自身移位后的的相似程度。能量信号、功率信号：Ex表示信号x(
n) 的能量，即信号的平均功率： 信号的平均功率：功率信号： 功率信号(如周期信号) 是工程实际和理论研究中
的常用信号，如通信训练信号等。有限长序列的相关函数：当输入序列是有限长序列，或只能获得无限长序列的有限个序列值时 特别是当 x(n
)和y(n)是长度为N的因果序列时复信号的相关函数：如果 和 是复信号，其相关函数也是复信号本章
介绍实信号的相关函数。 例：设信号为
。求其自相关函数。解：由于 是无限时宽的，所以， 也是无限时宽的。求解过程如图所示。当m>=0
时当m<0时因为m<0时， ，于是，5.2 周期信号的相关性 按照能量信号的相
关函数定义，功率信号的相关函数不存在！但在工程实际中，常常涉及功率信号的相关性 ，特别是周期信号的相关性。所以，对其重新定义相关函
数计算公式。设 和是两个功率信号，其互相关函数定义为功率信号的互相关函数功率信号的自相关函数周期信号，周期为N，互相关
函数：对周期信号，功率信号相关函数定义式中有限区间上的平均值极限就等于一个周期上的平均值 。周期为N的周期信号的自相关函数也是以N
为周期的 可以根据自相关函数的周期性质，估计一个周期信号的周期。 例5.2.1 已知
，其周期为N,即 ，求 的自相关函数。解：由于所以，正弦序列的自相关函数是同
频率的余弦序列，显然自相关函数与原周期序列周期相同。 5.3 相关函数的性质很重要的性质 使很多问
题的分析和判断更加简单1.互相关函数性质性质1 不是偶函数，而且，但有 证明：由许瓦兹不等式，有性质3因为一般能量信号都是有限
非零时宽的，所以，当 时，和的非零区不重叠， 所以，该性质成立。2.自相关函数性质性质1 若
是实信号，则 是实偶函数，即 当 是复信号，则 是共轭对称函数
，即证明很简单，请看教材P125性质2 在m=0时取得最大值，即 性质3 对能量信号 ,将 相对自身移
至无穷远处，则二者不相关。即 5.4 输入输出信号的相关函数系统输入信号 , 已知系统单位脉冲响
应 系统输出信号则输出信号与输入信号的互相关函 ：所以， 可以看成线性时不变系统输对输入序列的响应输出 系统输
出信号的自相关函数: 系统稳定，h(n)为能量信号 存在如果
存在，则 存在，结论：稳定系统，如果输入是能量信号，则输出也是能量信号。实际上，上述输入输出信号的相关函数
关系式对于功率信号都适用。 5.6 相关函数的应用应用领域： 雷达、声纳、数字通信、地质和其他科学和工程领
域，信号的相关性分析都有广泛的应用。信号处理中的实例：噪声中信号的检测，信号中隐含周期性的检测信号相关性的检测信号延时时间的测量等
。 1 在雷达和主动声纳系统中的的应用 雷达和主动声呐系统 雷达目标检测示意图 测距原理：发
射信号（参考信号）的采样接收信号的采样X(n) 目标，反射a-----衰减因子，表示发射信号在发射
和反射信道中的损失 W(n)------天线接收到的加性噪声、接收机前端电子器件或放大器产生的噪声。 D-----延迟量 雷达探测
目的：通过比较 x(n) 和 y(n) ，判断目标是否存在；如果存在，则通过求延迟D来确定目标的距离。问题：工程实际中，受加性噪
声的严重污染，不可能从y(n) 的波形判断目标是否存在。解决方法：相关检测方法。 相关检测方法的推导证明：目标存在
当m=D时， 取得最大值： 雷达检测到目标，并根据所检测的反射延时D值换算出目标距离。 2 使用相关函数检
测物理信号隐含的周期性问题：在实际应用中，需要检测被随机噪声污染的观测物理信号隐含的周期性。问题描述：观测信号: :
周期信号 ,但周期N未知，要求检测其周期N ：表示加性随机干扰噪声，近似白噪声 检测条件：观测到 y(n) 的M个采样
值，观测区间为 ， ,即y(n)是一个因果序列，长度为M
X(n)与w(n) 不相关，或相关性很小。用自相关法求y(n)中隐含周期信号的周期
结论：根据 从干扰噪声中检测出y(n)中是否存在 周期信号，并确定其周期N。 例5.
6.1设信号 解： 由本书8.6.1节公式（8.6.4）可知， 的功率 的功率 信噪比SNR 运行程序ep561.m，可产生
SNR=1 dB时的噪声 ； 观测信号 ；
的自相关函 噪声自相关函数导致 M>0信号自相关函数SNR=5 dB时的噪声 ； 观测信号
；y(n)的自相关函 结论：1、从图可看出，即使噪声功率较小，观测信噪比达到5dB，我们也
很难直接从观测信号y(n)确定x(n)的周期；2、但很容易从y(n)的自相关函数很容易确定x(n)的周期
N=105.7 用MATLAB计算相关函数相关工具箱函数：Randxcorr 功能及调用格式：w=rand(N) 产生N维列向量w
； w=rand(M,N) 产生M?N维矩阵w 产生均值为0.5，幅度在[0,1]上均匀分布伪随机序列常用于近似均匀分布的白噪声信
号w(n) W(n)的平均功率：均值： rxy= xcorr (x,y) 计算序列x和y的互相关函数。 如果 x
和y的长度都是N，则rxy的长度为2N-1； 如果 x和y的长度不相等，则将短的序列后面补领，再按照长度相同方法计算。 r
x= xcorr (x, M, ‘flag’) 计算序列x自相关函数。M表示自相关函数rx的单边长度，总长度为2M+1；
flag是定标标志，若flag=biased，则表示有偏估计，需将rx(m)都除以N；若flag=unbiased，则表示无偏
估计，需将rx(m)都除以(N-abs(m))。若flag缺省，则rx不定标。 M和flag同样适用于求互相关。程序ep561
.m 清单%例5.6.1求解程序 ep561.mclearN=200;M=50; %设置信号和噪声序列
长度N，y(n)自相关函数单边长度MA1=sqrt(6/10^0.1); %SNR=1dB时，计算噪声分布参数An=0
:N-1;w=A1(rand(1,N)-0.5); %产生白噪声，均值为零，在[-A1/2,A1/2]上均匀分布x=sin(
pin/5); %产生信号x(n)的200个值y=x+w; %y(
n)=x(n)+w(n)ry=xcorr(y,M,''biased''); %计算y(n)自相关函数的2M+1个值m=-M:M;
%自相关函数的2M+1个值对应的自变量m=-M,...,0,...Mfigure(1)subpl
ot(3,1,1);stem(n,w,''.'');axis([1,100,-2,2]);xlabel(''n'');ylabel(''w(
n)'');title(''(a)'')subplot(3,1,2);stem(n,y,''.'');axis([1,100,-2,2]);xlabel(''n'');ylabel(''y(n)'');title(''(b)'')subplot(3,1,3);stem(m,ry,''.'');xlabel(''m'');ylabel(''ry(m)'');title(''(c)'') 本章小结互相关函数定义及性质自相关函数定义及性质线性时不变系统输入输出信号的相关性相关函数的应用雷达和主动声呐系统中的应用原理检测加性噪声污染的周期信号的有无及其周期。 |
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